人教A版高中数学（必修第一册）同步讲义 函数的应用（一）（教师版）

第第页函数的应用（一）课程标准学习目标①理解与掌握具体函数的应用的意义，掌握常见函数的模型，并能解决与常见函数相关的问题。②能根据实际意义，建立函数模型，并能解决实际问题.。通过本节课的学习，能解决常见函数的具体问题的处理，能根据实际意义，建立函数模型解决相关的问题知识点一：常见几类函数模型函数模型函数解析式一次函数模型SKIPIF1<0(SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为常数，SKIPIF1<0)二次函数模型SKIPIF1<0(SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为常数，SKIPIF1<0)分段函数模型SKIPIF1<0幂函数模型SKIPIF1<0(SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为常数，SKIPIF1<0)知识点二：对钩函数（耐克函数）1、对钩函数（一般模型）：对勾函数是一种类似于反比例函数的一般双曲函数，又被称为“双勾函数”、“勾函数”、“对号函数”、“双飞燕函数”；所谓的对勾函数，是形如：SKIPIF1<0（SKIPIF1<0，SKIPIF1<0）的函数；①定义域：SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0是奇函数，图象关于原点对称；③SKIPIF1<0在SKIPIF1<0，SKIPIF1<0上单调递减；在SKIPIF1<0，SKIPIF1<0上单调递增；④当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0；2、（高频考试模型）特别的，对钩函数的简易形式：SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）其图象如图：①定义域：SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）是奇函数，图象关于原点对称；③SKIPIF1<0在SKIPIF1<0，SKIPIF1<0上单调递减；在SKIPIF1<0，SKIPIF1<0上单调递增；④当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0；题型01一次函数模型的应用【典例1】（多选）（2023·全国·高三专题练习）（多选）甲同学家到乙同学家的途中有一座公园，甲同学家到公园的距离与乙同学家到公园的距离都是2km.如图所示表示甲同学从家出发到乙同学家经过的路程SKIPIF1<0(km)与时间SKIPIF1<0(min)的关系，下列结论正确的是（

）A．甲同学从家出发到乙同学家走了60minB．甲从家到公园的时间是30minC．甲从家到公园的速度比从公园到乙同学家的速度快D．当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的关系式为SKIPIF1<0【答案】BD【详解】在A中，甲在公园休息的时间是10min，所以只走了50min，A错误；由题中图象知，B正确；甲从家到公园所用的时间比从公园到乙同学家所用的时间长，而距离相等，所以甲从家到公园的速度比从公园到乙同学家的速度慢，C错误；当0≤x≤30时，设y＝kx(k≠0)，则2＝30k，解得SKIPIF1<0，D正确.故选：BD【典例2】（2023秋·广东广州·高一广州大学附属中学校联考期末）为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民实行“阶梯水价”，计费方法如下表：每户每月用水量水价不超过SKIPIF1<0的部分3元/SKIPIF1<0超过SKIPIF1<0但不超过SKIPIF1<0的部分6元/SKIPIF1<0超过SKIPIF1<0的部分9元/SKIPIF1<0若某户居民本月交纳的水费为54元，则此户居民的用水量为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【详解】设此户居民本月用水量为SKIPIF1<0SKIPIF1<0,缴纳的水费为SKIPIF1<0元,则当SKIPIF1<0时,SKIPIF1<0元,不符合题意;当SKIPIF1<0时,SKIPIF1<0,令SKIPIF1<0,解得SKIPIF1<0,符合题意；当SKIPIF1<0时,SKIPIF1<0,不符合题意.综上所述:此户居民本月用水量为15SKIPIF1<0.故选：C.【典例3】（2023·广东汕头·高一汕头市第一中学校考期中）在一次数学实践课上，同学们进行节能住房设计，综合分析后，设计出房屋的剖面图（如图所示），屋顶所在直线方程分别是SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，为保证采光，竖直窗户的高度设计为1m，那么点SKIPIF1<0的横坐标为．【答案】6【详解】设A的横坐标为m，则A的坐标为（m，0），∵屋顶所在直线方程分别是ySKIPIF1<0x+3和ySKIPIF1<0xSKIPIF1<0，为保证采光，竖直窗户的高度设计为1m，∴SKIPIF1<0，解得m＝6，故点A的横坐标为6．故答案为：6．【变式1】（2023·高一课时练习）(多选)某单位准备印制一批证书，现有两个印刷厂可供选择，甲厂费用分为制版费和印刷费两部分，先收取固定的制版费，再按印刷数量收取印刷费，乙厂直接按印刷数量收取印刷费，甲厂的总费用SKIPIF1<0(千元)､乙厂的总费用SKIPIF1<0(千元)与印制证书数量SKIPIF1<0(千个)的函数关系图分别如图中甲､乙所示，则（

