辽宁省恒仁满族自治县第二高级中学2024-2025学年高二数学上学期期末考试试题

PAGEPAGE7辽宁省恒仁满族自治县其次高级中学2024-2025学年高二数学上学期期末考试试题满分150分考试时间120分钟一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设点A在x轴上，点B在y轴上，的中点是，则等于（）A．5 B． C． D．【答案】C【解析】设A(x,0)、B(0，y)，由中点公式得x＝4，y＝－2，则由两点间的距离公式得|AB|＝2．经过与两点的直线的方程为（）A． B． C． D．【答案】B【解析】由两点的坐标可知，直线与轴平行，所以直线的方程为.3．在空间中，设，为两条不同直线，，为两个不同平面，则下列命题正确的是A．若且，则B．若，，，则C．若且，则D．若不垂直于，且，则必不垂直于【答案】C【解析】解：由m，n为两条不同直线，α，β为两个不同平面，知：在A中，若m∥α且α∥β，则m∥β或m⊂β，故A错误；在B中，若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m与n相交、平行或异面，故B错误；在C中，若m⊥α且α∥β，则由线面垂直的判定定理得m⊥β，故C正确；在D中，若m不垂直于α，且n⊂α，则m有可能垂直于n，故D错误．故选：C．4．已知过点P(2,2)的直线与圆相切,且与直线垂直,则（）A． B．1 C．2 D．【答案】C【解析】设过点的直线的斜率为，则直线方程，即，由于和圆相切，故，得，由于直线与直线，因此，解得，故答案为C.5．已知圆，圆QUOTEC2:x2+y2A．相交B．内切C．外切D．外离【答案】D【解析】将两圆方程分别化为标准式得到圆QUOTEC1:(x-m)2+y2=4;圆C2C16．已知正方体的棱长为，点为棱中点，则过点与垂直的平面截正方体所得的截面面积为（）A． B． C． D．【答案】C【解析】过点与垂直的平面被正方体截得的截面是以中点为顶点，边长为的正六边形，平面，面平面平面，平面，且面积为，故选：C.7.如图，三棱锥A－BCD中，AB⊥底面BCD，BC⊥CD，且AB=BC=1，CD=2，点E为CD的中点，则AE的长为A. B. C. D.【答案】B【解析】【详解】连AE,∵△CBD是等腰Rt△,∴BE⊥CD且BE=1，AB⊥底面BCD,∴AB⊥BE，由勾股定理，，AE.故选：B．8、在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是BB1的中点，若，则点B到平面ACE的距离等于（）A. B. C. D.3故选：B．二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.9．已知A(m，3)，B(2m，m+4)，C(m+1，2)，D(1，0)，且直线AB与直线CD平行，则m的值为()A．1B．0C．2D．-1【答案】AB【解析】当AB与CD斜率均不存在时，故得m=0，此时两直线平行；此时AB∥CD，当kAB=kCD时，，得到m=1，此时AB∥CD.故选AB．10.等腰直角三角形ABC中，∠C＝90°，若点A，C的坐标分别为(0,4)，(3,3)，则点B的坐标可能是()A．(6,4) B．(2,0) C．(4,6) D．(0,2)【答案】BC11.在平面直角坐标系中，圆的方程为.若直线上存在一点，使过所作的圆的两条切线相互垂直，则实数的取可以是()A． B． C． D．【答案】AB【解析】，所作的圆的两条切线相互垂直，所以，圆点，两切点构成正方形即，在直线上，圆心距，计算得到，故答案选AB12．如图，设，分别是正方体的棱上两点，且，，其中正确的命题为（）A.三棱锥的体积为定值B.异面直线与所成的角为C.平面D.直线与平面所成的角为【答案】AD【解析】【分析】A.利用，三棱锥的体积为定值，正确B.利用平移法找异面直线所成的角，，和所成的角为，所以异面直线与所成的角为，故B错误C.若平面，则线与所成的角为，而异面直线与所成的角为，故C错误D，建立坐标系，用向量坐标法求解，先求出平面的一个法向量，再求平面的一个法向量和的方向向量的夹角，正确【详解】解：对于A，故三棱锥的体积为定值，故A正确对于B，，和所成的角为，异面直线与所成的角为，故B错误对于C，若平面，则直线，即异面直线与所成的角为，故C错误对于D，以为坐标原点，分布以为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，设，则，，设平面的法向量为则，即令，则所以直线与平面所成的角为，正确故选：AD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.16题第一空2分，其次空3分13、已知点A（x,5）关于点（1，y）的对称点是（-2，-3），则点P（x，y）到原点的距离是.