高中导数的几何意义

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113的几何意义

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学习

目标理解曲线的切线的含义.2.理解导数的几何意义.

3.会求曲线在某点处的切线方程.

4.理解导函数的定义，会用定义法求简单函数的导函数.

第一章导数及其应用

预习案▲自主学习研读•思考•尝试

新知提炼“

1.导数的几何意义

(1)切线的定义

④

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第一章导数及其应用〉

如陆对于割畿鹤,泻点孔趋近于点。时*IB明趋近于

确定的位置隽这个确定位置的直J线PT称为点p

⑵导薮的几何意义

当点外无限趋近于点产时'扁无限趋近于切线口的斜率.因

此慧函数对在落二/处的导薮就是切线方的斜率氟即黛=

学

配7。

公导函数的概念

⑴定义？当*变化时,/2__便是崖的一个函数.我们称

它为/件）的导函数（简称导数）.

f（k+八3）-/€x）

⑵记法JG二.■h菊m

废第T<

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r*-i<I»

3判断正误(正确的打“J”，错误的打

(1)函数生•点处的导数八4)是一个常数.()

(2)函数y/(A)住点.次处的号数/'(.%)就是导函数/(A，)住点.■

0处的函数值.()

(3)函数/(.A)0没仃心数.()

(4)11纹叮曲线相匹则11线V该曲线只仃一个公共点.()

警案案⑴J(2)V(3)X(噬X

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第一章导数及其应用

国

L妣处圾绫定义与射前厮学过的切畿定义的比较

0）初中赛M学习过圆的切线图直线和园有唯y

的公共点时.糠直线蒯圆相烦野唯一的公共点

叫做切点直线叫做圆的圾畿净但因为圜是0x

种畤珠的曲舞步所以圆的胡巍定义不适用于一殿的岫筑尊如图

中的曲畿g直线&与曲畿c有唯一的公共点跖但或不是曲

嘉虽舞与曲线c有不止一个公共短怛&是曲箕

c在点落赞的恻线

修）此处是通过逼近宓薇一将割线越近于确定的域置附在缴定义

海忸徽适用于落种曲瀛所鼠这其种定义才:其正反映了切线的

本质栏目

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2.由数A，.1什处的导数./'（辑）、力困数/（.I）上「川的1M别'J

联系

区别：⑴八小）是色xA0处函数H的改变川变;止的改变显

之比的极限，是一个常数,不是变段.

（2）八.\）是函数人\）的号数，是对某四间内任总工向言的，即

如果函数,r/代）住开区间（小〃）内的每点处都仃导数，此时川

J,句；一个.\士（〃，〃），都对位n一个仙j定的咛'数/（V）,从ii'ij国成

「一个新的函数——日函数/（、）.

联系：函数/（x）在x=Xo处的导数，C就是导函数/（X）在X=M）

处的函数值.这也是求函数在工=.次处的导数的方法之一.”

出目

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探究察▲讲练互动（解惑•探究•突破]

探究点1求曲线在定点处的切线方程

例1求曲线J，=2.LY在点（一1,—1）处的切线方程.

m支麻■徵詈Cr+配》

m因为yn磨一

=HH[2—3^—A^2|

所以射1-1=2-3（-if=2-3=一最

所鼠场畿方程为y—（一期==[^—（=1）]

BP蠢心耳需=瞰

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,股切点坐标为g.的一靖缪则物线方程为j—^+J4~P-

3^瓢一词.

因为划线过点(一，一期所以一2一羽士/=(2-黛iM一1一

照y涉

即14士泥一明解卷/T1成凝一

所以胡点坐标为恤嗨或［一率I

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1s

当初感坐标为便目做制3「小=瓢切稣方程为

y—^i

当切点壁舞为［<洲h切蝴率距

(-1)

翻线方程为茅+2=一7&+1>8PMte+^+27=®«

鬣上司Wh慧点（一T蒙一期且与曲翳第=凝一一鬻物觞直舞而程

为y=lr麋1如■+鳏+27=轨

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方法归纳

解决曲线的一线同题的思路

⑴求曲线rAr)在点产出),/(.))处的切线方程,即点P的坐标

既满足曲线方程,乂满足切线/评对,分点p处的1力线斜率"

隹,则点P处的I力线方程为—.*)+/(.*);7；曲线J

/('•)隹点〃处的切线斜率不如隹(此时切线平行Jj釉)，则点

〃处的力我方用为.V

(2)公力点卡加，则需设事1〃点*标，I用R据题应列出关「1〃点

横坐标的方程，最储求转力点纵坐标及切线的/”工此收求

的口气"小彳"、山一个.把自

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第一章导数及其应用》

掾霸点2求谢点坐标

・在曲绫上取一点胃使得在读点罐的切畿工

（D平行于直线j—4x—Si

（委）垂直于直线2x—翻+5=%

（3"螭翔为》舞触.

