沪教版 七年级(上)数学 秋季课程 第11讲 整式的除法（解析版）

w整式的除法

内容分析

本节课学习的内容包括三部分：同底数赛的除法，单项式除以单项式，多项式除以单项

式.掌握同底数露的除法和单项式除以单项式、多项式除以单项式的运算法则，重点能够进

行准确地计算，理解与整式乘法的逆运算关系.难点是结合之前所学过的加减法与乘法，可

以灵活地进行混合运算.

知识结构

N同底数幕的除法］

，---------------------------------------\-----------------------------------

整式除法-T单项式除以单项与I

q多项式除以朝式］

模块一：同底数幕的除法

（^）知识精讲

1、同底数塞的除法

同底数幕相除，底数不变，指数相减.

a"'4-a"=am~"（m、〃是正整数,S.m>n,。/0）

注：底数。可以是数字、字母，也可以是单项式或多项式.

2、任何不等于零的数的零次赛都等于1

a°=l（a/O）

3、同底数数幕的乘除运算顺序

先算积的乘方、哥的乘方、再算同底数幕的乘除；在只有乘除的运算中，应按从左到右

的顺序进行，有括号的先算括号里面的.

七

例题解析

【例1】若,则().

A.x=lB.C.x>1D.x<l

【答案】B

【解析】〃°=1(QW0).

【总结】任何不等于零的数的零次幕都等于1.

【例2】计算：

(1)；(2)(g)=；(3)(〃”2+(")6=

【答案】(1)。6；(2)(1)2=^；(3)a6b6.

【解析】am^an=am-n.

【总结】考查同底数累的除法基本公式的运用.

【例3】计算⑹-a")Jas的结果是().

m+n}p+imp

A.qs-8B.dC.0MD.(T+P-8

【答案】C

【解析】基本公式：am-a"=am+n,("")"=*,am^an=am-n.

【总结】考查同底数募的乘除法基本公式的运用.

【例4】计算：

⑴㈠『一㈠)J(2)(-3'(一3广=

2/20

⑶H+[T]=----------；⑷ip"2=

【答案】(1)V;(2)-27；(3)]；(4)a2.

【解析】略.

【总结】考查同底数幕的除法基本公式的运用.

【例5】计算：

(1)(-«)'8+(-a),+(一〃)4-

(2)-X2-(-X)3-X)2=

【答案】(1)-a5；(2)(3)—小；(4)a1

【解析】(4)原式=，+[42=〃9=〃7.

【总结】考查同底数幕的乘除法基本公式的运用.

【例6】计算:

(1)(4-b)6+伍_。)3.

(2)_2ab+b1.(々-域=；

(3)(x+y)2〃'+(x+y)*.(x+y『+=(x+y『.

【答案】(1)0一")3；(2)(Q-人)”；(3)(犬+2.

【解析】(2)原式-6)['+(a-b)3=(a-b)u；

(3)(x+y--2i-2=(x+y)*2.

【总结】考查同底数幕的乘除法基本公式的运用.

【例7】计算：

(1)512^253X1252；(2)(-27)3x(-9)2H-(-3)2.

【答案】⑴512；(2)-311.

【解析】(1)原式=512+56x56=5、(2)M^=-39x34^32=-3n.

【总结】考查同底数幕的乘除法基本公式在数字巧算中的运用.

【例8】(1)已知尤"=3,/=5,贝

(2)3'"=6,9"=2,则32'»4"+1=.

77

【答案】(1)—；(2)27.

25

【解析】(1)原式=(无"丫+(«)2=33+52=||；

(2)原式=(3"[2+0")"x3=6?+4*3=27.

【总结】考查同底数幕的乘除法基本公式的运用以及整体代入思想的运用.

【例9】已知ZxSenSxZ"7,求机的值.

【答案】加=1.

【解析】由5"i=2"T,可得：片1.

【总结】考查基本公式的应用.

【例10］若(2尤-1)°无意义,求代数式(4d—1户5的值.

4/20

【答案】0.

【解析】因为（2x-l）°无意义，所以x=E，原式=0如5=0.

【总结】考查基本公式的应用的条件.