【答案】14．若直线的倾斜角是，则实数是_______________.【答案】【解析】因为直线的倾斜角是，所以直线的斜率为，因此或（舍）15．已知矩形ABCD中，AB＝1，BC＝eq\r(3)，将矩形ABCD沿对角线AC折起，使平面ABC与平面ACD垂直，则B与D之间的距离为________．【答案】eq\f(\r(10),2)16、已知直线与圆交于A、B两点，直线垂直平分弦AB，则m的值为____________，弦AB的长为____________.16、，四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17题10分18—22题每题12分17.已知直线l过点P(4,1),(1)若直线l过点Q(-1,6),求直线l的方程;(2)若直线l在y轴上的截距是在x轴上的截距的2倍,求直线l的方程.【解析】(1)∵直线l过点P(4,1),Q(-1,6),所以直线l的方程为y-16-1=(2)由题意知,直线l的斜率存在且不为0,所以设直线l的斜率为k,则其方程为y-1=k(x-4).令x=0得,y=1-4k;令y=0得,x=4-.∴1-4k=24--1k,解得k=或k=-2.∴直线l的方程为y-1=(x-4)或y-1=-2(x-4),即y=x或2x+y-9=0.18．在直角坐标系中，已知圆与直线相切，（1）求实数的值；（2）过点的直线与圆交于､两点，假如，求.【详解】解:（1）圆的方程可化为，圆心，半径，其中，因为圆与直线相切，故圆心到直线的距离等于半径，即，解得；（2）当直线斜率不存在时，其方程为，此时圆心到直线的距离，由垂径定理，，不合题意；故直线斜率存在，设其方程为，即，圆心到直线的距离，由垂径定理，，即，解得，故直线的方程为，代入圆的方程，整理得，解得，，于是，，这里，)，所以.19.在平面直角坐标中，圆与圆相交与两点．（I）求线段的长．（II）记圆与轴正半轴交于点，点在圆C上滑动，求面积最大时的直线的方程．【解析】（I）由圆O与圆C方程相减可知，相交弦PQ的方程为．点（0，0）到直线PQ的距离，（Ⅱ），.当时，取得最大值．此时，又则直线NC为．由，或当点时，，此时MN的方程为．当点时，，此时MN的方程为．∴MN的方程为或．20．如图，在直三棱柱ABC­A1B1C1中，∠ABC＝eq\f(π,2)，D是棱AC的中点，且AB＝BC＝BB1＝2．(1)求证：AB1∥平面BC1D；(2)求异面直线AB1与BC1所成的角．[解](1)证明：如图，连接B1C交BC1于点O，连接OD．因为O为B1C的中点，D为AC的中点，所以OD∥AB1．因为AB1⊄平面BC1D，OD⊂平面BC1D，所以AB1∥平面BC1D．(2)建立如图所示的空间直角坐标系B­xyz，则B(0,0,0)，A(0,2,0)，C1(2,0,2)，B1(0,0,2)，因此eq\o(AB1,\s\up7(→))＝(0，－2,2)，eq\o(BC1,\s\up7(→))＝(2,0,2)．所以cos〈eq\o(AB1,\s\up7(→))，eq\o(BC1,\s\up7(→))〉＝eq\f(\o(AB1,\s\up7(→))·\o(BC1,\s\up7(→)),|\o(AB1,\s\up7(→))||\o(BC1,\s\up7(→))|)＝eq\f(0＋0＋4,2\r(2)×2\r(2))＝eq\f(1,2)，设异面直线AB1与BC1所成的角为θ，则cosθ＝eq\f(1,2)，由于θ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，故θ＝eq\f(π,3)．21．如图所示，在梯形中，∥，⊥，，⊥平面，⊥．（1）证明：⊥平面；（2）若，求点到平面的距离．【解析】（1）证明：∵⊥平面，平面，∴⊥.又⊥，，平面，平面，∴⊥平面.（2）由已知得，所以且由（1）可知，由勾股定理得∵平面∴=，且∴，由，得∴即点到平面的距离为22．如图所示，正四棱锥中，为底面正方形的中心，侧棱与底面所成的角的正切值为．（1）求侧面与底面所成的二面角的大小；（2）若是的中点，求异面直线与所成角的正切值；（3）问在棱上是否存在一点，使⊥侧面，若存在，试确定点的位置