分别求出蹒足上述条件的点的坐标

Cx+Ax)

谩电聋居）是满足条件的总

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第一章导数及其应用

㈤因为霰蒙畿的域囊与亶缠第=而一塔胄行」m垢=4r解

舞淘=2修所以购=熹

(2)H>^P舞的翻畿与直囊加一期+盘垂直期旦直舞2r

^+5=#的鬻率为彘WRH一心解世W*所以

(爵因为点P薨的麴线的幅糯篇为135领等所以物爨觞^率为

~—所鼠产产今即

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第一章导数及其应用

方法归［纳

求满足一条件的ilh线的.点坐标的步牌

(1)先设1力点坐标(、》,山).

(2)求咛函数/'(.V).

(3)求切线的斜率/■).

(4)由斜率间的大系列出大「心的方程，解方程求

(5)点、(.“，心)作曲线/(x)上，将(.％,J%)代入求.1,得」力点坐标.

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探究点3导数几何意义的应用

例3：我市某家电制造集团为尽快实现家电F乡提出四种运

输方案,据预测，这四种方案均能在规定时间7,内完成预期的

运输任务各种方案的运输总量。与时间，的函数关系如卜

所示.在这四种方案中，运输效率（单位时间内的运输量）逐步

提高的是（）

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第一章导数及其应用

【解析】从函数图象卜.右，要求图象在［0,7］卜.越来越陡峭,

荏各选项中,只有B项中的切线斜率在不断增大,也即运输效

率（单位时间内的运输量户豕步提高.

R答案】B

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血国画磔

⑴曲线/（X）在Ao附近的变化情况可通过U处的切线刻

1.r（vo）＞o说明曲线在4处的切线的斜率为正值，从而得出

住心附近曲线是上开的；/■）＜（）说明住小附近曲线是卜降的.

（2）曲线在某点处的切线斜率的大小反映了曲线在相应点处的

变化情况，由切线的倾斜程度,可以判断出曲线升降的快慢.

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一I第一童导数及其应用~

V跟踪训练1.已知函数/（X）的图象如图所示,/⑶是血）的导

函数，则下列结论正确的是()

A.0<f(2)<r(3)</(3)-/(2)

B.0<f(3)</(3)-/(2)<f(2)

C.0v/，(3)v〃2)v/(3)—/(2)

D.0</(3)-/(2)<r(2)<f(3)

解析：选B.从图象上可以行出/代）在x=2处的切线的斜率比住

x=3处的斜率大,且均为正数,所以有0</（3）勺。），过此两

/,（3）—r（））

点的割线的斜率/,；“比/（X）在工=2处的切线的斜率

小，比/(x)在x=3处的斜率大,mW0<f(3)</(3)-/(2)</r(2),

故选B.

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2,李华在参加一次同学聚会时/他用如图所示的圆口杯喝钦料

李华认为•如果向杯子中倒饮料的速度一定（即单位时间内锄入

的饮料量相同上那么杯子中霰料的高度1是关于时间r的函数

则开始阶殴饮

料的高度增加较快』以后高度增加得越来越慢，仅有B中的图

象符合题意■栏目

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第一章导数及其应用

画赞产的图象在彘P处的翻线方程是事==x+S

愚的“⑸等于

解析能易得切点/心3）

所以型）=3牙k=-l

即F（母==L

所以的）+r⑸=3-1=就

答案：2

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第一章导数及其应用

/11

4.己知曲线j，=j上两点，(2,-1),Q—1,).

\L)

(1)求曲线在点P,。处的切线的斜率;

(2)求曲线在点尸，2处的切线方程.

解：将点”(2,1)代入「1，

•1x

得/1，所以厂J.

f(.V+Xv)f(.v)

r'lim«

Vv0V

11

1—(A+\A)1—A

Iini《

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第一章导数及其应用

(1》徽鬻能就P健的韧爨翻率为嬲线能点

修》触爨在点P健的糊畿方程为

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