26-第二章习题课(概率统计)

第二章随机变量及其分布习题课二习题课二归纳了第二章的概念、理论、方法等内容，

在“例题分类解析”部分，讲解了：

1.离散型随机变量的分布律的计算问题；

2.根据概率分布求解概率的问题.

3.连续型随机变量概率密度及其分布问题；

4.关于正态分布的应用问题；

5.随机变量的分布函数问题；

6.随机变量函数的概率分布问题.习题课二内容简介：

在第一章中,我们研究了事件及其概率问题.为充分利用数学工具研究事件及其概率,在本章开始引入了随机变量这一基本概念.任何事件A都可以通过随机变量X来描述,因此,研究事件及其概率问题就转化为研究随机变量的概率分布问题.第二章内容简介：

对于离散型随机变量X,重点研究了三种常用的离散型随机变量服从的两点分布、二项分布和泊松分布,给出了随机变量的分布函数定义及其求法，考虑了离散型随机变量X的函数g(X)的概率分布问题.对于连续型随机变量X,讨论了概率密度函数、分布函数和随机变量的函数的概率分布问题,重点研究了三种常用的连续型随机变量的分布——均匀分布、指数分布和正态分布.

本章重点：1.离散型随机变量的概率分布及其性质;2.

随机变量的分布函数及其性质;3.连续型随机变量的概率密度及其性质;

4.随机变量函数的分布.本章难点：

1.离散型随机变量分布律的有关计算;

2.连续型随机变量的概率密度的有关计算;

3.随机变量的分布函数的有关运算;

4.随机变量函数的概率分布.

一、主要内容归纳1.离散型随机变量的分布律性质:(1)pk≥0,k=1,2,…;讲评只有pk同时满足上述两条性质,数列{pk}才能成为某个离散

型随机变量的分布律.2.伯努利概型

.

P{X=k}=pkqn-k,k=0,1,2,…,n.

一般地,设在一次试验中我们只考虑两个互逆的结果:

A或设我们重复地进行n次独立试验,每次试验事件A出现的概率都是p,发生的概率则是q=1-p.这样的n次独立重复试验称作n重伯努利试验,简称伯努利试验或伯努利概型.n重伯努利试验是一种很重要的数学模型.它有广泛的应用,是研究与应用最多的模型之一.讲评3.分布函数

设X是一个随机变量(包括离散型及非离散型).x是任意实数,定义F(x)=P{X≤x},-∞<x<+∞.分布函数的性质：(1)0≤F(x)≤1；

(2)F(x)单调不减,即当x1<x2时,F(x1)≤F(x2)

；(3)F(-∞)=

,F(+∞)=

称F(x)为随机变量X的分布函数,有时也记为FX(x).由分布函数的定义知,若F(x)是X的分布函数,则有P{a<X≤b}=F(b)-F(a).(4)F(x)右连续,即对任意实数x,有F(x+0)=F(x)；(5)对每个x0,都有P{X=x0}=F(x0)-F(x0-0).定义中的{X≤x}表示事件“随机变量X取值不大于x”,所以随机变量的分布函数F(x)是以事件{X≤x}的概率定义的函数,它的定义域为讲评,其值域为[0,1].4.连续型随机变量的概率密度F(x)=P{X≤x}=

则称X为连续型随机变量,其中函数f(x)称为X的概率密度函数,简称为概率密度或密度.对于随机变量X,如果存在一个非负可积函数f(x),使得对于任意的实数x,有概率密度

具有以下性质：

(1)≥0,x∈(-∞,+∞)；(2)(3)P{a<X≤b}=F(b)-F(a)=

(4)若在点x处连续,则有(5)对连续型随机变量x，总有性质(1)和(2)是连续型随机变量的概率密度f(x)

必须具有的特性，常用来检查某一函数是否是连续型随机变量的概率密度.性质(3)和(4)是由概率密度的定义导出的性质.性质(3)和(4)表明：随机变量X落在区间(a,b]

内的概率等于曲线

y=f(x)与x=a,x=b及x轴所围成的曲边梯形的面积.性质(5)表明：对于连续型随机变量X,总有讲评这与离散型随机变量是不同的.5.几种重要的随机变量的分布(1)0-1分布或两点分布设随机变量X只可能取0与1两个值,0<p<1,它的分布律是P{a<X≤b}=P{a<X<b}=P{a≤X≤b}=P{a≤X<b}.P{X=k}=pk(1-p)1-k,k=0,1,则称随机变量X服从0-1分布.

