浙江专用2025届高考数学一轮复习专题九平面解析几何9.1直线方程与圆的方程试题含解析

PAGEPAGE1专题九平面解析几何【考情探究】课标解读考情分析备考指导主题内容一、直线的方程1.理解直线的倾斜角和斜率的概念、驾驭过两点的直线斜率的计算公式.2.能依据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直.3.驾驭直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式),了解斜截式与一次函数的关系.从近几年高考状况来看,直线和圆主要考查方程的求法,常以选择、填空题的形式出现;对于圆锥曲线,基础题目主要考查定义与方程、几何性质,特殊是双曲线的几何性质(离心率、渐近线)及抛物线的几何性质.解答题通常以椭圆及抛物线为背景,考查直线与椭圆的位置关系、直线与抛物线的位置关系、弦中点问题、定点问题、定值问题、轨迹问题、取值范围问题、证明问题及直线过定点问题.特殊留意近两年高考将此综合题前移,难度降低.1.直线与圆的问题求解肯定要留意数形结合的方法,充分利用圆的几何性质解题.2.恰当选择直线和曲线方程形式,简化计算.3.合理运用消元技巧,涉及直线与圆锥曲线的交点坐标问题,经常“设而不求”,利用韦达定理解题.4.合理运用“同理可得”进行类比计算.5.圆锥曲线的弦中点问题的解题技巧:代点相减法(点差法).6.直线与椭圆或直线与抛物线为基本题型,考查曲线的弦长,动点的轨迹方程和有关几何量的求解等.驾驭基本解题方法:先联立方程(二次方程和一次方程),再几何条件代数化,结合函数、不等式等学问,解决求值、范围、最值等问题.近几年这类题的呈现形式为:(1)第一问,往往是求曲线的方程(待定系数和求轨迹方程)问题;(2)其次问,往往是直线与圆锥曲线相结合的问题.经常须要应用韦达定理和判别式,关键词是弦长、最值、定值、定点等.二、两直线的位置关系1.能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标.2.驾驭两点间的距离公式、点到直线的距离公式、会求两条平行直线间的距离.三、直线、圆的位置关系1.驾驭确定圆的几何要素,驾驭圆的标准方程和一般方程.2.能依据给定直线、圆的方程推断直线与圆的位置关系.3.能依据给定两个圆的方程,推断两圆的位置关系.四、椭圆、双曲线、抛物线1.了解圆锥曲线的实际背景,了解圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.2.驾驭椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程及简洁的几何性质.【真题探秘】§9.1直线方程与圆的方程基础篇固本夯基【基础集训】考点一直线方程1.过不重合的A(m2+2,m2-3),B(3-m-m2,2m)两点的直线l的倾斜角为45°,则m的值为()A.-1B.-2C.-1或2D.1或-2答案B2.已知角α是其次象限角,直线2x+ytanα+1=0的斜率为83A.35B.-35C.4答案D3.经过两条直线2x+3y+1=0和x-3y+4=0的交点,并且垂直于直线3x+4y-7=0的直线方程为.

答案4x-3y+9=04.已知A(1,-2),B(5,6),直线l经过AB的中点M且在两坐标轴上的截距相等,则直线的方程为.

答案x+y-5=0或2x-3y=0考点二圆的方程5.已知点A(-2,-1),B(1,3),则以线段AB为直径的圆的方程为()A.x-122+(y+1)2=25B.C.x-122+(y+1)2=254D.答案D6.若a∈-2,0,1,3A.0B.1C.2D.3答案B7.若平面内两定点A,B间的距离为2,动点P与A、B距离之比为2,当P,A,B不共线时,△PAB面积的最大值是()A.22B.2C.223答案A8.已知△ABC三个顶点是A(0,5),B(1,-2),C(-3,-4),则△ABC外接圆的方程为.