【例11】已知3"'=5,=9,求（一！］•/OB的值.

81In）

【答案】L

【解析】T-^=T^n=^-,因为3"'=5,所以34'=81，所以"=1,所以原式=〃=1

ol

【总结】考查同底数累的乘除法基本公式的灵活运用.

【例12】如果整数x、y、z满足求要^的值.

【答案】-4.

I解析】图阁闱仔二图层》展亲善

=3『+3z-.2"-3Az.5一=16=2,，所以x=i,y=2,z=l,所以生tl=_4.

【总结】考查同底数幕的乘除法基本公式的灵活运用，注意计算的技巧.

【例13］已知（X-3）z=l,求整数尤.

【答案］x=4或x=—2或x=2.

【解析】1的任何次方都等于1,任何一个数的0次方都等于1,-1的偶数次幕等于1,所

以尤=4或x=—2或x=2.

【总结】本题一方面考查对零次幕的理解，另一方面考查分类讨论思想的运用，综合性较强,

注意不要漏解.

七

模块二：单项式除以单项式

©知识精讲

1、单项式除以单项式法则

两个单项式相除，把系数、同底数幕分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的

字母，则连同它的指数作为商的一个因式.

2、单项式除以单项式的步骤

（1）把系数相除，所得的结果作为商的因式；

（2）把同底数的幕分别相除，所得的结果作为商的一个因式；

（3）只在被除式里含有的字母，连同其指数作为商的一个因式.

3、单项式混合运算法则

通常情况下，应先乘方，在乘除，最后做加减运算，如有括号，先算括号内的运算.

例题解析

mn32

【例14】xy^xy=x,贝!J().

A.m=6,n=lB.m=5»n=l

C.m=5Jn=0D.m=6,n=Q

【答案】B

【解析】xmyn^x3y=xm-3yn-l,所以仅=5,n=l.

【总结】考查单项式除以单项式法则的简单运用.

【例15】计算:

6/20

(1)12la2bc3+llabc=；(2)64m2n2+=16mn；

(3)(-5*y+(_2叫3=.

(4)(6X108)^(-1.5X103)=(用科学记数法表示)；

(5)若+小2y4=-2%2>",则根=,n=.

75

【答案】(1)11。。？；(2)(3)—b5；(4)-4xl05；(5)m=-18,n=2.

8

【解析】(5)(6x2y3)24-mx2y4=—x2y2=-2x2yn,所以m=一18,n=2.

''m

【总结】考查单项式除以单项式法则的简单运用.

【例16】计算:

(1)(一孙之了+(一%2〉)；(2)180时十(一；

(3)(—2孙2)2.3%2y+(―X3y4)；(4)28(x+(x-2y)5H-|^-7(x+y)3(x-2y)4^.

【答案】(1)孙5；(2)_卜%5;

(3)-12xy；(4)-4x2+4xy+8y2.

【解析】(4)中可以将x+y与x-2y看作一个整体.

【总结】考查单项式除以单项式法则的简单运用.

【例17］若—2|+1(l+C)2=0,求卜%2)+序2,］.卜叫2的值.

【答案】

8

【解析】由题意，得：a=――,b=2,c=—l.

2

(-。町

1317

将"=—，b=2,c=_］代入，得：原式=---x(—)x(—I)6x22=—.

21628

【总结】考查平方及绝对值的非负性及单项式间的乘除计算，注意法则的准确运用.

七」

【例18】先化简，再求值：（一2%、4）+（一%2,2）.（_X）一（％一2,）（2p+%）+%（x-xy2）,

其中％=-1,y=-2.

【答案】4.

【解析】原式=一2一式一尤2+4、+X2一尤2,2=_3白己+今2=一12+16=4.

【总结】考查单项式乘除法的化简及计算.

【例19】有一道题“先化简，再求值：［（尤+1）2-。-1）2］+无，其中*=2007.”小强做题时

把“x=2007”抄成了“x=2070”，但计算结果也是正确的，请解释这是怎么回事？

【答案】略.

【解析】原式=（d+2x+l-x2+2x-l）+x=4,原式得结果与x的值无关.

