专题02第二章实数(中等类型10大类型)(原卷版+解析)

专题02第二章实数【专题过关】类型一、实数的非负性【解惑】已知，则方程的解是（

）A． B． C． D．【融会贯通】1．（2022秋·江苏盐城·八年级校联考阶段练习）若，则的值为．2．（2023春·山东德州·七年级校考阶段练习）若a，b为实数，且，则．3．（2023春·安徽亳州·七年级统考期中）若实数，，，满足，则．4．（2023春·山东济宁·八年级校考阶段练习）若m，n为实数，且与互为相反数，则的值为．5．（2023春·福建莆田·七年级校联考期中）已知，那么的值为．类型二、简单的整、小数部分【解惑】若的整数部分为，小数部分为，则，．【融会贯通】1．（2023春·山西吕梁·七年级统考阶段练习）如图，面积分别为5和10的两个长方形，通过剪、拼后恰好组成一个正方形，并且正方形的边长为a，则的整数部分为．2．（2023秋·全国·八年级专题练习）的整数部分是．小数部分是．3．（2023秋·全国·八年级专题练习）已知a，b分别是的整数部分和小数部分，则2a﹣b的值为．4．（2023春·全国·七年级专题练习）的小数部分为a，的小数部分为b，则.5．（2023秋·全国·八年级专题练习）的小数部分是.类型三、算术平方根规律探索【解惑】已知,,则.【融会贯通】1．（2023春·湖北孝感·七年级统考期中），，则______．2．（2023春·广西崇左·七年级统考期末）请你计算下列四个式子的值：；；；，并观察你的计算结果，用你发现的规律得出：的值为．3．（2023春·甘肃定西·七年级统考期中）数学小组的同学在研究数的变化规律时，得到如下的等式：，则第个等式是.4．（2023春·江西南昌·七年级南昌二中校考期末）观察表格，回答问题：a…0.00010.01110010000……0.01x1yz…(1)表格中，；；(2)从表格中探究a与数位的规律，利用这个规律解决下面两个问题：①已知，则；②已知，若，用含m的代数式表示b，则b＝；(3)试比较与a的大小．当时，；当时，；当时，．5．（2023春·四川达州·八年级四川省渠县中学校考阶段练习）探索与应用．先填写下表，通过观察后再回答问题：．．．．．．．．．．．．(1)表格中x＝；y＝；(2)从表格中探究a与数位的规律，并利用这个规律解决下面两个问题：规律：______________________________________________________________________________________________________________________________________________________①已知，则≈；②已知，若，则．类型四、利用平方根解方程【解惑】计算(1)；(2)．【融会贯通】1．（2023春·吉林松原·七年级校考阶段练习）求值．(1)(2)2．（2023春·云南昭通·七年级统考阶段练习）求下列各式中x的值．(1)；(2)．3．（2023春·北京朝阳·七年级校考期中）求出式子中的x值：．4．（2023·浙江·七年级假期作业）根据平方根的意义解方程：(1)；(2)．5．（2023春·上海宝山·七年级校考阶段练习）解方程：类型五、立方根、平方根的应用【解惑】勤俭节约是中国人民的传统美德，涛涛的爷爷是能工巧匠，他先做了一张边长为的正方形桌子，结果涛涛说桌子太大，想让爷爷做成面积为的桌子，于是爷爷在原有桌子的基础上，在两边等距消去宽为的阴影部分，于是空白部分成为了涛涛想要的为的桌子，请问的长度为多少？

【融会贯通】1．（2023·浙江·七年级假期作业）已知一块面积为的正方形画布．(1)求该正方形画布的边长；(2)甲乙两名同学想沿着该正方形画布边的方向裁下一块长方形画布．其中，甲的方案是：长方形的面积为，且长宽之比为：；乙的方案是：长方形的面积为，且长宽之比为：．问甲乙两人的方案是否可行？并说明理由．2．（2023春·吉林·七年级校联考期中）小悦想出一块面积为的正方形纸片．沿着边的方向剪出一块面积为的长方形纸片使它的长宽之比为，小悦能用这块纸片裁出的符合要求的纸片吗?说明理由．3．（2023春·河北邢台·八年级统考开学考试）嘉淇做了大小两个正方体纸盒，已知小纸盒棱长为2cm，大纸盒比小纸盒体积大，(1)求小纸盒的体积；(2)求大纸盒的棱长．4．（2023秋·全国·八年级专题练习）如图，一个正方体铁块放入圆柱形玻璃容器后，完全没入容器内水中，使容器中的水面升高2cm，如果容器的底面直径是12cm，求正方体铁块的棱长（π取3）．

