北师大版九年级数学上册全册教案教学设计

第六章反比例函数

6.1反比例函数

教学目标：

1.从现实情境和已有的知识经验出发，理解两个变量之间的相依关系，

加深对函数概念的理解。

2.经历抽象反比例函数概念的进程，领会反比例函数的意义，理解反比

例函数的概念。

3.能根据实际问题中的条件确定反比例函数解析式，体会函数的模型思

想。

教学重点：理解和领会反比例函数的概念，能根据已知条件写出函数解析

式。

教学难点：例1涉及科学学科知识，学生理解问题时有一定的困难。

教材分析：函数是在探索具体问题中数量关系和变化规律的基础上抽象出

的数学概念，是研究现实世界变化规律的重要数学模型。在前面已学习过

“变化之间的关系”和“一次函数”等内容，对函数已经有了初步的认

识，在此基础上讨论反比例函数可以进一步领悟函数的概念，为后续学习

产生积极的影响。教材以有趣的数学生活实例，让学生通过讨论合作的方

式，理解反比例函数的概念，培养学生函数的数学思想，为学生能更好地

“用数学”打下基础。关键信息：1、关注学生的学习过程，让学生经

历抽象反比例函数概念的过程。2、数学来源于生活，又服务于生活，

引导学生将所学的知识用于生活中，培养学生运用数学解决实际问题的能

力。3、学生分小组探究结论，培养学生的团队精神，合作意识，同时

让学生自己叙述探究的结果，提高学生的表达能力，从而提高其学习的积

极性。

学情分析：学生的年龄特点和认知特点此阶段学生有比较强烈的自我

发展意识。本节课让学生在做中探索，在做中感悟，在做中收获，老师可

以尽可能的让学生在这些活动中表现自我，发展自我，从而感受数学的丰

富多样，让学生尽情的去做探索者，研究者，挑战自己，展示自己。本节

课通过对具体情景的分析，概括出反比例函数的概念。通过例题和举例可

以丰富对函数的认识，理解反比例函数的意义。

教学过程设计：

一、复习导入：

1.矩形的长为6,宽y和面积x之间的关系为

2.矩形的面积为6,一边长y和另一边长x之间的关系为

在小学里我们已经学过，如果两个变量的积是一个不为零的常数，

我们就说这两个变量成反比例.（通过复习正比例函数，类比着学习反比

例函数，揭示课题，板书课题：6.1反比例函数（1））

二、新课教学：

（一）、思考并回答下面的问题：

1.北京到杭州的铁路线长为1661km.一列火车从北京开往杭州，记火车全

程的行驶时间为x（h）,火车行驶的平均速度为y（km/h）,请填写下表。

x(h>12。15~17。22。

y(km.hApAA87.4^A

问：y与x成什么比例关系？

1662

能用一个数学解析式表示吗？‘一下

2.学校课外生物小组的同学准备自己动手，用旧围栏建一个面积为24平

方米的矩形饲养场.设它的一边长为x（米），则另一边的长y（米）与x

的函数关系式为______.

上述函数表达式都具有什么特点？

尸与侬常数,

上,0）

归纳：我们把函数x叫做反比例函数。

这里x是自变量，y是x的函数，k叫做比例系数。

注意:

注意：J常数#H0

修自变量X不能为零（因为分母为零时，该分式无意义），

Wxy=如

§当力，=-可以写成v=2'时注意x的指数为-i<

X

（二）、巩固练习

1、说一说：你能举出生活中反比例函数的例子吗？（同桌互相各举一

例，并写出自己所举例子的反比例函数解析式）

2、练习1：辩一辩

下列函数中，y是x的反比例函数吗？如果是，比例系数k是多少？

(1).1，=—(2)个=VI

X

(3).F=y(4)j=-3x-1

(6)y.

⑸八一2x—3

练习2：（课本P138课内练习2）

2.设面积为10cm。的三角形的一条边长为（cm）,这条边上的高线长为

h（cm）.

（1）求h关于的函数表达式和自变量的取值范围.

（2）h关于的函数是不是反比例函数？如果是，说出它的比例系数.

（3）求当边长=2.5cm时，这条边上的高线长.

