人教A版（2019）选择性必修第三册《7.5正态分布》2024年同步练习卷

人教A版（2019）选择性必修第三册《7.5正态分布》2024年同步练习卷一、选择题1．已知随机变量ξ服从正态分布N（2，4），且P（ξ＜4）＝0.8，则P（0＜ξ＜2）＝（）A．0.6 B．0.4 C．0.3 D．0.22．已知随机变量X服从正态分布N（0，σ2），若P（X＞2）＝0.023，则P（﹣2＜X＜2）＝（）A．0.477 B．0.625 C．0.954 D．0.9773．某工厂生产一种螺栓，在正常情况下，螺栓的直径X（单位：mm）服从正态分布X～N（100，1）．现加工10个螺栓的尺寸（单位：mm）如下：101.7，100.3，99.6，102.4，98.2，103.2，101.1，98.8，100.4，100.0．X～N（μ，σ2）有P（μ﹣2σ＜X＜μ+2σ）＝0.954，P（μ﹣3σ＜X＜μ+3σ）＝0.997．根据行业标准，概率低于0.003视为小概率事件，工人随机将其中的8个交于质检员检验，则质检员认为设备需检修的概率为（）A． B． C． D．4．正态分布N（），N2（），N3（）（其中σ1，σ2，σ3均大于0）所对应的密度函数图象如图所示，则对于μ1，μ2，μ3和σ1，σ2，σ3，下列说法正确的是（）①N1（）②N2（）③N3（）A．μ1最大，σ1最大 B．μ3最大，σ3最大 C．μ1最大，σ3最大 D．μ3最大，σ1最大二、填空题5．已知随机变量ξ服从正态分布N（1，σ2），P（ξ≤4）＝0.8，则P（ξ≤﹣2）＝．6．设随机变量X～N（3，σ2），且P（X＞1）＝0.66，则P（X＞5）＝．7．已知随机变量X～N（2，22），且aX+b服从标准正态分布N（0，1），则a＝，b＝．8．设随机变量ξ服从正态分布N（4，2），若P（ξ＞a+3）＝P（ξ＜a﹣1），则实数a＝．三、多选题（多选）9．下面给出的关于正态曲线的4个叙述中，正确的有（）A．曲线在x轴上方，且与x轴不相交 B．当x＞μ时，曲线下降，当x＜μ时，曲线上升 C．当μ一定时，o越小，总体分布越分散，σ越大，总体分布越集中 D．曲线关于直线x＝μ对称，且当x＝μ时，位于最高点（多选）10．下列说法正确的是（）A．正态曲线中参数μ，σ的意义分别是样本的均值与方差 B．正态曲线是单峰的，其与x轴围成的面积是随参数μ，σ的变化而变化的 C．正态曲线可以关于y轴对称 D．若X～N（μ，σ2），则P（X＜μ）＝（多选）11．一次教学质量检测中，甲、乙、丙三科考试成绩的正态分布密度曲线如图所示，下列说法中不正确的是（）A．甲科总体的标准差最小 B．丙科总体的平均数最小 C．乙科总体的标准差及平均数都比甲小，比丙大 D．甲、乙、丙总体的平均数不相同四、解答题12．小明上学有时坐公交车，有时骑自行车．他记录了50次坐公交车和骑自行车所花的时间，经数据分析得到：坐公交车平均用时30min，样本方差为36；骑自行车平均用时34min，样本方差为4．假设坐公交车用时Ⅹ和骑自行车用时Y都服从正态分布．（1）估计X，Y的分布中的参数；（2）如果某天有38min可用，李明应选择哪种交通工具？如果某天只有34min可用，又应该选择哪种交通工具？请说明理由．13．在某校举行的数学竞赛中，全体参赛学生的竞赛成绩近似地服从正态分布N（70，100）．已知成绩在90分以上（含90分）的学生有12人．（1）此次参赛学生的总数约为多少人？（2）若成绩在80分以上（含80分）为优，则此次竞赛成绩为优的学生约为多少人？14．某生物研究小组准备探究某地区蜻蜓的翼长分布规律，据统计该地区蜻蜓有A，B两种，且这两种的个体数量大致相等，记A种蜻蜓和B种蜻蜓的翼长（单位：mm）分别为随机变量X，Y，其中X服从正态分布N（45，25），Y服从正态分布N（55，25）．（Ⅰ）从该地区的蜻蜓中随机捕捉一只，求这只蜻蜓的翼长在区间[45，55]的概率；（Ⅱ）记该地区蜻蜓的翼长为随机变量Z，若用正态分布来近似描述Z的分布，请你根据（Ⅰ）中的结果，求参数μ0和σ0的值（精确到0.1）；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，从该地区的蜻蜓中随机捕捉3只，记这3只中翼长在区间[42.2，57.8]的个数为W，求W的分布列及数学期望（分布列写出计算表达式即可）．注：若X～N（μ，σ2），则P（μ﹣0.64σ≤X≤μ+0.64σ）≈0.4773，P（μ﹣σ≤X≤μ+σ）≈0.6827，P（μ﹣2σ≤X≤μ+2σ）≈0.9546．15．“过大年，吃水饺”是我国不少地方过春节的一大习俗．2018年春节前夕，A市某质检部门随机抽取了100包某种品牌的速冻水饺，检测其某项质量指标，（1）求所抽取的100包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）①由直方图可以认为，速冻水饺的该项质量指标值Z服从正态分布N（μ，σ2），利用该正态分布，求Z落在（14.55，38.45]内的概率；②将频率视为概率，若某人从某超市购买了4包这种品牌的速冻水饺，记这4包速冻水饺中这种质量指标值位于（10，30）内的包数为X，求X的分布列和数学期望．附：①计算得所抽查的这100包速冻水饺的质量指标的标准差为；②若Z～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜Z≤μ+σ）＝0.6826，P（μ﹣2σ＜Z≤μ+2σ）＝0.9544．