0-1分布的分布律也可写成X

0

1P1-p

p(2)二项分布

在n重伯努利试验中,事件A恰好发生k次的概率为其中p为事件A在每次试验中出现的概率,

q为A不出现的概率,q=1-p.称随机变量X服从二项分布.P{X=k}=

(3)泊松分布

若随机变量的分布率为通常记为X～B(n，p).(4)均匀分布

若连续型随机变量X的概率密度为

其中λ>0,则称随机变量X服从参数为λ

的泊松分布记为则称X在区间(a,b)上服从均匀分布.

其中

a,b为参数,且a<b.

在区间(a,b)上服从均匀分布的随机变量X的分布函数为记为(5)指数分布若连续型随机变量X的概率密度为则称X服从参数为λ的指数分布,记X~E(λ),其中λ>0是常数.

服从参数为λ的指数分布的随机变量X的分布函数为(6)正态分布若随机变量X

的概率密度为),其中μ和σ(σ>0)都是常数.则称X服从参数为μ和的正态分布,记为X～N(时,得到的正态分布N(0,1)称为标准正态分布.服从标准正态分布的随机变量X

的概率密度和分布函数通常用和Φ(x)表示.当的正态分布的随机变量X的分布函数是服从参数为μ和σ2

应熟练掌握以上6种重要的随机变量的分布，要掌握它们的分布律或概率密度,对标准正态分布的概率密度与分布函数要高度重视.6种分布在解决实际问题中都有着广泛的应用.也是经常考查的重点内容之一.讲评Φ(x)=

二、例题分类解析

离散型随机变量的分布律的计算问题

例1

一批零件中有9个正品和3个次品.安装设备时从中任取一个,若是次品不再放回,继续任取一个,直到取到正品为止.求在取到正品以前已取得次品数的分布律.本题涉及到求离散型随机变量分布律的问题.求分布律时可用前面古典概型、条件概率、独立性、全概率公式等有关知识所学.分析P{X=2}=P{X=3}=于是次品数的分布律为

P3210X

例2

设事件A在每一次试验中发生的概率为0.3,当A发生超过3次时,指示灯发出信号.求进行7次独立试验,事件A发生的次数X的分布律,并计算指示灯发出信号的概率.本试验是7重伯努利试验,随机变量X应分析服从二项分布.随机变量X服从参数为n=7与p=0.3的二项分布,其分布律为解P{X=k}=指示灯发出信号的概率=0.0772+0.0250+0.0036+0.0005=0.1063.

例3

某自动生产线在调整之后出现次品的概率为5‰,生产过程中一旦出现次品,便立即进行调整.求在两次调整之间生产的正品数X的分布律.由题设知事件{X=k}表示共试验了k+1次,第k+1次出现了次品,前面k次都是正品.于是X的分布律为解P{X=k}=0.005

例4一批产品共100个,其中有5个次品95个正品.一次任意取出10个产品,求其中次品数X的分布律.本题是典型的超几何分布的问题.分析

随机变量X服从参数n=10,M=5,N=100的超几何分布,其分布律解

P{X=k}=

P{-2≤X＜2},P{X＜3|X＝0},P{X≥1|X≠3}.求

例5

已知离散型随机变量X的分布律为

X-20136

P0.30.20.10.20.2本题涉及到利用概率分布求概率的问题.由于分布律或分布函数全面地给出了离散型随机变量取值的概率特征,所以可通过它们求得事件的概率.分析2.根据概率分布求概率的问题解由分布律得=0.3+0.2+0.1=0.6.由条件概率公式得P{X＜3|X＝0}==1.P{-2≤X＜2}=P{X=-2}+P{X=0}+P{X=1}P{X≥1|X≠3}=0.375.例6设离散型随机变量的分布函数为求P{X=2},P{1≤X≤4},P{X<5|X≠1}.这是通过分布函数计算概率问题.参见例6用分布律计算概率.P{X<5|X≠1}=

分析解

方法1

利用分布函数的定义计算P{X=2}=F(2)-F(2-0)=0.59-0.35=0.24,P{1≤X≤4}=F(4)-F(1)

–[F(1)

-F(1-0)]=0.59-0=0.59,P{X=2}=0.24，P{1≤X≤4}=P{X=1}+P{X=2}=0.35+0.24=

0.59,方法2

由分布函数可得到X的分布律X125P0.350.240.41于是

P{X<5|X≠1}=3.连续型随机变量概率密度及其分布问题例7确定常数c,使如下函数

成为某个随机变量的概率密度.解

令得到c=1.

