辽宁省锦州市黑山县黑山中学2024-2025学年高二数学下学期线上教学检测试题含解析

PAGE14-辽宁省锦州市黑山县黑山中学2024-2025学年高二数学下学期线上教学检测试题（含解析）留意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上一、选择题（本题共12道小题，每小题5分，共60分）1.下列求导计算正确的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】依据函数求导法则得到相应的结果.【详解】A选项应为，C选项应为，D选项应为.故选B．【点睛】这个题目考查了函数求导运算，牢记公式，精确计算是解题的关键，属于基础题.2.已知函数，且，则曲线在处的切线方程为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】先对已知函数f(x)求导，由可得a值，由此确定函数和其导函数的解析式，进而可得x=0处的切线方程．【详解】，，解得，即，，则，，曲线在点处的切线方程为，即.【点睛】本题考查求函数某点处的切线方程，解题关键是先由条件求出函数f(x)中的未知量a．3.现对某次大型联考的1.2万份成果进行分析，该成果听从正态分布，已知，则成果高于570的学生人数约为（）A.1200 B.2400 C.3000 D.1500【答案】A【解析】【分析】依据正态分布的对称性，求得的值，进而求得高于的学生人数的估计值.【详解】，则成果高于570的学生人数约为.故选A.【点睛】本小题主要考查正态分布对称性，考查计算正态分布指定区间的概率，属于基础题.4.袋中有10个大小相同但编号不同的球，6个红球和4个白球，无放回地依次摸出2个球，在第一次摸出红球的条件下，其次次也摸到红球的概率为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】试题分析：先求出“第一次摸到红球”的概率为：，设“在第一次摸出红球的条件下，其次次也摸到红球”的概率是，再求“第一次摸到红球且其次次也摸到红球”的概率为，依据条件概率公式，得：,故选D.考点：条件概率与独立事务.【易错点晴】本题考查了概率的计算方法，主要是考查了条件概率与独立事务的理解.利用定义，分别求和，得.留意：事务与事务有时是相互独立事务，有时不是相互独立事务，要弄清的求法．属于中档题，看精确事务之间的联系，正确运用公式，是解决本题的关键.5.已知曲线在点处的切线方程为，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】通过求导数，确定得到切线斜率的表达式，求得，将点的坐标代入直线方程，求得．【详解】详解：，将代入得，故选D．【点睛】本题关键得到含有a，b的等式，利用导数几何意义和点在曲线上得到方程关系．6.有8件产品，其中4件是次品，从中有放回地取3次（每次1件），若X表示取得次品的次数，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】首先把取一次取得次品的概率算出来，再依据离散型随机变量的概率即可算出．【详解】因为是有放回地取产品，所以每次取产品取到次品的概率为．从中取3次，为取得次品的次数，则,,选择D答案．【点睛】本题考查离散型随机变量的概率,解题时要留意二项分布公式的敏捷运用.属于基础题．7.已知随机变量的分布如下表所示，则等于（）A.0 B.－0.2 C.－1 D.－0.3【答案】B【解析】【分析】先依据题目条件求出值，再由离散型随机变量的期望公式得到答案．【详解】由题可得得，则由离散型随机变量的期望公式得故选B【点睛】本题考查离散型随机变量的分布列和期望公式，属于一般题．8.函数的极值点所在的区间为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】求出导函数，然后运用函数零点存在性定理进行验证可得所求区间．【详解】∵，∴，且函数单调递增．又，∴函数在区间内存在唯一的零点，即函数的极值点在区间内．故选A．【点睛】本题考查函数零点存在性定理的应用，解答本题时要弄清函数的极值点即为导函数的零点，同时还应留意只有在导函数零点左右两侧的函数值变号时，该零点才为极值点，否则导函数的零点就不是极值点．9.如图是函数的导函数的图像，则下面推断正确的是(