答案(x+3)2+(y-1)2=25综合篇知能转换【综合集训】考法一求直线的倾斜角和斜率1.(2024陕西延安期中,5)直线a2x-b2y=1(其中a,b∈R,且ab≠0)的倾斜角的取值范围为()A.0,π2B.π4答案A2.(2024湖北黄冈模拟,4)直线x-ysinθ+1=0的倾斜角的取值范围是()A.π4,3πC.0,π4D.答案A考法二求直线的方程3.(2024江西九江月考,5)经过点A(1,2)且在两个坐标轴上的截距的肯定值相等的直线方程为()A.y=2x或x-y+1=0B.y=2x或x+y-3=0C.x+y-3=0或x-y+1=0D.y=2x或x+y-3=0或x-y+1=0答案D4.(2024江西抚州七校联考)过点(2,1)且与直线3x-2y=0垂直的直线方程为()A.2x-3y-1=0B.2x+3y-7=0C.3x-2y-4=0D.3x+2y-8=0答案B5.(2024四川眉山仁寿一中第一次调研)已知实数m,n满意2m-n=1,则直线mx-3y+n=0过定点.

答案-考法三对称问题6.(2024重庆模拟,8)已知圆C1:(x+1)2+(y-1)2=4,圆C2与圆C1关于直线x-y-1=0对称,则圆C2的方程为()A.(x+2)2+(y-2)2=4B.(x-2)2+(y+2)2=4C.(x+2)2+(y+2)2=4D.(x-2)2+(y-2)2=4答案B7.(2024豫南九校第四次联考,14)已知△ABC的一个顶点A(2,-4),且∠B,∠C的平分线所在直线的方程分别为x+y-2=0,x-3y-6=0,则BC边所在直线的方程为.

答案x+7y-6=08.(2024豫北六校联考,15)已知点P在直线l:3x-y-1=0上,A(4,1),B(0,4),则||PA|-|PB||最大时点P的坐标为.

答案(2,5)考法四求圆的方程9.(2024广东七校联考,7)以(a,1)为圆心,且与两条直线2x-y+4=0与2x-y-6=0同时相切的圆的标准方程为()A.(x-1)2+(y-1)2=5B.(x+1)2+(y+1)2=5C.(x-1)2+y2=5D.x2+(y-1)2=5答案A10.(2024福建漳州八校期中联考,14)已知圆心在直线x-2y-3=0上,且圆经过点A(2,-3),B(-2,-5),则该圆的方程为.

答案x2+y2+2x+4y-5=0(或(x+1)2+(y+2)2=10)11.(2024湖北1月联考)过点A(0,1)和B(1,2),且与x轴相切的圆的方程为.

答案(x-1)2+(y-1)2=1或(x+3)2+(y-5)2=2512.(2024四川峨眉山第七教化发展联盟适应性考试(节选))圆C与x轴相切于点T(2,0),与y轴正半轴相交于两点M,N(点M在点N的下方),且|MN|=3.则圆C的方程为.

答案(x-2)2+y-5【五年高考】1.(2024课标Ⅱ,4,5分)圆x2+y2-2x-8y+13=0的圆心到直线ax+y-1=0的距离为1,则a=()A.-43B.-34C.答案A2.(2024天津,12,5分)在平面直角坐标系中,经过三点(0,0),(1,1),(2,0)的圆的方程为.

答案x2+y2-2x=03.(2024浙江,10,6分)已知a∈R,方程a2x2+(a+2)y2+4x+8y+5a=0表示圆,则圆心坐标是,半径是.

答案(-2,-4);54.(2024浙江,12,6分)已知圆C的圆心坐标是(0,m),半径长是r.若直线2x-y+3=0与圆C相切于点A(-2,-1),则m=,r=.

答案-2;55.(2024北京,11,5分)设抛物线y2=4x的焦点为F,准线为l.则以F为圆心,且与l相切的圆的方程为.

