人教版高中数学必修1知识点2.2对数函数与幂函数教师教学教案

2.2对数函数

2.2.1对数与对数运算

第1课时

本教学设计获福建省教学设计大赛二等奖.

整体设计

教学内容分析

本节课是新课标高中数学A版必修1中第二章对数函数内容的第1课时，也就是对数

函数的入门.对数函数对于学生来说是一个全新的函数模型，学习起来比较困难.而对数函

数又是本章的重要内容，在高考中占有一定的分量，它是在指数函数的基础上，对函数类型

的拓广，同时在解决一些日常生活问题及科研中起着十分重要的作用.通过本节课的学习，

可以让学生理解对数的概念，从而进一步深化对对数模型的认识与理解，为学习对数函数做

好准备.同时，通过对对数概念的学习，对培养学生对立统一、相互联系、相互转化的思想,

培养学生的逻辑思维能力都具有重要的意义.

学生学习情况分析

现阶段大部分学生学习的自主性较差，主动性不够，学习有依赖性，且学习的信心不足,

对数学存在或多或少的恐惧感.通过对指数与指数基的运算的学习，学生已多次体会了对立

统一、相互联系、相互转化的思想，并且探究能力、逻辑思维能力,得到了一定的锻炼.因

此，学生已具备了探索、发现、研究对数定义的认识基础，故应通过指导，教会学生独立思

考、大胆探索和灵活运用类比、转化、归纳等数学思想的学习方法.

设计思想

学生是教学的主体，本节课要给学生提供各种参与机会.为了调动学生学习的积极性，

使学生化被动为主动，本节课可利用多媒体辅助教学，引导学生从实例中认识对数模型，体

会引入对数的必要性.在教学重难点上，步步设问、启发学生的思维，通过课堂练习、探究

活动、学生讨论的方式来加深理解，更好地突破难点和提高教学效率.让学生在教师的引导

下，充分地动手、动口、动脑，掌握学习的主动权.

教学目标

1.理解对数的概念，了解对数与指数的关系；掌握对数式与指数式的互化；理解对数

的性质，掌握以上知识并形成技能.

2.通过实例使学生认识对数模型，体会引入对数的必要性；通过师生观察分析得出对

数的概念及对数式与指数式的互化.

3.通过学生分组进行探究活动，掌握对数的重要性质.通过做练习，使学生感受到理

论与实践的统一.

4】培养学生的类比、分析、归纳能力，培养学生严谨的思维品质以及在学习过程中培

养学生的探究意识.

重点难点

重£：（；）对数的概念；（2）对数式与指数式的相互转化.

难点：（1）对数概念的理解；⑵对数性质的理解.

教学过程

教学

教学程序及设计设计意图

环节

让学生根据题意，设未

引例（3分钟）

知数，列出方程.这两

1.一尺之锤：日取其半，万世不

竭.个例子都出现指数是未

创设情

（1）取5次，还有多长？知数X的情况，让学生

境，引

（2）取多少次，还有0.125尺?思考如何表示X，激发其

入新课

分析：（1）为同学们熟悉的指数函数对对数的学习兴趣，培

模型，易得（；〉=圭，养学生的探究意识.生

活及科研中还有很多这

(2)可设取上次，则有纵=0.125,样的例子，因此引入对

数是必要的.

抽象出：0)'=0-125=>x=?

2.2002年我国GDP为a亿元，如

果每年平均增长8%,那么经过多

少年GDP是2002年的2倍？

分析：设经过x年，则有(1+8%)、

=2,抽象出：(1+8%尸=20x=?

一、对数的概念(3分钟)

一般地，如果〃=N(a>。，且正确理解对数定义中底

aWl)，那么数x叫做以a为底N数的限制，为以后对数

的对数。ogarithm),记作x=l0goM

函数定义域的确定做准

其中〃叫做对数的底数，N叫做真

备.同时注意对数的书

数.

注意：(1)底数的限制：。>0且写格式，避免因书写不

aWl；规范而产生的错误.

(2)对数的书写格式.

