2.1等式性质与不等式性质（2课时）（教学课件）高一数学教学一课到位（人教A版2019）

人教A版必修第一册2.1《等式性质与不等式性质》（2课时）

第二章

一元二次函数、方程和不等式教学目标学习目标：1.了解与认识不等式的定义与解集的概念（数学抽象）;

2.能灵活地运用不等式表示实际问题中的不等关系（数学建模）；

3.牢固掌握比较两个实数大小的方法与技巧（数轴法、作差法和作商法），并能证明相关不等式成立（数学运算、逻辑推理）.

4.理解与掌握不等式的十条性质，能够运用不等式的性质将不等式变形并解决相关的实际问题（数学抽象、逻辑推理）.教学重点：运用不等式表示实际问题中的不等关系，用作差法、作商法比较两个实数的大小；不等式的十条基本性质及其应用.教学难点：用作差法、作商法比较两个实数的大小.不等式性质的运用.1、情景：在现实世界和日常生活中，大量存在着相等关系和不等关系，例如多与少、大与小、长与短、高与矮、远与近、快与慢、涨与跌、轻与重、不超过和不少于等。类似于这样的问题反映在数量关系上就是相等和不相等，相等用等式表示，不等用不等式表示。情景问题1012、问题

各位同学，在初中我们已经学习了不等式的定义、基本性质、一元一次不等式（组）等知识，你们现在还能对这些知识进行阐述并运用吗？

那么，到了高中我们还将继续学习不等式的那些新知识？相信各位同学通过今天的学习，将能回答这一问题.情景问题101复习旧知011.不等式的定义是什么？

用不等号（＞，＜，≥，≤，≠）连接表示不等关系的式子就叫做不等式.例如

2x-5>-3,6<9

等.复习旧知012.不等式的解集是什么？

能使不等式不等关系成立的未知数x的值叫做不等式的解，所有不等式的解组成的集合就叫做不等式的解集.例如：2x-5>-3,解得

x>1故原不等式的解集为

{x∣x＞1}，将其表示在数轴上如下图所示：复习旧知013.问题探究：用不等式表示不等关系问题1：你能用不等式或不等式组表示下列问题中的不等关系吗？

（3）三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；

（4）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短.复习旧知013.问题探究：用不等式（组）表示不等关系

注：高中不等式的形式可能是三边及其以上复习旧知013.问题探究：用不等式（组）表示不等关系

注：在表示实际问题的不等关系时，也可能用到不等式组表示.复习旧知013.问题探究：用不等式（组）表示不等关系

（3）三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；注：面对语言性实际问题，先作图，再表示不等关系.复习旧知013.问题探究：用不等式（组）表示不等关系

（4）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短.

情景问题21、问题：如下图所示：两个周长相等的矩形，它们的面积相等吗？答：它们的面积不相等.S正方形=边长

x

边长

=

3

x

3

=

9cm2S长方形

=

长

x

宽

=

4

x

2

=

8

cm201情景问题2问

题

相信大家经过对这一方法的学习，将会为后面学习不等式的新知识打下坚实的基础.

既然两个矩形的面积不相等，那么我们应该用什么方法才能严密性的判断9cm2与8cm2的大小呢?01(2)数轴法比较大小：数轴上的任意两点中，①右边的点对应的实数比左边的点对应的实数大；②左边的点对应的实数比右边的点对应的实数小；③当两点重合时，这两点对应的数相等.点A表示实数3，点B表示实数－2,点A在点B右边，那么3＞-2

．x0123－1－245－3－4ABP(1)实数与数轴上的点是一一对应的．当点P在不同的位置时，分别比较点P对应的实数与点A、点B对应的实数的大小．探究新知1——实数的大小比较1、利用数轴法比较两数的大小01探究新知1——实数的大小比较2、利用作差法比较两个实数的大小探究1：比较实数3与-2的大小解法一：∵3-（-2）=3+2=5＞0∴3＞-2解法二：∵（-2）-3=-5＜0∴-2＜301探究新知——实数的大小比较2、利用作差法比较两个实数的大小探究2：比较实数3与3的大小解：∵3-3=0∴3=3作差法：比较两个实数（或代数式）的大小，可以转化为考察它们的差是正数、负数、或零，这种比较大小的方法称为作差比较法.

01探究新知1——实数的大小比较3、利用作商法比较两个正数的大小探究3：比较正数3与5的大小

01探究新知1——实数的大小比较探究4：比较正数3与3的大小

作商法：比较两个正数的大小，可以转化为考察它们的商是大于1、小于1、或等于1，这种比较大小的方法称为作商比较法.

013、利用作商法比较两个正数的大小探究新知1——实数的大小比较小

结方法一：数轴法（优点是形象生动）方法二：作差法（优点是快捷方便，并且适合一切实数比较大小）

01探究新知1——实数的大小比较小

结方法三：作商法（优点是快捷方便，并且只适合两个正数比较大小）

01典型例题

各位同学，请大家每4个人组成一组，分别交流讨论后，解决下列问题：小组合作、讨论交流1

提示：既可以用作差法，也可以用作商法比较大小提示：利用作差法比较大小01成果展示1解法一（作差法）：

注：作差法适合一切实数比较大小01解法二（作商法）：

注：作商法只适合两个正数比较大小成果展示101成果展示1

01提升演练

01提升演练

01

达标检测课堂演练＞＜＜＞＜01a＞ba＋c＞b＋cba如果a＞b，那么a

c＞b

c成立吗？02情景问题2请各位同学仔细观察下列的天平秤，你们从中能发现什么规律？思考cc02情景问题22、探究2：再请各位同学仔细观察下列的不等式，你们从中能发现什么规律？6＞46-24-2＞探究新知2——性质1（加法法则）3、性质1（可加性）：不等式两边同时加上（或减去）同一个数（或代数式），不等号的方向不变.即：