（三）、例题教学

如图，阻力为1000N,阻力臂长为5cm.设动力为y（N）,动力臂长为

x（cm）（图中杠杆本身所受重力略去不计.杠杆平衡时，动力义动力臂=阻力

X阻力臂）.

曲KJi

匕动力博企Ki商------

（1）求y关于x的函数表达式.这个函数是反比例函数吗？如果是，说出比

例系数；

（2）求当*=50时-，函数y的值，并说明这个值的实际意义；

（3）利用y关于x的函数表达式，说明当动力臂长扩大到原来的n（n>l）

倍时，所需动力将怎样变化？

1

想一想：利用y关于x的函数解析式，说明当动力臂长缩小到原来的三,

那么所需动力将怎样变化？

（四）、拓展提升

（x+J，F=x2+y2-2

1、已知变量x,y满足关系式：

问x,y是否成反比例？请说明理由.（课本P139B组6）

2、已知函数‘''，当m=时，

它是正比例函数；当m=时，它是反比例函数.

三、课堂小结：

本节课我们学习了反比例函数的定义，并归纳总结出反比例函数的表达

式。

），=£（2左0的常数）

知识点：x

思想方法：（1）从特殊到一般；

（2）数形结合；

（3）分类讨论。

四、作业布置：

1、基础作业：作业本《6.1反比例函数（1）》；

2、预习作业：预习书本《6.1反比例函数（2）》；

3、收集整理生活中具有反比例函数应用的实例。

板书设计：6.1反比例函数

多■,L定义。例题1P

形如,T=£（上H0的常数）的函数叫做反

X

比例函数。，

媒"

注意点：①xxO,

d2其.他形式，练习。

y=kxx,xy=k*-'

体。

3本.质：两个变量的乘积等于一个不为零

的常教J

2.反比例函数的图象与性质

一、教学目标

（一）知识目标：

1.进一步熟悉作函数图象的主要步骤，会作反比例函数的图象.

2.体会函数的三种表示方法的互相转换.对函数进行认识上的整合.

3.逐步提高从函数图象中获取信息的能力，探索并掌握反比例函数

的主要性质.

（二）能力训练目标

通过学生自己动手列表、描点、连线，提高学生的作图能力；通过

观察图象，概括反比例函数的有关性质，训练学生的概括、总结能力.

（三）情感与价值观目标

让学生积极参与到数学学习活动中，增强他们对数学学习的好奇心

与求知欲.

二、教学重点：画反比例函数的图象；并从函数图象中获取信息，探索并

研究反比例函数的主要性质.

三、教学难点：反比例函数的图象特点及性质的探究.

四、教学方法：引导发现法、讨论法.

五、教具准备：多媒体课件

七、教学过程：

(一)复习引入：

上一节课我们学了什么是反比例函数，那么什么是反比例函数？

我们今天继续共同研究反比例函数，看看今天要学什么？

第一环节——读

同学们，打开课本第152页，看到153页，大家先独立阅读，看看今天你

能发现的什么学习内容，现在开始。”

目的：让学生自己发现学习知识点，让学习成为一种寻宝游戏。

第二环节——议

1.前后同桌交流，讨论你在课本中发现了那些知识点。

2.教师巡视倾听，参与交流。

3.共同交流，每组派代表发言发现了什么，同意的不在发言，不同意的继

续辩论。师生交流，老师答疑解惑。

画出反比例函数的图象基本步骤.

图5-1图5-2

观察讨论：1、反比例函数图象是什么形状？

2、画反比例函数图象应该注意的问题是什么？

总结归纳：

⑴%

(2)用光滑的曲线连接各点

(3)图象是延伸的，不要画成有明确端点。

(4)曲线的发展趋势是无限靠近坐标轴，但不和坐标轴相交

第三环节-做

y工的图象.

画反比例函数

做在小纸片上，做完后交，看谁做得又对又快，老师检查，对于典型的要

在展台上展示。

第四环节------评.看谁做的又对最好.

第五环节----论

4-4

观察‘一工和"一嚏的图象的形状和位置，有什么相同点和不同点。(图象

见课件)

1.自己观察图象找出相同点和不同点。

4f

2.小组展开讨论反比例函数‘一工和"一工的图象在哪两个象限，由什么

确定。

3.引导总结。

结论：

图象分别都是由两支曲线组成，因此称反比例函数的图象为双曲线.