二、对数式与指数式的互化：(5分

钟)

底/指数*底数W数

让学生了解对数与指数

幕底数一a一对数底数的关系，明确对数式与

指数一方一对数指数式形式的区别，m

哥一N-*真数匕和N位置的不同，及它

思考：们的含义.互化体现了

(1)为什么对数的定义中要求底数"等价转化这个重要的数

学思想.

>0且e1?

讲授新(2)是否是所有的实数都有对数

课呢？

负数和零没有对数

三、两个重要对数(2分钟)

(1)常用对数：以10为底的对数

logioN,简记为1gM这两个重要对数一定要

(2)自然对数：以无理数e=2.718

掌握，为以后的解题以

28…为底的对数logcN,简记为

InN.(在科学技术中，常常使用以e及换底公式作准备.

为底的对数)

注意：两个重要对数的书写

课堂练习(7分钟)

本练习让学生独立阅读

1.将下列指数式写成对数式：

课本例1和例2后思考

(1)24=16；(2)3、==；(3)5fl=20；

完成，从而熟悉对数式

(4)陟=0.45.与指数式的相互转化，

加深对对数概念的理

2.将下列对数式写成指数式：

解.并要求学生指出对

(l)log125=3；(2)logi3=-2；

5数式与指数式;互化时应

耳

注意哪些问题，培养学

(3)logi(xz=11.069.

生严谨的思维品质.

3.求下列各式的值：

(l)Iog264；(2)log927.

四、对数的性质(12分钟)

探究活动1

求下列各式的值：

(l)log3l=0；(2)lgl=0；

(3)logo,51=Q；(4)ln1=0.

思考：你发现了什么？

“1”的对数等于零，即log/=0(。

>0且类比：/=13>0

且启1).

探究活动2

求下列各式的值：

(l)log33=l；(2)lg10=1；

(3)logo.50.5=l；(4)lne=L探究活动由学生独立完

思考：你发现了什么？成后，通过思考，然后

底数的对数等于“1”，即1。&同=分小组进行讨论，最后

13>0且。工1),类比：al=a(a>0得出结论.通过练习与

且1).讨论的方式，让学生自

探究活动3己得出结论，从而能更

求下列各式的值：好地理解和掌握对数的

性质.培养学生类比、

⑴2bg23=*⑵7哨明政;

分析、归纳的能力.

(3)0.4,OS0,489=89.

思考：你发现了什么？

IQQN

对数恒等式：aa=Ma>0且

aWl).

探究活动4

求下列各式的值：

(l)log334=4；(2)logo.90.95=5；

(3)Ine8=8.

思考：你发现了什么？

对数恒等式：10刎"=〃(4>0且

”1).

负数和零没有对数；

“1”的对数等于零，即lOgal

讲=0；

授将学生归纳的结论进行

小底数的对数等于“1”，即

新小结，从而得到对数的

结1。&同=1;

课

对数恒等式：牌髀=N；基本性质.

对数恒等式：10刎"=〃.3>0

且启1)

(3分钟)总结是一堂课内容的概

1.引入对数的必要性——对数的括，有利于学生系统地

归纳小概念

掌握所学内容.同时，

结，强一般地，如果"=N(a>。，且

将本节内容纳入已有的

化思想。"1),那么数x叫做以。为底N

的对数(logari由m),记作x=lo&jN.知识体系中，发挥承上

2.指数与对数的关系启下的作用.为下一课

汽时对数的运算打下扎实

底薮指数辕底数真数前数的基础.

3.对数的基本性质

负数和零没有对数；log.1=0；bgM

=1；

IQQN

对数恒等式：aa=Mlog/1

=〃.

一、课本习题2.2A组第1,2题.作业是学生信息的反

二、已知10&2=1，log«3=y,求

持+2y的值.馈，教师可以在作业中

作

业

发现学生在学习中存在

布置三、求下列各式的值：

的问题，弥补教学中的

2210g252-log23

不足.

210g951-2脸4

J;J

2.2.1对数与对数运算

第1课时

三、对数

引例1

板书的基本

引例2二、对数式与

设计性质

一、对指数式的

四、小结

数的定互化练习

五、作业

义

布置

教学反思

本教学设计先由引例出发，创设情境，激发学生对对数的学习兴趣；在讲授新课部分，

通过结合多媒体教学以及一系列的课堂探究活动，加深学生对对数的认识；最后通过课堂练

习来巩固学生对对数的掌握.