答案(x-1)2+y2=46.(2024课标Ⅱ,19,12分)设抛物线C:y2=4x的焦点为F,过F且斜率为k(k>0)的直线l与C交于A,B两点,|AB|=8.(1)求l的方程;(2)求过点A,B且与C的准线相切的圆的方程.解析(1)由题意得F(1,0),l的方程为y=k(x-1)(k>0),设A(x1,y1),B(x2,y2).由y=k(x-1),y2Δ=16k2+16>0,故x1+x2=2k所以|AB|=|AF|+|BF|=(x1+1)+(x2+1)=4k由题设知4k因此l的方程为y=x-1.(2)由(1)得AB的中点坐标为(3,2),所以AB的垂直平分线方程为y-2=-(x-3),即y=-x+5.设所求圆的圆心坐标为(x0,y0),则y0=-x因此所求圆的方程为(x-3)2+(y-2)2=16或(x-11)2+(y+6)2=144.方法总结有关抛物线的焦点弦问题,常用抛物线的定义进行转化求解,在求解过程中应留意利用根与系数的关系进行整体运算.一般地,求直线和圆的方程时,利用待定系数法求解.7.(2024课标Ⅲ,20,12分)已知抛物线C:y2=2x,过点(2,0)的直线l交C于A,B两点,圆M是以线段AB为直径的圆.(1)证明:坐标原点O在圆M上;(2)设圆M过点P(4,-2),求直线l与圆M的方程.解析本题考查直线与圆锥曲线的位置关系.(1)证明:设A(x1,y1),B(x2,y2),l:x=my+2.由x=my+2,y2=2x又x1=y122,x2=y222,故x因此OA的斜率与OB的斜率之积为y1x1·y故坐标原点O在圆M上.(2)由(1)可得y1+y2=2m,x1+x2=m(y1+y2)+4=2m2+4.故圆心M的坐标为(m2+2,m),圆M的半径r=(m由于圆M过点P(4,-2),因此AP·BP=0,故(x1-4)(x2-4)+(y1+2)(y2+2)=0,即x1x2-4(x1+x2)+y1y2+2(y1+y2)+20=0.由(1)可得y1y2=-4,x1x2=4.所以2m2-m-1=0,解得m=1或m=-12当m=1时,直线l的方程为x-y-2=0,圆心M的坐标为(3,1),圆M的半径为10,圆M的方程为(x-3)2+(y-1)2=10.当m=-12时,直线l的方程为2x+y-4=0,圆心M的坐标为94,-12,圆M的半径为854,圆M的方程为解后反思直线与圆锥曲线相交问题,常联立方程,消元得到一个一元二次方程,然后利用根与系数的关系处理.以某线段为直径的圆的方程,也可以用该线段的两端点坐标(x1,y1)、(x2,y2)表示:(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0.老师专用题组1.(2024江苏,13,5分)在平面直角坐标系xOy中,A(-12,0),B(0,6),点P在圆O:x2+y2=50上.若PA·PB≤20,则点P的横坐标的取值范围是.