反比例函数的图象由k决定.

当k>0时，两支双曲线分别位于一，三象限内；

当k<0时，两支双曲线分别位于二，四象限内.

第六环节--练

基础训练

k

1.已知尸K(AWO)的图象的一部分如图，则A0

的图象两支分布在第二、四象限，则点(m,m-2)在

()

A第一象限B第二象限C第三象限D第四

象限

挑战自我能力提升

问题：

1、反比例函数图象是中心对称图形吗？若是的话，请找出对称中心.

2、反比例函数图象是轴对称图形吗？若是的话，你能试着说明它的对称

轴是什么吗？

教师可以引导学生从两支曲线上对称的点出发，来发现图形的对称关系。

目的：本环节设置的目的让学生能够从图形的角度来研究反比例函数的图

象，再次体现数形结合的思想.

分层达标课后延伸

A层

3

y

K~x(x>0)的图象叫,图象位于象限，

2、写出一个图象分布在二、四象限内的反比例函数解析式

B层

1、已知函数y=(>"-々7是反比例函数，且图象经过一、三象限，

求m的值。

t1

2、与成反比，且当=6时，Q,这个函数关系式为

布置作业

2

A层：如图，当x<0时，下列图象中，有可能表示产一7的图象的是

B层：

1、已知y=yi+y2,力与x成正比例，丫2与X2成反比例，且当x=2与x=3

时，y的值都等于19.y与x间的系数关系式，并求x=4时y的值.

2、习题6.2联系拓展

附：板书设计

反比

例函数的图象与性质

反比例函数x的图像

反比例函数X的性

质

6.3反比例函数的应用

出示目标

1.经历分析实际问题中两个变量之间的关系、建立反比例函数模型，进

而解决问题的过程，进一步体会模型思想，发展应用意识.

2.能用反比例函数解决简单实际问题，进一步体会数形结合的思想.(重

点)

预习导学

阅读教材P158〜159,完成下列内容：

(一)知识探究

反比例函数表达式的求法：设出反比例函数的表达式________,把反比例

函数图象上的一个点的坐标代入，得关于k的方程，解方程求出k值，把

k的值代入，即得反比例函数的表达式.

(二)自学反馈

1.长方形地下室的体积V一定，那么底面积S与深度h是关

系；表达式是.

2.运货物的路程s一定，那么运货物的速度v与时间t是关

系；表达式是.

3.电学知识告诉我们，用电器的输出功率P、两端的电压U和电器的电阻

R有如下关系：PR：/.这个关系式还可以写成P=,或1?=

合作探究

活动1小组讨论

例1某校科技小组进行野外考察，利用铺垫木板的方式通过了一片烂泥

湿地，你能解释他们这样做的道理吗？当人和木板对湿地的压力一定时，

随着木板面积S(n/)的变化，人和木板对地面的压强p(Pa)将如何变化？

如果人和木板对湿地地面的压力合计600N,那么

(1)用含S的代数式表示p,p是S的反比例函数吗？为什么？

(2)当木板面积为0.2广时，压强是多少？

(3)如果要求压强不超过6000Pa,木板面积至少要多大？

(4)在直角坐标系中，画出相应的函数图象.

(5)请利用图象对(2)和(3)作出直观解释,并与同伴交流.

600

解：(i)p=S(s>o),P是s的反比例函数.

⑵p=3000Pa.

(3)至少0.1nA

(4)提示：只需在第一象限作出函数的图象.因为S>0.

(5)问题(2)：已知图象上的某点的横坐标为0.2,求该点的纵坐标；问题

(3)：已知图象上点的纵坐标不大于6000,求这些点所处的位置及它们横

坐标的取值范围.实际上这些点都在直线p=6000下方的图象上.

例2蓄电池的电压为定值.使用此电源时，用电器的电流1(A)与电阻

R(Q)之间的函数关系如图所示.

(1)蓄电池的电压是多少？你能写出这一函数的表达式吗？

(2)如果以此蓄电池为电源的用电器限制电流不得超过10A,那么用电器

的可变电阻应控制在什么范围内？

解：(1)因为电流I与电压U之间的关系式为IR=U(U为定值)，把图象上

的点A的坐标(9,4)代入，得U=36.