）A．甲厂的制版费为1千元，印刷费平均每个为0.5元B．甲厂的总费用SKIPIF1<0与证书数量SKIPIF1<0之间的函数关系式为SKIPIF1<0C．当印制证书数量不超过2千个时，乙厂的印刷费平均每个为1.5元D．当印制证书数量超过2千个时，乙厂的总费用SKIPIF1<0与证书数量SKIPIF1<0之间的函数关系式为SKIPIF1<0【答案】ABCD【详解】由题图知甲厂制版费为1千元，印刷费平均每个为0.5元，故A正确；设甲厂的费用SKIPIF1<0与证书数量SKIPIF1<0满足的函数关系式为SKIPIF1<0，代入点SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以甲厂的费用SKIPIF1<0与证书数量SKIPIF1<0满足的函数关系式为SKIPIF1<0，故B正确；当印制证书数量不超过2千个时，乙厂的印刷费平均每个为SKIPIF1<0元，故C正确；设当SKIPIF1<0时，设SKIPIF1<0与SKIPIF1<0之间的函数关系式为SKIPIF1<0代入点SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0与SKIPIF1<0之间的函数关系式为SKIPIF1<0，故D正确.故选：ABCD.【变式2】（2023·高一课时练习）若等腰三角形的周长为20，底边长SKIPIF1<0是关于腰长SKIPIF1<0的函数，则它的解析式为__________________.【答案】SKIPIF1<0【详解】由题意，得2x＋y＝20，∴y＝20－2x.∵y>0，∴20－2x>0，∴x<10.又∵三角形两边之和大于第三边，∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得x>5，∴5<x<10，故所求函数的解析式为SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0题型02二次函数模型的应用【典例1】（2023·全国·高三专题练习）劳动实践是大学生学习知识､锻炼才干的有效途径，更是大学生服务社会､回报社会的一种良好形式某大学生去一服装厂参加劳动实践，了解到当该服装厂生产的一种衣服日产量为SKIPIF1<0件时，售价为SKIPIF1<0元/件，且满足SKIPIF1<0，每天的成本合计为SKIPIF1<0元，请你帮他计算日产量为___________件时，获得的日利润最大，最大利润为___________万元.【答案】2007.94【详解】由题意易得日利润SKIPIF1<0，故当日产量为200件时，获得的日利润最大，最大利润为7.94万元，故答案为：200，7.94.【典例2】（2023秋·广东·高三统考学业考试）某商店试销一种成本单价为40元/件的新产品，规定试销时的销售单价不低于成本单价，又不高于80元/件，经试销调查，发现销售量SKIPIF1<0（件）与销售单价SKIPIF1<0（元/件）可近似看作一次函数SKIPIF1<0的关系．设商店获得的利润（利润SKIPIF1<0销售总收入SKIPIF1<0总成本）为SKIPIF1<0元．（1）试用销售单价SKIPIF1<0表示利润SKIPIF1<0；（2）试问销售单价定为多少时，该商店可获得最大利润？最大利润是多少？此时的销售量是多少？【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）当销售单价为70元/件时，可获得最大利润900元，此时销售量是30件．【详解】（1）SKIPIF1<0SKIPIF1<0.（2）SKIPIF1<0，∴当销售单价为70元/件时，可获得最大利润900元，此时销售量是30件．【典例3】（2023·全国·高三专题练习）某企业生产SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两种产品，根据市场调查与预测，SKIPIF1<0产品的利润SKIPIF1<0与投资SKIPIF1<0成正比，其关系如图（1）所示；SKIPIF1<0产品的利润SKIPIF1<0与投资SKIPIF1<0的算术平方根成正比，其关系如图（2）所示（注：利润SKIPIF1<0和投资SKIPIF1<0的单位均为万元）．图（1）