第2课时

整体设计

教学目标

1.知识与技能

(1)通过实例推导对数的运算性质，准确地运用对数的运算性质进行运算、求值、化简,

并掌握化简求值的技能.

(2)运用对数的运算性质解决有关问题.

(3)培养学生分析、解决问题的能力.

培养学生的数学应用意识和科学分析问题的精神和态度.

2.过程与方法

(1)让学生经历并推导出对数的运算性质.

(2)让学生归纳整理本节所学的知识.

3.情感态度与价值观

让学生:赢对数运算性质的重要性，增加学生的成功感，增强学习的积极性.

重点难点

重点：对数运算的性质与对数知识的应用.

难点：正确使用对数的运算性质.

教学过程

导入新课

思路1.上节课我们学习了以下内容：

1.对数的定义.

2.指数式与对数式的互化.

ab=N0\og<N=b.

3.重要性质：

logN

(1)负数与零没有对数；(2)lo&l=0,logM=l；(3)对数恒等式。卜=N.

下面我们接着讲对数的运算性质(教师板书课题：对数与对数运算(2)).

思路2.我们在学习指数的时候，知道指数有相应的运算法则，即指数运算法则：

n

小a阳+"=""一"；(〃")"=/'"；'胞=优".(。>0且aHl)

从上节课我们还知道指数与对数都是一种运算，而且它们互为逆运算，对数是否也有和

指数相类似的运算法则呢？答案是肯定的，这就是本堂课的主要内容，点出课题：对数与对

数运算(2).

推进新课

新知探究

提出问题

(1)在上节课中，我们知道，对数运算可看作指数运算的逆运算，你能从指数与对数的

关系以及指数运算的性质，得出相应的对数运算的性质吗？

(2)如我们知道/=M,d=N,那加+〃如何表示，能用对数式运算吗？

(3)在上述(2)的条件下，类比指数运算性质能得出其他对数运算性质吗？

(4)你能否用最简练的语言描述上述结论？如果能，请描述.

(5)上述运算性质中的字母的取值有什么限制吗？

(6)上述结论能否推广.呢？

(7)学习这些性质能对我们进行对数运算带来哪些方便呢？

讨论结果：(1)通过问题(2)来说明.

(2)若M=aZN=cf,于是MN=am+n,由对数的定义得到

log“M,N=JO〃=logJV,MN=(T+n^m+n=lo劭MN=logaM+log〃N.

因此机+〃可以用对数式表示.

n

(3)令N=af则方=""+/=所以〃?一〃=10&讨.

又由M=a7N=a",所以/n=log“M,n=log<//V.

MM

所以10g„A/—logr,A^=m—n=logaR,即log%=log“M—logW.

设知=/,则""=(/)”=〃叫由对数的定义，

所以k)g“M=〃?，10gaM=〃?〃.所以10即澳=m〃=m0g曲，即lOgaVfnOgqM.

这样我们得到对数的三个运算性质：

如果a>0,aWl,M>0,N>0,则有

lo汝(MM=log“M十logW：①

M

［。物W=log“M—logJV；②

Jo劭秘=川0期”(〃£1<).③

(4)以上三个性质可以归纳为：

性质①：两数积的对数，等于各数的对数的和；

性质②：两数商的对数，等于被除数的对数减去除数的对数；

性质③：幕的对数等于哥指数乘以底数的对数.

(5)利用对数运算性质进行运算，所以要求a>0,a#l,M>0,N>0.

(6)性质①可以推广到〃个数的情形：

即log“(M|M2M3…M")=log<M+log“M2+logz/M3+…+log“M”(其中a>0,aWl,M，

“2,%，…，M,均大于0).

(7)纵观这三个性质我们知道，

性质①的等号左端是乘积的对数，右端是对数的和，从左往右看是一个降级运算.

性质②的等号左端是商的对数，右端是对数的差，从左往右是一个降级运算，从右往左

是一个升级运算.

性质③从左往右仍然是降级运算.

利用对数的性质①②可以使两正数的积、商的对数转化为两正数的各自的对数的和、差

运算.方便了对数式的化简和求值.