如果a>b,那么

a±c>b±c简称为：“加减同数不变号”02探究新知2——性质1（加法法则）4、证明：我们能用上节课学习的作差法来证明加法法则成立吗？请大家每4人组成一个小组，讨论交流后写出证明过程？求证：如果a>b

,那么

a+c>b+c证明：∵

已知a>b,∴a-b>0

又∵（a+c）-(b+c)=a+c-b-c=a-b>0∴a+c>b+c成立你们还能求证：如果a>b,那么a-c>b-c成立吗？02a＞b2a＞2b情景问题3请各位同学仔细观察下列的天平秤，你们从中能发现什么规律？思考abab02情景问题32、探究3：再请各位同学仔细观察下列的不等式，你们从中能发现什么规律？6＞4＞02探究新知2——性质2（乘法法则）3、性质2（可乘性）（1）不等式两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变.简称为：“乘除正数不变号”02探究新知2——性质2（乘法法则）4、证明：我们能用上节课学习的作差法来证明乘法法则吗？请大家每4人组成一个小组，讨论交流后写出证明过程？证明：∵

已知

a>b,c＞0，∴a-b>0

又∵ac

-bc=c(a-b)>0∴ac>bc成立求证：

如果

a>b,c＞0,那么

ac>bc02情景问题45、探究3：请各位同学仔细观察下列的不等式，你们从中能发现什么规律？6＞4＜6×(-2)4×(-2)02情景问题46、探究4：请各位同学仔细观察下列的不等式，你们从中能发现什么规律？6＞4＜02探究新知2——性质2（乘法法则）7、性质2（可乘性）（2）不等式两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变.简称为：“乘除负数要变号”02探究新知2——性质2（乘法法则）8、证明：我们能用上节课学习的作差法来证明乘法法则吗？请大家每4人组成一个小组，讨论交流后写出证明过程？证明：∵

已知

a>b,c＜0，∴a-b>0

又∵ac-bc=c(a-b)＜0∴ac＜bc成立求证：

如果

a>b,c＜0,那么

ac＜bc02a＞ba＞cbab＞c情景问题5请各位同学仔细观察下列的天平秤，你们从中能发现什么规律？bcac02探究新知2——性质3（传递性）2、性质3（传递性）

如果

a＞b,b＞c,那么a＞c证明：∵

已知

a>b,b＞c，∴a-b>0,b-c＞0

又∵a-c=a-b+b-c=(a-b)+(b-c)＞0∴a＞c成立

我们能用上节课学习的作差法来证明传递性吗？请大家每4人组成一个小组，讨论交流后写出证明过程？02探究新知2——性质3（传递性）2、性质3（传递性）

02探究新知2——性质4（对称性）2、性质4（对称性）

(1)如果

a＞b,那么b＜a

(2)如果

b＜a

,那么

a＞b

02情景问题71、探究1：再请各位同学仔细观察下列的不等式，你们从中能发现什么规律？6+2＞4＞64-202探究新知3——性质3（传递性）

从左向右：移正为负从左向右：移负为正

探究新知2——不等式的可移性（自学）021、探究1：再请各位同学仔细观察下列的不等式，你们从中能发现什么规律？6＞4＞0＞-56+04+(-5)探究新知2——不等式的同向可加性（互学）02探究新知2——（同向可加性）2、性质6（同向可加性）

如果

a＞b,c＞d,那么

a+c＞b+d证明：∵

已知a>b,c＞d，∴a+c＞b+c,b+c＞b+d（可加性）∴a+c＞b+d成立

（传递性）

我们能用上节课学习的作差法来证明同向可加性吗？请大家每4人组成一个小组，讨论交流后写出证明过程？02探究新知2——（同向可加性）解：不成立，反例为3、思考：如果a＞b,c＞d,是否有“a-c＞b-d”成立呢？6＞40＞-5但是6-04-(-5)＜02情景问题91、探究1：再请各位同学仔细观察下列的不等式，你们从中能发现什么规律？6＞4＞0＞3＞1＞06×34×102

证明:

∵

a>b,c>0,

∴ac>bc（可乘性：乘除正数不变号）

又∵

c>d,b>0,

∴bc>bd（可乘性：乘除正数不变号）

故ac>bd（传递性）02探究新知2——（同向同正可乘性）情景问题101、探究：再请各位同学仔细观察下列的不等式，你们从中能发现什么规律？3＞2＞0＞

02探究新知2——性质8（同向同正可乘方性）

02情景问题111、探究：再请各位同学仔细观察下列的不等式，你们从中能发现什么规律？16＞9＞0＞

02探究新知2——性质9（同正可开方性）

02情景问题121、探究1：再请各位同学仔细观察下列的不等式，你们从中能发现什么规律？5＞3＞0＜

0210情景问题122、探究2：再请各位同学仔细观察下列的不等式，你们从中能发现什么规律？-3＜-2＜0＞

探究新知2——性质10（同号可倒性）

021、性质1（可加性）

如果a>b,那么