图（2）（1）分别求SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两种产品的利润SKIPIF1<0关于投资SKIPIF1<0的函数解析式．（2）已知该企业已筹集到18万元资金，并将全部投入SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两种产品的生产．①若平均投入两种产品的生产，可获得多少利润？②如果你是厂长，怎样分配这18万元投资，才能使该企业获得最大利润？其最大利润为多少万元？【答案】(1)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0;(2)SKIPIF1<0当SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两种产品分别投入2万元，16万元时，可使该企业获得最大利润，最大利润为SKIPIF1<0万元．【详解】（1）设投资为SKIPIF1<0万元（SKIPIF1<0），SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两种产品所获利润分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0万元，由题意可设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是不为零的常数．所以根据图象可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（2）①由（1）得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以总利润为SKIPIF1<0万元．②设SKIPIF1<0产品投入SKIPIF1<0万元，SKIPIF1<0产品投入SKIPIF1<0万元，该企业可获总利润为SKIPIF1<0万元，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．SKIPIF1<0当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，此时SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．SKIPIF1<0当SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两种产品分别投入2万元，16万元时，可使该企业获得最大利润，最大利润为SKIPIF1<0万元．【变式1】（2023秋·辽宁丹东·高一丹东市第四中学校考期末）食品安全问题越来越引起人们的重视，农药、化肥的滥用对人民群众的健康带来一定的危害，为了给消费者带来放心的蔬菜，某农村合作社每年投入200万元，搭建了甲、乙两个无公害蔬菜大棚，每个大棚至少要投入20万元，其中甲大棚种西红柿，乙大棚种黄瓜，根据以往的种菜经验，发现种西红柿的年收入SKIPIF1<0、种黄瓜的年收入SKIPIF1<0与投SKIPIF1<0(单位：万元)满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．设甲大棚的投入为SKIPIF1<0(单位：万元)，每年两个大棚的总收入为SKIPIF1<0(单位：万元)．（1）求SKIPIF1<0的值；（2）试问如何安排甲、乙两个大棚的投入，才能使总收入SKIPIF1<0最大？【答案】（1）277.5；（2）投入甲大棚128万元，乙大棚72万元时，总收入最大．【详解】（1）若投入甲大棚50万元，则投入乙大棚150万元，所以f(50)＝80＋4SKIPIF1<0＋SKIPIF1<0×150＋120＝277.5．（2）由题知，f(x)＝80＋4SKIPIF1<0＋SKIPIF1<0(200－x)＋120＝－SKIPIF1<0x＋4SKIPIF1<0＋250，依题意得SKIPIF1<0解得20≤x≤180，故f(x)＝－SKIPIF1<0x＋4SKIPIF1<0＋250(20≤x≤180)．令t＝SKIPIF1<0，则t2＝x，t∈[2SKIPIF1<0，6SKIPIF1<0]，y＝－SKIPIF1<0t2＋4SKIPIF1<0t＋250＝－SKIPIF1<0(t－8SKIPIF1<0)2＋282，当t＝8SKIPIF1<0，即x＝128时，y取得最大值282，所以投入甲大棚128万元，乙大棚72万元时，总收入最大，且最大收入为282万元．【变式2】（2023秋·山东济宁·高一校考期末）某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量SKIPIF1<0（单位：千克）与销售单价SKIPIF1<0（单位：元/千克）满足关系式SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为常数，已知销售单价为SKIPIF1<0元/千克时，每日可售出该商品SKIPIF1<0千克.（1）求SKIPIF1<0的值；（2）若该商品的进价为SKIPIF1<0元/千克，试确定销售单价SKIPIF1<0的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大，并求出利润的最大值.【答案】（1）SKIPIF1<0（2）当SKIPIF1<0时，函数SKIPIF1<0取得最大值，且最大值等于440.【详解】（1）因为SKIPIF1<0.且SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0解得.SKIPIF1<0.（2）由（1）可知，该商品每日的销售量SKIPIF1<0.

