选择性必修第一册人教A版-第二章-单元测试卷-143697

第二章直线和圆的方程一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.斜率为2,且过直线y=4-x和直线y=x+2交点的直线方程为()A.y=2x+1 B.y=2x-1 C.y=2x-2 D.y=2x+22.若直线l1:ax+2y+6=0与直线l2:x+(a-1)y+a2-1=0平行,则a的值为()A.a=-2或a=1 B.a=2 C.a=2或a=-1 D.a=-13.已知圆C:x2+y2-2x+4y+2=0,从点P(-1,-3)发出的光线,经直线y=x反射后,恰好经过圆心C,则入射光线所在直线的斜率为()A.-4 B.-14 C.14 D4.经过点P(0,-1)作直线l,若直线l与连接A(-2,0),B(2,0)两点的线段总有公共点,则直线l的斜率的取值范围是()A.[-12,12] B.[-2,2] C.(-∞,-12]∪[12,+∞)5.已知圆C经过两点A(0,2),B(4,6),且圆心C在直线l:2x-y-3=0上,则圆C的方程为()A.x2+y2-6y-16=0 B.x2+y2-2x+2y-8=0C.x2+y2-6x-6y+8=0 D.x2+y2-2x+2y-56=06.已知圆C:x2+(y-2)2=16.若动点M在直线y+6=0上,过点M引圆C的两条切线MA,MB,切点分别为A,B,则直线AB恒过定点N,点N的坐标为()A.(-1,-1) B.(0,0) C.(1,1) D.(0,6)7.圆O1:x2+y2=4和圆O2:x2+y2+2x-4y=0的交点为A,B,则下列结论正确的是()A.公共弦AB所在直线方程为x-2y+1=0B.公共弦AB的长为64C.线段AB的中垂线方程为2x-y=0D.∠AO2B>90°8.在平面直角坐标系中,坐标原点为O,定点M(1,-1),动点P(x,y)满足|PO|=2|PM|,P的轨迹C1与圆C2:x2+y2-3x+3y+4+a=0有两个公共点A,B,若在C1上至多有3个不同的点到直线AB的距离为2,则a的取值范围为()A.(-∞,-2-22]∪[-6+22,+∞) B.(-4-22,-2-22]C.[-6-22,-4-22)∪(-4+22,-2+22] D.(-4-22,-2-22]∪[-6+22,-4+22)二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.9.已知直线l1:2x+3y-1=0和l2:4x+6y-9=0,若直线l到直线l1的距离与到直线l2的距离之比为1∶2,则直线l的方程为 ()A.2x+3y-8=0 B.4x+6y+5=0C.6x+9y-10=0 D.12x+18y-13=010.已知实数x,y满足曲线C的方程x2+y2-2x-2=0,则下列选项正确的是()A.x2+y2的最大值是4+23B.y+1x+1的最大值是C.|x-y+3|的最小值是22-3D.过点(0,2)作曲线C的切线,则切线方程为x-2y+2=011.平面直角坐标系xOy中,点P(3,6),圆O:x2+y2=9与x轴的正半轴交于点Q,则 ()A.点P到圆O上的点的距离最大值为35+3B.过点P且斜率为1的直线被圆O截得的弦长为32C.过点P与圆O相切的直线方程为3x-4y+15=0D.过点P的直线与圆O交于不同的两点A,B,则直线QA,QB的斜率之和为定值-1三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.12.平行直线l1:x+3y=-1与l2:x+3y=2之间的距离为.

13.若直线y=x+b与曲线y=1−x2恰有一个公共点,则实数b的一个可能取值是14.已知圆C1:x2+y2+4y+3=0,圆C2:x2+y2-6x+2y+6=0,M,N分别为圆C1和圆C2上的动点,P为直线l:y=x+1上的动点,则|MP|+|NP|的最小值为.

四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(13分)已知△ABC的三个顶点是A(1,1),B(-1,3),C(3,4).(1)求BC边的高所在的直线l1的方程;(2)若直线l2过C点,且A,B到直线l2的距离相等,求直线l2的方程.

