选择性必修第一册湘教版-第3章-单元测试卷-143701

第3章圆锥曲线与方程一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知双曲线C:3x2-y2=3,则C的焦点到其渐近线的距离为()A.2 B.3 C.2 D.32.已知两定点M(0,-1),N(0,1),直线l:y=x+3,则在l上满足|PM|+|PN|=22的点P的个数为()A.0 B.1 C.2 D.0或1或23.已知点F(0,1),直线l:y=-1,P为平面上的动点,过点P作直线l的垂线,垂足为Q,且QP·QF=FP·FQ,则动点P的轨迹C的方程为()A.x2=4y B.y2=3x C.x2=2y D.y2=4x4.嫦娥四号月球探测器于2018年12月8日在西昌卫星发射中心发射.12月12日下午4点43分左右,嫦娥四号顺利进入了以月球球心为一个焦点的椭圆形轨道(可近似看作焦点在y轴的椭圆),如图1中轨道③所示,其近月点到月球表面的距离为100km,远月点到月球表面的距离为400km,已知月球的直径约为3476km,对该椭圆有四个结论:(1)焦距长约为300km;(2)长轴长约为3988km;(3)两焦点坐标约为(0,±150);(4)离心率约为75994.则上述结论正确的是 (图1A.(1)(2)(4) B.(1)(3)C.(1)(3)(4) D.(2)(3)(4)5.过抛物线y2=8x的焦点,作倾斜角为45°的直线,则被抛物线截得的弦长为()A.8 B.16 C.32 D.646.如图2,双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,以F2为圆心,|F1F2|为半径的圆与两条渐近线交于A,B,C,D四点,∠ACB=图2A.2 B.52 C.5 7.画法几何的创始人——法国数学家加斯帕尔·蒙日发现:与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆.我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的蒙日圆方程为x2+y2=a2+b2,椭圆C的离心率为22,M为蒙日圆上一个动点,过点M作椭圆C的两条切线,与蒙日圆分别交于P,Q两点,则A.3b2 B.2b2 C.433b2 D.68.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0),直线l过坐标原点并交椭圆于P,Q两点(P在第一象限),点A是x轴正半轴上一点,其横坐标是点P横坐标的2倍,直线QA交椭圆于点B,若直线BP恰好是以PQ为直径的圆的切线A.12 B.22 C.33 二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.9.已知曲线C:y2=m(x2-4),其中m为非零常数,则下列结论中正确的是()A.当m=-1时,曲线C是一个圆B.当m>0时,曲线C是一个双曲线C.当m=-3时,曲线C是焦点为(0,±22)的椭圆D.若曲线C是离心率为22的椭圆,则m=-10.已知双曲线C的左、右焦点分别为F1,F2,过F2的直线与双曲线的右支交于A,B两点,若|AF1|=|BF2|=2|AF2|,则()A.∠AF1B=∠F1AB B.双曲线的离心率e=33C.直线AB的斜率为±42 D.原点O在以F2为圆心,AF2为半径的圆上11.数学中的很多符号具有简洁、对称的美感,是形成一些常见的漂亮图案的基石,也是许多艺术家设计作品的主要几何元素.如我们熟悉的∞符号,我们把形状类似∞的曲线称为“∞曲线”.经研究发现,在平面直角坐标系xOy中,到定点A(-a,0),B(a,0)距离之积等于a2(a>0)的点的轨迹C是“∞曲线”.若点P(x0,y0)是轨迹C上一点,则下列说法中正确的有()A.曲线C关于原点O成中心对称B.x0的取值范围是[-a,a]C.曲线C上有且仅有一点P满足|PA|=|PB|D.曲线C上所有的点P都在圆x2+y2=2a2上或其内部三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.12.已知双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±13.已知直线l:4x-3y+8=0,若P是抛物线y2=4x上的动点,则点P到直线l和它到y轴的距离之和的最小值为.

14.阿基米德不仅是著名的物理学家,也是著名的数学家,他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率π等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.已知平面直角坐标系xOy中,椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的面积为23π,两焦点与短轴的一个顶点构成等边三角形,则椭圆C的标准方程为.若过点P(1,0)的直线l与C交于不同的两点A,B,则△OAB面积的最大值为.(本题第一空2四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(13分)在①m>0,且C的左支上任意一点到右焦点的距离的最小值为3+3;②C的焦距为6;③C上一点到两个焦点的距离之差的绝对值为4这三个条件中任选一个,补充在下面的问题中并解答.问题:已知双曲线C:x2m-y22m=1,注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.

