黄金卷：2024-2025学年高二上学期入学摸底考试数学试卷-高二数学（江苏专用 苏教版2019）（含答案及解析）

新高二开学摸底考试卷（江苏专用，苏教版2019）数学（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3．考试范围：苏教版2019必修第一册、第二册以及选修必修第一册直线与方程4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合，则“”是“”的（）条件A.充分不必要 B.必要不充分 C.充要 D.既不充分又不必要2．若复数满足，则等于（）A. B. C. D.23．某射击运动员射击6次，命中的环数如下：7，9，6，9，10，7，则关于这组数据的说法正确的是（）A.极差为10 B.中位数为7.5 C.平均数为8.5 D.标准差为4．已知向量，向量在上的投影向量为，则（）A.-2 B.-1 C.1 D.25．已知直线与直线关于点对称，则实数的值为（）A.2 B.6 C. D.6．已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）A.若，，，则 B.若，，，则C.若，，，则 D.若，，，则7．设为锐角，若，则的值为（）A. B. C. D.8．若函数是定义域为的奇函数，且，，则下列说法不正确的是（）A． B．的图象关于点中心对称C．的图象关于直线对称 D．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．盒子里有3个红球和2个白球，从中不放回地依次取出2个球，设事件“两个球颜色相同”，“第1次取出的是红球”，“第2次取出的是红球”，“两个球颜色不同”．则（）A.与互为对立事件 B.与互斥 C.A与B相互独立 D.10．已知函数，则（）A.的最小正周期为 B.C.的图象关于直线对称 D.在区间上单调递增11.在正四棱台中，，，，点E在内部（含边界），则（）A.平面 B.二面角大小为C.该四棱台外接球的体积为 D.的最小值为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．直线恒过定点_________13．已知是边长为1的正三角形，是上一点且，则_________14．古希腊数学家托勒密于公元150年在他的名著《数学汇编》里给出了托勒密定理：圆的内接凸四边形的两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积．已知平面凸四边形ABCD外接圆半径为1，．则（1）__________；（2）的最小值为__________．解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．2024年5月15日是第15个全国公安机关打击和防范经济犯罪宣传日，某市组织了多个小分队走进社区，走进群众，开展主题为“与民同心，为您守护”的宣传活动，为了让宣传更加全面有效，某个分队随机选择了200位市民进行宣传，这些市民年龄的样本数据的频率分布直方图如图：（1）请估计这200位市民的平均年龄（同组数据用组中值代替）；（2）现用分层抽样方法从年龄在区间和两组市民中一共抽取6人，再从这6人中随机抽取2人进行电话回访，求“抽取的2人的年龄差大于10岁”的概率.16．如图，在四棱锥中，底面ABCD为平行四边形，底面ABCD，，，E为PD中点，F为PB中点，M为CE中点．（1）求证：平面平面PAB；（2）求证：平面BDM．17．已知的顶点，，.（1）若直线过顶点，且顶点A，到直线的距离相等，求直线的方程；（2）数学家欧拉于1765年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出：三角形的外心、重心、垂心共线，这条直线称为欧拉线.求的欧拉线方程.18．在中，已知角，，所对的边分别为，，，．（1）求角的大小；（2）若为锐角三角形，求的取值范围．19．如图，在四棱柱中，已知侧面为矩形，，，，，，，.（1）求证：平面平面；（2）求证：平面平面；（3）若三棱锥的体积为，求平面与平面的夹角的余弦值.