36

所以蓄电池的电压U=36V.这一函数的表达式为1=R.

(2)当10A时，解得R23.6.所以可变电阻应不小于3.6Q.

教师点拨用反比例函数去研究两个物理量之间的关系是在物理学中最常

见的，首先要打好数学基础，才能促进对物理知识的理解和探索.

y

k2

例3如图，正比例函数y=kix的图象和反比例函数y=X的图象相交

于A,B两点，其中点A的坐标为(丫°',2丫°%

(1)分别写出这两个函数的表达式；

(2)你能求出点B的坐标吗？你是怎样求出的？

6

解：(l)yi=2x,y2=X.

(2)点B的坐标为(一击'，-2、⑸1).

活动2跟踪训练

1.某乡粮食总产量为a(a为常数)吨，设该乡平均每人占有粮食为

2.某工厂现有煤200吨，这些煤能烧的天数y与平均每天烧煤的吨数x

之间的函数关系式是y=.

3.一定质量的二氧化碳，其体积VGi?)是密度P(kg/n?)的反比例函数，

请根据图中的已知条件，写出当P=1.1kg/n/时，二氧化碳的体积\，=

m3.

4.如图所示是某一蓄水池每小时的排水量V(nf7h)与排完水池中的水所用

的时间t(h)之间的函数关系图象.

(1)请你根据图象提供的信息求出此蓄水池的蓄水量；

(2)写出此函数的表达式；

活动3课堂小结

学生试述：今天学到了什么？

答案提示

【预习导学】

(一)知识探究

k

y=x

(二)自学反馈f•«I

VLi-csUU

S=-2.反比例V=-3-2--2-

1.反比例htKP

【合作探究】

活动2跟踪训练

200

1.D2.X3.94.(1)因为当蓄水总量一定时，每小时的排水量与

排水所用时间成反比例，所以根据图象提供的信息可知此蓄水池的蓄水量

为4000X12=48000(m3).(2)因为此函数为反比例函数，所以表达式为

48000

V=t：(3)若要6h排完水池中的水，那么每小时的排水量为丫=

48000

6=8000(n?).

综合与实践

制作视力表

学生起点分析

“制作视力表”是学生充分学习图形相似内容，引入的一节课题学

习，学生此前已完成“图形相似”与“图形位似”的学习，“线段的比”

也相当的熟悉，在这样的基础上研究制作视力表，可以加深学生对知识的

理解及综合运用；“视力表”是学生熟知的生活实例，引导学生观察、分

析生活现实和数学现实的相似现象，探究发现视力表的制作原理，激发学

生研究应用数学知识的乐趣。

教学任务分析

课题学习”制作视力表”以探究视力表中蕴含的数学知识，体会视力

表的制作原理，进一步发展学生综合运用数学知识分析问题，解决问题的

能力；借助“制作视力表”进一步理解相似图形及其相似比、位似图形、

位似比等有关内容。借助视力表为载体，帮助学生感受图形的相似；提高

学生把握事物内在规律的能力；体验数形结合的思想.教学时培养学生言

之有据的习惯，发展学生正确使用数学语言进行表达和交流的能力，同时

要鼓励学生在探索的过程中多角度尝试，不要以教师的讲解代替学生的思

考、讨论；可以组建四人活动小组合作学习，促成学生以良好的情感态度

主动参与合作交流；引导学生在独立思考的基础上与同伴进行合作交流；

教学目标

1、探究视力表中蕴含的数学知识，体会视力表的制作原理，进一步发展

学生综合运用数学知识分析问题，解决问题的能力；

2、通过度量"E”的长、宽及空白缺口宽，培养大家的动手能力，对所测

量的数据进行探索它们之间的关系，训练学生的探索能力.

3、通过探索视力表中的奥秘，让学生感受到数学活动充满着探索与创

造，同时让学生认识数学与人类生活的密切联系及对人类历史发展的作

用.