16.(15分)在下列所给的三个条件中任选一个,补充在下面的问题中,并加以解答.①与直线4x-3y+5=0垂直;②直线l的一个方向向量为a=(-4,3);③与直线3x+4y+2=0平行.已知直线l过点P(1,-2),.

(1)求直线l的一般方程;(2)若直线l与圆x2+y2=5相交于P,Q两点,求弦长|PQ|.注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.

17.(15分)树林的边界是直线l(如图1所示),一只兔子在河边喝水时发现了一只狼,兔子和狼分别位于l的垂线AC上的点A和点B处,|AB|=|BC|=a(a为正常数),若兔子沿AD方向以速度2μ向树林逃跑,同时狼沿BM(M∈AD)方向以速度μ进行追击(μ为正常数),若狼到达M处的时间不多于兔子到达M处的时间,狼就会吃掉兔子.(1)求兔子被狼吃掉的点的区域面积S(a);(2)若兔子要想不被狼吃掉,求θ(θ=∠DAC)的取值范围.图1

18.(17分)如图2,在平面直角坐标系xOy中,已知圆M:x2+y2-12x-14y+60=0及其上一点A(2,4).(1)设圆N与x轴相切,与圆M外切,且圆心N在直线x=6上,求圆N的标准方程;(2)设平行于OA的直线l与圆M相交于B,C两点,且|BC|=|OA|,求直线l的方程.图2

19.(17分)已知圆C的圆心在直线3x-y=0上,圆C与x轴正半轴相切,且被直线l:x-y=0截得的弦长为27.(1)求圆C的方程.(2)设点A在圆C上运动,B(7,6),且点M满足AM=2MB,记点M的轨迹为Γ.①求Γ的方程,并说明Γ是什么图形;②在直线l上是否存在定点T(异于原点O),使得对于Γ上任意一点P,都有|PO||PT|为一常数?若存在,求出所有满足条件的点T的坐标