【总结】当单项式的乘除运算结果是一个常数时，说明运算结果与所含字母的值无关.

【例20］已知（3x2y"12+（2/村=（3/力2y+Qv,Ty）,求?”+〃的值.

【答案】3.

【解析】左边=2/3"2m一3,右边〜，可得心=1,"=2,所以利+"=3.

88

【总结】考查单项式乘除法的化简及计算，注意法则的准确运用.

【例21】化简：（/一0+1/.（。一/-1广+（“一/一1广（机是正整数）.

【答案】当〃?为奇数时，原式=-1；当m为偶数时，原式=1.

-10为奇数）

【解析】原式==(-lf=

1（机为偶数）

【总结】考查单项式乘除法的化简及计算，注意法则的准确运用以及分类讨论思想的运用.

8/20

模块三：多项式除以单项式

知识精讲

1,多项式除以单项式的法则

多项式除以单项式，先把多项式的每一项分别除以单项式，再把所得商相加，用式子表

不就是：｛am+bm+c）^-n=am^-n+bm^n+c-^-n.

2,注意事项

（1）多项式除以单项式的结果仍是多项式，项数与原多项式相同.

（2）商的次数不高于多项式的次数，商的次数=多项式的次数-单项式的次数.

（3）被除式=商式x除式+余式.

例题解析

【例22】如果（4a2b-3a/）+M=Ya+3b,那么单项式M等于（）.

A.abB.-abC.aD.-b

【答案】B

【解析1Af=（4a2/?-3仍2）+（To+36）=-ab.

【总结】考查多项式除以单项式法则的运用.

【例23】计算：

(1)(3丁-2厂+5x)+x=；

(2)(366/_9«3/,2+4a2b2)^[-6a2b)=.

R?

【答案】(1)3X2-2X+5；(2)-6a2b2+-ab--b.

23

【解析】略.

【总结】考查多项式除以单项式法则的运用.

tl

【例24】计算：

(1)(12/w+%"+3_2Qam+llrm+4+4am+1bm+2/4a"'bm+1=；

(2)若(一5""76"+4)+(3屋+265)=_1/62,贝|］根+〃=.

【答案】(1)3am+1b2-5abm+3+ab-,(2)3.

【解析】(2)左边=-9。"1fbl所以加=9,〃=3,所以加+“=3.

3

【总结】考查多项式除以单项式法则的运用.

【例25］若2a-b=0,则代数式［(。2+62)_5-6)2+2伙4-力卜46的值为.

【答案】0.

2

【解析】原式=(6+从—/+2ab—b+2"一2Z?2)+46=(2a—6)+2=0.

【总结】考查多项式除以单项式法则的运用.

【例26］下雨时，常常是“先见闪电，后闻雷鸣”，这是由于光速比声速快的原因，已知光

在空气中传播的速度约为3.0xl0%/s,它是声音在空气中传播速度的8.82xl()5倍,

则声音在空气中的传播速度是.(用科学记数法表示，保留两位小数)

【答案】3.40xlO3mis.

【解析】3.0xlO8-(8.82xlO5)=3.40xl03m/5.

【总结】考查多项式除以单项式计算的简单应用.

【例27】已知除式g(x)=V-3x+l,商式。(x)=/+3x+l,余式R(无)=2》-4,求被除

式/(元).

【答案】/(X)=X4-7X2+2X-3.

【解析】〃尤)=g(x).Q(x)+R(x)=(x2+1)2-9/+2x-4

10/20

=x4+2x2+1-9尤?+2x-4=x4-7x2+2x-3.

【总结】考查被除式、除式、商、余式之间的关系及多项式除单项式的法则.

tl

【例28】计算：

(1)]jx6y2+-1%3y5-0.9x2y3^4-(-0.6xy)；

(2)[(尤+2“-y(4y+x)卜(-2x)；

(3)(20an-2F-14an-lbn+1+8a2"b)^(-2af)；

(4)+加].

(5)(3x“-7x3+5x2)+1-gx2)-(6x2-4x)-2x；

(6)[5a4(a2-4)+(-2a2)5-(-a)2]-(-2a27.