应用示例

例1用10gg用曲》lOgoZ表示下列各式:

(Ijlog^：(2)log,66.

活动：学生思考观察，教师巡视，检查学生解题情况，发现问题及时纠正.

利用对数的运算性质，把整体分解成部分.

对(9。请，可先利用性质②，转化为两数对数的差，再利用性质①，把积的对数转化

为两数对数的和.

对(2)log/近，可先利用性质②，转化为两数对数的差，再利用性质①，把积的对数转

相

化为两数对数的和，最后利用性质③，转化为赛指数与底数的对数的积.

解：(1)10^^=logaQy)—log«z=log^+logaj—log«z；

(2)log/^=logd(xS/>')-log^^/z

3I

=lo&片+logaj-log”yjz=21o&E+]log«y—]logaZ.

点评：对数的运算性质实质上是把积、商、寐的对数运算分别转化为对数的加、减、乘

的运算.

变式训练

1.若。>0,aWl,x>0,y>0»x>y,下列式子正确的个数为（）

①lo&*Log“y=log«（x+y）；②log,j—log«y=lo^x—y）；

@loga-=log^4-log。），；④log«a），）=log^log^y.

A.0B.1C.2D.3

答案：A

2.若a>0,aWl,£>）>0,〃£N*,下列式子正确的个数为（）

①。084）”=40裂工：②（1吵#"=1。&*4③log«x=-log、：

®j^=IOg«p⑤giOg==%Og田献l0gaX=10ga%；

X-yx+y

⑦lo&X^Tog田⑧lo&UM

A.3B.4C.5D.6

答案：B

例2求值：⑴log^30；⑵log3

解：(1)解法一：设log63\/3=x,则(小尸=3小=(小户，所以x=3.

解法二：logQ3G=log石（6）=3.

(2)解法一：令X=log3=，则3*==,即3、=3-3,所以x=-3.

解法二：Iog3==log33、=-3.

例3计算：—

7,1g243IgV27+lg8-31gVi0

(l)lg14-21g^+lg7-lg18；(2)■冒(3)3-------------------一■

解：⑴解法一:lg14-21g1+lg7-lg18=lg(2X7)-2(lg7~lg3)+lg7-lg(32X2)=lg2

+lg7-21g7+21g3+lg7-21g3~lg2=0.

解法二：lg14-21g1+lg7-lg18=lg14-lgf|l2+lg7-lg18=10詈2-=1铠1=0.

(fxi8

5

z，lg243lg351g35

(2)lg9-lg32~2\g3~2'

,2

1(lg3+2lg2-l)3

lgV27+lg8-31gVi0怆(33月+馆23-3联10)5

lg1.2Ig3+21g2-l=2'

i3x-2---

10

点评：此例题体现对数运算性质的综合运用，应注意掌握变形技巧，如（3）题各部分变

形要化到最同形式，同时注意分子、分母的联系；（2）题要避免错用对数的运算性质.对数

运算性质的灵活运用、运算性质的逆用常被学生所忽视.

―2一次

例4设X=log23,求的值.

活动：学生思考观察，教师引导，学生有困难及时提示并评价学生的思考过程.本题主

要考查对数的定义及其运算性质.先利用对数的定义求2:再求2,从而可求，或先化简

再代入求值.

I21X—2~3X（3/I/1\Qi

22

解法一：由x=log23,得尸=3,2一*='，所以11=-------p=34-3X-j+^=y.

3一1

o3x_o-3x（2、一2七）〔2筋+1+2-力

解法二：由X=log23,得2，=3,2-*=%所以三k

2，—2、

+2-〃=32+1+

知能训练

课本本节练习第1,2,3题.

【补充练习】

1.用logglogo，log%log/r+y）,y）表示下列各式:

12

；(3)log(xy2z3)；(4)log^2；

⑴log.(2)log„afl

⑸i。粉隹力>⑹log(7工F

.总—》)_•

3n।।

解：(1)10囱者=logay[x-10&逢=m08忒一⑵Oga)，+logaz)=§log〃一2bg")，-lo&Z;

(2)logd1=logd+log=log^+^logflZ3—logaj2)

=Io.gaX-|log,zy+|log«z=log>r-^logrty+|logflz；

22

323

⑶log。(孙2z)=log<Jx4-logay+logflz=log<Ar+|log</y-|logr/z

2

(4)10%2与=logoVV—lo以(X—>2)=lo&*+logrzj—logrt(x+j)(x—j)

=log«x+log«y-log，x+y)-bga(x-y);

(x+yAx+y,.