答案[-52,1]2.(2024江苏,18,16分)如图,在平面直角坐标系xOy中,已知以M为圆心的圆M:x2+y2-12x-14y+60=0及其上一点A(2,4).(1)设圆N与x轴相切,与圆M外切,且圆心N在直线x=6上,求圆N的标准方程;(2)设平行于OA的直线l与圆M相交于B,C两点,且BC=OA,求直线l的方程;(3)设点T(t,0)满意:存在圆M上的两点P和Q,使得TA+TP=TQ,求实数t的取值范围.解析圆M的标准方程为(x-6)2+(y-7)2=25,所以圆心M(6,7),半径为5.(1)由圆心N在直线x=6上,可设N(6,y0).因为圆N与x轴相切,与圆M外切,所以0<y0<7,于是圆N的半径为y0,从而7-y0=5+y0,解得y0=1.因此,圆N的标准方程为(x-6)2+(y-1)2=1.(2)因为直线l∥OA,所以直线l的斜率为4-设直线l的方程为y=2x+m,即2x-y+m=0,则圆心M到直线l的距离d=|2×6-7+因为BC=OA=22+42=25,而MC2=d所以25=(m解得m=5或m=-15.故直线l的方程为2x-y+5=0或2x-y-15=0.(3)设P(x1,y1),Q(x2,y2).因为A(2,4),T(t,0),TA+TP=TQ,所以x2因为点Q在圆M上,所以(x2-6)2+(y2-7)2=25.②将①代入②,得(x1-t-4)2+(y1-3)2=25.于是点P(x1,y1)既在圆M上,又在圆[x-(t+4)]2+(y-3)2=25上,从而圆(x-6)2+(y-7)2=25与圆[x-(t+4)]2+(y-3)2=25有公共点,所以5-5≤[(t解得2-221≤t≤2+221.因此,实数t的取值范围是[2-221,2+221].【三年模拟】一、单项选择题(每题5分,共45分)1.(2024湖南衡阳八中10月月考,3)已知直线l的倾斜角为θ且过点(3,1),其中sinθ-π2A.3x-y-2=0B.3x+y-4=0C.x-3y=0D.3x-3y-6=0答案B2.(2024重庆綦江中学模拟,9)已知圆C:x2+y2=1,点P为直线x+2y-4=0上一动点,过点P向圆C引两条切线PA,PB且A,B分别为切点,则直线AB经过定点()A.12,14B.1答案B3.(2024辽宁丹东模拟,3)圆心为(2,0)的圆C与圆x2+y2+4x-6y+4=0外切,则C的方程为()A.x2+y2+4x+2=0B.x2+y2-4x+2=0C.x2+y2+4x=0D.x2+y2-4x=0答案D4.(2024甘肃兰州模拟,7)已知点A是直角三角形ABC的直角顶点,且A(2a,2),B(-4,a),C(2a+2,2),则△ABC的外接圆的方程是()A.x2+(y-3)2=5B.x2+(y+3)2=5C.(x-3)2+y2=5D.(x+3)2+y2=5答案D5.(2024湖北四地七校联考,6)已知函数f(x)=asinx-bcosx(a≠0,b≠0),若fπ4-xA.π4B.π3C.2π答案D6.(2024豫西五校联考,7)在平面直角坐标系xOy中,以点(0,1)为圆心且与直线x-by+2b+1=0相切的全部圆中,半径最大的圆的标准方程为()A.x2+(y-1)2=4B.x2+(y-1)2=2C.x2+(y-1)2=8D.x2+(y-1)2=16答案B7.(2024河北九校其次次联考,4)圆C的半径为2,圆心在x轴的正半轴上,直线3x+4y+4=0与圆C相切,则圆C的方程为()A.x2-y2-2x-3=0B.x2+y2+4x=0C.x2+y2-4x=0D.x2+y2+2x-3=0答案C8.(2024河南中原名校联盟第三次联考,9)设圆x2+y2-2x-2y-2=0的圆心为C,直线l过(0,3),且与圆C交于A,B两点,若|AB|=23,则直线l的方程为()A.3x+4y-12=0或4x-3y+9=0B.3x-4y+12=0或4x+3y+9=0C.4x-3y+9=0或x=0D.3x+4y-12=0或x=0答案D9.(2025届山东夏季高考模拟,6)已知点A为曲线y=x+4x(x>0)上的动点,B为圆(x-2)2+y2A.3B.4C.32D.42答案A二、多项选择题(每题5分,共10分)10.(改编题)过点P(2,4)引圆(x-1)2+(y-1)2=1的切线,则切线方程为()A.x=-2B.x=2C.4x-3y+4=0D.4x+3y-4=0答案BC11.(改编题)已知圆M:(x+cosθ)2+(y-sinθ)2=1,直线l:y=kx,下列命题中为真命题的是()A.对随意实数k与