5．（2022秋·广东梅州·八年级校考阶段练习）小明已经做了一个棱长为的无盖正方体水箱，现在他还想做一个大一些的无盖正方体水箱，使它的容积是原正方体水箱容积的倍那么大，请你帮他算一算，这个大正方体水箱的棱长大约是多少厘米？（结果精确到）类型六、算术平方根和立方根的综合应用【解惑】已知是的平方根，的立方根是4，求的算术平方根．【融会贯通】1．（2023春·河南安阳·七年级校考期中）已知：的立方根是3，25的算术平方根是，求：(1)x，y的值；(2)的平方根．2．（2023春·江西新余·七年级新余四中校考期中）已知的算术平方根是1，的平方根是，的立方根是2，求的平方根．3．（2023春·新疆喀什·七年级统考期末）已知的立方根是3，的算术平方根是4，求的值．4．（2023春·安徽池州·七年级统考期中）已知的立方根是，，是的算术平方根．(1)求，，的值；(2)求的平方根．5．（2023春·重庆巴南·七年级重庆市实验中学校联考期中）已知：的平方根为，的算术平方根为它本身，的立方根是(1)求的值；(2)求的平方根．类型七、估算算术平方根【解惑】估算在（

）A．5与6之间 B．6与7之间 C．7与8之间 D．8与9之间【融会贯通】1．（2023春·贵州贵阳·七年级贵州省实验中学校考期末）已知，，为相邻整数，则的值为（

）A．10 B．11 C．12 D．132．（2023春·辽宁大连·七年级统考期末）面积为20的正方形的边长为a，则a的值在（

）A．3和之间 B．和4之间 C．4和之间 D．和5之间3．（2023春·福建福州·七年级统考期末）估计的值（

）A．在-1与0之间 B．在0与1之间 C．在1与2之间 D．在2与3之间4．（2023春·安徽合肥·七年级统考期末）估计的值在（

）A．5和6之间 B．6和7之间 C．7和8之间 D．8和9之间5．（2023春·天津静海·七年级校考阶段练习）的值介于整数4和5之间，则整数的值可以是．类型八、实数的大小比较【解惑】若，，，则，，的大小关系是（

）A． B． C． D．【融会贯通】1．（2023春·安徽合肥·七年级校考期中）比较大小：．（填、或）2．（2023春·湖北咸宁·七年级统考期中）比较大小：．3．（2023春·四川成都·九年级校考阶段练习）比较大小（选填“＞”、“＝”、“＜”）．4．（2023春·安徽宣城·七年级校联考期中）比较大小：填“”、“”或“”．5．（2023春·河北石家庄·七年级统考阶段练习）比较大小：________；________；________；________．类型九、实数的绝对值化简【解惑】实数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简=．

【融会贯通】1．（2023秋·全国·八年级专题练习）已知实数，在数轴上的位置如图所示，则化简的结果为．

2．（2023春·四川南充·七年级四川省南充高级中学校考阶段练习）已知：实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简：．3.（2022秋·八年级单元测试）阅读材料，回答问题：对于实数，有：例如：，，问题：实数a、b在数轴上的位置如图，化简：=

4．（2023春·七年级课时练习）实数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示，化简：．5．（2023秋·七年级单元测试）已知实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示．(1)化简：＝；＝；(2)化简：．类型十、程序下的实数运算【解惑】有一个数值转换器，原理如图所示，当输入的x的值为81时，输出的y值是（

）

A． B．3 C．9 D．【融会贯通】1．（2022秋·河南开封·八年级校考阶段练习）有个数值转换器，程序原理如图．当输入时，输出n的值等于（

）

A．5 B． C． D．2．（2023春·湖北襄阳·七年级统考期末）有一个数值转换器，原理如下：当输入的为时，输出的是（

）

A． B．2 C． D．3.（2023春·河南漯河·七年级校考阶段练习）有一个数值转换器，原理如图所示，若开始输入x的值是8，可发现第1次输出的结果是4，第2次输出的结果是2，依次继续下去，第2022次输出的结果是（