第二章直线和圆的方程1.A联立两直线方程得y=4−x,y=x+2,解得x=1,y=3,所以两直线的交点坐标为(1,3),则所求直线方程为y-32.D由l1与l2平行得a(a-1)-2=0,2(3.A由圆C:x2+y2-2x+4y+2=0,得(x-1)2+(y+2)2=3,则圆心为C(1,-2).因为反射光线经过C(1,-2),故点C关于直线y=x的对称点(-2,1)在入射光线所在的直线上,且光源为P(-1,-3),所以入射光线所在直线的斜率k=1−(−3)-2-(-1)=-44.C根据题意,如图D1所示,可得kPA=0+1-2-0=-12,kPB=0+12−0=12,因为l在变化过程中存在斜率不存在的情形,所以直线l的斜率k∈(-∞,-12]∪[图D15.C因为圆心C在直线l:2x-y-3=0上,设圆心C(a,2a-3),又圆C经过两点A(0,2),B(4,6),所以|CA|=|CB|,故a2+(2a-5)2所以圆心C(3,3),半径r=|CA|=32+12=10,则圆C的方程为(x-3)2+(y-化为一般方程为x2+y2-6x-6y+8=0.6.B圆C的圆心为C(0,2),半径为r=4.因为MA,MB是☉C的两条切线,所以CA⊥MA,CB⊥MB.设点M的坐标为(a,-6),因为∠MAC=∠MBC=90°,所以M,A,C,B四点共圆,且以MC为直径,该圆的方程为x(x-a)+(y+6)(y-2)=0,又圆C的方程为x2+(y-2)2=16,所以两圆方程相减得-ax+8y=0,即直线AB的方程为-ax+8y=0,所以直线AB恒过定点(0,0),所以定点N的坐标为(0,0).7.D对于选项A,已知圆O1:x2+y2=4和圆O2:x2+y2+2x-4y=0,将两圆的方程作差可得x-2y+2=0,即公共弦AB所在直线的方程为x-2y+2=0,故选项A错误;对于选项B,圆O1:x2+y2=4的圆心到直线x-2y+2=0的距离为d=25=255,则|AB|=222-(25对于选项C,设线段AB的中垂线方程为2x+y+m=0,又圆O1:x2+y2=4的圆心(0,0)在直线2x+y+m=0上,则m=0,即线段AB的中垂线方程为2x+y=0,故选项C错误;对于选项D,由题意可得圆O2的方程为(x+1)2+(y-2)2=5,则cos∠AO2B=(5)2+(5)2-(855)22×5×8.D∵动点P(x,y)满足|PO|=2|PM|,∴x2+y2=2·(x-1)2+(y+1)2,化简得P的轨迹方程为C1:x2+y2-4x+4y+4又C1:(x-2)2+(y+2)2=4,∴圆心C1(2,-2),半径r1=2,C2:(x-32)2+(y+32)2=12-a,∴圆心C2(32,-32),半径r2=12-a,∴1∵两圆有两个公共点,∴|r1-r2|<|C1C2|<r1+r2,∴|2-12-a|<22<2+12-a,解得-4-22<a<-又C1上至多有3个不同点到直线AB的距离为2,∴C1(2,-2)到直线AB的距离d≥2-2,解得|4+a|2≥2-2,∴a≥-6+22或a≤-2-22由①②③得-4-22<a≤-2-22或-6+22≤a<-4+22.故选D.9.BD设直线l:4x+6y+m=0,m≠-2且m≠-9,直线l到直线l1和l2的距离分别为d1,d2,由题意知,d1=|m+2|16+36,d2=|m+9|16+36,因为d1d2=12,所以2|m+2|16+36=|m+9|16+36故直线l的方程为4x+6y+5=0或12x+18y-13=0.10.ABD曲线C的方程x2+y2-2x-2=0可化为(x-1)2+y2=3,它表示圆心为(1,0),半径为3的圆.对选项A,x2+y2表示圆C上的点到定点O(0,0)的距离的平方,故x2+y2的最大值为[(1-0)2+02+3]2=(3+1)2=4+23对选项B,y+1x+1表示圆C上的点与点P(-1,-1)的连线的斜率k,圆心(1,0)与点P(-1,-1)的距离为5,所以点P在圆C外,则圆心(1,0)到直线y+1=k(x+1)的距离d=|2k-1|k2+1≤3,可得2-6≤k≤2+6,即y+1对选项C,|x-y+3|表示圆C上任意一点到直线x-y+3=0的距离的2倍,圆心到直线的距离d=42=22,所以|x-y+3|的最小值为2(22-3)=4-6,故C错误对选项D,易知点(0,2)在圆C上,过点(0,2)作圆C的切线,则切线斜率存在,故可设切线方程为y=mx+2,由|2+m|m2+1=3,解得m=22,故切线方程为x-211.ABD对于选项A,点P到圆O上的点的距离最大值为点P到点O的距离与圆O的半径之和,即(3-0)2+(6−0)2+3=35+对于选项B,过点P且斜率为1的直线为x-y+3=0,则圆心O到该直线的距