16.(15分)已知抛物线C:y2=3x的焦点为F,斜率为32的直线l与C的交点为A,B,与x轴的交点为(1)若|AF|+|BF|=4,求l的方程;(2)若AP=3PB,求|AB|.

17.(15分)已知双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右支与焦点为F的抛物线x2=2py(p>0)(1)若点A的坐标为(2,2),求F的坐标;(2)若|AF|+|BF|=4|OF|(O为坐标原点),求该双曲线的离心率.

18.(17分)在平面直角坐标系xOy中,动点M到直线x=4的距离等于点M到点D(1,0)的距离的2倍,记动点M的轨迹为曲线C.(1)求曲线C的方程;(2)已知斜率为12的直线l与曲线C交于A,B两个不同的点,若直线l不过点P(1,32),设直线PA,PB的斜率分别为kPA,kPB,求kPA+kPB

19.(17分)已知椭圆C1:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为22,右焦点F是抛物线C2:y2=2px(p>0)的焦点,(1)求椭圆C1的方程;(2)已知斜率为k的直线l交椭圆C1于A,B两点,M(0,2),直线AM与BM的斜率乘积为-12,若在椭圆上存在点N,使|AN|=|BN|,求△ABN的面积的最小值

第3章圆锥曲线与方程1.B由题知双曲线C:3x2-y2=3,即x2-y23=1,故焦点坐标为(±2,0),渐近线方程为y=±3x,即y±3x=由双曲线的对称性,不妨取焦点(2,0)到渐近线y+3x=0的距离,故焦点到其渐近线的距离为233+1=3.故选2.B∵|PM|+|PN|=22,|MN|=2,∴P在以M,N为焦点,22为长轴长的椭圆上.由于2a=22,a=2,c=1,因此b=a2-∴椭圆方程为y22+x2=由y=x+3,y2故选B.3.A设点P(x,y),则Q(x,-1).因为F(0,1),且QP·QF=FP·FQ,所以(0,y+1)·(-x,2)=(x,y-1)·(x,-2),即2(y+1)=x2-2(y-1),整理得x2=4y,所以动点P的轨迹C的方程为x2=4y.4.C依题意,可设椭圆方程为y2a2+x2b2=则100+34762故2c=300,(1)正确;2a=3976,(2)错误;焦点坐标为(0,±150),(3)正确;离心率ca=1501988=75994所以结论正确的为(1)(3)(4).5.B抛物线中2p=8,p=4,则焦点坐标为(2,0),过焦点且倾斜角为45°的直线方程为y=x-2,由y=x-2,y2=8x,得x2-12x+4=0,则x1+x2=12(从而弦长为x1+x2+p=12+4=16.6.C如图D1,连接AB.图D1因为∠ACB=90°,则AB为☉F2的直径,故A,F2,B三点共线且AB⊥F1F2.又|BF2|=|F1F2|=2c,|OF2|=c,所以kOB=ba=|B故离心率e=1+(ba)7.A因为e=ca=c2a2=a2-b2a2=22,所以a=2b,由已知条件可得MP⊥MQ,则PQ为圆x2+y2=3b2的一条直径,则|MP|2+|MQ|2=|PQ|2=12b2,所以S△MPQ=12|MP|·|MQ|≤|MP|2+|MQ|24=3b2,当且仅当|故选A.8.D依题意,设P(x1,y1),Q(-x1,-y1),B(x2,y2),A(2x1,0),直线PQ,QB(QA),BP的斜率分别为k1,k2,k3,则k2=0−(−y1)2x1-(-x1)=y13x1=13k1,(PQ⊥BP)∵x12a2+y12b2=1,x22∴(y1+y2)(x1+x2)∴-b2a2=-13,即b2a2=13,∴∴椭圆的离心率e=63,故选9.ABC当m=-1时,y2=-(x2-4),可化为x2+y2=4,曲线C是一个圆,所以A正确.当m>0时,y2=m(x2-4),可化为x24-y24m=1,曲线C是一个双曲线当m=-3时,y2=-3(x2-4),可化为y212+x24=1,曲线C是焦点为(0,±22)的椭圆,y2=m(x2-4)可化为x24+y2-4m=1,若曲线C是离心率为22的椭圆,则4+4m2=2解得m=-2或m=-12,所以D不正确.