)A.在区间（-2,1）上是增函数B.在区间（1,3）上是减函数C.在区间（4,5）上是增函数D.当时，取极大值【答案】C【解析】【分析】利用导函数的正负来推断原函数的单调性,对选项逐一进行推断即得答案.【详解】选项A,区间（-2,1）导函数先是负后是正,所以原函数先减后增,A错误选项B,区间（1,3）导函数先是正后是负,所以原函数先增后减,B错误选项C,区间（4,5）导函数恒大于0，原函数单调递增，C正确选项D，当处，左边减右边增，取微小值，D错误答案是C【点睛】本题考查了导函数的正负和原函数单调性关系，以及极大值微小值的推断，考查同学们对于图像的理解和推断.10.已知函数，则不等式的解集是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】先推断函数的奇偶性，将不等式化为，再由函数的单调得到，求解即可得出结果.【详解】因为函数，所以，因此函数为奇函数，所以化为，又在上恒成立，因此函数恒为增函数，所以，即，解得.故选:B【点睛】本题主要考查函数奇偶性的应用、以及单调性的应用，熟记函数奇偶性的概念以及利用导数探讨函数的单调性的方法即可，属于常考题型.11.若有极大值和微小值，则a的取值范围是（）A.(－1,2) B.(－∞,－1)∪(2,+∞)C.(－3,6) D.(－∞,－3)∪(6,+∞)【答案】D【解析】【分析】先求出导数，由有极大值、微小值可知有两个不等实根，利用判别式大于零求解即可.【详解】解：函数，所以，

因为函数有极大值和微小值，所以方程有两个不相等的实数根，

即有两个不相等的实数根，

，解得：或.

故选：D.【点睛】本题以函数的极值为载体，考查导数在求函数极值中的应用，将函数有极大值和微小值，转化为方程有两个不相等的实数根是解题的关键.12.已知定义在上函数的导函数为，且对随意都有，，则不等式的解集为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先构造函数，求导得到在R上单调递增，依据函数的单调性可求得不等式的解集.【详解】构造函数，，.又随意都有.在R上恒成立.在R上单调递增.当时，有，即的解集为.【点睛】本题主要考查利用函数的单调性解不等式，依据题目条件构造一个新函数是解决本题的关键.第II卷（非选择题）二、填空题（本题共4道小题，每小题5分，共20分）13.已知随机变量X的分布列为P（X＝k）＝（k＝1,2,3,4），则a等于_______．【答案】5【解析】试题分析：．随机变量的取值有1、2、3、4,分布列为：

