江苏省2021年普通高中学业水平合格性考试数学试题（解析版）

江苏省2021年普通高中学业水平合格性考试数学试题一、选择题(本大题共28小题，每小题3分，共84分。每个小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不给分)1.设集合A＝{1，2，3}，B＝{2，3，4}，则A∪B＝（）A．{1，2，3，4} B．{1，2，3}C．{2，3，4} D．{1，3，4}【答案】A【分析】根据并集的定义求解即可.【详解】∵A＝{1，2，3}，B＝{2，3，4}，根据并集的定义可知：

A∪B＝{1，2，3，4}，选项A正确，选项BCD错误.故选：A.2.欧拉是明确提出弧度制思想的瑞土数学家，他提出一个圆周角等于弧度．由此可知，弧度等于（）．A． B． C． D．【答案】B【分析】由推导即可.【详解】由题意知，，所以.故选：B3.已知上函数，则“”是“函数为奇函数”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】考虑两者之间的推出关系后可得正确的选项.【详解】取，则，但，所以函数不是奇函数；故“”推不出“函数为奇函数”，若函数为奇函数，则即，故“函数为奇函数”能推出“”.故选：B.4.下列函数中为奇函数的是（）A．y=cosx B．y=|x|+1C．y=x3 D．【答案】C【分析】根据奇偶性的定义逐一分析各个选项即可得出答案.【详解】解：对于A，，则，所以函数为偶函数，故A错误；对于B，，则，所以函数为为偶函数，故B错误；对于C，，则，所以函数为奇函数，故C正确；对于D，，定义域为，所以函数不具有奇偶性，故D错误.故选：C.5.函数的图象大致是（）．A． B．C． D．【答案】A【分析】利用和时的符号，可排除错误选项得到结果.【详解】，排除BD；当时，，，排除C.故选：A.6.已知，，若，则与夹角的大小为（）A．30° B．60°C．120° D．150°【答案】C【分析】根据向量夹角公式直接计算即可.【详解】解：因为，，,所以,因为，所以.故选：C7.已知等差数列的首项，公差，则（）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用等差数列的通项公式可得结果.【详解】由题意可得.故选：D.8.函数的定义域是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据解析式有意义可得关于的不等式组，其解集为函数的定义域.【详解】由解析式有意义可得，故，故函数的定义域为故选：D.9.某校高二年级有男生500人，女生400人，为了解该年级学生的身高情况，用分层抽样的方法从高二年级学生中抽取45人，则应抽取男生、女生的人数分别是（）A．20、25 B．25、20 C．15、30 D．30、15【答案】B【分析】先求出抽样比，再计算即可.【详解】抽样比例为，则应抽取男生人，抽取女生人.故选：B.【点睛】本题考查分层抽样的计算，属于基础题.10.执行如图所示的程序根图，若输入的x为时，则输出的y的值是（）A．0 B．2 C．5 D．14【答案】B【分析】根据程序框图运行即可求解.【详解】因为不成立，所以，所以输出的y的值是，故选：B.11.样本数据2，3，4，5，6的方差是（）A．3 B．2 C．10 D．9【答案】B【分析】根据题目中的数据可以求得这组数据的平均数，然后根据方差计算公式可以解答本题．【详解】，.故选：B．【点睛】本题考查方差，解题的关键是明确题意，会利用方差公式计算一组数据的方差．12.已知，，，用，表示，则（）A． B． C． D．【答案】D【分析】结合平面图形的几何性质以及平面向量的线性运算即可求出结果.【详解】因为，所以，又因为，，所以，故选：D.13.设，则关于的不等式的解集是（）A． B．或C．或 D．【答案】A【分析】化不等式二次项系数为正，再比较大小即可写出解集.【详解】原不等式可化为，因，即，于是得：，所以原不等式的解集为.故选：A14.