四川省自贡市第一中学2024-2025学年高二上学期开学考试数学试题

自贡一中2024——2025学年度上期高二年级开学考试数学试题一、选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）1.已知为虚数单位，则复数在复平面内对应的坐标为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】将化简即可得出答案【详解】，所对应的向量坐标为.故选：B【点睛】本题考查的是复数的计算及其几何意义，较简单.2.体育老师记录了班上10名同学1分钟内的跳绳次数，得到如下数据：88，94，96，98，98，99，100，101，101，116.这组数据的60%分位数是（）A.98 B.99 C.99.5 D.100【答案】C【解析】【分析】根据分位数的定义即可求得答案.【详解】这组数据的60%分位数是.3.若直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则（）A B. C. D.或【答案】C【解析】【分析】推导出，利用空间向量法可得出线面关系.【详解】因为，，则，即，因此，.故选：C.4.如图，在平行六面体中，为和的交点，若，，，则下列式子中与相等的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据空间向量的加减运算，表示出向量，即得答案.【详解】,故选;A5.已知两个平面，两条直线，则下列命题正确的是（）A.若，，则B.若，，，则C.若，，，，则D.若是异面直线，，，，，则【答案】D【解析】【分析】对于A，与相交、平行或；对于B，与相交或平行；对于C，与相交或平行；对于D，由面面平行的判定定理得．【详解】两个平面，两条直线，对于A，若，，则与相交、平行或，故A错误；对于B，若，，，则与相交或平行，故B错误；对于C，若，，，，则与相交或平行，故C错误；对于D，过作平面与平面交于，如图，∵，∴，又，，∴，∵是异面直线，，∴与相交，又∵，，∴，故D正确．故选：D．6.在中，、、分别是内角、、所对的边，若，，，则边（）A. B.或 C.或 D.【答案】C【解析】【分析】根据余弦定理可得出关于的等式，解之即可.【详解】因为，，，由余弦定理可得，即，即，解得或.故选：C.7.在空间直角坐标系中，点，，，则（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根据向量坐标表示判断AB，根据向量模的坐标运算判断C，根据向量夹角计算公式判断D.【详解】因为，，，所以，，故AB错误；因为，所以，故C错误；因为，故D正确.故选：D8.已知圆锥的顶点为S，母线SA，SB所成角的余弦值为，SA与圆锥底面所成角为45°.若的面积为，则该圆锥的侧面积为（）.A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据条件算出母线长和底面半径即可求出侧面积.【详解】如图：其中O是底面圆心，设半径为r，则AO=r，，，由于SA，SB都是母线，所以SA=SB，的面积，在等腰直角三角形SAO中，，所以侧面积=；故选：C.二、多选题（共3小题，满分18分，每小题6分）9.下面四个结论正确是（）A.向量，若，则B.若空间四个点，，，，，则，，三点共线C.已知向量，，若，则D.任意向量，满足【答案】ABC【解析】【分析】由空间向量的数量积及其运算性质可判断A，由空间向量的基本定理与共线定理以及向量基底可判断B，根据空间向量共线的坐标表示可判断C，利用数量积的定义判断D.【详解】对于A：因为，，则，正确；对于B：因为，则，即，又与有公共点，所以三点共线，正确；对于C：因为向量，，，所以存在，使得，即，则，解得，正确；对于D：表示平行于的向量，表示平行于的向量，当与不平行时，一定不成立，错误.故选：ABC10.设A，B为两个随机事件，若，则下列结论中正确的是（）A.若，则 B.若，则A，B相互独立C.若A与B相互独立，则 D.若A与B相互独立，则【答案】BD【解析】【分析】根据并事件的概率的计算公式即可判断A；根据相互独立事件及对立事件的交事件的概率公式即可判断BD；根据相互独立事件的并事件的概率公式即可判断C.【详解】A，若，则，A错误；B，因为，则，B正确；C，因为A与B相互独立，则也相互独立，则，C错误；D，若A与B相互独立，则也相互独立，则，D正确.故选：BD11.如图，在正方体中，P为线段上的一个动点，下列结论中正确的是（）A.B.平面平面C.存在唯一的点P，使得为90°D.当点P为中点时，取得最小值【答案】AB【解析】【分析】根据正方体的性质，结合空间位置关系，对选项逐一分析，得到正确结果.【详解】对于A项，利用正方体的特征可知，，且，所以平面，可得，所以A项正确；对于B项，因为平面即为平面，因为平面，所以平面平面，所以B项正确；对于C项，设正方体棱长为，，在中，在中，，当时，，即或，所以当与重合或P为的中点时，满足为90°，所以满足条件的点P不唯一，所以C项不正确；对于D项，将正方体的对角面进行翻折，可得图形如图所示：根据平面内两点之间直线段最短，所以当P为图中的点时，取得最小值，显然不为中点，所以D项不正确；故选：AB.