显然,非负性g(x)≥0(x∈(-∞,+∞))满足.所以,函数g(x)在c=1条件下可以作为某个随机变量的概率密度.解

Y的概率密度方程有实根的充要条件是

Y≥4或Y≤-1.解得

例8

设随机变量Y服从均匀分布U(-5,5),求关于x的方程的概率.有实根于是有{方程有实根}={Y≥4}∪{Y≤-1},故方程有实根的概率为P{Y≥4}+P{Y≤-1}

求连续型随机变量的有关概率问题经常用到下列公式:讲评(注意:“<”换成“≤”,公式仍成立);

4.关于正态分布的应用问题例9

用正态分布估计高考录取最低分.某市有9万名高中毕业生参加高考,招生计划有5.4万名被各类高校录取.已知满分为600分,540分以上者有2025人,360分以下者有13500人.试估计高考录取最低分.解

设学生高考成绩,由题设有P{X≤540}=1-P{X>540}=1-

=0.9775.得到

P{X≤540}=又由于

P{X<360}=于是反查正态分布表,得解上述方程组,得

μ≈421,≈58,所以N(421.).已知录取率

.设录取最低分为a,则0.6=P{X≥a}=1-P{X<a}=1本题用正态分布估计高考录取最低分是正态分布的实际应用问题之一.讲评所以该次高考最低录取分为406分.反查正态分布表,得到

=0.253,得a≈406.由于μ,

两步:未知,故解决问题可分如下(1)由题给的高考结果的两个信息,建立关于未知参数μ,

的两个方程,并解之;(2)通过已公布的录取率,求得最低分值.本题涉及到已知概率密度求分布函数的问题,用公式≤

F(x)=

去解决.例10

设随机变量X的概率密度为求:(1)X的分布函数;

(2)分析5.随机变量的分布函数计算问题解

(1)由分布函数的定义知当x<0时,当0≤x<1时,当1≤x<2时,当x≥2时,所以,X的分布函数为(2)由分布函数性质可知

由概率密度f(x)求分布函数F(x)是概率论中最基本的要求,应熟练掌握.6.随机变量函数的分布问题X-3-1013P0.050.200.150.350.25例11

设随机变量X的分布律为求:(1)Y

=

5-2X的分布律;的分布律.(2)本题是离散型随机变量函数的分布律问题,可用下面公式分析其中解(1)X为五点分布,y=5-2x为单调函数.故不等时yi也不等,从而Y的分布律为Y-115711P0.250.350.150.200.05Z1210P0.150.550.30以Z=10为例,计算如下：P{Z=10}=P({X=-3}∪{X=3})=P{X=-3}

+P{X=3}=0.05+0.25=0.30.(2)由于z=x2+1为偶函数而非单调,通过点分布,而是如下的三点分布:,Z的可能取值为1,

2,

10.关系故Z不再是五注:如果g(xk),k=1,2,…中有相同的值,则把对应的概率相加.本题涉及到连续型随机变量函数的概率密度的问题,有两种方法:分布函数法和公式法.分析

例12

设随机变量概率密度fY(y).求Y的解方法1(分布函数法)由题设得到X的分布函数故Y的分布函数为≤y}

=

FY(y)=P{Y≤y}=P{

所以FY(y)=

对y求导,Y的概率密度为fY(y)=方法2(公式法)X的概率密度为时,

当,反函数严格单调且有连续导数由定理得Y的概率密度fY(y)=即fY(y)=

例13

设随机变量X服从参数为2的指数分布,求Y=g(X)的分布函数,其中当y≥1时,FY(y)=P{Y≤y}=P{g(X)≤y}=P{S}=1;本题是连续型随机变量函数的分布函数求解问题.分析解

}=0;当y<0时,FY(y)=P{Y≤y}=P{g(X)≤y}=P{由题设X的分布函数为当0≤y<1时,FY(y)=P{Y≤y}=P{g(X)≤y}=P{X≤y}=FX(y)=所以Y=g(X)的分布函数分布函数法具有