）

A．8 B．4 C．2 D．14．（2022秋·浙江金华·七年级校考期中）如图，是一个数值转换器，其工作原理如图所示．

（1）当输入的值为5时，则输出的值为；（2）若输出的是且，则输入的的值为．5．（2023春·山东烟台·九年级统考期中）按照如图所示的程序计算，若输出y的值是﹣3，则输入x的值是．

专题02第二章实数【专题过关】类型一、实数的非负性【解惑】已知，则方程的解是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据非负性求出的值，代入方程中，解方程即可．【详解】解：∵，∴，∴，∵，∴，∴；故选B．【点睛】本题考查非负性以及解一元一次方程．解题的关键是掌握非负数的和为0，每一个非负数均为0．【融会贯通】1．（2022秋·江苏盐城·八年级校联考阶段练习）若，则的值为．【答案】【分析】由绝对值和算术平方根的非负性列出关于x、y的方程，求出x、y的值，再代入式中计算即可．【详解】解：∵，∴，，∴，，∴．故答案为：．【点睛】本题考查了非负数的性质，解题的关键是掌握：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．2．（2023春·山东德州·七年级校考阶段练习）若a，b为实数，且，则．【答案】【分析】首先根据绝对值和算术平方根的非负性得到，，然后代入求解即可．【详解】∵∴，∴，∴．故答案为：．【点睛】此题考查了绝对值和算术平方根的非负性，代数式求值，解题的关键是熟练掌握以上知识点．3．（2023春·安徽亳州·七年级统考期中）若实数，，，满足，则．【答案】【分析】先移项变形，再写出完全平方公式形式，然后根据非负性的性质即可求出，，，最后代入求值即可．【详解】解：，，，，，故答案为：．【点睛】本题考查非负数的性质：算术平方根的非负数的性质，偶次方的非负数的性质以及绝对值的非负数的性质，熟练掌握非负数之和等于0时，各项都等于0是解题的关键．4．（2023春·山东济宁·八年级校考阶段练习）若m，n为实数，且与互为相反数，则的值为．【答案】【分析】根据题意得，根据非负数的性质得，即，，进行计算得，，即可得．【详解】解：∵与互为相反数，∴，∵，，∴，，即，，∴，，∴，故答案为：．【点睛】本题考查了相反数，非负数的性质，求代数式的值，解题的关键是理解题意，掌握这些知识点．5．（2023春·福建莆田·七年级校联考期中）已知，那么的值为．【答案】【分析】根据算术平方根非负、绝对值非负以及偶次幂非负分别求出未知数的值，再代入计算即可．【详解】∵，又∵，，，∴，，，∴，，，∴，，，∴，故答案为：．【点睛】本题主要考查了算术平方根非负、绝对值非负等知识，由，得出，，，是解答本题的关键．类型二、简单的整、小数部分【解惑】若的整数部分为，小数部分为，则，．【答案】【分析】根据首先确定的值，则小数部分即可确定．【详解】解：，，则．故答案是：3，．【点睛】本题主要考查了无理数的估算，解题的关键是确定无理数的整数部分即可解决问题．【融会贯通】1．（2023春·山西吕梁·七年级统考阶段练习）如图，面积分别为5和10的两个长方形，通过剪、拼后恰好组成一个正方形，并且正方形的边长为a，则的整数部分为．【答案】1【分析】根据正方形的边长，进行估算，可得结论．【详解】解：拼剪后的正方形的面积，∴，∵，即∴，∴的整数部分是1，故答案为：1．【点睛】本题考查图形的拼剪，正方形的性质及无理数的估算等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．2．（2023秋·全国·八年级专题练习）的整数部分是．小数部分是．【答案】3【分析】根据算术平方根的整数部分和小数部分求解的方法直接进行求解即可．【详解】解：∵，∴，∴的整数部分为3，∴的小数部分为；故答案为3，．【点睛】本题主要考查算术平方根，熟练掌握求一个算术平方根的整数部分和小数部分是解题的关键．3．（2023秋·全国·八年级专题练习）已知a，b分别是的整数部分和小数部分，则2a﹣b的值为．【答案】．【分析】先求出介于哪两个整数之间，即可求出它的整数部分，再用减去它的整数部分求出它的小数部分，再代入即可.【详解】∵9＜13＜16，∴3＜＜4，∴a=3，b=﹣3，∴2a﹣b=2×3﹣（﹣3）=6﹣+3=．故答案为．【点睛】此题考查的是带根号的实数的整数部分和小数部分的求法，利用平方找到它的取值范围是解决此题的关键.4．（2023春·全国·七年级专题练习）的小数部分为a，的小数部分为b，则.【答案】1【分析】先分析介于哪两个整数之间，再分别求出和介于哪两个整数之间，即可求出和的整数部分，然后用它们分别减去它们的整数部分得到，代入即可.【详解】解：∵∴，∴∴的整数部分为10，的整数部分为2，∴a=