故选ABC10.ABC如图D2,设|AF1|=|BF2|=2|AF2|=2m(m>0),则|AB|=|AF2|+|BF2|=3m,图D2由双曲线的定义知,|AF1|-|AF2|=2m-m=2a,即m=2a,|BF1|-|BF2|=2a,即|BF1|-2m=2a,∴|BF1|=3m=|AB|,则∠AF1B=∠F1AB,故选项A正确;由余弦定理知,在△ABF1中,cos∠AF1B=|AF1|2在△AF1F2中,cos∠F1AB=|AF1|2+|AF2|2化简整理得,12c2=11m2=44a2,∴离心率e=ca=4412=333,故选项在△AF2F1中,cos∠AF2F1=4c2+m2-4m22·2c·m=4c2-3∴tan∠AF2F1=sin∠AF2F∴根据双曲线的对称性可知,直线AB的斜率为±42,故选项C正确;若原点O在以F2为圆心,AF2为半径的圆上,则c=m=2a,与ca=333矛盾,故选项D故选ABC.11.ACD依题意,曲线C的方程为(x+a)2+y2对于A,若点P(x0,y0)满足①,则对于点P关于原点的对称点M(-x0,-y0)有(-x0+a)2+y02即M(-x0,-y0)也在曲线C上,故A正确;对于B,由a2=(x0-a)2+y02·(x0+a)2+y02∴-2a≤x0≤2a,故B错误;对于C,若|PA|=|PB|,则点P在AB的垂直平分线上,∴x0=0,将P(0,y0)代入①得(a2+y02)2=a2,即仅当P是原点时,|PA|=|PB|,故C正确;对于D,由(x0-a)2+y02·(x0+a∴(x02+y02+a2)2=a4+4a2x02,∴由x02∴x02+y02≤2a2,故选ACD.12.3双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±bax,则ba13.75抛物线y2=4x的焦点为F(1,0),准线方程为x=-1设点P到直线l的距离为d1,到准线的距离为d2,点F到直线l的距离为d,易知|PF|=d2.由抛物线的定义可得点P到直线l和它到y轴的距离之和为d1+d2-1=d1+|PF|-1≥d-1,因为d=|4-0+8|5=12所以所求最小值为125-1=714.x24+y23=132依题意有ab=23,a=2c由题意知直线l的斜率不能为0,设直线l的方程为x=my+1,由x=my+1,x24+y23=1,得(3m2设A(x1,y1),B(x2,y2),所以y1+y2=-6m3m2+4,y1所以|y1-y2|=(y1+所以S△OAB=12×|OP|×|y1-y2|=6令t=m2+1(t≥1),则m2=t2-1,S△OAB=6t因为y=3t+1t在[1,+∞)上单调递增所以当t=1,即m=0时,△OAB面积取得最大值,为3215.选①.因为m>0,所以a2=m,b2=2m,c2=3m,所以a=m,c=3m因为C的左支上任意一点到右焦点的距离的最小值为a+c,所以a+c=m+3m=3+3解得m=3,故C的方程为x23-y2选②.若m>0,则a2=m,b2=2m,c2=3m,所以a=m,c=3m,所以C的焦距2c=23m解得m=3,故C的方程为x23-y若m<0,则a2=-2m,b2=-m,c2=-3m,所以c=-3m,所以C的焦距2c=2-3m=6,解得m则C的方程为y26-x2选③.若m>0,则a2=m,所以a=m,因为C上一点到两个焦点的距离之差的绝对值为4,所以2a=2m=4,解得m=4,则C的方程为x24-y若m<0,则a2=-2m,所以a=-2m因为C上一点到两个焦点的距离之差的绝对值为4,所以2a=2-2m=4,解得m=-则C的方程为y24-x216.设直线l:y=32x+t,A(x1,y1),B(x2,y2)(1)由题设得F(34,0),故|AF|+|BF|=x1+x2+32,由题设可得x1+x2=由y=32x+t,y2=3x可得9x2+12(t-1)x+4t2从而-12(t-1)9=52,解得所以l的方程为y=32x-7(2)由AP=3PB可得y1=-3y2.由y=32x+t,y2=3x可得所以y1+y2=2.从而-3y2+y2=2,故y2=-1,y1=3.代入C的方程得x1=3,x2=13.故|AB|=417.(1)将A(2,2)代入抛物线方程x2=2py(p>0),即(2)2=2p×2,解得p=12,即抛物线的方程为x2=y所以抛物线的焦点坐标为F(0,14)(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),由抛物线的定义可得|AF|+|BF|=y1+y2+p,又4|OF|=4×p2=2p,所以y1+y2=p联立方程得x可得a2y2-2pb2y+a2b2=0,可得y1+y2=2p所以2pb2a2=p,b2a2=1即双曲线的离心率为6218.(1)不妨设点M的坐标为(x,y),由题意可知,|x-4|=2(x化简可得x24+y故曲线C的方程为x24+y2(2)不妨设直线l的方程为y=12x+m,A(x1,y1),