新高二开学摸底考试卷（江苏专用，苏教版2019）数学（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3．考试范围：苏教版2019必修第一册、第二册以及选修必修第一册直线与方程4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合，则“”是“”的（）条件．A.充分不必要 B.必要不充分 C.充要 D.既不充分又不必要【答案】C【分析】根据集合的基本关系以及充分必要条件的判断即可得解.【详解】因为，所以，因为，所以，所以是的充要条件,故选：C.2．若复数满足，则等于（）A. B. C. D.2【答案】A【分析】由复数的除法法则求得，可求.【详解】由，可得，所以，所以.故选：A.3．某射击运动员射击6次，命中的环数如下：7，9，6，9，10，7，则关于这组数据的说法正确的是（）A.极差为10 B.中位数为7.5 C.平均数为8.5 D.标准差为【答案】D【分析】利用极差、中位数、平均数、标准差的定义，根据条件逐一对各个选项分析判断即可得出结果.【详解】某射击运动员射击6次，命中的环数从小到大排列如下：6，7，7，9，9，10，对A，极差为，故A错误；对B，中位数为，故B错误；对C，平均数为，故C错误；对D，标准差，故D正确.故选：D4．已知向量，向量在上的投影向量为，则（）A.-2 B.-1 C.1 D.2【答案】A【分析】根据投影向量的定义式，结合题意即可求得.【详解】由向量，可得，因向量在上的投影向量为，由题意，，解得.故选：A.5．已知直线与直线关于点对称，则实数的值为（）A.2 B.6 C. D.【答案】A【分析】根据线关于点对称即可得两直线平行，进而根据点的对称代入求解即可.详解】由于直线与直线关于点对称，所以两直线平行，故，则，由于点在直线上，关于点的对称点为，故在上，代入可得，故，故选：A6．已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）A.若，，，则 B.若，，，则C.若，，，则 D.若，，，则【答案】D【分析】根据空间中线线、线面、面面的位置关系一一判断即可.【详解】对于A：若，，则或，又，则或与相交，故A错误；对于B：若，，则或，又，则或与相交，故B错误；对于C：若，，则，又，则与平行或异面，故C错误；对于D：若，，则或，若，则在平面内存在直线，使得，又，则，又，所以；若，又，所以；综上可得，由，，，可得，故D正确.故选：D7．设为锐角，若，则的值为（）A. B. C. D.【答案】B【分析】根据给定条件，利用诱导公式、同角公式及二倍角公式求解即得.【详解】由为锐角，得，而，因此，所以故选：B8．若函数是定义域为的奇函数，且，，则下列说法不正确的是（）A． B．的图象关于点中心对称C．的图象关于直线对称 D．【答案】D【分析】对于A：根据，赋值令，即可得结果；对于C：根据结合奇函数定义可得，即可得结果；对于B：根据选项B中结论分析可得，即可得结果；对于D：分析可知：4为的周期，结合周期性分析求解.【详解】因为，，对于选项A：令，可得，故A正确；对于选项C：因为函数是定义域为的奇函数，则，则，所以的图象关于直线对称，故C正确；对于选项B：因为，可得，则，即，所以的图象关于点中心对称，故B正确；对于选项D：因为，令，可得，令，可得，又因为，则，可知4为的周期，可得，即，因为，所以，故D错误；故选：D二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．盒子里有3个红球和2个白球，从中不放回地依次取出2个球，设事件“两个球颜色相同”，“第1次取出的是红球”，“第2次取出的是红球”，“两个球颜色不同”．则（）A.与互为对立事件 B.与互斥 C.A与B相互独立 D.【答案】AD【分析】依次列出样本空间，事件、、、包含的基本事件，由事件的基本关系及概率公式一一判定选项即可.【详解】依题意可设个红球为，，，2个白球为，，则样本空间为：，共个基本事件.事件，共个基本事件.事件，共个基本事件.事件，共个基本事件.事件，共个基本事件.对于A，显然、不可能同时发生，且与中一定有一个会发生，所以与互为对立事件，故A正确；对于B：注意到，则与不互斥，故B错误；对于C：因为，则，故与不独立，故C错误；对于D：，故D正确.故选：AD10．已知函数，则（）A.的最小正周期为 B.C.的图象关于直线对称 D.在区间上单调递增【答案】BD【分析】利用二倍角公式及两角和的正弦公式化简，在根据正弦函数的性质计算可得.【详解】因为，所以的最小正周期，故A错误；因为，所以，故B正确；因为，所以的图象不关于直线对称，故C错误；当，则，又在上单调递增，所以在区间上单调递增，故D正确.故选：BD11.在正四棱台中，，，，点E在内部（含边界），则（）A.平面 B.二面角大小为C.该四棱台外接球的体积为 D.的最小值为【答案】ABD【分析】对于A，为中点，证明证得平面；对于B，几何法求二面角的大小；对于C，先假设球心的位置，利用勾股定理与半径相等建立方程组进而确定的位置，可求得球的半径并计算体积；对于D，先判断落在上，再进一步判断与重合时，取得最小值.