人教A版高中数学（必修第一册）同步讲义 第四章 指数函数与对数函数 章末重点题型大总结（原卷版）

第第页第四章指数函数与对数函数章末题型大总结一、思维导图二、题型精讲题型01有关指数、对数的运算【典例1】计算：(1)SKIPIF1<0；(2)SKIPIF1<0.【典例2】求下列各式的值：(1)计算：SKIPIF1<0；(2)若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的值．【变式1】（1）已知SKIPIF1<0，求实数SKIPIF1<0的值；（2）SKIPIF1<0【变式2】计算(1)SKIPIF1<0.(2)SKIPIF1<0.题型02数的大小比较问题【典例1】设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的大小关系（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【典例2】设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【变式1】设SKIPIF1<0，则（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【变式2】已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0题型03定义域问题【典例1】函数SKIPIF1<0的定义域为（

）．A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【典例2】已知函数SKIPIF1<0是定义在R上的增函数，则实数a的取值范围是.【变式1】函数SKIPIF1<0的定义域为.【变式2】函数SKIPIF1<0的定义域为SKIPIF1<0，则实数m的取值范围是．题型04值域问题【典例1】函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的最大值为．【典例2】已知函数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.(1)判断函数SKIPIF1<0的奇偶性并予以证明；(2)若存在SKIPIF1<0使得不等式SKIPIF1<0成立，求实数SKIPIF1<0的最大值.【典例3】已知函数SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0．(1)求实数a的值，并用单调性定义证明SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增；(2)若当SKIPIF1<0时，函数SKIPIF1<0的最大值为SKIPIF1<0，求实数m的值．【典例4】已知函数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(1)若SKIPIF1<0，函数SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上存在零点，求SKIPIF1<0的取值范围；(2)若a＞1，且对任意SKIPIF1<0，都有SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0成立，求a的取值范围．【变式1】已知函数SKIPIF1<0，对SKIPIF1<0都有SKIPIF1<0成立，则实数SKIPIF1<0的取值范围是.【变式2】已知函数SKIPIF1<0.(1)当SKIPIF1<0时，求SKIPIF1<0的解集；(2)求函数SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上的最小值SKIPIF1<0.【变式3】已知函数SKIPIF1<0．(1)求不等式SKIPIF1<0的解集；(2)若不等式SKIPIF1<0对SKIPIF1<0恒成立，求实数SKIPIF1<0的取值范围．【变式4】已知SKIPIF1<0（实数b为常数）．(1)当SKIPIF1<0时，求函数SKIPIF1<0的定义域D；(2)若不等式SKIPIF1<0当SKIPIF1<0时恒成立，求实数b的取值范围．题型05指数（型）函数的图象与性质【典例1】已知函数SKIPIF1<0,若SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的取值范围是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【典例2】已知函数SKIPIF1<0.(1)试判断函数的单调性，并加以证明；(2)若关于SKIPIF1<0的方程SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上有解，求实数SKIPIF1<0的取值范围.【典例3】函数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.(1)求函数SKIPIF1<0的定义域；(2)若SKIPIF1<0为奇函数，求m的值；(3)当SKIPIF1<0时，不等SKIPIF1<0在SKIPIF1<0恒成立，求k的取值范围.【变式1】（多选）已知函数SKIPIF1<0（SKIPIF1<0且SKIPIF1<0）的图象如图所示，则下列结论正确的是（）

A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【变式2】已知函数SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0的定义域是SKIPIF1<0时，此时值域也是SKIPIF1<0.(1)求SKIPIF1<0的值；(2)若SKIPIF1<0，证明SKIPIF1<0为奇函数，并求不等式SKIPIF1<0的解集.【变式3】已知函数SKIPIF1<0.(1)当SKIPIF1<0时，解不等式SKIPIF1<0；(2)当SKIPIF1<0对SKIPIF1<0恒成立时，求整数SKIPIF1<0的最小值.题型06对数（型）函数的图象与性质【典例1】设函数SKIPIF1<0在定义域SKIPIF1<0上满足SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上是减函数，且SKIPIF1<0，则不等式SKIPIF1<0的解集为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【典例2】已知函数SKIPIF1<0的最小值为0，则实数SKIPIF1<0的取值范围是．【典例3】已知函数SKIPIF1<0是偶函数．(1)若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的值；(2)若实数SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的取值范围．【典例4】已知函数SKIPIF1<0为奇函数.(1)求实数SKIPIF1<0的值，判断函数SKIPIF1<0的单调性并用定义证明；(2)求关于SKIPIF1<0的不等式SKIPIF1<0的解集.【变式1】设SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最大值为.【变式2】已知函数SKIPIF1<0是偶函数．(1)求k的值；(2)若方程SKIPIF1<0有解，求实数m的取值范围．【变式3】已知函数SKIPIF1<0为定义在SKIPIF1<0上的偶函数，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0的图象过点SKIPIF1<0．(1)求a的值：(2)求SKIPIF1<0的解析式；(3)求不等式SKIPIF1<0的解集．题型07函数与方程【典例1】已知函数SKIPIF1<0，则函数SKIPIF1<0的零点的个数是（

）A．3 B．4 C．5 D．6【典例2】（多选）已知函数SKIPIF1<0，若函数SKIPIF1<0有三个零点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则下列结论正确的是（

）A．m的取值范围为SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0的取值范围为SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0最大值为1【典例3】已知函数SKIPIF1<0，若方程SKIPIF1<0有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围为．【变式1】（多选）已知函数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，下列说法正确的是（