所以商场每日销售该商品所获得的利润：SKIPIF1<0

SKIPIF1<0因为SKIPIF1<0为二次函数，且开口向上，对称轴为SKIPIF1<0.所以，当SKIPIF1<0时，函数SKIPIF1<0取得最大值，且最大值等于440.

所以当销售价格定为6元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大，最大利润为440元.题型03分段函数模型的应用【典例1】（2023·全国·高三专题练习）某乡镇响应“绿水青山就是金山银山”的号召，因地制宜的将该镇打造成“生态水果特色小镇”．经调研发现：某珍惜水果树的单株产量SKIPIF1<0(单位：千克)与施用肥料SKIPIF1<0(单位：千克)满足如下关系：SKIPIF1<0，肥料成本投入为SKIPIF1<0元，其它成本投入(如培育管理、施肥等人工费)SKIPIF1<0元．已知这种水果的市场售价大约15元/千克，且销售畅通供不应求，记该水果单株利润为SKIPIF1<0(单位：元)(1)写单株利润SKIPIF1<0(元)关于施用肥料SKIPIF1<0(千克)的关系式；(2)当施用肥料为多少千克时，该水果单株利润最大？最大利润是多少？【答案】(1)SKIPIF1<0；(2)4千克，480元﹒【详解】（1）依题意SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．（2）当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，开口向上，对称轴为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减，在SKIPIF1<0上单调递增，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的最大值为SKIPIF1<0．当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0时，即SKIPIF1<0时等号成立．∵SKIPIF1<0，∴当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0．∴当投入的肥料费用为40元时，种植该果树获得的最大利润是480元．【典例2】（2023春·山东聊城·高二山东聊城一中校联考阶段练习）某企业为进一步增加市场竞争力，计划在2023年利用新技术生产某款新手机，通过市场调研发现，生产该产品全年需要投入研发成本250万元，每生产SKIPIF1<0（千部）手机，需另外投入成本SKIPIF1<0万元，其中SKIPIF1<0，已知每部手机的售价为5000元，且生产的手机当年全部销售完.(1)求2023年该款手机的利润SKIPIF1<0关于年产量SKIPIF1<0的函数关系式；(2)当年产量SKIPIF1<0为多少时，企业所获得的利润最大？最大利润是多少？【答案】(1)SKIPIF1<0(2)当年产量为52（千部）时，企业所获利润最大，最大利润是5792万元.【详解】（1）当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时,SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.（2）当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0,∴当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时,SKIPIF1<0,当且仅当SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，因此当年产量为52（千部）时，企业所获利润最大，最大利润是5792万元.【典例3】（2023春·四川绵阳·高一校考开学考试）对口帮扶是我国一项重要的扶贫开发政策，在对口扶贫工作中，某生态基地种植某中药材的年固定成本为250万元，每产出SKIPIF1<0吨需另外投入可变成本SKIPIF1<0万元，已知SKIPIF1<0，通过市场分析，该中药材可以每顿50万元的价格全面售完，设基地种植该中药材年利润（利润SKIPIF1<0销售额SKIPIF1<0成本）为SKIPIF1<0万元，当基底产出该中药材40吨时，年利润为190万元.SKIPIF1<0(1)年利润SKIPIF1<0（单位：万元）关于年产量SKIPIF1<0（单位：吨）的函数关系式；(2)当年产量为多少时（精确到0.1吨），所获年利润最大？最大年利润是多少（精确到0.1吨）？【答案】(1)SKIPIF1<0(2)当年产量为84.1吨时，最大年利润是451.3万元.【详解】（1）当基底产出该中药材40吨时，年成本为SKIPIF1<0万元，利润为SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.（2）当SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，对称轴为SKIPIF1<0，则函数在SKIPIF1<0，SKIPIF1<0上单调递增，故当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0，SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0当且仅当SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0时取等号，因为SKIPIF1<0，所以当年产量为84.1吨时，所获年利润最大，最大年利润是451.3万元.【变式1】（2023秋·广东·高三统考学业考试）吉祥物“冰墩墩”在北京2022年冬奥会强势出圈，并衍生出很多不同品类的吉祥物手办．某企业承接了“冰墩墩”玩具手办的生产，已知生产此玩具手办的固定成本为200万元．每生产SKIPIF1<0万盒，需投入成本SKIPIF1<0万元，当产量小于或等于50万盒时SKIPIF1<0；当产量大于50万盒时SKIPIF1<0，若每盒玩具手办售价200元，通过市场分析，该企业生产的玩具手办可以全部销售完（利润＝售价－成本，成本＝固定成本＋生产中投入成本）(1)求“冰墩墩”玩具手办销售利润SKIPIF1<0（万元）关于产量SKIPIF1<0（万盒）的函数关系式；(2)当产量为多少万盒时，该企业在生产中所获利润最大？【答案】(1)SKIPIF1<0(2)70万盒【详解】（1）当产量小于或等于50万盒时，SKIPIF1<0，当产量大于50万盒时，SKIPIF1<0，故销售利润SKIPIF1<0（万元）关于产量SKIPIF1<0（万盒）的函数关系式为SKIPIF1<0（2）当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0取到最大值，为1200．