离d=322,由圆的半径、弦长的一半、弦心距满足勾股定理知,弦长为32,故选项B对于选项C,当直线斜率不存在时,圆心坐标为(0,0),半径r=3,则圆心(0,0)到直线x=3的距离为|3-0|=3=r,符合题意;当直线的斜率存在时,设斜率为k,直线方程为y-6=k(x-3),即kx-y-3k+6=0,则圆心(0,0)到直线的距离d=|-3k+6|k2+1=r=3,解得k=34,则直线方程为3x-4y+15=0,综上,过点P与圆O相切的直线方程为x=3和3x-4y+15=对于选项D,由题意知点Q(3,0),设A(x1,y1),B(x2,y2),易知过点P的直线斜率存在,设为k,则其方程为y-6=k(x-3).联立y-6=k(x-3),x2+y2=9,得(k2+1)x2-6k(k-2)x+9k2-36k+27=0,由根与系数的关系和判别式得,x1+x2=6k(k-2)1+k2,x1x2=9k2-36k+271+k2,Δ>0,所以kQA12.32因为l1:x+3y+1=0,l2:x+3y-2=0,所以两平行直线间的距离为|1-(-2)|1+3=13.-1(答案不唯一)曲线y=1−x2表示圆心在原点,半径为1的圆的上半部分,如图D2图D2当直线y=x+b在l2和l3之间移动或与半圆相切,即处于l1的位置时,直线与圆恰好有一个公共点,当直线y=x+b在l3时,经过点(1,0),所以b=-1,当直线y=x+b在l2时,经过点(-1,0),所以b=1,当直线与半圆相切时,|b|2=1,所以b=2,或b=-2(舍),故b=2或-1≤14.210-3易知圆C1:x2+(y+2)2=1,则圆心为C1(0,-2),半径为1,圆C2:(x-3)2+(y+1)2=4,则圆心为C2(3,-1),半径为2.设C1(0,-2)关于直线y=x+1对称的点的坐标为(x,y),所以y+2x-0·1=-1,-2+y2=x2+1,得x=−3,y=1,所以圆图D3由对称性知问题转化为P到D,N的距离之和的最小值.由图知当圆心C3、圆心C2、P三点共线时,|MP|+|NP|的距离最小,此时最小值为|C2C3|-1-2=(-3-3)2+(1+1)2-3=40-3=15.(1)因为kBC=4−33+1=14,且直线l1与BC所以直线l1的斜率k=-1kBC所以直线l1的方程是y-1=-4(x-1),即4x+y-5=0.(2)因为直线l2过C点,且A,B到直线l2的距离相等,所以直线l2与AB平行或过AB的中点M.①当直线l2与AB平行时,因为kAB=3−1-1-1=-1,所以直线l2的方程是y-4=-(x-3),即x+y-7=②当直线l2过AB的中点时,因为AB的中点M的坐标为(0,2),所以kCM=4−23−0=23,所以直线l2的方程是y-4=23(x-3),即2x-3y+6综上,直线l2的方程是x+y-7=0或2x-3y+6=0.16.(1)选①.因为直线4x-3y+5=0的斜率为k1=43,且直线4x-3y+5=0与直线l垂直,所以直线l的斜率为k=-3又直线l过点P(1,-2),所以直线l的方程为y+2=-34(x-1),即3x+4y+5=0选②.因为直线l的一个方向向量为a=(-4,3),所以直线l的斜率为k=-34又直线l过点P(1,-2),所以直线l的方程为y+2=-34(x-1),即3x+4y+5=0选③.因为直线3x+4y+2=0的斜率为k=-34,且直线l与直线3x+4y+2=0平行,所以直线l的斜率为k=-3又直线l过点P(1,-2),所以直线l的方程为y+2=-34(x-1),即3x+4y+5=0(2)圆x2+y2=5的圆心O(0,0)到直线3x+4y+5=0的距离为d=532设弦PQ的中点为M,由圆的半径为r=5,可知|PM|=r2-1因此|PQ|=2|PM|=4,即弦长|PQ|为4.17.(1)如图D4,建立平面直角坐标系,设A(0,2a),B(0,a),M(x,y),图D4由|BM|μ≤|AM|2μ,得2|BM|≤|AM|两边平方,整理得3x2+3y2-4ay≤0,即x2+(y-2a3)2≤所以M在以(0,2a3)为圆心,半径为2所以S(a)=4a2(2)设直线AD的方程为lAD:y=kx+2a(k≠0),兔子要想不被狼吃掉,需点M在圆的外部,即直线AD和圆相离,即圆心(0,2a3)到直线AD由|2a-2a3|k2+1>2a3,得k∈(-3,0)∪(0,3),由于∠ADC为锐角,故018.圆M的标准方程为(x-6)2+(y-7)2=25,∴圆心M(6,7),半径为5.(1)由圆心N在直线x=6上,可设N(6,y0).∵圆N与x轴相切,与圆M外切,∴0<y0<7,于是圆N的半径为y0,从而7-y0=5+y0,解得y0=1.因此,圆N的标准方程为(x-6)2+