2-8-直线与圆的综合应用原卷版-讲练课堂2022-2023学年高二数学培优题典人教A版2

✬2.8直线与圆的综合应用知识题型类型直线与圆的综合应用定值问题重点、考点定点问题重点、考点斜率和为零问题重点、考点直线与圆的综合应用的一般步骤：步骤具体内容第一步设直线方程，注意讨论直线斜率是否存在第二步联立直线与圆方程消元化简第三步根据韦达定理写出两根之和与两根之积第四步根据题中所给的条件，带入韦达定理考点一韦达定理的应用考点一韦达定理的应用例已知圆心在直线上的圆C与直线l：相切于点．例（1）求和圆C的标准方程；（2）若经过点的直线m与圆C交于，两点，且，求证：为定值．变已知圆M过点且与圆为同圆心，圆N与y轴负半轴交于点C.变（1）若直线被圆M截得的弦长为，求m的值；（2）设直线与圆M交于点A，B，记，，若，求k的值.考点二韦达定理的直接应用考点二韦达定理的直接应用例1在平面直角坐标系中，圆过点、、.例1（1）求圆的方程；（2）是否存在实数a，使得圆与直线交于、两点，且，若存在，求出a的值，若不存在，请说明理由．例2设圆C的圆心在x轴的正半轴上，与y轴相交于点，且直线被圆C截得的弦长为.例2（1）求圆C的标准方程；（2）设直线与圆C交于M，N两点，那么以MN为直径的圆能否经过原点，若能，请求出直线MN的方程；若不能，请说明理由.例3在平面直角坐标系中，，，动点P满足，其中.例3（1）求点P的轨迹方程C，并说明C表示的曲线；（2）当时，过点作直线l与曲线C交于A､B两点.若，求直线l的斜率.例4已知圆与圆关于直线对称，且被直线截得的弦长为．例4（1）求圆的方程；（2）若，为圆上两个不同的点，为坐标原点．设直线，，的斜率分别为，，当时，求的取值范围．变1已知直线与圆相交于，不同两点.变1（1）若，求的值；（2）设是圆上一动点，为坐标原点，若，求点到直线的最大距离．变2已知圆：，变2（1）若过定点的直线与圆相切，求直线的方程；（2）若过定点且倾斜角为30°的直线与圆相交于，两点，求线段的中点的坐标；（3）问是否存在斜率为1的直线，使被圆截得的弦为，且以为直径的圆经过原点？若存在，请写出求直线的方程；若不存在，请说明理由.变3在平面直角坐标系中，已知圆C的方程为.变3（1）求实数a的取值范围；（2）当时，经过坐标原点O的直线l与圆C交于M，N两点.（i）若时，求直线l的方程；（ii）若点，分别记直线PM､PN的斜率为，，求的值.变4已知过点且斜率为的直线与圆：交于，两点；变4（1）求的取值范围；（2）若，其中为坐标原点，点的轨迹与的中垂线交于点，求的面积.考点三定值问题考点三定值问题例1已知曲线C的方程是.例1（1）证明曲线C是一个圆；（2）直线l经过坐标原点且不与y轴重合，l与圆C相交于､两点，求证：为定值；（3）斜率为1的直线m与圆C相交于D，E两点，求直线m的方程，使的面积最大.例2已知、B、C为圆O：（）上三点．例2（1）若直线BC过点，求面积的最大值；（2）若D为曲线上的动点，且，试问直线AB和直线AC的斜率之积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由.变1已知点关于直线的对称点为Q，以Q为圆心的圆与直线相交于A，B两点，且．变1（1）求圆Q的方程；（2）过坐标原点O任作一直线交圆Q于C，D两点，求证：为定值．变2在平面直角坐标系中中，已知圆心在x轴上的圆C经过点，且被y轴截得的弦长为，经过坐标原点O的直线l与圆C交于M，N两点.变2（1）求圆C的标准方程；（2）求当满足时对应的直线l的方程；（3）若点，分别记直线PM､直线PN的斜率为，，求证：为定值.变3已知平面直角坐标系上一动点到点的距离是点到点的距离的2倍.变3（1）求点的轨迹方程；（2）设，线段的中点为，求点的轨迹方程；（3）若斜率为的直线与点的轨迹相交于异于原点的两点，，直线，的斜率分别为，，且，求直线与轴的交点的坐标.变4已知过点的动直线l与圆相交于P，Q两点，M是PQ中点，l与直线相交于N．变4（1）当PQ=时，求直线l的方程；（2）是否为定值？如果是，请求定值；若不是请说明理由.考点四定点问题考点四定点问题例1已知圆C的圆心在直线上，且圆C经过，两点.例1（1）求圆C的标准方程.（2）设直线与圆C交于A，B（异于坐标原点O）两点，若以AB为直径的圆过原点，试问直线l是否过定点？若是，求出定点坐标；若否，请说明理由.例2在平面直角坐标系中，已知点，以原点O为圆心的圆截直线所得线段的长度为.例2（1）求圆O的方程；（2）若直线与圆O相交于M，N两点，且，求t的值；（3）在直线上是否存在异于A的定点Q，使得对圆O上任意一点P，都有（为正常数）？若存在，求出点Q的坐标及的值；若不存在，请说明理由.变1平面直角坐标系中，已知圆M过坐标原点O且圆心在曲线上．变1（1）若圆M分别与x轴、y轴交于点A、B（不同于原点O），求证：的面积为定值；（2）设直线直线：与圆M交于不同的两点C，D，且，求圆M的方程；（3）设直线与（2）中所求圆M交于点E、F，P为直线上的动点，直线，与圆M的另一个交点分别为G，H，求证：直线过定点．