(5)10&{不亍,=logout+log“)，=log，x+y)-\oga(x-y)+log”)，；

(6)log[x(xLy)}=3[logfly—log^-log«(x-j)]=31ogay-31oga¥-31ogfl(x—y)-

2.已知加则心)等于()

41

A.gB.8C.18D.2

3j_

解析：因为危glogK,x>0,令f=8,得X=2,=22,所以式8)=log?2’=；.

另解：因为储）=log2X=，g2/,所以段）=/g*

3

所以人8）=/og28=1log22=1.

答案：D

拓展提升

已知x,y,z>0,且lgx+lg.y+lgz=O,求/阪槽〜,®*,口%勺值.

活动：学生讨论、交流、思考，教师可以引导.大胆设想，运用对数的运算性质.由于

所求的式子是三项积的形式，每一项都有指数，指数中又有对数，因此想到用对数的运算性

质，如果能对所求式子取对数，那可能会好解决些，故想到用参数法，设所求式子的值为f.

-1-+-1-1--I11--+-1-

IgyIgzIgzl&vIgvlg>'fnmi,=倍+专）怆”+（卷+起怆y+

解：令X•y•z=1,则怆/

七十上）但_lgxIgxlg_vlgyIgz也z_lgx+lgzIgx+lgylgy+lgz_-lg)，

z—Igy十Igz十Igz十Igx十Igx+Igy—IgyIgzIgx—\gy

+请+谭=—3,所以『1。3=焉即为所求.

课堂小结

1.对数的运算性质.

2,对数的运算性质的综合应用，特别是性质的逆向使用.

3.对数与指数形式比较：

式子ab=NlogaN=b

a—累的底数a—对数的底数

名称b—事的指数b——以a为底的N的对数

N——某值N一真数

log°(MN)=log“M+logJV；

、一A-ArM

运算〃­/=〃,一“；lo&W=lo&M—logJV；

性质(cfy=amn；

log«Ar=〃log“M(〃£R)：

(a>0,aWl,m,〃£R)

(a>0,aRl,A/>0,N>0)

作业

课本习题2..2A组3,4,5.

设计感想

在前面研究了对数概念的基础上，为了运算的方便，本节课我们借助指数的运算性质,

推出了对数的运算性质，引导学生自己完成推导过程，加深对公式的理解和记忆，对运算性

质的认识类比指数的运算性质来理解记忆，强化性质的使用条件，注意对数式中每一个字母

的取值范围,由于它是以后学习对数函数的基础.所以安排教学时.要反复练习,加大练习

的量，多结合信息化的教学手段，顺利完成本堂课的任务.

第3课时

整体设计

教学目标

I.知识与技能

推导对数的换底公式，培养学生分析、解决问题的能力，培养学生的数学应用意识和科

学分析问题的精神和态度.

2.过程与方法

让学生经历推导对数的换底公式的过程，归纳整理本节所学知识.

3.情感态度与价值观

通过施勺运算性质、对数换底公式的学习，培养学生的探窕意识，培养学生的严谨的

思维品质；感受对数的广泛应用.

重点难点

重点：对数的运算性质、换底公式及其应用.

难点：正确使用对数的运算性质和换底公式.

教学过程

导入新课

思路1.问题：你能根据对数的定义推导出下面的换底公式吗？”>0,且。#1,00,

且c#l,b>0,log/=*.教师直接点出课题：对数与对数运算(3)—对数的换底公式及

其应用.

思路2.前两节课我们学习了以下内容：1.对数的定义及性质；2.对数恒等式；3.对

数的运算性质，用对数的运算性质我们能就同底数的对数进行运算，那么不同底数的对数集

中在一起，如何解决呢？这就是本堂课的主要内容.教师板书课题：对数与对数运算(3)-

对数的换底公式及其应用.

