必修二课后作业第一章立体几何初步

1学习空间几何体要“三会”一、会辨别例1下列说法：①一个几何体有五个面，则该几何体可能是球、棱锥、棱台、棱柱；②若一个几何体有两个面平行，且其余各面均为梯形，则它一定是棱台；③直角三角形绕其任意一条边旋转一周都可以围成圆锥．其中说法正确的个数为________．分析可根据柱体、锥体、台体和球体的概念进行判断．解析一个几何体有五个面，可能是四棱锥、三棱台，也可能是三棱柱，但不可能是球，所以①错；由于棱台的侧棱是原棱锥侧棱的一部分，所以棱台的各侧棱的延长线相交于一点，而②中的几何体其侧棱延长线并不一定会交于一点，所以②错；③中如绕直角边旋转可以形成圆锥，但绕斜边旋转形成的是由两个圆锥组成的组合体，所以③错．故填0.答案0评注要准确辨别各种几何体，可从轴、侧面、底面、母线、平行于底面的截面等方面入手，当然掌握定义是大前提．二、会折展例2纸制的正方体的六个面根据其方位分别标记为上、下、东、南、西、北．现在沿该正方体的一些棱将正方体剪开，外面朝上展平，得到如图所示的平面图形，则标“Δ”的面的方位是________．分析将平面展开图按要求折叠成正方体，根据方位判断即可．解析将平面展开图折叠成正方体，如图所示，标“Δ”的面的方位应为北．故填北．答案北评注将空间几何体展开成平面图形，或将展开图折叠成空间几何体，在后面的计算或证明中经常用到，应引起重视．解决这类问题的关键是充分发挥空间想象能力或亲自动手制作模型进行实践．三、会割补例3如图所示是一个三棱台ABC－A1B1C1.试用一个平面把这个三棱台分成一个三棱柱和一个多面体，并用字母表示．分析三棱柱要求两个底面为平行且全等的三角形，其余三个面为四边形，且相邻两个四边形的公共边都相互平行．解作A1D∥BB1，C1E∥BB1，连结DE，则三棱柱为A1B1C1－DBE，多面体为ADECC1A1(如图所示)．评注正确理解各类几何体的概念是将几何体进行割补的前提在后面的空间几何体的体积或面积计算中经常要通过线、面将不规则的几何体通过割补的方法转化为规则的几何体，从而可以利用公式求解．2空间几何体中常见错例剖析在空间几何体的解题中，很容易出现错误，本文将结合几道具体的错例来谈谈如何防止出现类似的错误．一、空间几何体概念不清例1下列结论中正确的是________．(填序号)①各个面都是三角形的几何体是三棱锥；②以三角形的一条边所在的直线为旋转轴，将三角形旋转一周形成的曲面所围成的几何体是圆锥；③若棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则该棱锥可能是六棱锥；④圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线．错解①②③④剖析①错误，如两个结构相同的三棱锥叠放在一起形成的几何体的各个面都是三角形，但它不是棱锥．②错误，如以一个直角三角形ABC的斜边AB为旋转轴旋转一周，其形成的曲面所围成的几何体是同底的两个圆锥，但此几何体不是圆锥．③错误，若六棱锥的底面各边长相等，则其底面多边形是正六边形，由几何图形知，若以正六边形为底面，且侧棱长相等，则棱锥的侧棱长必然大于底面边长．④显然正确．正解④二、斜二测画法的规则错误例2如图所示的等腰直角三角形表示一个水平放置的平面图形的直观图，则这个平面图形的面积是________．错解2剖析与y轴平行的那条边和在x轴上的边垂直，且长度应是原长的2倍，所以其面积应为S＝eq\f(1,2)×|－2|×(2×eq\f(|－2|,\r(2)))＝2eq\r(2).正解2eq\r(2)三、空间想象能力不足致错例3用一个平面去截正方体，所得的截面不可能是_______________________．(填序号)①正六边形；②菱形；③直角三角形；④等腰梯形；⑤钝角三角形．错解②剖析空间想象能力和作图能力不强，没有动手实验的学习习惯，做截面问题仅凭直觉．①④显然可以得到．而截面可能是正方形，正方形是菱形，所以②也可得到．③⑤均为三角形，这时截面必与从一个顶点出发的三条棱相交，构造一个“角”，如图，截面三角形PQR必为锐角三角形．任选一个∠PQR为例，PQ2＋QR2－PR2＝(a2＋b2)＋(b2＋c2)－(a2＋c2)>0，所以∠PQR为锐角．