b=代入得：

=12018=1【点睛】此题考查的是实数（带根号）的整数部分和小数部分的求法.5．（2023秋·全国·八年级专题练习）的小数部分是.【答案】-3【详解】∵9<13<16,∴3<<4,∴的整数部分是3，小数部分是-3.故答案为：-3.类型三、算术平方根规律探索【解惑】已知,,则.【答案】【分析】观察发现：被开方数7到700，小数点向右移动了2位，相应的算术平方根的小数点向右移动1位，据此解答.【详解】解：∵,∴；故答案为：.【点睛】本题考查了算术平方根，正确得到算术平方根与被开方数的关系是解题的关键.【融会贯通】1．（2023春·湖北孝感·七年级统考期中），，则______．【答案】【分析】据算术平方根的移动规律，把被开方数的小数点每移动两位，结果移动一位，进行填空即可．【详解】解：因为，即，所以，故答案为：．【点睛】根本题考查了算术平方根的移动规律的应用，能根据移动规律填空是解此题的关键．2．（2023春·广西崇左·七年级统考期末）请你计算下列四个式子的值：；；；，并观察你的计算结果，用你发现的规律得出：的值为．【答案】55【分析】根据；；；，…，可得：，据此求出的值为多少即可．【详解】解：；；；，…，∴，∴．故答案为：55．【点睛】此题主要考查了求一个数的算术平方根以及数字的变化规律的应用，熟练掌握求一个数算术平方根的方法是解题关键．3．（2023春·甘肃定西·七年级统考期中）数学小组的同学在研究数的变化规律时，得到如下的等式：，则第个等式是.【答案】【分析】观察发现，被开方数的整数部分与分子相同，分母比分子的平方小1，然后根据被开方数的整数部分可以直接放到分号外面写出第个等式即可.【详解】解：∵；∴第个等式为．故答案为：【点睛】本题主要考查算术平方根中的规律题，理解题意掌握题中规律是解题的关键．4．（2023春·江西南昌·七年级南昌二中校考期末）观察表格，回答问题：a…0.00010.01110010000……0.01x1yz…(1)表格中，；；(2)从表格中探究a与数位的规律，利用这个规律解决下面两个问题：①已知，则；②已知，若，用含m的代数式表示b，则b＝；(3)试比较与a的大小．当时，；当时，；当时，．【答案】(1)0.1；10；100(2)①31.6；②(3)；或0；【分析】（1）由表格得出规律，求出x，y和z的值即可；（2）根据得出的规律确定出所求即可；（3）根据表格中的数据，分类讨论a的范围，比较大小即可．【详解】（1），，．故答案为：0.1；10，100；（2）①∵，∴．②∵结果扩大100倍，则被开方数扩大10000倍，∴．故答案为：31.6；；（3）由表格中数据可知：当时，；当或0时，；当时，，故答案为：；或0；．【点睛】此题考查了算术平方根的规律问题，弄清题中的规律是解本题的关键．5．（2023春·四川达州·八年级四川省渠县中学校考阶段练习）探索与应用．先填写下表，通过观察后再回答问题：．．．．．．．．．．．．(1)表格中x＝；y＝；(2)从表格中探究a与数位的规律，并利用这个规律解决下面两个问题：规律：______________________________________________________________________________________________________________________________________________________①已知，则≈；②已知，若，则．【答案】(1)，10(2)规律见解析，①；②32400【分析】（1）观察表格确定出与的值即可；（2）根据表格中的规律“算术平方根的被开方数扩大100倍，算术平方根扩大10倍”，据此分别计算①②可得答案．【详解】（1）解：，；故答案为：，10；（2）根据表中数据可得：算术平方根的被开方数扩大100倍，算术平方根扩大10倍；①；②．故答案为：①；②32400．【点睛】本题考查了算术平方根的知识，根据表格的数据发现规律是解题的关键．类型四、利用平方根解方程【解惑】计算(1)；(2)．【答案】(1)；(2)或．【分析】（）先把方程转化为，再根据平方根的定义求解即可；（）把看成整体，再根据平方根的定义求解即可．【详解】（1）解：，，