因为SKIPIF1<0，所以当产量为70万盒时，该企业所获利润最大．【变式2】（2023·高一课时练习）某电子公司生产某种智能手环，其固定成本为2万元，每生产一个智能手环需增加投入100元，已知总收入SKIPIF1<0（单位：元）关于日产量SKIPIF1<0（单位：个）满足函数：SKIPIF1<0.(1)将利润SKIPIF1<0（单位：元）表示成日产量SKIPIF1<0的函数；(2)当日产量SKIPIF1<0为何值时，该电子公司每天所获利润最大，最大利润是多少？（利润＋总成本＝总收入）【答案】(1)SKIPIF1<0(2)当月产量为300台时，公司获得的月利润最大，其值为25000元【详解】（1）根据题意，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.（2）当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，所以当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，易知SKIPIF1<0是减函数，所以SKIPIF1<0；综上：当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，所以，当月产量为300台时，公司获得的月利润最大，其值为25000元.【变式3】（2023秋·山东菏泽·高一统考期末）世界范围内新能源汽车的发展日新月异，电动汽车主要分三类：纯电动汽车、混合动力电动汽车和燃料电池电动汽车.这3类电动汽车目前处在不同的发展阶段，并各自具有不同的发展策略.中国的电动汽车革命也早已展开，以新能源汽车替代汽（柴）油车，中国正在大力实施一项将重新塑造全球汽车行业的计划.2022年某企业计划引进新能源汽车生产设备，通过市场分析，全年需投入固定成本2000万元，每生产SKIPIF1<0（百辆），需另投入成本SKIPIF1<0（万元），且SKIPIF1<0；已知每辆车售价5万元，由市场调研知，全年内生产的车辆当年能全部销售完.(1)求出2022年的利润SKIPIF1<0（万元）关于年产量SKIPIF1<0（百辆）的函数关系式；(2)2022年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润.【答案】(1)SKIPIF1<0;(2)100（百辆），2300万元.【详解】（1）由题意知利润SKIPIF1<0收入-总成本，所以利润SKIPIF1<0,故2022年的利润SKIPIF1<0（万元）关于年产量x（百辆）的函数关系式为SKIPIF1<0.（2）当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，故当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0,当且仅当SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0时取得等号；综上所述，当产量为100（百辆）时，取得最大利润，最大利润为2300万元．题型04利用对钩函数求最值或值域【典例1】（2023春·江苏镇江·高二统考期中）喝酒不开车，开车不喝酒.若某人饮酒后，欲从相距SKIPIF1<0的某地聘请代驾司机帮助其返程.假设当地道路限速SKIPIF1<0.油价为每升8元，当汽车以SKIPIF1<0的速度行驶时，油耗率为SKIPIF1<0.已知代驾司机按每小时56元收取代驾费，试确定最经济的车速，使得本次行程的总费用最少，并求最小费用.【答案】最经济的车速为SKIPIF1<0时，使得本次行程的总费用最少为SKIPIF1<0元.【详解】设汽车以SKIPIF1<0行驶时，开车时间为SKIPIF1<0小时，则代驾费用为SKIPIF1<0，油耗为SKIPIF1<0，则总费用SKIPIF1<0SKIPIF1<0，由对勾函数的性质知，函数在SKIPIF1<0单调递减，在SKIPIF1<0上单调递增，因为SKIPIF1<0，所以当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0取到最小值，最小值为SKIPIF1<0.最经济的车速为SKIPIF1<0时，使得本次行程的总费用最少为SKIPIF1<0元.【典例2】（2023·福建福州·高一校联考期中）定义：设函数SKIPIF1<0的定义域为SKIPIF1<0，若存在实数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，对任意的实数SKIPIF1<0，有SKIPIF1<0，则称函数SKIPIF1<0为有上界函数，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的一个上界；若SKIPIF1<0，则称函数SKIPIF1<0为有下界函数，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的一个下界．(1)写出一个定义在R上且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的函数解析式；(2)若函数SKIPIF1<0在(0，1)上是以SKIPIF1<0为上界的有界函数，求实数SKIPIF1<0的取值范围；(3)某同学在研究函数SKIPIF1<0单调性时发现该函数在SKIPIF1<0与SKIPIF1<0具有单调性，①请直接写出函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的单调性；②若函数SKIPIF1<0定义域为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是函数SKIPIF1<0的下界，请利用①的结论，求SKIPIF1<0的最大值SKIPIF1<0.【答案】(1)SKIPIF1<0（答案不唯一，如SKIPIF1<0）(2)SKIPIF1<0(3)①SKIPIF1<0为减函数，SKIPIF1<0为增函数；②