同理，∠QPR，∠PRQ也为锐角．所以，本题答案为③⑤.正解③⑤3“三共”问题的证法精析一、证明点共线例1如图所示，已知正方体ABCD－A1B1C1D1，A1C与截面DBC1交于点O，AC与BD交于点M，求证：C1、O、M三点共线．证明因为C1∈平面DBC1，且C1∈平面A1ACC1，所以C1是平面A1ACC1与平面DBC1的公共点．又因为M∈AC，所以M∈平面A1ACC1，因为M∈BD，所以M∈平面DBC1，所以M也是平面A1ACC1与平面DBC1的公共点，所以C1M是平面A1ACC1与平面DBC1的交线．因为O为平面A1ACC1与平面DBC1的交点，所以O∈平面A1ACC1，O∈平面DBC1，即O也是两个平面的公共点，所以O∈C1M，即C1、M、O三点共线．评注证明点共线的问题，一般可转化为证明这些点是某两个平面的公共点，这样可根据公理2证明这些点同在两个平面的交线上．二、证明线共点例2如图，△ABC与△A1B1C1三条边对应平行，且两个三角形不全等，求证：三对对应顶点的连线相交于一点．分析要证三线共点，可证其中两条直线有交点，且该交点在第三条直线上．证明由A1B1∥AB知，A1B1与AB可确定平面α.同理C1B1，CB和A1C1，AC可分别确定平面β和γ.又△ABC与△A1B1C1不全等，则A1B1≠AB.若AA1，BB1的交点为P，则P∈AA1，且P∈BB1.又β∩γ＝CC1，BB1⊂β，则P∈β；AA1⊂γ，则P∈γ.所以点P在β∩γ的交线上，即P∈CC1，这样点P在AA1，BB1，CC1上，即三对对应顶点的连线相交于一点．评注解决此类问题的一般方法：先证其中两条直线交于一点，再证该点也在其直线上．三、证明线共面例3求证：两两相交但不过同一点的四条直线共面．分析四条直线不共点，但有可能三线共点，或没有三线共点，所以应分两种情况加以证明．证明分两种情况证明：①有三条直线过同一点，如图，因为A∉l4，所以过A，l4可确定平面α.因为B，C，D∈l4，所以B，C，D∈α.所以AB⊂α，AC⊂α，AD⊂α.因此四条直线l1，l2，l3，l4共面．②任意三条直线都不过同一点，如图．因为l1∩l2＝A，所以过l1，l2可以确定平面α.又因为D，E∈l2，B，C∈l1，所以D，E，B，C∈α.由E∈α，B∈α，可得BE⊂α，即l3⊂α.同理可证l4⊂α.因此四条直线l1，l2，l3，l4共面．评注证明线共面问题，一般有两种方法：一是先由两条直线确定一个平面，再证明第三条直线在这个平面内；二是由其中两条直线确定一个平面α，另两条直线确定一个平面β，再证α，β重合，从而三线共面．4巧用辅助线(面)证明平行关系在证明线与线、线与面、面与面的平行关系时，从“看到结论想判定定理，看到条件想性质定理”来分析题意和寻求证明思路，往往要根据定理的条件，通过构造辅助线或辅助面来解决问题．一、作辅助线来解题例1如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是棱BC，C1D1的中点，求证：EF∥平面BB1D1D.证明如图，取D1B1的中点O，连结OF，OB.因为OF綊eq\f(1,2)B1C1，BE綊eq\f(1,2)B1C1，所以OF綊BE，即四边形OFEB为平行四边形，所以EF∥BO.又EF⊄平面BB1D1D，BO⊂平面BB1D1D，所以EF∥平面BB1D1D.评注将空间问题转化为平面问题，是解决立体几何问题的重要策略，关键是选择或添加适当的直线．而本题通过巧作平行线，利用“有困难，找中点”来证明线面平行是最有效的方法之一．二、作辅助面来解题例2如图，已知直线a∥平面α，直线a∥平面β，α∩β＝b，求证：a∥b.分析要证明线线平行，我们可以通过线面平行，或者面面平行来解决．条件里没有提到面面平行，所以，我们利用线面平行来突破．证明过a作平面γ，δ，使得γ∩α＝c，δ∩β＝d.因为γ∩α＝c，直线a∥平面α，a⊂γ，所以a∥c.同理可证a∥d.所以c∥d.由d⊂β，c⊄β，得c∥β.因为c⊂α，α∩β＝b，所以c∥b.又a∥c，所以a∥b.评注本题要使用线面平行的性质定理，需要找出或作出过已知直线且与已知平面相交的平面，以便使用性质定理，因此常作辅助面．