；（2）解：，

，或，或．【点睛】此题考查了平方根的定义，解题的关键是正确理解正数的平方根有两个．【融会贯通】1．（2023春·吉林松原·七年级校考阶段练习）求值．(1)(2)【答案】(1)(2)或【分析】（1）利用平方根定义解方程；（2）两边同时除以系数2，再根据平方根定义解方程．【详解】（1）解：，∴；（2）解：

或

∴或．【点睛】此题考查了平方根的定义解方程，正确掌握平方根的定义是解题的关键．2．（2023春·云南昭通·七年级统考阶段练习）求下列各式中x的值．(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】（1）运用平方根知识进行求解即可．（2）运用平方根知识进行求解即可．【详解】（1）移项，得，开平方，得；∴或（2）开平方，得，解得或．【点睛】此题考查了运用平方根解方程的能力，关键是能准确理解并运用以上知识．3．（2023春·北京朝阳·七年级校考期中）求出式子中的x值：．【答案】或【分析】根据求平方根的方法解方程即可．【详解】解：∵，∴，∴，∴，∴或．【点睛】本题主要考查了求平方根的方法解方程，熟知求平方根的方法是解题的关键．4．（2023·浙江·七年级假期作业）根据平方根的意义解方程：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据平方根的意义求解即可；（2）根据平方根的意义求解即可；【详解】（1）∴解得；（2）∴∴解得．【点睛】此题考查了平方根的意义，解题的关键是熟练掌握平方根的意义．5．（2023春·上海宝山·七年级校考阶段练习）解方程：【答案】或【分析】方程两边同时开四次方，进而即可求解．【详解】解：∴或解得：或【点睛】本题考查了根据开方的定义解方程，掌握开方的定义是解题的关键．类型五、立方根、平方根的应用【解惑】勤俭节约是中国人民的传统美德，涛涛的爷爷是能工巧匠，他先做了一张边长为的正方形桌子，结果涛涛说桌子太大，想让爷爷做成面积为的桌子，于是爷爷在原有桌子的基础上，在两边等距消去宽为的阴影部分，于是空白部分成为了涛涛想要的为的桌子，请问的长度为多少？

【答案】【分析】根据题意列方程，再解方程即可得出结果．【详解】解：根据题意，得，解得（不符合题意，舍去）．故的长度为．【点睛】本题考查了平方根的应用及方程的思想，本题的关键是，用方程解决实际问题时，不仅要注意解方程的过程是否正确，还要检验方程的解是否符合问题的实际意义．【融会贯通】1．（2023·浙江·七年级假期作业）已知一块面积为的正方形画布．(1)求该正方形画布的边长；(2)甲乙两名同学想沿着该正方形画布边的方向裁下一块长方形画布．其中，甲的方案是：长方形的面积为，且长宽之比为：；乙的方案是：长方形的面积为，且长宽之比为：．问甲乙两人的方案是否可行？并说明理由．【答案】(1)该正方形画布的边长为(2)甲方案不可行，乙方案可行，理由见解析【分析】（1）根据算术平方根的定义即可求解；（2）甲方案中，设长方形纸片的长为，宽为，乙方案中，设长方形纸片的长为，宽为，分别列出方程，解方程即可求解．【详解】（1）∵正方形画布的面积为400∴该正方形画布的边长为．（2）甲的方案不可行，乙方案可行甲方案中，设长方形纸片的长为，宽为，则，即，，解得：（负值舍去），长方形的长为．，但正方形纸片的边长只有，故甲方案不可行；乙方案中，设长方形纸片的长为，宽为，则，即，解得：（负值舍去），长方形的长为，故乙方案可行，综上，甲方案不可行，乙方案可行．【点睛】本题考查了算术平方根的实际应用，熟练掌握算术平方根的定义是解题的关键．2．（2023春·吉林·七年级校联考期中）小悦想出一块面积为的正方形纸片．沿着边的方向剪出一块面积为的长方形纸片使它的长宽之比为，小悦能用这块纸片裁出的符合要求的纸片吗?说明理由．【答案】不能用这块纸片裁出符合要求的纸片，理由见解析【分析】先设长方形纸片的长为，则宽为，根据长方形的面积公式有，解得，易求长方形纸片的长是，再去比较与正方形的边长大小即可．【详解】解：设长方形纸片的长为，则宽为，由题意，得，解得或（负数舍去），，因此，长方形纸片的长为cm．因为，所以小悦不能用这块纸片裁出符合要求的纸片．【点睛】此题考查平方根的应用，解题的关键是先求出所裁出的长方形纸片的长．3．（2023春·河北邢台·八年级统考开学考试）嘉淇做了大小两个正方体纸盒，已知小纸盒棱长为2cm，大纸盒比小纸盒体积大，(1)求小纸盒的体积；(2)求大纸盒的棱长．【答案】(1)(2)3cm【分析】（1）根据正方体的体积公式求解即可；（2）先求得大纸盒的体积，然后根据立方根的性质进行求解．【详解】（1）解：小纸盒的体积为；（2）解：设大纸盒的棱长为∵大纸盒比小纸盒体积大，∴，∴．【点睛】此题考查立方根的应用，根据实际问题建立等量关系是解题关键．4．（2023秋·全国·八年级专题练习）如图，一个正方体铁块放入圆柱形玻璃容器后，完全没入容器内水中，使容器中的水面升高2cm，如果容器的底面直径是12cm，求正方体铁块的棱长（π取3）．