三、教学过程分析

本节课设计了五个教学环节：第一环节：创设情景，导入课题；第二

环节：探究新知；第三环节：课堂练习；第四环节：深入探究，得出结

论；第五环节：运用结论，制作视力表；第六环节：课堂总结；第七环

节：布置作业。

课前准备工作：准备三角板、视力表、硬纸板数张。

第一环节：创设情景，导入课题

［师］视力表对我们来说并不陌生.但你想过吗？视力表中蕴含着一

定数学知识.你知道是什么知识吗？本节课我们就来探索其中蕴含的奥

秘.

第二环节：探究新知

［师］现在我们查视力时用的视力表，通常是哪一种呢？

［生］是由一组字母"E”组成的视力表.

［师1对，它是以能分辨"E”的开口朝向为依据来测定视力的.换

句话说，它的测试依据是能否看清楚"E”的两个空白缺口（如下图1中

AB、两个缺口）.

E图1

下面我们以“标准对数视力表”为例，探索视力表中的奥秘：

1、度量视力表中视力为o.1，0.2,0.3,0.4,0.5,0.6,0.8,

1.0,1.2,1.5,2,0所对应的“E”的长a,宽b,空白缺口宽d,（如图

2）.

投影片（课题学习A）

图2

请大家量视力表中的各个“E”，并填写课本上的表格.

［生］填表如下：（投影片课题学习B）

视力s/rnm•'./mm

D.L7Z72IS

0.Z3636LS

0.3Z4ZiS

D.i18L838

Q.Su.S14.S3

0.6LZLZZ.$

0.899L9

1.07.Z7.ZLS

1.Z66L3

1.$4848L

乙03.63608

2、观察数学完成以下问题串。

(1)观察上表你直观的发现了什么？

(2)观察上表，看这些数据之间有什么关系，从而决定视力表中的

各"E"形图之间有什么关系？视力表中的各图形之间有什么关系？

［生］视力为0.1时，a=72mm,b=72mm,庐15mm,可知”E”的长

和宽相等.

视力为0.2时「叶36mm,"36mm,#7.5mm,可知"E”的长和宽

7215

相等，且亍二36,天二7.5.

视力为0.3时,w==24mm,加24mm,d=5mm,可知"E”的长和宽相

7215

等，并且7=24,彳=5.

视力为0.4时,a=18mm,Z?=18mm,d=3.8mm,可知"E”的长和宽

7215

相等，且彳二18,彳=3.75.因为测量时有误差，眼睛大致可以精确到

0.1mm,所以有七3.8.

由此可以猜想，视力为0.5时，a=^=14.5mm,方=1=14.5叫声”=3Iran.

视力为0.8时，3~—=9mm,2)=9mm,—=1.9iran.

88

视力为1.0时，a--=7.2iron,3=7.2mm,=1.5mm.

1010

视力为2.0时，a--=3.6iron,3=3.6mm,ot—=0.75mm.

2020

由此可知：视力表中的各“E"形图都是长与宽相等的图形，如果把

视力为0.1时的“E”形图作为基本图形，则视力为0.2,0.3…2.0时

的“E”形图都与基本图形是相似图形.

活动目的：通过组织学生自我实际度量，并将各自的度量结果填在表

格中，让学生在实际操作中，就去直觉的感知其中的奥秘，再通过小组的

合作探究，发现a,b,d数学之间的关系，从而得知“标准对数视力表”

中不同的视力所对应的“E”形图都与基本图形是相似图形，从而所有

“E”形图都是相似图形。

活动效果：本环节教师稍加引导，学生很快就可以发现规律，此处不

是难点。学生能根据所学知识“对应边成比例，对应角相等的图形是相似

图形”，再加上“E”恰好都近似于“正方形”。很容易就判断图形相似

特点。

第三环节：课堂练习

若一个视力表中的视力为0.1的“E”的长、宽都为60mm,空白缺口

宽为12.5mm,求视力为0.2,0.3,0.4,0.5,0.6,0.8,1.0,1.2,

1.5,2.0时“E”的长、宽，空白缺口宽.

活动目的：此环节目的在于及时反馈新课知识，学生活学活用，加深巩

固，为后续做好铺垫。

活动效果：巩固效果，相当好。最好还是设置一个表格，让学生在表格上

填写，然后上黑板讲解展示。

第三环节：深入研究，得出结论

我们已经对视力表中的各个“E”型字母的长a,宽b,空白缺口宽d

作了一番研究，并已得出它们之间的关系.接下来我们继续研究视力表，

并能根据研究结果自己制作一个视力表.