5转化中证明空间垂直关系空间中的各种垂直关系是高中数学的重要内容．在高考中着重考查线线垂直、线面垂直、面面垂直的证明，这就需要利用线面垂直、面面垂直的判定定理及其性质，运用三者之间的转化关系．一、证明线面垂直证明线面垂直通常有两种方法：一是利用线面垂直的判定定理，由线线垂直得到线面垂直；二是利用面面垂直的性质定理，由面面垂直得到线面垂直．例1如图，AB是圆O的直径，PA垂直于圆O所在的平面，M是圆周上任意一点，AN⊥PM，垂足为点N.求证：AN⊥平面PBM.证明因为PA垂直于圆O所在的平面，所以PA⊥BM.因为M是圆周上一点，所以BM⊥AM.又因为PA∩AM＝A，所以BM⊥平面PAM，所以BM⊥AN.又因为AN⊥PM，PM∩BM＝M，所以AN⊥平面PBM.评注本题是考查线面垂直很好的载体，它融合了初中所学的圆的特征，在求解时要注意线线、线面垂直关系的转化．二、证明面面垂直证明面面垂直一般有两种方法：一是利用面面垂直的定义，通过求二面角的平面角为直角而得到，这种方法在证明面面垂直时应用较少；二是利用面面垂直的判定定理由线面垂直得到面面垂直．例2如图，△ABC为等边三角形，EC⊥平面ABC，BD∥EC，且EC＝CA＝2BD，M是EA的中点．(1)求证：DE＝DA；(2)求证：平面BDM⊥平面ECA.证明(1)如图，取EC的中点F，连结DF，易知DF∥BC.因为EC⊥BC，所以DF⊥EC.在Rt△EFD和Rt△DBA中，因为EF＝eq\f(1,2)EC＝BD，FD＝BC＝AB，所以Rt△EFD≌Rt△DBA，所以DE＝DA.(2)如图，取CA的中点N，连结MN，BN，则MN∥EC，且MN＝eq\f(1,2)EC.又EC∥BD，且BD＝eq\f(1,2)EC，所以MN∥BD，且MN＝BD，所以四边形BDMN是平行四边形，所以点N在平面BDM内．因为EC⊥平面ABC，所以EC⊥BN.又CA⊥BN，所以BN⊥平面ECA.因为BN⊂平面MNBD，所以平面BDM⊥平面ECA.评注在证明面面垂直时通常转化为证明线面垂直的问题．三、证明线线垂直证明线线垂直，往往根据线面垂直的性质，即如果一条直线垂直于一个平面，那么它和这个平面内的任意一条直线垂直．例3如图，已知平面α∩平面β＝CD，EA⊥α，EB⊥β，垂足分别为A，B，求证：CD⊥AB.证明因为EA⊥α，CD⊂α，所以CD⊥EA.又因为EB⊥β，CD⊂β，所以EB⊥CD.又因为EA∩EB＝E，所以CD⊥平面ABE.因为AB⊂平面ABE，所以CD⊥AB.评注在证明空间中的垂直关系的问题时，经常要用到转化与化归的数学思想，主要体现在线线垂直、线面垂直、面面垂直证明的相互转化过程之中．其转化关系如下：线线垂直eq\o(????,\s\up7(判定定理),\s\do5(性质定理))线面垂直eq\o(????,\s\up7(判定定理),\s\do5(性质定理))面面垂直．6几何法求空间角空间角的计算是对空间线与线、线与面、面与面位置关系的一种定量研究和精确的刻画．利用几何法求解空间角的过程可以将逻辑推理与运算融为一体，能达到综合考查同学们的空间想象能力、逻辑推理能力、运算能力、分析问题及解决问题的能力的目的．下面就举例说明利用几何法求空间角的策略．一、求异面直线所成的角求异面直线所成的角主要是根据定义利用平移法作出所成角，平移的主要途径有：(1)利用三角形和梯形的中位线；(2)利用平行线分线段成比例的性质；(3)利用平行四边形(矩形、正方形)的性质；(4)利用线面平行和面面平行的性质等．例1已知三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱都垂直于底面，若∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1，则异面直线BA1与AC1所成的角为________．分析考虑直线AC1在平面AA1C1C上平行移动，当点C1移至A1时，点A自然移至CA的延长线上，因此只需取AD＝AC即可顺利求解．解析如图，延长CA到D，使得AD＝AC，连结A1D.由AC∥A1C1且AC＝A1C1，得AD∥A1C1且AD＝A1C1，所以四边形ADA1C1为平行四边形．所以∠DA1B就是异面直线BA1与AC1所成的角．