【点睛】该题以正方体为载体，考查空间线面位置关系，涉及到线线、线面和面面垂直等基础知识，要注意空间与平面间的相互转化，属于基础题目.三、填空题（共3小题，满分15分，每小题5分）12.O为空间任意一点，若，若ABCP四点共面，则______________．【答案】##0.125【解析】【分析】利用空间向量共面基本定理的推论可求出的值.【详解】空间向量共面的基本定理的推论：，且、、不共线，若、、、四点共面，则，因为为空间任意一点，若，且、、、四点共面，所以，，解得.故答案为：.13.在平面四边形中，，，，若，则的面积为_________.【答案】【解析】【分析】利用余弦定理求出、，进而可求得，再利用三角形的面积公式可求得的面积.【详解】连接，如下图所示：由余弦定理可得，由余弦定理可得，则为锐角，所以，，因此，.故答案为：.【点睛】方法点睛：在解三角形的问题中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则如下：（1）若式子中含有正弦的齐次式，优先考虑正弦定理“角化边”；（2）若式子中含有、、的齐次式，优先考虑正弦定理“边化角”；（3）若式子中含有余弦的齐次式，优先考虑余弦定理“角化边”；（4）代数式变形或者三角恒等变换前置；（5）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理求解；（6）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到三角形的内角和定理.14.如图，在棱长为2的正方体中，M，N分别为棱，的中点，则的重心到直线BN的距离为___________.【答案】##【解析】【分析】以为轴建立空间直角坐标系，由重心坐标公式求得的重心的坐标，用空间向量法求点到直线的距离．【详解】以为轴建立空间直角坐标系，如图，则，，，，，设的重心是，则，，，即，，，，，，，则是锐角，，所以到直线的距离为．故答案为：．四、解答题（共5小题，第15题13分，第16、17题15分，第18、19题17分，满分77分）15.已知空间三点，，，设，．（1）若与互相垂直，求实数的值；（2）若，，求．【答案】（1）或（2）或【解析】【分析】（1）根据空间向量垂直得到方程，求出答案；（2）设，根据平行和模长得到方程组，求出答案.【小问1详解】，故，，因为互相垂直，所以，解得或；【小问2详解】，设，则且，解得或，故或；16.某公司为了解员工对食堂满意程度，对全体100名员工做了一次问卷调查，要求员工对食堂打分，将最终得分按，，，，，分成6段，并得到如图所示频率分布直方图.（1）估计这100名员工打分的众数和中位数（保留一位小数）；（2）现从，，这三组中用比例分配的分层随机抽样的方法抽取11个人，求这组抽取的人数.【答案】（1）众数为75，中位数为；（2）7人.【解析】【分析】（1）根据中位数和众数的定义结合频率分布直方图即可得出答案；（2）根据频率分布直方图分别求出，，的人数，任何根据分层抽样即可求出从抽取的人数.【详解】解：（1）由题意得众数为75，的频率为，的频率为，设中位数为a，，.（2）的人数：，的人数：，的人数：，抽样比例为，从抽取的人数：.17.在中国共产主义青年团成立100周年之际，某校举办了“强国有我，挑战答题”的知识竞赛活动，已知甲、乙两队参加，每队3人，每人回答且仅回答一个问题，答对者为本队赢得1分，答错得0分.假设甲队中3人答对的概率分别为，，，乙队中每人答对的概率均为，且各人回答问题正确与否互不影响.（1）分别求甲队总得分为1分和2分的概率；（2）求活动结束后，甲、乙两队共得4分的概率.【答案】（1）甲队总得分为分的概率为，分的概率为；（2）【解析】【分析】（1）利用相互独立事件和互斥事件的概率公式计算可得；（2）首先求出活动结束甲、乙两队得分及所对应的概率，再利用相互独立事件和互斥事件的概率公式计算可得；【小问1详解】解：依题意记甲队总得分为分为事件，甲队总得分为分为事件，则，，所以甲队总得分为分的概率为，分的概率为；【小问2详解】解：依题意甲队总得分为分的概率为，得分的概率为，得分的概率为，得分的概率为；乙队总得分为分的概率为，得分的概率为，得分的概率为，得分的概率为；则活动结束后，甲、乙两队共得4分的概率.18.如图，在直三棱柱中，，，，分别为，的中点．（1）证明：平面；（2）求直线与平面所成角的余弦值．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用平面法向量的性质进行运算证明即可；（2）利用空间向量夹角公式进行求解即可.【小问1详解】如图建立空间直角坐标系，则，，，，，所以，因为是直棱柱，所以平面，因此平面的一个法向量为，所以，即，又平面，所以平面；【小问2详解】因为，，，设平面的法向量为m=x,y,z则，令，得，设直线与平面所成角为，则，所以.19.在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c满足．（1）求B；（2）若，，求的面积；（3）求的取值范围．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）利用正弦定理将已知等式统