人教A版（2019）选择性必修第三册《7.5正态分布》2024年同步练习卷参考答案与试题解析一、选择题1．【解答】解：∵随机变量X服从正态分布N（2，σ2），μ＝2，得对称轴是x＝2．P（ξ＜4）＝0.8∴P（ξ≥4）＝P（ξ≤0）＝0.2，∴P（0＜ξ＜4）＝0.6∴P（0＜ξ＜2）＝P（0＜ξ＜4）＝0.3．故选：C．2．【解答】解：根据题意，随机变量X服从正态分布N（0，σ2），若P（X＞2）＝0.023，则P（X＜﹣2）＝P（X＞2）＝0.023，则P（﹣2＜X＜2）＝1﹣P（X＜﹣2）﹣P（X＞2）＝1﹣0.023﹣0.023＝0.954．故选：C．3．【解答】解：10个螺栓的尺寸，只有103.2＞103，∴工人随机将其中的8个交于质检员检验，质检员认为设备需检修的概率为＝，故选：B．4．【解答】解：由正态分布N（μ，σ2），可知μ是均值，是正态密度曲线的对称轴，可知μ3最大，σ2表示方差，越小越“瘦高”，越大越“腇胖”，所以σ1最大．故选：D．二、填空题5．【解答】解：因为知随机变量ξ服从正态分布N（1，σ2），P（ξ≤4）＝0.8，则P（ξ≥4）＝1﹣P（ξ≤4）＝0.2，因此，P（ξ≤﹣2）＝P（ξ≥4）＝0.2．故答案为：0.2．6．【解答】解：∵P（X＞1）＝0.66，∴P（X＜1）＝1﹣0.66＝0.34，又∵，∴P（X＞5）＝P（X＜1）＝0.34．故答案为：0.34．7．【解答】解：∵随机变量X～N（2，22），∴E（X）＝2，D（X）＝22＝4∴E（aX+b）＝aE（X）+b＝2a+b＝0，D（aX+b）＝a2D（X）＝4a2＝1∴a＝±，b＝±1故答案为：，±1．8．【解答】解：∵随机变量ξ服从正态分布N（4，2），∴对称轴为x＝4，又P（ξ＞a+3）＝P（ξ＜a﹣1），∴，即a＝3．故答案为：3．三、多选题9．【解答】解：正态密度曲线的几何特点可知：（1）曲线在x轴上方，且与x轴不相交；故A正确．（2）曲线关于直线对称，当x＝μ时，曲线处于最高点，当向左右远离时，曲线不断降低，呈现出“中间高、两边低”的钟形曲线；故D正确．（3）当x＜μ时，曲线上升，当x＞μ时，曲线下降，并且当曲线向左向右无限延伸时，以x轴为渐近线，向x轴无限靠近；故B正确．（4）当μ一定时，曲线的形状由σ确定；σ越小，曲线越“瘦高”，总体分布越集中，σ越大，曲线越“矮胖”，总体分布越分散；故C错误．故选：ABD．10．【解答】解：对于A，正态曲线中参数μ，σ的意义分别是样本的均值与标准差，故A错误，对于B，正态曲线是单峰的，其与x轴围成的面积是1，故B错误，对于C，当μ＝0时，正态曲线关于y轴对称，故C正确，对于D，X～N（μ，σ2），则P（X＜μ）＝，故D正确．故选：CD．11．【解答】解：由图可知，三科总体的平均数相等，由正态分布密度曲线可知，标准差越大，正态曲线越“矮胖”，标准差越小，正态曲线越“瘦高”，所以甲科总体的标准差最小，乙次之，丙最大．故选：BCD．四、解答题12．【解答】解：（1）随机变量X的均值为E（X）＝30，方差为D（X）＝36，则X～N（30，36），μ1＝30，σ1＝6，随机变量Y的均值为E（Y）＝35，方差为D（Y）＝4，则Y～N（35，4），μ2＝35，σ2＝2，（2）因为P（X≤38）＜P（Y≤38），所以如果有38min可用，小明应选择自行车；因为P（X≤34）＞P（Y≤34），所以如果有34min可用，小明应选择坐公交车．13．【解答】解：（1）设参赛学生的竞赛成绩为X，又全体参赛学生的竞赛成绩近似地服从正态分布N（70，100），则μ＝70，σ＝10，则P（X≥90）＝＝P（μ﹣2σ，μ+2σ）＝＝0.0228，又成绩在90分以上（含90分）的学生有12人，又，则此次参赛学生的总数约526人；（2）由P（X≥80）＝[1﹣P（60＜X＜80）]＝P（μ﹣σ，μ+σ）＝，则526×0.1587≈83，则此次竞赛成绩为优的学生约为83人．14．【解答】解：（Ⅰ）记这只蜻蜓的翼长为t．因为A种蜻蜓和B种蜻蜓的个体数量大致相等，所以这只蜻蜓是A种还是B种的可能性是相等的．所以＝＝．（Ⅱ）由于两种蜻蜓的个体数量相等，X，Y的方差也相等，根据正态曲线的对称性，可知．由（Ⅰ）可知45＝μ0﹣0.64σ0，55＝μ0+0.64σ0，得．（Ⅲ）设蜻蜓的翼长为T，则P（42.2≤T≤57.8）＝P（μ﹣σ≤T≤μ+σ）＝0.6827．由题有W～B（3，0.6827），所以．因此W的分布列