【详解】对于A，如图1，设底面对角线交于点，由棱台的结构特征易知与的延长线必交于一点，故共面，又面面，而面面，面面，故，即；由，，，得，，即；所以四边形是平行四边形，故，而面，面，所以平面，故A正确；对于B，正四棱台中，为中点，，则，由，则有，所以二面角的平面角为，，，为正三角形，所以二面角的大小为，故B正确；对于C，如图2，设为的中点，为正四棱台外接球的球心，设外接球的半径为，则，等腰梯形中，易得，为方便计算，不妨设，则由，即，得，又，解得，即与重合，故，故球的体积为，故C错误；对于D，由图2易得，，，面，故面，不妨设落在图3(在外)处，过作，交于，则面，面，故，故在中，（直角边小于斜边）；同理，，所以，故动点只有落在上，才有可能取得最小值；再看图4，由AB选项可知，，，和都为正三角形，关于的对称点为，可知，即与重合时，有最小值，故D正确；故选：ABD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．直线恒过定点______.【答案】ACD【分析】整理直线方程，可化为，当且时，无论取何值，方程恒成立，解方程组即可解得定点，即可判断正误；【详解】因为直线，即，令，解得，即直线恒过定点，故答案为：13．已知是边长为1的正三角形，是上一点且，则_________【答案】【分析】根据题意得，由三点共线求得，利用向量数量积运算求解.【详解】，，且，而三点共线，，即，，所以.故答案为：14．古希腊数学家托勒密于公元150年在他的名著《数学汇编》里给出了托勒密定理：圆的内接凸四边形的两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积．已知平面凸四边形ABCD外接圆半径为1，．则（1）__________；（2）的最小值为__________．【答案】①.②.【分析】由正弦定理可得的比，由余弦定理可得的值，由正弦定理可得的值，再由托勒密定理可得的表达式，由基本不等式可得它的最小值.【详解】，由正弦定理可得：，设，由余弦定理可得，在中，，可得，由正弦定理可得，，，设，由余弦定理得，由托勒密定理得，即，平方得，设，，当且仅当且，即时取等号，的最小值为，即的最小值为.故答案为：;.解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．2024年5月15日是第15个全国公安机关打击和防范经济犯罪宣传日，某市组织了多个小分队走进社区，走进群众，开展主题为“与民同心，为您守护”的宣传活动，为了让宣传更加全面有效，某个分队随机选择了200位市民进行宣传，这些市民年龄的样本数据的频率分布直方图如图：（1）请估计这200位市民的平均年龄（同组数据用组中值代替）；（2）现用分层抽样方法从年龄在区间和两组市民中一共抽取6人，再从这6人中随机抽取2人进行电话回访，求“抽取的2人的年龄差大于10岁”的概率.【答案】（1）（2）【分析】（1）根据频率分布直方图中平均数计算规则计算可得；（2）首先求出年龄在区间和中抽取的人数，再列出所有可能结果，最后由古典概型的概率公式计算可得.【详解】（1）由频率分布直方图可得这200位市民的平均年龄为：；（2）样本中年龄在区间的频率为，年龄在区间的频率为，则年龄在区间抽取人，分别记作、、、，年龄在区间抽取人，分别记作、，从这6人中随机抽取2人进行电话回访可能结果有、、、、、、、、、、、、、、共个，其中满足抽取的2人的年龄差大于10岁的有、、、、、、、共个，所以“抽取的2人的年龄差大于10岁”的概率.16．如图，在四棱锥中，底面ABCD为平行四边形，底面ABCD，，，E为PD中点，F为PB中点，M为CE中点．（1）求证：平面平面PAB；（2）求证：平面BDM．【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【分析】（1）证明出即可证明出平面PAB从而证明出平面平面PAB．（2）先证明平面平面BDM．再利用面面平行的性质证明即可..【详解】（1）底面ABCD．平面ABCD，．又，，平面PAB平面PAB．平面ACE，平面平面PAB．（2）连接EF、AE，连接AC交BD于点O，连接OM．在中，M，O分别为CE，AC中点，．又平面BDM，OM平面BDM，平面BDM：在中，E，F分别为PD，PB中点，．又平面BDM，平面BDM．平面BDM；又AE，平面AEF，，平面平面BDM．又平面AEF，所以平面BDM．17．已知的顶点，，.（1）若直线过顶点，且顶点A，到直线的距离相等，求直线的方程；（2）数学家欧拉于1765年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出：三角形的外心、重心、垂心共线，这条直线称为欧拉线.求的欧拉线方程.【答案】（1）或（2）【分析】（1）根据题意可设直线，结合点到直线的距离公式运算求解；（2）根据外心在的中垂线为可设，及到顶点距离相等列方程可得，结合重心求直线方程.【详解】（1）若直线的斜率不存在，显然不合题意，可设直线，即，由题意可得：，整理得，解得或，所以直线的方程或.（2）因为的中垂线为，可设的外心，又因为，可得，则，解得，即，由题意可知：的重心，则欧拉线的斜率为，故的欧拉线的方程为，即.18．在中，已知角，，所对的边分别为，，，．（1）求角的大小；（2）若为锐角三角形，求的取值范围．【答案】（1）（2）【分析】（1）由二倍角的正弦和余弦公式，结合余弦定理将角转化为边，可将式子变形为，再利用余弦定