【答案】正方体的棱长约为6cm．【分析】设正方体的棱长为xcm，根据题意列方程求解即可．【详解】解：设正方体的棱长为xcm，由题意得，，解得，答：正方体的棱长约为6cm．【点睛】本题考查圆柱体、正方体的体积的计算方法，立方根的实际应用，掌握体积计算公式是正确解答的关键．5．（2022秋·广东梅州·八年级校考阶段练习）小明已经做了一个棱长为的无盖正方体水箱，现在他还想做一个大一些的无盖正方体水箱，使它的容积是原正方体水箱容积的倍那么大，请你帮他算一算，这个大正方体水箱的棱长大约是多少厘米？（结果精确到）【答案】这个大正方体水箱的棱长大约是【分析】设这个大正方体水箱的棱长为，根据正方体的体积公式即可求解．【详解】解：设这个大正方体水箱的棱长为，则，答：这个大正方体水箱的棱长大约是．【点睛】本题考查了立方根的应用，熟练掌握立方根的定义是解题的关键．类型六、算术平方根和立方根的综合应用【解惑】已知是的平方根，的立方根是4，求的算术平方根．【答案】13【分析】先根据是的平方根求出x的值，再根据的立方根是4求出y的值，再求出的值，即可得到的算术平方根．【详解】解：∵是的平方根，∴，解得，又∵的立方根是4，∴，把代入得，，解得，∴，∵的算术平方根为，∴的算术平方根是．【点睛】此题考查了算术平方根、立方根、一元一次方程等知识，熟练掌握算术平方根、立方根的意义是解题的关键．【融会贯通】1．（2023春·河南安阳·七年级校考期中）已知：的立方根是3，25的算术平方根是，求：(1)x，y的值；(2)的平方根．【答案】(1)，(2)【分析】（1）根据立方根的定义求得x的值，再根据算术平方根的定义求得y值；（2）先计算的值，再根据平方根的定义求解即可．【详解】（1）∵的立方根是3，∴，解得：，∵25的算术平方根是，∴，∵，∴；（2）∵，，∴的平方根为．【点睛】本题考查了平方根、算术平方根和立方根的定义，熟练掌握立方根、算术平方根、平方根的定义是解决本题的关键．2．（2023春·江西新余·七年级新余四中校考期中）已知的算术平方根是1，的平方根是，的立方根是2，求的平方根．【答案】【分析】根据算术平方根、平方根、立方根求出，，的值，即可解答．【详解】解：由题知：，，，∴，，，∴．【点睛】本题考查了算术平方根、平方根、立方根，解决本题的关键是熟记算术平方根、平方根、立方根．3．（2023春·新疆喀什·七年级统考期末）已知的立方根是3，的算术平方根是4，求的值．【答案】9【分析】根据立方根定义和算术平方根定义求出，，然后求出结果即可．【详解】解：∵的立方根是3，∴，解得：，又∵的算术平方根是4，∴，又∵，解得，∴．【点睛】本题主要考查了立方根和算术平方根定义，解题的关键是根据立方根定义和算术平方根定义求出，．4．（2023春·安徽池州·七年级统考期中）已知的立方根是，，是的算术平方根．(1)求，，的值；(2)求的平方根．【答案】(1)，，(2)【分析】（1）由“的立方根是”可求，由可求，由“是的算术平方根”即可进一步求；（2）根据，，的值即可求解．【详解】（1）解：因为的立方根是，所以，解得．因为，所以，即，解得．因为是的算术平方根，所以，所以．（2）解：因为，，，所以，所以的平方根是．【点睛】本题综合考查立方根和平方根问题．掌握相关定义及计算方法是解题关键．5．（2023春·重庆巴南·七年级重庆市实验中学校联考期中）已知：的平方根为，的算术平方根为它本身，的立方根是(1)求的值；(2)求的平方根．【答案】(1)，，(2)【分析】（1）根据平方根的运算可求出的，算术平方根的运算及的值可求出的值，立方根的运算可求出的值；（2）把（1）中的的值代入，根据平方根的运算即可求解．【详解】（1）解：∵的平方根为，∴，即，解得，，∵的算术平方根为它本身，算术平方根等于其本身的有或，且，∴，即，且，∴，解得，，∵的立方根是，∴，即，解得，，∴，，．（2）解：由（1）可知，，，，∴，∴的平方根为，∴的平方根为：．【点睛】本题主要考查平方根，算术平方根，立方根的运算，掌握以上知识的综合运算方法是解题的关键．类型七、估算算术平方根【解惑】估算在（