SKIPIF1<0【详解】（1）SKIPIF1<0，的值域为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的一个上界为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的一个下界为SKIPIF1<0.答案不唯一，如SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的值域为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的一个上界为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的一个下界为SKIPIF1<0.（2）依题得对任意SKIPIF1<0，SKIPIF1<0恒成立，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0在SKIPIF1<0为单调递减，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0实数SKIPIF1<0的取值范围为SKIPIF1<0.（3）①由对勾函数的性质知，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0为减函数，SKIPIF1<0为增函数②SKIPIF1<0，由①知，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0为减函数，在SKIPIF1<0为增函数，当SKIPIF1<0即SKIPIF1<0时，由①知SKIPIF1<0为减函数，SKIPIF1<0，m是SKIPIF1<0的一个下界，SKIPIF1<0，

当SKIPIF1<0即SKIPIF1<0，由①知SKIPIF1<0为增函数，SKIPIF1<0，m是SKIPIF1<0的一个下界，SKIPIF1<0

当SKIPIF1<0即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0时等号成立，m是SKIPIF1<0的一个下界，SKIPIF1<0.

综上所述：SKIPIF1<0,【典例3】（2023秋·上海徐汇·高一上海中学校考期末）设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的两个非空子集，如果函数SKIPIF1<0满足：①SKIPIF1<0；②对任意SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，恒有SKIPIF1<0，那么称函数SKIPIF1<0为集合SKIPIF1<0到集合SKIPIF1<0的“保序同构函数”.(1)写出集合SKIPIF1<0到集合SKIPIF1<0且SKIPIF1<0的一个保序同构函数（不需要证明）；(2)求证：不存在从整数集SKIPIF1<0的到有理数集SKIPIF1<0的保序同构函数；(3)已知存在正实数SKIPIF1<0和SKIPIF1<0使得函数SKIPIF1<0是集合SKIPIF1<0到集合SKIPIF1<0的保序同构函数，求实数SKIPIF1<0的取值范围和SKIPIF1<0的最大值（用SKIPIF1<0表示）.【答案】(1)SKIPIF1<0(2)见解析(3)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的最大值为SKIPIF1<0【详解】（1）SKIPIF1<0（2）假设存在一个从集合SKIPIF1<0到集合SKIPIF1<0的“保序同构函数”，由“保序同构函数”的定义可知，集合SKIPIF1<0和集合SKIPIF1<0中的元素必须是一一对应的，不妨设整数0和1在SKIPIF1<0中的像分别为SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，根据保序性，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0也是有理数，但是SKIPIF1<0没有确定的原像，因为0和1之间没有另外的整数了，故假设不成立，故不存在从集合SKIPIF1<0到集合SKIPIF1<0的“保序同构函数”；（3）SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0是集合SKIPIF1<0到集合SKIPIF1<0的保序同构函数，则SKIPIF1<0在SKIPIF1<0单调递增，且SKIPIF1<0当SKIPIF1<0时，即SKIPIF1<0，函数SKIPIF1<0单调递增，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0单调递减，这与SKIPIF1<0均为单调递增函数，则SKIPIF1<0单调递增相矛盾，故SKIPIF1<0不成立，舍去，当SKIPIF1<0时，由对勾函数性质可知：当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0单调递增，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0单调递减，且当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0取最小值SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0