设AB＝AC＝AA1＝1，则A1D＝A1B＝BD＝eq\r(2)，即△A1DB为等边三角形．所以∠DA1B＝60°.答案60°二、求直线与平面所成的角求直线与平面所成的角关键是根据定义作出斜线在平面上的射影，强调“射影”，而射影又主要是通过作出斜线上一点在平面上的射影来实现．例2如图，三棱锥A－BCD的棱长都相等，Q是AD的中点，求CQ与平面BCD所成角的正弦值．分析为找出CQ与平面BCD所成的角，由线面所成角的定义，只需要找出CQ在平面BCD内的射影．解过点A作AO⊥平面BCD，交平面BCD于点O，连结OD，OB，OC，则可以证明O是△BCD的中心．作QP⊥OD，则QP∥AO.所以QP⊥平面BCD.连结CP，则CP是CQ在平面BCD内的射影，从而∠QCP就是CQ与平面BCD所成的角．设三棱锥的棱长为a，则在等边△ACD中，Q是AD的中点，所以CQ＝eq\f(\r(3),2)a.因为QP∥AO，Q是AD的中点，所以QP＝eq\f(1,2)AO＝eq\f(1,2)eq\r(a2－\f(\r(3),3)a2)＝eq\f(\r(6),6)a.所以sin∠QCP＝eq\f(QP,CQ)＝eq\f(\r(2),3).故CQ与平面BCD所成角的正弦值为eq\f(\r(2),3).三、求二面角求二面角是通过求其平面角的大小实现的，而平面角的作法中必须强调“垂直”，其常见途径：(1)利用共底的两个等腰三角形；(2)利用共公共边的两个全等三角形；(3)利用线面垂直和面面垂直的性质；(4)对于“无棱”二面角一般需先确定棱，然后再利用上述方法作出平面角．例3在三棱锥S－ABC中，已知△ABC是边长为a的等边三角形，且SA⊥底面ABC，AS＝eq\f(1,2)a，求二面角A－BC－S的大小．解如图所示，因为AB＝AC＝a，∠BAS＝∠CAS＝90°，所以SB＝SC.取BC的中点D，连结AD，SD，则由等腰三角形的性质，可得SD⊥BC，AD⊥BC.于是由二面角的平面角的定义可知，∠ADS为二面角A－BC－S的平面角．因为AS＝eq\f(1,2)a，AD＝eq\f(\r(3),2)BC＝eq\f(\r(3),2)a，所以在Rt△ASD中，tan∠ADS＝eq\f(\f(1,2)a,\f(\r(3),2)a)＝eq\f(\r(3),3).所以∠ADS＝30°，即所求二面角A－BC－S的大小为30°.评注在应用二面角的定义时，常常要先在二面角的棱上取一个适当的点(常取中点)，然后再过这一点在二面角的两个半平面内分别作棱的垂线，找出二面角的平面角，然后通过解三角形求得二面角的大小.7空间几何体体积的求法精析空间几何体的体积公式在实际生活中有着广泛的应用，但在具体求解过程中，仅仅记住公式是远远不够的，还要把握图形的内在因素，掌握一些常见的求解策略，灵活选择恰当的方法进行求解．一、直接用公式求解根据柱体、锥体、台体、球体的体积公式，明确公式中各几何量的值，把未知的逐个求出，再代入公式进行求解．例1已知圆锥的表面积为15πcm2，侧面展开图的圆心角为60°，求该圆锥的体积．分析根据锥体的体积公式V＝eq\f(1,3)Sh知，应分别求出圆锥的底面半径和高，代入公式计算．解设圆锥的底面半径为r，高为h，母线长为l，根据题意可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(πr2＋πrl＝15π，,2πr＝\f(60×2πl,360)，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(r＝\r(\f(15,7))，,l＝6r.))所以h＝eq\r(l2－r2)＝eq\r(6r2－r2)＝eq\r(35r2)＝eq\r(35)r＝eq\r(35)×eq\r(\f(15,7))＝5eq\r(3).所以V＝eq\f(1,3)π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(\f(15,7))))2×5eq\r(3)＝eq\f(25\r(3),7)π(cm3)．故该圆锥的体积为eq\f(25\r(3),7)πcm3.评注直接利用几何体的体积公式求体积时，需牢固掌握公式，明确各几何量之间的关系，准确进行计算．二、分割补形求解当给出的几何体比较复杂