）A．5与6之间 B．6与7之间 C．7与8之间 D．8与9之间【答案】B【分析】估算的值，即可求解．【详解】解：∵∴∴；故选：B【点睛】本题考查无理数的估算．确定“”是解题关键．【融会贯通】1．（2023春·贵州贵阳·七年级贵州省实验中学校考期末）已知，，为相邻整数，则的值为（

）A．10 B．11 C．12 D．13【答案】B【分析】根据算术平方根可进行求解．【详解】解：∵，∴，即，∴；故选B．【点睛】本题主要考查无理数的估算，熟练掌握一个数的算术平方根是解题的关键．2．（2023春·辽宁大连·七年级统考期末）面积为20的正方形的边长为a，则a的值在（

）A．3和之间 B．和4之间 C．4和之间 D．和5之间【答案】C【分析】根据正方形的面积公式求得的值，然后进行估算即可求得答案．【详解】解：由题意可得，，，，，即的值在4和之间，故选：．【点睛】本题考查无理数的估算，先估算出在哪两个连续整数之间是解题的关键．3．（2023春·福建福州·七年级统考期末）估计的值（

）A．在-1与0之间 B．在0与1之间 C．在1与2之间 D．在2与3之间【答案】C【分析】先估算出的范围，再计算的范围，即可得出答案．【详解】解：∵，∴，∴，估计的值在1与2之间，故选：C．【点睛】本题考查了估算无理数的大小，能估算出的范围是解此题的关键．4．（2023春·安徽合肥·七年级统考期末）估计的值在（