在SKIPIF1<0单调递增，所以SKIPIF1<0是SKIPIF1<0到集合SKIPIF1<0的保序同构函数，则SKIPIF1<0，此时SKIPIF1<0当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，不满足SKIPIF1<0是SKIPIF1<0到集合SKIPIF1<0的保序同构函数，综上，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的最大值为SKIPIF1<0【变式1】（2023·高一课时练习）现在网络购物方便快捷，得益于快递行业的快速发展，根据大数据统计，某条快递线路运行时，发车时间间隔t（单位：分钟）满足：SKIPIF1<0，平均每趟快递车辆的载件个数SKIPIF1<0（单位：个）与发车时间间隔t近似地满足SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0．(1)若平均每趟快递车辆的载件个数不超过1500个，试求发车时间间隔t的值；(2)若平均每趟快递车辆每分钟的净收益SKIPIF1<0（单位：元），问当发车时间间隔t为多少时，平均每趟快递车辆每分钟的净收益最大？并求出最大净收益．【答案】(1)4(2)7分钟时，280（元）【详解】（1）当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，不满足题意，舍去，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．解得SKIPIF1<0（舍）或SKIPIF1<0．SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．所以发车时间间隔为4分钟．（2）由题意可得SKIPIF1<0当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0（元）当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0（元）所以发车时间间隔为7分钟时，净收益最大为280（元）．【变式2】（2022秋·广东深圳·高一深圳市龙岗区龙城高级中学校考期中）某工厂为提升品牌知名度进行促销活动，需促销费用SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0为常数SKIPIF1<0万元，计划生产并销售某种文化产品SKIPIF1<0万件SKIPIF1<0生产量与销售量相等SKIPIF1<0已知生产该产品需投入成本费用SKIPIF1<0万元SKIPIF1<0不含促销费用SKIPIF1<0，产品的促销价格定为SKIPIF1<0元/件.(1)将该产品的利润SKIPIF1<0万元表示为促销费用SKIPIF1<0万元的函数；（注：利润SKIPIF1<0销售额SKIPIF1<0投入成本SKIPIF1<0促销费用）(2)当促销费用投入多少万元时，此工厂所获得的利润最大？最大利润为多少？【答案】(1)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0(2)当SKIPIF1<0时，当促销费用投入SKIPIF1<0万元时，此工厂所获得的利润最大，最大利润为SKIPIF1<0万元；当SKIPIF1<0时，当促销费用投入SKIPIF1<0万元时，此工厂所获得的利润最大，最大利润为SKIPIF1<0万元.【详解】（1）由题意得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；（2）由（1）得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0时等号成立，由对勾函数的性质可知：当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，∴当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0时等号成立，综上所述，当SKIPIF1<0时，当促销费用投入SKIPIF1<0万元时，此工厂所获得的利润最大，最大利润为SKIPIF1<0万元；当SKIPIF1<0时，当促销费用投入SKIPIF1<0万元时，此工厂所获得的利润最大，最大利润为SKIPIF1<0万元.题型05利用对钩函数解决恒成立（能成立）问题【典例1】（2023·高一单元测试）已知函数SKIPIF1<0．(1)写出函数SKIPIF1<0的定义域及奇偶性；(2)请判断函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的单调性，并用定义证明在SKIPIF1<0上的单调性；(3)当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0恒成立，求实数SKIPIF1<0的取值范围．【答案】(1)定义域为SKIPIF1<0，奇函数(2)单调递减，证明见解析(3)SKIPIF1<0(1)函数SKIPIF1<0的定义域为SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0为奇函数；(2)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0内单调递减．下面证明：任取SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0因为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．因此，函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上是单调减函数；(3)由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0恒成立．由SKIPIF1<0知，函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0为减函数SKIPIF1<0