［师］请大家按下列步骤进行操作

1.用硬纸板复制视力表中视力为0.1,0.2,0.3,0.5,1.0所对应

的“E"，并依次编号为①②③④⑤.

取编号为①②的两个“E”，按下图的方式把它们放置在水平桌面

上.

投影片（课题学习C）

①

图4

2.如图5,将②号“E”沿水平桌面向右移动，直至从右侧点。看

去，点A，2，。在一条直线上为止.这时我们说，在2处用①号“E"测

得的视力与在。处用②号"E”测得的视力相同.投影片（课题学习〃）

图5

［师］从上图中你发现了什么？与同伴交流.

［生］因为①号“E“与②号"E”都水平放置在桌面上，它们与桌面

的边缘是垂直的.因此尸M〃尸又尸”。在一条直线上，所以NO为

公共角，根据相似三角形的判定方法，两角对应相等的两个三角形相似，

得

△Pi/iOsZkPWO,所以34：即串

bl4h6

［师］从大家的分析中可知，当人离①号"E”的水平距离乙与人离

k=旦

②号"E”的水平距离人满足‘2%时・，用①号"E”测得的视力和②

号"E”测得的视力相同.

3.按照上述方式，将①〜⑤各个“E”排列成下图所示的样子.先自

己猜想应得出的结论，然后和同学交流，证明你的结论的正确与否.

投影片（课题学习E）

CD

-------，"*

<---------------‘2--------------->

-------------------h--------------------►

图6

［生］按照上面大家讨论的结果，可以猜想得出，在〃处用①

号"E”测得的视力，与在。处用②号"E”测得的视力，在〃3处用③

号"E”测得的视力，在〃处用④号"E”测得的视力，在。处用⑤

号"E”测得的视力都相同.

经过论证实了结论的正确性.

［师］大家做得非常棒.

根据刚才大家讨论出的结论，我们可以据此自己制作视力表.

活动目的：通过复制制作“E”，探究图形间的规律，让学生在实际操作

过程中，发现了图形间隐含的规律，从而得出结论，加以运用。

活动效果：本环节关键点比较多，测量工作比较大，计算量比较大，需要

小组合作才能完成，允许学生带计算器，否则一节课无法结束这么多的内

容。

第四环节：运用结论，制作视力表

制作一个测试距离为3m的视力表.

1.由标准视力表中的瓦=72mm,乙为5m,可计算出&=3m时，b2

的值

得%

/.Z?2-43.2mm

所以应制作一个”E”型图，使得它的长与宽都是43.2mm.

从上节课我们的讨论结果看，视力为0.1的“E"型图与视力为0.2

的“E”型图中的a,b,d间的关系，我们可以得出测试距离为3m的视力

表中的①号“E"型图中的"为9mm.

2.确定了①号"E”型图后，我们就可以根据规律分别求出视力为

0.2,0.3…2.0时的“E”型图的大小.如下图.

视力、/mmyawn

0.L<3.Z43.Z9

0.Z

0.3

0.4

0.5

视力'./mm“mm

0.6

0.8

L0

LZ

1.S

乙0

3.由标准视力表中的各行“E”间的距离，相应地确定本视力表的行

距.

测试距离为3m的视力表就制作完成了.

第五环节：课堂总结

1、本节课我们自己动手，探索出视力不同的“E"形图之间的关系.

2、探究发现了如何找视力相同的图形"E”的大小和它的落脚点，并能据

此自己制作视力表.

第六环节：课后作业

1、到有关单位进行调查，目前较为通用的视力表有哪几种？

2、制作一个测试距离为8m的视力表.