【答案】(1)-3/2x2y4+3孙2；(2)(3)-Wab'^+la2^-4aH+3；

422

(4)6/b一1；(5)-9x2+18.r-13；(6)-a2-8a4-5.

4

【解析】直接利用多项式除以单项式的法则进行计算.

【总结】考查多项式除以单项式法则的运用.

【例29】设梯形的面积为35M25帆,高线长为5帆冏，下底长为4根，求上底长（m>n）.

【答案】10m—10n.

2(35m2n-25mn2

【解析]」-------------—4m=10m—10n.

5mn

【总结】考查梯形的面积公式及多项式除以单项式的法则的运用.

12/20

【例30】化简求值：(-2aV)(a-2x)-1aV+[-(分门，其中a=g,x=T.

【答案】5-.

2

-2/彳2+4aV—尤

【解析】原式=----------—=24一4办+%,

—ax4

当a=g,无=7时，MJ^=2X(1)2-4X|X(-4)+|X(-4)=51.

【总结】考查多项式除以单项式的化简及求值.

【例31】阅读下列材料：

,.t(x+3)(x-2)=x2+x-6,

(x~+x-6)+(x-2)=x+3.

这说明*+尤一6能被(x-2)整除，同时也说明多项式/+》-6有一个因式(尤-2)；

另外，当x=2时，多项式f+x-6的值为零.

回答下列问题：

(1)根据上面的材料猜想：多项式的值为0、多项式有因式(彳-2)、多项式能被(尤-2)

整除，这之间存在着一种什么样的联系？

(2)探求规律：更一般地，如果一个关于字母x的多项式当天=左时，M的值为0,

那么M与代数式(尤-k)之间有何种关系？

(3)应用：利用上面的结果求解：已知(x-2)能被*+日T4,求上的值.

【答案】略.

【解析】(1)多项式有因式％-2,或多项式能被％-2整除，则当x=2时，多项式的值为

0,则多项式有因式x-2,且多项式能被彳-2整除；

(2)〃■能被尤—左整除，M有因式尤―左；

(3)当尤=2时，d+履一14=0,解得：k=5.

【总结】考查多项式除单项式的应用以及阅读理解类题目的具体解法.

随堂检测

【习题1](1)(-3a3)2=

【答案】(1)9a4；(2)-9a3-3a2.

【解析】（1）9/；（2）-9a3-3a2.

【总结】本题主要考查单项式除以单项式法则的运用.

【习题2】若（4孙）•"7=12彳、3_，12/>2+4fy2,则多项式〃?=.

【答案】冲2-3尤2y+孙.

【解析】hxy2-3x1y+xy.

【总结】考查整式的乘除法运算间的关系.

【习题3】已知被除式是丁+3元2-2,商式是尤，余式是-2,则除式是

【答案】X2+3X.

【解析】（X3+3X2-2-（-2））-X=X2+3X.

【总结】考查被除式、除式、商、余式之间的关系及单项式的计算.

【习题4】若（Yy）"'+（x3y2y=x5y2,则加=,n=.

【答案】m=4,”=1.

【解析】，小、（尤3力,所以加=4,77=1.

【总结】考查单项式除以单项式的法则的运用.

【习题5】计算：（一.

【答案】-a5m-n.

［解析］原式=-4?"+屋=-产F.

【总结】考查单项式除以单项式的法则的运用.

14/20

【习题6】若4x-y=2,则163,+23y=.

【答案】64.

【解析1163x23y=212A3y=23（4、）=26=64.

【总结】本题一方面考查单项式除以单项式的法则的运用，另一方面考查整体代入思想的运

用.

【习题7】计算：

(1)(洲+(涸・加;(2)(-X2"-2).(-X)34-.X")；

23_5325

(3)3a%,(4ax)+6a%；(4)。//y十(_6//)23y2

Q1

【答案】(1)九5；(2)/；(3)-6a4；(4)-xsyb--x6y4.

49

【解析】(1)原式=/66+"2=475；

(2)原式=.一/"+1=."+3+”+1=f；

(3)原式=9ax2-(^4.«5%3/6a2%5=-36a6^+602%5=-6x4；

(4)原式==8"+36//一">4=26一"4.