）A．若SKIPIF1<0是偶函数，则SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0的单调减区间是SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0的值域是SKIPIF1<0D．当SKIPIF1<0时，函数SKIPIF1<0有两个零点【变式2】已知函数SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0.函数SKIPIF1<0(SKIPIF1<0且SKIPIF1<0)，若函数SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上恰有20个零点，则实数SKIPIF1<0的取值范围为.【变式3】已知函数SKIPIF1<0.(1)若函数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求函数SKIPIF1<0的最小值；(2)设SKIPIF1<0，若函数SKIPIF1<0与SKIPIF1<0图象有SKIPIF1<0个公共点，求实数SKIPIF1<0的取值范围.题型08函数模型及其应用【典例1】某教学软件在刚发布时有100名教师用户，发布5天后有1000名教师用户，如果教师用户人数SKIPIF1<0与天数t之间满足关系式：SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0为常数，SKIPIF1<0是刚发布的时间，则教师用户超过30000名至少经过的天数为（

）（参考数据：SKIPIF1<0）A．11 B．12 C．13 D．14【典例2】大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回到自己出生的淡水流域产卵．记鲑鱼的游速为v（单位：SKIPIF1<0），鲑鱼的耗氧量的单位数为Q，研究发现SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，鲑鱼的耗氧量的单位数为51200，则当SKIPIF1<0时，鲑鱼的耗氧量的单位数为（

）A．400 B．800 C．1600 D．3200【典例3】科研小组研制钛合金产品时添加了一种新材料，该产品的性能指标值y是这种新材料的含量SKIPIF1<0（单位：克）的函数．研究过程中的部分数据如下表：SKIPIF1<0（单位：克）02610…SKIPIF1<0－488SKIPIF1<0…已知当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0为常数．当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的关系为以下三种函数模型中的一个：①SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0SKIPIF1<0且SKIPIF1<0；③SKIPIF1<0SKIPIF1<0且SKIPIF1<0；其中SKIPIF1<0均为常数．(1)选择一个恰当的函数模型来描述SKIPIF1<0之间的关系，并求出其解析式；(2)求该新材料的含量SKIPIF1<0为多少克时，产品的性能达到最大．【典例4】在无菌培养环境中，某类细菌的繁殖在初期会较快，随着单位体积内细菌数量的增加，繁殖速度又会减慢，在一次实验中，检测到这类细菌在培养皿中的数量y（单位：百万个）与培养时间x（单位：小时）的3组数据如下表所示.SKIPIF1<0235SKIPIF1<03.54.55.5(1)当SKIPIF1<0时，根据表中数据分别用模型SKIPIF1<0和SKIPIF1<0建立SKIPIF1<0关于SKIPIF1<0的函数解析式.(2)若用某函数模型根据培养时间来估计某类细菌在培养皿中的数量，则当实际的细菌数量与用函数模型得出的估计值之间的差的绝对值不超过0.5时，称该函数模型为“理想函数模型”，已知当培养时间为9小时时，检测到这类细菌在培养皿中的数量为6.2百万个，你认为（1）中哪个函数模型为“理想函数模型”？说明理由.（参考数据：SKIPIF1<0）(3)请用（2）中的“理想函数模型”估计17小时后，该类细菌在培养皿中的数量.【变式1】2020年12月17日凌晨，嫦娥五号返回器携带月球样品在内蒙古四子王旗预定区域安全着陆，嫦娥五号返回舱之所以能达到如此高的再入精度，主要是因为它采用弹跳式返回弹道，实现了减速和再入阶段弹道调整，这与“打水漂”原理类似.现将石片扔向水面，假设石片第一次接触水面的速率为SKIPIF1<0，这是第一次“打水漂”，然后石片在水面上多次“打水漂”，每次“打水漂”的速率为上一次的SKIPIF1<0，若要使石片的速率低于SKIPIF1<0，则至少需要“打水漂”的次数为（

）（参考数据：取SKIPIF1<0）A．9 B．10 C．11 D．12【变式2】在某种新型材料的研制中，实验人员获得了下列一组实验数据．现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律，其中最接近的一个是（

）SKIPIF1<01.953.003.945.106.12SKIPIF1<00.971.591.982.352.61A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【变式3】行驶中的汽车在刹车时由于惯性作用，要继续往前滑行一段距离才能停下，这段距离称为刹车距离，在某种路面上，经过多次实验测试，某种型号汽车的刹车距离SKIPIF1<0（米）与汽车的车速SKIPIF1<0（千米/时，SKIPIF1<0）的一些数据如表．为了描述汽车的刹车距离SKIPIF1<0（米）与汽车的车速SKIPIF1<0（千米时）的关系，现有三种函数模型供选择：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．SKIPIF1<00406080SKIPIF1<008.418.632.8(1)请选出你认为最符合实际的函数模型，并求出相应的函数解析式；(2)如果要求刹车距离不超过SKIPIF1<0米，求行驶的最大速度．三、数学思想01数形结合的思想1．已知SKIPIF1<0是定义SKIPIF1<0上的奇函数，且SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减，且SKIPIF1<0为偶函数，若SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上恰好有4个不同实数根SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0．2．定义在R上的函数SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，则函数SKIPIF1<0有个零点．02分类讨论的思想1．已知函数SKIPIF1<0（SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0）是指数函数．(1)求SKIPIF1<0，SKIPIF1