教学反思：

1、本节课的目的是通过制作视力表，让学生探究视力表中蕴含的数学

奥秘。主要采用“小组合作探究”方式进行教学，在教学过程中，发

现同学间的合作决定了课堂进程的快慢。

2、教学过程中，建议运用填写表格法，解决规律探究问题。因为表格

可以在有限的空间放置大量的数据，而大量的数学进而可以让学生感

知其中隐含的规律。

3、授课过程中允许运用计算器，计算器可以减轻计算带来的工作量，

压缩时间放在探究规律上，从而一课时完成课题研究的内容。

教学设计说明：课题学习“制作视力表”两个课时最好，但这里写

成一个课时设计，主要考虑到各个地区、学校的学生实际学习水平不同，

教师可以有针对性的进行讲授，对于一般学生可能很难在一课时完成学习

任务，那就在“深入探究''作为第二课时的教学任务是进一步解决和完

善；或者把第一课时内容作为预习探究布置给学生，因为这部分内容相对

简单，学生稍加思考便可解决。总之结合学生特点，调整课时量。

综合与实践猜想、证明与拓广

教学目标：

1、经历猜想、证明、拓广的过程，增强问题意识和自主探索意

识，获得探索和发现的体验；

2、在解决问题的过程中综合运用所学知识，体会数学知识之间

的内在联系，形成对数学的整体性认识。提高用数形结合的方法从

不同角度思考问题的能力。

3、在合作交流中扩展思路，发展学生的推理能力；

教学重点：在探究过程中，感受由特殊到一般、数形结合的思想方法；

教学难点：形成对数的整体性认识，提高用数形结合的方法从不同角度思

考问题的能；

教学过程：

一、学前准备

1、认真阅读课本，回答下列问题：

1、已知正方形的边长是2,则它的周长为

面积为;

另一个正方形，它的周长是正方形的2倍，则它的面积

为;

问题：正方形的周长和面积可以同时是正方形的2倍吗？

2、已知正方形的边长是，则它的周长为，面

积为;

另一个正方形，它的周长是正方形的2倍，则它的面积

为;

问题：正方形的周长和面积可以同时是正方形的2倍吗？

3、任意给定一个正方形，是否存在另一个正方形，它的周长和面积分

别是已知正方形周长和面积的2倍？再找几组数据试一试。

结论:

-彳乍

问题1、任意给定一个矩形，是否存在另一个矩形，它的周长和面积

分别是已知矩形周长和面积的2倍？

⑴假设已知矩形的长和宽分别为2和1,则它的周长为,

面积为_________________

2。

!<-

设矩形的长和宽分别为和，则可以列方程得:

结论:

⑵当已知矩形的长和宽分别为3和1时，是否还有相同的结论？当已

知矩形的长和宽分别为4和1,5和1,…，n和1时，上面结论是否依

然成立？请填写下表：

给定已知矩形另一个矩形是否存

在？

长宽周长面积长宽

31

41

51

61

............

n1

⑶上面结论对于任意给定的一个矩形都成立吗？你能证明它的一般性

吗？

设原已知矩形两边长分别为

问题2、任意给定一个矩形，是否存在另一个矩形，它的周长和面积

分别是已知矩形周长和面积的一半？

⑴如果已知矩形的长和宽分别为2和1,结论会怎样呢？与同伴进行

交流。

⑵如果已知矩形的长和宽分别为6和1,结论会怎样呢？与同伴进行

交流。

⑶议一议：当矩形满足什么条件时，才存在一个矩形，它的周长和面

积分别是已知矩形周长和面积的一半？

三、本课小结：

在实验的过程中，你还有新的发现吗？你还能提出什么问题？总结一

下你的收获。

1、你觉得数学是怎样研究问题、发现规律（结论）的？

2、在实验的过程中，你还有新的发现吗？

四、课后拓广

⑴任意给定一个正三角形，是否存在另一个正三角形，它的周长和

面积分别是已知正三角形周长和面积的2倍？

⑵任意给定一个正三角形，是否存在另一个正三角形，它的周长和

面积分别是已知正三角形周长和面积的一半？

⑶任意给定一个矩形，是否存在另一个矩形，它的周长和面积分别

是已知矩形周长和面积的3倍？

（4）任意给定一个矩形，是否存在另一个矩形，它的周长和面积分别

是已知矩形周长和面积的？

综合与实践

池塘里有多少条鱼?