【总结】考查单项式与单项式的乘除法运算，注意法则的准确运用.

【习题8】计算：

⑴gx2y6_2盯5+_|y4卜1.

(2)4(2。-1)仁+；］+(4*_/)+/4).

2

(3)2x"丹(-g-My2“+1++2“+1婷T+1/Ty2“-1:孙).

77Q3

【答案】(1)-x2y2--xy+-;(2)-12a2+3；(3)8x4ny4n-16x4ny4n-2-24x4n-2y4n-2.

1622

【解析】⑴原式=112y6一2叶5+小4卜1；/=1102一1'+_|；

(2)原式=(24-1)(2<2+1)+(-16/+4)=4/_1_16/+4=-12/+3；

(3)原式=8钟/_16无"4y42-24/7y4”.2

【总结】本题主要考查同底数幕的乘除法、单项式、多项式的计算，注意法则的准确运用.

【习题9】已知2小=3,4"=8,求:23m2"+3的值.

【答案】27.

【解析】（2"'丫+2^x23=33+8x8=27.

【总结】本题主要考查同底数幕的乘除法运算，以及整体代入思想的运用.

【习题10］先化简，再求值：3（加yf加+白，其中a=-l,b=2.

【答案】-16.

31

【解析】原式=3/64+一+一b=8ab=-i6.

42

【总结】考查单项式除法的运用及其计算求值.

【习题11】将一多项式［（17九之一3九+4）-（4+区+明，除以（5x+6）后，得商式为（24+1）,

余式为0,^a-b-c=.

【答案】29.

【解析】［07/一3%+4）—（依?+区+。）］=（17—a）/一（3+8）％+4—c

（5%+6）-（2x+1）=10x2+17x+6,所以a=7,6=-20,c=-2,所以原式=29.

【总结】考查被除式、除式、商、余式之间的关系及单项式、多项式的计算.

【习题12］若/（%）=6%—1一+m2x4-3x3能被％+1整除，求加的值.

【答案】m=±3.

【解析】因为/（%）=6%-1—5%2+加2犬_3%3能被工+1整除，所以无=—1是方程

16/20

6x—1—5x?+U—3d=0的解，所以机=±3.

【总结】考查多项式与单项式的计算以及对整除的概念的理解及运用.

【习题13】观察下列各式：

卜2_1）+（尤―1）=彳+］

（丁-1）+（尤-1）=x?+x+1

（尤4_1）+（X_1）=X5+彳2+尤+］

（1）写出+的结果是:

（2）利用上题得到的规律，试计算：1+2+22+…+232.

【答案】（1）x"T+x"-2+…+1；（2）233-1.

【解析】（1）x"-1+xw-2+■••+1；

（2）原式=（233-1）*2—1）=233—1.

【总结】考查多项式与单项式的计算以及对规律的归纳总结.

课后作业

【作业1］若（同下列结论正确的是（）.

A.awOB.a^lC.aw-lD.4W±1

【答案】D

［解析］〃°=1（QW0）.

【总结】考查对零次幕的理解及运用.

【作业2】计算f+卜3+（_同2］的结果是

【答案】X5.

【解析】原式=彳6+［炉+幺］=%6+x=%5.

【总结】考查单项式除以单项式的法则的运用.

［作业3］若〃为正整数，且/"=3,则(3/丫十(27"")的值为.

【答案】--

3

【解析】原式=9(/"『+27(/")2=；.

【总结】考查单项式除以单项式的法则的运用以及整体思想的运用.

【作业4】计算:

［Z\2012

(1)27n+1x9^1-35H；(2)(22)7x52013.

【答案】⑴3；(2)10.

【解析】(1)原式=330+3+27-5“=3；(2)原式

【总结】考查同底数幕的乘除法及单项式的计算.

【作业5】计算：

(1)(4号)2的2;

(2)9amnb2m-nc>n-2'n+3-.

(3)(-2a)8+[-(2a)2]-(2a)9+(-2a)3.

(4)(12万3—18*2+6x)+(-6x)；

5532

(5)F(-3a丫十(_/+2a(3a-4a)K(-3a丫；

【答案】(1)2f；(2)现姿