1

2

3

4

由概率的基本性质知：考点：1、离散型随机变量的分布列．14.设听从二项分布的随机变量的期望与方差分别是15和，则____，____．【答案】(1).60(2).【解析】【分析】若随机变量X听从二项分布，即ξ～B（n，p），则随机变量X的期望E（X）＝np，方差D（X）＝np（1﹣p），由此列方程即可解得n、p的值【详解】由二项分布的性质：E（X）＝np＝15，D（X）＝np（1﹣p）解得p，n＝60故答案为60．【点睛】本题主要考查了二项分布的性质，二项分布的期望和方差的公式及其用法，属于基础题.15.已知曲线在点处的切线方程为，则实数的值为_______.【答案】2【解析】【分析】求导函数。由可求得。【详解】由题意，，由得。故答案为：2。【点睛】本题考查导数的几何意义，函数在某点处的导数就是函数图象在该点的导数值。16.若是函数的极值点，则在上的最小值为______.【答案】【解析】【分析】先对f(x)求导，依据可解得a的值，再依据函数的单调性求出区间上的最小值．【详解】，则，解得，所以，则.令，得或；令，得.所以上单调递减；在上单调递增.所以.【点睛】本题考查由导数求函数在某个区间内的最小值，解题关键是由求出未知量a．三、解答题（本题共6道小题，共70分）17.已知函数．（1）求的单调区间；（2）求的最大值和最小值．【答案】（1）见解析；（2）最大值为6，最小值为.【解析】【分析】（1）求出原函数的导函数，分别利用导函数大于0和小于0，结合已知函数定义域求得原函数的单调区间；（2）求出函数在[﹣2，1]两端点的值，再求出函数在该区间上的最大值得答案．【详解】（1）f′(x)＝3x2＋4x＋1＝3(x＋)(x＋1)．由f′(x)>0，得x<－1或x>－；由f′(x)<0，得－1<x<－.因此，函数f(x)在[－，1]上的单调递增区间为[－，－1]，[－，1]，单调递减区间为[－1，－]．（2）f(x)在x＝－1处取得极大值为f(－1)＝2；f(x)在x＝－处取得微小值为f(－)＝.又∵f(－)＝，f(1)＝6，且>，∴f(x)在[－，1]上的最大值为f(1)＝6，最小值为f.【点睛】本题考查利用导数探讨函数的单调性，训练了利用导数求函数在闭区间上的最值，是中档题．18.已知函数，曲线在处的切线方程为.（Ⅰ）求实数，的值；（Ⅱ）求在区间上的最值.【答案】（Ⅰ）最大值为，最小值为.（Ⅱ）最大值为，最小值为.【解析】【分析】（Ⅰ）切点在函数上，也在切线方程为上，得到一个式子，切线的斜率等于曲线在的导数，得到另外一个式子，联立可求实数，的值；（Ⅱ）函数在闭区间的最值在极值点或者端点处取得，通过比较大小可得最大值和最小值.【详解】解：（Ⅰ），∵曲线在处的切线方程为，∴解得，.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，则，令，解得，∴在上单调递减，在上单调递增，又，，，∴在区间上的最大值为，最小值为.【点睛】本题主要考查导函数与切线方程的关系以及利用导函数求最值的问题.19.已知函数.（1）求曲线在原点处的切线方程.（2）当时，求函数的零点个数;【答案】（1）（2）函数零点个数为两个【解析】【分析】（1）依据导数的几何意义，即可求解曲线在原点处的切线方程；（2）由（1），求得函数的单调性，分类探讨，即可求解函数的零点个数．【详解】（1）由题意，函数，则，则，从而曲线在原点处的切线方程为．（2）由（1）知，令得或，从而函数单调增区间为，单调减区间为，当时，恒成立，所以在上没有零点；当时，函数在区间单调递减，且，存在唯一零点；当时，函数在区间单调递增，且，存在唯一零点．综上，当时，函数零点个数为两个.【点睛】本题主要考查了导数的几何意义求解曲线在某点处的切线方程，以及利用导数探讨函数的单调性及其应用，着重考查了分类探讨思想，推理与运算实力，属于基础题．20.某超市在节日期间进行有奖促销，凡在该超市购物满元的顾客，将获得一次摸奖机会，规则如下：一个袋子装有只形态和大小均相同的玻璃球，其中两只是红色，三只是绿色，顾客从袋子中一次摸出两只球，若两只球都是红色，则嘉奖元；共两只球都是绿色，则嘉奖元；若两只球颜色不同，则不嘉奖．（1）求一名顾客在一次摸奖活动中获得元的概率；（2）记为两名顾客参加该摸奖活动获得的嘉奖总数额，求随机变量的分布列和数学期望．【答案】（1）；（2）见解析【解析】【分析】（1）依据古典概型概率计算公式可求得结果；（2）分别求出一名顾客摸球中奖元和不中奖的概率；确定全部可能的取值为：，，，，，分别计算每个取值对应的概率，从而得到分布列；利用数学期望计算公式求解期望即可.【详解】（1）记一名顾客摸球中奖元为事务从袋中摸出两只球共有：种取法；摸出的两只球均是红球共有：种取法（2）记一名顾客摸球中奖元为事务，不中奖为事务则：，由题意可知，全部可能的取值为：，，，，则；；；；随机变量的分布列为：【点睛】本题考查古典概型概率问题求解、离散型随机变量的分布列和数学期望的求解，关键是能够依据通过积事务的概率公式求解出每个随机变量的取值所对应的概率，从而可得分布列.21.某射手每次射击击中目标的概率是，且各次射击的结果互不影响，假设这名射手射击3次．（1）求恰有2次击中目标的概率；（2）现在对射手的3次射击进行计分：每击中目标1次得1分，未击中目标得0分；若仅有2次连续击中，则额外加1分；若3次全击中，则额外加3分．记为射手射击3次后的总得分，求的概率分布列与数学期望．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）先记“射手射击3次，恰有2次击中目标”为事务，依据题中条件，即可得出结果；（2）先由题意确定的可能取值，求出对应概率，进而可得出分布列，再由分布列求出期望即可.【详解】（1）记“射手射击3次，恰有2次击中目标”为事务，因为射手每次射击击中目标的概率是，所以；（2）由题意可得，的可能取值为，；；，，；所以的分布列如下：因此，.【点睛】本题主要考查独立重复试验，以及离散型随机变量的分布列与期望，熟记概率计算公式，以及分布列与期望的概念即可，属于常考题型.22.已知函数（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）求的单调区间；（3）若在区间上恒成立，求实数a的取值范围．【答案】（1）切线方程为.（2）当时，的单调增区间是和，单调减区间是；当时，的单调增区间是；当时，的单调增区间是和，单调减区间是.（3）.【解析】试题分析：（1）求出a=1时的导数即此时切线的斜率，然后由点斜式求出切线方程即可；（2）对于含参数的单调性问题的关键时如何分类探讨，常以导数等于零时的根与区间端点的位置关系作为分类的标准，然后分别求每一种状况时的单调性；（3）恒成立问题常转化为最值计算问题，结合本题实际并由其次问可知，函数在区间[1，e]上只可能有微小值点，所以只需令区间