一、学生知识状况分析

学生通过前面的学习，已经掌握了运用树状图和列表法计算简单事件发生

的概率，还有一些纯粹的现实问题，无法应用树状图和列表法计算得到概

率，需要借助试验模拟获得估计值；这些为解决本节课实际问题奠定了知

识基础。另外九年级的学生思维很活跃，正在从形象思维向逻辑思维过

渡，能够从具体事例中归纳出问题的本质.他们有强烈的应用新知发展自

己的意识，这些都为解决本节课的实际问题奠定了基础.

二、教学任务分析

根据课标的要求、学生的认知水平及本节课的内容，本节课的教学目标

为：

知识目标：

1.进一步体会概率与统计之间的联系以及用样本去估计总体的统计思想.

2.初步感受统计推断的合理性.

过程与方法目标：

经历对问题的探索过程，使学生对问题由感性认识上升到理性认识.

情感与态度目标：

初步认识数学和人类生活的密切联系，形成解决问题的一些基本策略，体

会解决问题基本策略的多样性.体验数学活动充满着探索与创造，提高数

学的应用意识.

教学重点：

1.结合具体情境，初步感受统计推断的合理性.

2.进一步体会概率与统计之间的关系.

教学难点：结合具体情境，初步感受统计推断的合理性

三、教学过程分析

本节课设计了七个教学环节：第一环节：创设问题情景，引入新课；第二

环节：寻找方向；第三环节：唤醒认知；第四环节：尝试迁移；第五环

节：形成经验；第六环节：发展经验；第七环节：理解经验；第八环节：

迁移经验；第九环节：提升经验；第十环节：运用经验，解决问题；第十

一环节：活学活用，发展思维；第十二环节：拓展理解；第十三环节：归

纳总结。

第一环节：创设问题情景，引入新课

活动内容：提出生活中的问题，李大爷承包池塘今年的收成如何？

活动目的：从真实的事件入手直接进入本节课的主题。引导学生从生活中

发现问题、思考问题.使学生意识到数学知识来源于生活实际，创设问题

情景激发兴趣，为本节课的学习做好情感热身.

活动过程：生活中的数学

教师提出问题：李大爷承包了村里的池塘，辛苦了一年李大爷家今年的收

成如何？你能帮助李大爷估计池塘中有多少条鱼吗？

有学生认为，把池塘里的鱼全部捞出，就可以知道了.也有学生反对，因

为如果全部捞出鱼会死，再说也不好知道池塘里的鱼是否全部捞出.

教师接着提问：能不能不把池塘里的鱼全部捞出就可以估计李大爷承包池

塘中有多少条鱼呢？

活动的实际效果既注意事项：

课堂问题的提出应简练不要拖泥带水，问题的提出要紧跟本节课的内容，

引起学生对本节课的学习兴趣.

第二环节：寻找方向

活动内容：1.大家解决过类似的实际问题吗？

2.你能用代数或几何的方法估计池塘里有多少条鱼吗？

3.在统计与概率领域，你解决过哪些实际问题？怎样解决的？

活动目的：对于这样一个比较大的问题，学生可能无处下手，通过问题的

设置，引导学生一步步的靠近解决问题的方法。

第三环节：唤醒认知

活动内容：教师引导学生回忆本章中的求概率的方法

活动目的：学生通过回忆所学的知识，寻求解决问题的办法。

第四环节：尝试迁移

活动内容：布袋里有黑色白色两种棋子，其中白色棋子有20粒，如何估

计布袋有多少粒棋子？你有哪些方法？

活动目的：从一个简单的棋子游戏入手，为学生探究提供教学辅助，此时

学生求李大爷的池塘里有多少条鱼的问题的解决可能存在各种不同的方

法，应充分让每一个学生体会经历探讨与比较的过程.

应用类比的数学方法得出简洁合理的方法估计李大爷承包的池塘中有多少

条鱼.

活动过程：首先，简化“鱼塘”问题，从一个简单的棋子游戏开始，对问

题进行探究

第一种方案:

从口袋中随机摸出一个棋子，记下其颜色，再把它放回口袋中，不断重复

上述过程，我共摸了m次，其中有n次摸到白棋子，因此我估计口袋中大

约有a个黑棋子.

池塘里有多少条鱼？（综合与实践课）-教学设计-刘刚

假设口袋中有x个黑棋子，通过多次试验，可以得出摸出白棋子的频率，

依此，我们可以估计