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知，，，则（）A．2 B． C． D．【答案】B【分析】直接利用余弦定理，代入数值即可求解.【详解】由余弦定理可得，，所以.故选：B.15.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】作出几何体的直观图，结合三视图中的数据可求得几何体的体积.【详解】由三视图还原原几何体的直观图如下图所示：由三视图中的数据可知，该几何体是圆锥，该圆锥的底面半径为，高为，因此，该几何体的体积为.故选：A.16.函数在区间上的单调递增区间是A． B． C． D．【答案】C【分析】利用辅助角公式将函数化为，再利用正弦函数的单调递增区间整体代入求出函数的单调递减区间，再结合函数的定义域即可求解.【详解】由，则，解得，又，所以，故函数在区间上的单调递增区间是.故选：C【点睛】本题考查了三角函数的性质、辅助角公式，需熟记公式与正弦函数的单调递增区间，属于基础题.17.样本容量为200的频率分布直方图如图所示.根据样本的频率分布直方图估计，样本数据落在内的频数为（）A．16 B．32 C．64 D．128【答案】C【分析】根据频率分布直方图计算出内的频率，根据样本容量计算出该范围内的频数.【详解】由题可得：内的频率为，所以样本数据落在内的频数为.故选：C18.如图，在斜三棱柱ABC­A1B1C1中，∠BAC=90°，且BC1⊥AC，过C1作C1H⊥底面ABC，垂足为H，则点H在（）A．直线AC上 B．直线AB上C．直线BC上 D．△ABC内部【答案】B【分析】由题意可得AC⊥面ABC1，再由面面垂直的判定有面ABC⊥面ABC1，最后根据面面垂直的性质即可知H点所在的位置.【详解】连接AC1，如图.∵∠BAC=90°，∴AC⊥AB，∵BC1⊥AC，BC1∩AB=B，∴AC⊥面ABC1，又AC在平面ABC内，∴由面面垂直的判定知，面ABC⊥面ABC1，由面面垂直的性质知，在平面ABC1内一点C1向平面ABC作垂线，垂足必落在交线AB上.故选：B.19.若数列的通项公式，则A．-200 B．-100 C．200 D．100【答案】D【分析】利用分组求和法相邻两项为一组计算得到答案.【详解】由题得……，，，故选：D.【点睛】本题考查了分组求和法，意在考查学生对于数列方法的灵活运用.20.设是两条不同的直线，是三个不同的平面，则下列命题为真命题的是（）A．若，，则B．若，则C．若，则D．若，则【答案】C【分析】根据线面位置关系依次讨论各选项即可得答案.【详解】对于A选项，若，，则或异面，故A选项错误；对于B选项，若，则或相交，故B选项错误；对于C选项，由得，所以当时，，故C选项正确；对于D选项，若且时，，故D选项错误；故选：C21.在中，，角、、的对边分别为、、，则的形状为（）A．等边三角形 B．等腰三角形C．等腰直角三角形 D．直角三角形【答案】D【分析】利用二倍角公式、正弦定理可得出，利用两角和的正弦公式可得出，求出的值，即可得出结论.【详解】，，由正弦定理可得，所以，，则，，则，，，，因此，为直角三角形.故选：D.【点睛】方法点睛：在解三角形的问题中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则如下：（1）若式子中含有正弦的齐次式，优先考虑正弦定理“角化边”；（2）若式子中含有、、的齐次式，优先考虑正弦定理“边化角”；（3）若式子中含有余弦的齐次式，优先考虑余弦定理“角化边”；（4）代数式变形或者三角恒等变换前置；（5）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理求解；（6）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到三角形的内角和定理.22.研究发现，某公司年初三个月的月产值（万元）与月份近似地满足函数关系式（如表示月份）．已知月份的产值为万元，月份的产值为万元，月份的产值为万元．由此可预测月份的产值为（）A．万元 B．万元 C．万元 D．