变2已知圆过点，且圆心在轴．变2（1）求圆的标准方程；（2）圆与x轴的负半轴的交点为，过点作两条直线分别交圆于，两点，且，求证：直线恒过定点．变3在平面直角坐标系xOy中，点A在直线上，B（7，3），以线段AB为直径的圆C（C为圆心）与直线l相交于另一个点D，AB⊥CD.变3（1）求圆C的标准方程；（2）若点A不在第一象限内，圆C与x轴的正半轴的交点为P，过点P作两条直线分别交圆于M，N两点，且两直线的斜率之积为－5，试判断直线MN是否恒过定点，若是，请求出定点的坐标；若不是，请说明理由.考点五斜率和为零问题考点五斜率和为零问题例1圆例1（1）若圆C与x轴相切，求圆C的方程；（2）已知，圆C与x轴相交于M，N（点M在点N的左侧），过点M任作一条直线与圆相交于A，B两点，间：是否存在实数a，使得？若存在，求出实数a的值，若不存在，请说明理由．例2圆．例2（1）求证：不论为何值，圆必过两定点；（2）已知，圆与轴相交于两点，（点在点的左侧）．过点任作一条与x轴不重合的直线与圆相交于两点，，问：是否存在实数a，使得？若存在，求出实数a的值，若不存在，请说明理由．变1已知直线，半径为的圆与相切，圆心在轴上且在直线的右上方.变1（1）求圆的方程；（2）过点的直线与圆交于两点在轴上方），问在轴正半轴上是否存在定点，使得x轴平分？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由.变2已知直线：，半径为2的圆与相切，圆心在轴上且在直线的右上方.变2（1）求圆的方程；（2）直线与圆交于不同的，两点，且，求直线的斜率；（3）过点的直线与圆交于，两点(在轴上方)，问在轴正半轴上是否存在定点，使得x轴平分？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由.1.已知圆C经过点，圆C的圆心在圆的内部，且直线被圆C所截得的弦长为.点P为圆C上异于A，B的任意一点，直线PA与x轴交于点M，直线PB与y轴交于点N.（1）求圆C的方程；（2）若直线与圆C交于A1，A2两点，求.2.已知圆：经过点，.（1）求圆的标准方程；（2）若直线：与圆交于M，N两点，是否存在直线，使得.（为坐标原点）?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.3.如图，在平面直角坐标系中，已知圆：，点，过点的直线与圆交于不同的两点（不在y轴上).（1）若直线的斜率为3，求；（2）设直线的斜率分别为，求证：为定值，并求出该定值；（3）设的中点为，是否存在直线，使得？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由.4.已知圆经过原点且与直线相切于点.（1）求圆的方程；（2）在圆上是否存在关于直线对称的两点，使得以线段为直径的圆经过原点？若存在，写出直线的方程；若不存在，请说明理由.5.在平面直角坐标系中，设圆的圆心为，．（1）若，是圆的两条切线，，是切点，为圆心，求四边形的面积；（2）若过点且斜率为的直线与圆相交于不同的两点，．设直线、的斜率分别为，，问是否为定值？若是，求出这个定值，若不是，请说明理由．6.已知斜率为的直线过点，圆与交于两点，线段中点是.（1）若，求坐标（2）若直线与直线交点是P，那么是否为定值？如果是，求出定值；如果不是，说明理由．7.在平面直角坐标系中，已知圆心在x轴上的圆C经过点，且被y轴截得的弦长为.经过坐标原点O的直线l与圆C交于M，N两点（1）求当满足时对应的直线l的方程；（2）若点，直线与圆C的另一个交点为R，直线与圆C的另一个交点为T，分别记直线l、直线的斜率为，求证：为定值.8.已知圆的圆心坐标为，且该圆经过点．（1）求圆的标准方程；（2）若点也在圆上，且弦长为8，求直线的方程；（3）直线交圆于，两点，若直线，的斜率之积为2，求证：直线过一个定点，并求出该定点坐标．9.已知在中，点，，点在直线下方，且．（1）求的外接圆的方程；（2）过点的直线与圆交于、两点在轴上方），在轴上是否存在定点，使得轴平分？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．10.已知圆过点，且圆心在轴．（1）求圆的标准方程；（2）圆与轴的负半轴的交点为，过点作两条直线分别交圆于，两点，且，求证：直线恒过定点．11.已知圆经过，，三点．（1）求圆的方程；（2）设点在圆上运动，点，且点满足，记点的轨迹为．①求的方程；②试探究：在直线上是否存在定点（异于原点，使得对于上任意一点，都有为一常数，若存在，求出所有满足条件的点的坐标，若不存在，说明理由．12.已知直线：，半径为的圆与相切，圆心在x轴上且在直线的右上方.（1）求圆的方程；（2）过点的直线与圆交于，两点(在x轴上方)，问在x轴正半轴上是否存在定点，使得x轴平分？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理