思路3.从对数的定义可以知道，任意不等于1的正数都可作为对数的底，数学史上，

人们经过大量的努力，制作了常底对数表和自然对数表，只要通过查表就能求出任意正数的

常用对数或自然对数，这样，如果能将其他底的对数转换为以10为底或以e为底的对数就

能方便地求出任意不等于1的正数为底的对数，那么，怎么转化呢？这就需要一个公式，即

对数的换底公式，从而引出课题：对数与对数运算(3)—对数的换底公式及其应用.

推进新课

新知探究

提出问题

(1)已知1g2=0.3010,1g3=0.4771,求10竭的值;

(2)根据(1),如a>0,aHl,你能用含。的对数式来表示log23吗？

(3)更一般地，我们有10&方=鬻，如何证明？

(4)证明1。耿。=震的依据是什么？

(5)你能用自己的话概括出换底公式吗？

(6)换底公式的意义是什么？有什么作用？

活动：学生针对提出的问题，交流讨论，回顾所学，力求转化，教师适时指导，必要时

提示学生解题的思路，给学生创造一个互动的学习环境，培养学生的创造性思维能力.对(1)

目前还没有学习对数的换底公式，它们又不是同底，因此可考虑对数的定义，转化成方程来

解；对(2)参考(1)的思路和结果的形式，借助对数的定义可以表示：对(3)借助(1)(2)的思路，

利用对数的定义来证明：对(4)根据证明的过程来说明；对(5)抓住问题的实质，用准确的语

言描述出来，一般是按照从左到右的形式；对(6)换底公式的意义就在于对数的底数变了，

与我们的要求接近了.

讨论结果：⑴因为1g2=0.3010,1g3=0.4771，根据对数的定义，所以10°刈°=2,10°加7

'=3.

不妨设10g23=X,则2*=3,所以(1003。1。>=]0。477Ll()03010Xx=]00.4771,

即0.301Ox=0.4771»x=o30]0=1：2,因此7§23=12=030107L5850.

(2)根据(1)我们看到,最后的结果是log23用1g2与1g3表示,是通过对数的定义转化的,

这就给我们以启发，本来是以2为底的对数转换成了以10为底的对数，

不妨设log23=x,由对数定义知道，2、=3,

两边都取以a为底的对数，得log02x=lo&3,xlog“2=lo&3,%=鳖*

也就是log23=^.

这样log23就表示晟了以a为底的3的对数与以〃为底的2的对数的商.

(3)证明2=iog”

证明：设1。&力=斯由对数定义知道，ax=hx

两边取以c为底的对数，得logd=log力=xlog《=lo取6；

1。&力1。

所以尸即\0gab=

1。&。'log。

一般地，1。幽=正方(。>0,aWl,c>0,cWl,b>0)称为对数的换底公式.

(4)由(3)的证明过程泉看，换底公式的证明要紧扣对数的定义，证明的依据是：若M>0,

N>0,M=N,则log«M=lo耿N.

(5)一个数的对数，等于同一底数的真数的对数与底数的对数的商，这样就把一个对数

变成了与原来对数的底数不同的两个对数的商.

(6)换底公式的意义就在于把对数式的底数改变，把不同底问题转化为同底问题，为使

用运算性质创造条件，更方便化简求值.

说明：我们使用的计算器中，“log”通常是常用对数，因此要便用计算器计算对数，

一定要先用换底公式转化为常用对数.如log23=j^,

即计算log23的值的按键顺序为：“log”一“3”一“+”一“log”一“2”一“=”.

1Q

再如：在前面要求我国人口达到18亿的年份，就是要计算x=logi.oiyj,

”,18lg13lg18-Ig131.2553-1.039%

所以x=k)giml3=lg1.01=lgl.01%0.0043=32.8837=33(年)•

可以看到运用对数换底公式，有时要方便得多.

应用示例

例1求log891og2732的值.

活动：学生观察题目，思考讨论，互相交流，教师适时提示，学生板演，利用换底公式

统一底数；根据题目的特点，底数不同，所以考虑把底数统一起来，可以化成常用对数或以

2为底的对数，以3为底的对数也可.

1g9lg32_21g35Ig210

解法一：

Iogs9-log2732=lg81g27-3lg2,31g3

.廿lo敢91。取3221。敢35____JO

解法二:nl

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