万元【答案】B【分析】由已知条件可得出关于、、的方程组，解出这三个未知数的值，可得出函数解析式，再将代入函数解析式可求得结果.【详解】由已知条件可得，解得，所以，，当时，.因此，预测月份的产值为万元.故选：B.23.若直线与曲线恰有两个交点，则实数的取值范围是（）．A． B． C． D．【答案】B【分析】由直线l与曲线的方程可得它们的图形，结合图形分析可知直线l与半圆相切到过时有两个交点，即可求的取值范围.【详解】由题意知：直线过定点，曲线为y轴上半部分的半圆，如下图示：如图，当且仅当直线l与半圆相切，到直线l过时，它们有两个交点，当直线l与曲线相切时，，得，当直线l过时，，得，∴结合图象知：时直线l与曲线有两个交点.故选：B24.已知，，，，，则的最大值是（）A．4 B．8 C．16 D．32【答案】C【分析】利用基本不等式和二次函数的性质即可求解.【详解】，当且仅当时等号成立，，则，=，因为，根据二次函数的性质，当时，取得最大值，此时，等号成立，所以，故选：C25.已知一个项数为偶数的等比数列，所有项之和为所有偶数项之和的倍，前项之积为，则（）A． B．C． D．【答案】C【分析】求出等比数列的公比，结合等比中项的性质求出，即可求得的值.【详解】由题意可得所有项之和是所有偶数项之和的倍，所以，，故设等比数列的公比为，设该等比数列共有项，则，所以，，因为，可得，因此，.故选：C.26.如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB不平行与平面MNQ的是（）A． B．C． D．【答案】D【分析】由正方体的性质，结合线面平行的判定即知A、B、C可得面，而D中AB不平行与面MNQ.【详解】A：由正方体性质有AB∥NQ，面，面可知：面，排除；B、C：由正方体性质有AB∥MQ，面，面可知：面，排除；D：由正方体性质易知：直线AB不平行与面MNQ，满足题意.故选：D27.若实数，则的最小值为（）A． B．1 C． D．2【答案】D【分析】由条件变形，再结合基本不等式求最小值.【详解】由条件可知，，所以，当，即，结合条件，可知时，等号成立，所以的最小值为.故选：D28.已知圆C的方程为，直线l过点（2，2），则与圆C相切的直线方程（）A．与 B．与C．与 D．与【答案】C【分析】观察图象可得直线l的斜率存在，设直线l的方程为，由直线l与圆C相切可得圆心到直线l的距离等于圆的半径，列方程求k，由此可得切线方程.【详解】观察图象可得直线l的斜率存在，又直线l过点（2，2），故设直线l的方程为，∵圆C的方程为，∴圆心C的坐标为，半径为2，设圆心C到直线l的距离为d，∵直线l与圆C相切∴，又∴，∴或∴直线l的方程为和，故选：C.二、解答题(本大题共2小题，共16分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。)29．（本小题满分8分）如图，在四棱锥中，底面为菱形，是棱的中点.（1）求证：平面；（2）若平面，，，求点B到平面的距离．【答案】（1）证明见详解；（2）.【分析】（1）连接交于点，连接，根据题中条件，推出，再由线面平行的判定定理，即可证明结论成立；（2）根据题中条件，求出，，；设点B到平面的距离为，由，列出等式求解，即可得出结果.【详解】（1）连接交于点，因为底面为菱形，所以为中点；连接，因为M是棱的中点，所以，因为平面，平面，所以平面；（2）因为平面，所以，，因为，，所以，，，则，，所以，则，设点B到平面的距离为，由可得，则，即点B到平面的距离为．【点睛】方法点睛：求解空间中点到平面的距离的方法：（1）空间向量的方法：建立适当的空间直角坐标系，求出平面的法向量，以及一条斜线的方向向量，根据，即可求出点到面的距离；（2）等体积法：先设所求点到面的距离，选几何体不同的定点为顶点，表示出该几何体的体积，列出等量关系，即可求出点到面的距离.30．（本小题满分8分）已如函数．（1）求函数的单调递增区间；（2）在锐角中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，