）A．5和6之间 B．6和7之间 C．7和8之间 D．8和9之间【答案】B【分析】根据算术平方根及无理数估算即可得到答案．【详解】解：，，，即，的值在6和7之间，故选：B．【点睛】本题考查算术平方根与无理数估算，熟练掌握无理数估算的方法是解决问题的关键．5．（2023春·天津静海·七年级校考阶段练习）的值介于整数4和5之间，则整数的值可以是．【答案】18（答案不唯一）【分析】由可得，再确定整数即可．【详解】解：根据题意知：，∴，∵是整数，∴可以取18（答案不唯一）【点睛】本题主要考查了算术平方根，求出的取值范围是解答本题的关键．类型八、实数的大小比较【解惑】若，，，则，，的大小关系是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先把各数化简，进而可得，，的大小关系．【详解】解：，，，∵，∴．故选D．【点睛】本题考查了实数的大小比较，算术平方根和立方根的意义，正确化简各数是解答本题的关键．【融会贯通】1．（2023春·安徽合肥·七年级校考期中）比较大小：．（填、或）【答案】【分析】根据两个负数大小比较方法进行比较即可．【详解】解：∵，∴，∵，，∴．故答案为：．【点睛】本题主要考查了实数大小比较，解题的关键是熟练掌握两个负数比较大小，绝对值大的反而小．2．（2023春·湖北咸宁·七年级统考期中）比较大小：．【答案】【分析】分别估算出取值范围即可比较大小．【详解】解：∵，∴．∵，∴，∴．故答案为：【点睛】本题考查了实数的大小比较，正数大于0，负数小于0，正数大于一切负数，两个负数，绝对值大的反而小．两个正无理数比较，被开方数大的比被开方数小的大；一个有理数与一个开方开不尽的数比较，常通过比较它们的平方（或立方）的大小来比较或都化成带根号的数比较被开方数的大小．3．（2023春·四川成都·九年级校考阶段练习）比较大小（选填“＞”、“＝”、“＜”）．【答案】【分析】先将比较和大小，转换成比较和5的大小，然后再比较无理数大小即可．【详解】解：∵，，∴，，∴只需比较和5的大小即可，∵，，∴，∴．故答案为．【点睛】本题主要考查了无理数大小比较，掌握无理数大小比较的方法是解答本题的关键．4．（2023春·安徽宣城·七年级校联考期中）比较大小：填“”、“”或“”．【答案】<【分析】根据无理数的估算可进行求解．【详解】解：∵，∴，∴；故答案为＜．【点睛】本题主要考查无理数的估算及实数的大小比较，熟练掌握无理数的估算是解题的关键．5．（2023春·河北石家庄·七年级统考阶段练习）比较大小：________；________；________；________．【答案】【分析】分别计算的值即可得出；利用作差法即可得出；判断，，即可得出；得到，即可得出．【详解】解：∵，∴；∵，∴；∵，∴；∵，∴，∴；∵，∴．故答案为：．【点睛】本题考查了实数的大小比较，掌握解答的方法是关键．类型九、实数的绝对值化简【解惑】实数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简=．

【答案】【分析】首先判断出，再化简即可；【详解】解：由数轴知，，且．∴．．故答案为：【点睛】本题主要考查实数与数轴，算术平方根的性质，能根据实数a，b在数轴上的位置化简算术平方根是解题关键．【融会贯通】1．（2023秋·全国·八年级专题练习）已知实数，在数轴上的位置如图所示，则化简的结果为．

【答案】1【分析】根据数轴上点的位置确定出，的正负，原式利用绝对值的代数意义，立方根及算术平方根性质计算即可求出值．【详解】解：根据数轴上点的位置得：，且，，，则原式．故答案为：1．【点睛】此题考查了实数的运算，立方根，以及实数与数轴，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．2．（2023春·四川南充·七年级四川省南充高级中学校考阶段练习）已知：实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简：．【答案】/【分析】运用数轴和平方根、立方根和绝对值的知识进行化简、求解．【详解】解：由题意得，，∴，，∴．故答案为：．【点睛】此题考查了运用数轴和平方根、立方根和绝对值解决问题的能力，关键是能准确理解并运用以上知识．3.（2022秋·八年级单元测试）阅读材料，回答问题：对于实数，有：例如：，，问题：实数a、b在数轴上的位置如图，化简：

【答案】【分析】根据数轴上点的位置得到，，再根据二次根式的性质与绝对值的性质即可解答．【详解】解：∵，，∴，，∴．【点睛】本题考查了二次根式的性质，绝对值的性质，整式的加减，掌握二次根式的性质及绝对值的性质是解题的关键．4．（2023春·七年级课时练习）实数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示，化简：．【答案】【分析】由题图可知，可得，，，再化简即可．【详解】解：由题图可知，∴，，，∴原式．【点睛】本题考查的是利用数轴比较实数的大小，化简绝对值，求解立方根与算术平方根，整式的加减运算，理解题意判断各代数式的符号是解本题的关键．5．（2023秋·七年级单元测试）已知实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示．(1)化简：＝；＝；(2)化简：．【答案】(1)(2)【分析】（1）先判断，后化简计算即可．（2）根据，后化简计算即可．【详解】（1）根据，∴，∴，，故答案为：．（2）根据，∴，∴，∴．【点睛】本题考查了数轴上字母表示数，实数的大小比较