SKIPIF1<0当SKIPIF1<0取得最小值SKIPIF1<0因此，实数a的取值范围是SKIPIF1<0．【典例2】（2023·浙江杭州·高一杭师大附中校考期中）对于函数SKIPIF1<0,存在实数SKIPIF1<0,使SKIPIF1<0,成立,则称SKIPIF1<0为SKIPIF1<0关于参数SKIPIF1<0的不动点.(1)当SKIPIF1<0,SKIPIF1<0时,求SKIPIF1<0关于参数1的不动点;(2)当SKIPIF1<0,SKIPIF1<0时,函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上存在两个关于参数SKIPIF1<0的相异的不动点,试求参数SKIPIF1<0的取值范围;【答案】(1)SKIPIF1<0和3(2)SKIPIF1<0(3)SKIPIF1<0【详解】（1）当SKIPIF1<0时,SKIPIF1<0令SKIPIF1<0,可得SKIPIF1<0即SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0当SKIPIF1<0时,SKIPIF1<0关于参数1的不动点为SKIPIF1<0和3（2）由已知得SKIPIF1<0在SKIPIF1<0,SKIPIF1<0上有两个不同解,即SKIPIF1<0在SKIPIF1<0,SKIPIF1<0上有两个不同解,令SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,解得:SKIPIF1<0．【典例3】（2023·广西玉林·高一统考期中）已知函数SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0.(1)求函数SKIPIF1<0的解析式；(2)对任意的实数SKIPIF1<0，都有SKIPIF1<0恒成立，求实数SKIPIF1<0的取值范围.【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0(1)由SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0.(2)由SKIPIF1<0SKIPIF1<0，即：SKIPIF1<0，又因为：SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，则：SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0在SKIPIF1<0为减函数，在SKIPIF1<0为增函数.∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，即：SKIPIF1<0.【变式1】（2023·浙江·高一浙江省龙游中学校联考期中）设函数SKIPIF1<0.(1)若SKIPIF1<0的解集与不等式SKIPIF1<0的解集相同，求函数SKIPIF1<0的解析式；(2)令SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0恒成立，求实数SKIPIF1<0的取值范围；(3)若不等式SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上无解，试求SKIPIF1<0､SKIPIF1<0均为整数的所有的实数对SKIPIF1<0.【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0(3)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0(1)解：SKIPIF1<0的解集是SKIPIF1<0SKIPIF1<0的两个根为2和3，则SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0故SKIPIF1<0(2)解：令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0恒成立，即SKIPIF1<0恒成立，由SKIPIF1<0故SKIPIF1<0，因为对勾函数SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上单调递增，所以函数SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上单调递减，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.(3)解：若不等式SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上无解，则必须满足SKIPIF1<0即SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0函数SKIPIF1<0图象的对称轴在区间SKIPIF1<0上SKIPIF1<0还需满足SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0于是SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0SKIPIF1<0不存在；当SKIPIF1<0时，同理得SKIPIF1<0或4；当SKIPIF1<0时，c不存在，综上可知：满足条件的实数对有SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.【变式2】（2023·辽宁铁岭·高一昌图县第一高级中学校考期中）1.已知SKIPIF1<0．(1)如果方程SKIPIF1<0在SKIPIF1<0有两个根，求实数SKIPIF1<0的取值范围；(2)如果SKIPIF1<0，SKIPIF1<0成立，求实数SKIPIF1<0的取值范围．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0(1)SKIPIF1<0的对称轴为SKIPIF1<0要想方程SKIPIF1<0在SKIPIF1<0有两个根，需要满足SKIPIF1<0解得：SKIP