人教版八年级上册数学教案 第十三章 轴对称

第十三章轴对称

13.1轴对称

13.1.1轴对称

包教学目..标

1.理解轴对称图形和两个图形关于某条直线对称的概念.

2.能识别简单的轴对称图形及其对称轴.

■预习导学

阅读教材P58〜59内容,完成预习内容.

1.填空：

(1)如果一个平面图形沿一条直线折叠,直线两旁的部分能够互相重

合,这个图形就叫做轴对称图形,这条直线就是它的对称轴.

(2)把一个图形沿着某一条直线折叠,如果它能够与另一个图形重合,

那么就说这两个图形关于这条直线(成轴)对称,这条直线叫做对称轴,折

叠后重合的点是对应点，叫做对称点.

2.如图所示的图案中，是轴对称图形的有A,B,C,D.

ABCD

3.下列图形中，不是轴对称图形的是（D）

A.角B.等边三角形

C.线段D.直角梯形

4.下图中放在一起可以组成轴对称图形的是C与D,B与F.

■—Enn

ABCDEF

5.轴对称与轴对称图形有什么区别与联系？

解:区别为轴对称是指两个图形能沿对称轴折叠后重合,而轴对称图

形是指一个图形的两部分沿对称轴折叠后能完全重合.联系是都有对称轴、

对称点和两部分完全重合的特性.

阅读教材P59〜60内容，了解轴对称及轴对称图形的性质，学生独立完

成下列问题：

1.经过线段中点并且垂直于这条线段的直线,叫做这条线段的垂直平

分线.

2.成轴对称的两个图形金笠.

3.如果两个图形关于某条直线对称,那么对称轴是任何一对对应点所

连线段的垂直平分线.

4.轴对称图形的对称轴,是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.

5.如图，AABC和Z\A'B'C,关于直线MN对称，点A',B',C'分别是点

A,B,C的对称点.

(DWAABC和aA'B'C'沿MN折叠后，则有△ABCV^A'B'C',PA=PA',

NMPA=NMPA'=90度.

（2）MN与线段AN的关系为MN垂直平分AA'.

0典例剖析

【例1】下列图形是轴对称图形吗?如果是，指出轴对称图形的对称

轴.

①等边三角形;②正方形;③圆;④菱形;⑤平行四边形（邻边不相等）.

［解答）①②③④是轴对称图形;⑤不是轴对称图形.①等边三角形

的对称轴为三条中线所在的直线;②正方形的对称轴为两条对角线所在的

直线和两组对边中点连线所在的直线;③圆的对称轴为过圆心的直线;④

菱形的对称轴为两条对角线所在的直线.

1）对称轴是条直线.

【跟踪训练1】（《全科王》13.1.1T2）下列图形中，不是轴对称图

形的是（D）

［例2］指出下面哪组图形是轴对称的，并指出对称轴.

(1)任意两个半径相等的圆；

(2)正方形的一条对角线把一个正方形分成的两个三角形；

(3)长方形的一条对角线把长方形分成的两个三角形.

1解答)(1)是轴对称,对称轴是两圆心所在的直线和连接两圆心的

线段的中垂线.(2)是轴对称,对称轴是把正方形分成两个三角形的那条对

角线所在的直线.(3)不是轴对称.

〔)注意轴对称与轴对称图形的区别，是不是轴对称看是否能沿某

条直线折叠后重合.

［例3］如图，将一张长方形纸片ABCD沿EF折叠，使点D与点B重

合，点C落在C'的位置上.

(1)若NBFE=65°,则NAEB的度数是多少？

(2)若AD=9cm,AB=3cm,则DE的长为多少?

〔解答)⑴「ADaBC,

.,.ZBFE=ZFED=65°.

由翻折的性质可知NBEF=NDEF=65°.

AZAEB=180°-65°-65°=50°.

(2)由翻折的性质可知BE=DE.设BE=DE=xcm,

在4AEB中，根据勾股定理可知BE2=AB2+AE2,

即X2=3?+(9-x)2,解得.

〔）根据成轴对称的两个图形全等.再根据全等的性质得到对应线

段相等、对应角相等.

【跟踪训练2】（《全科王》13.1.1T11）如图，将矩形纸片ABCD折

叠，使点D与点B重合，点C落在C'处,折痕为EF,若AB=1,BC=2,则AABE

和△BC'F的周长之和是g.

色巩固训练

1.下面四个示意图中，是轴对称图形的是（D）

D

2.下列语句中正确的有（B）

①关于一条直线对称的两个图形一定能重合;②两个能重合的图形一定关

于某条直线对称;③一个轴对称图形不一定只有一条对称轴;④两个轴对

称图形的对应点一定在对称轴的两侧.

A.1个B.2个C.3个D.4个

3.如图，正方形ABCD的边长为1,点E,F分别是对角线AC上的两点,EG±

AB,EI±AD,FH±AB,FJ±AD,垂足分别为G,I,H,J,则图中阴影部分的面积

等于也

4.如图，已知四边形ABCD与四边形EFGH关于直线MN对称，ZB=125°,Z

A+ZD=155°,AB=3cm,EH=4cm.

⑴求EF,AD的长度.

(2)求NG的度数.

⑶连接BF,线段BF与直线MN有什么关系?

解：⑴EF=3cm,AD=4cm.

(2)ZG=80°.

⑶直线MN垂直平分线段BF.

5.如图，将AABC折叠，使点C落在点C'处,折痕为EF.

⑴若Nl=40°,N2=20°，求NC的度数;

⑵探究Nl,N2与NC之间的数量关系.

解：⑴NC=30°.

⑵Z1+Z2=2ZC.

通课堂小结

1.可用折叠法判断是否为轴对称图形.

2.多角度、多方法思考对称轴的条数.

3.对称轴是一条直线,且是一条垂直于对应点连线的直线.

4.轴对称是指两个图形的位置关系，轴对称图形是指一个具有特殊形

状的图形.

13.1.2线段的垂直平分线的性质

@教学目.医

1.理解线段垂直平分线的性质和判定，并会运用它们解决线段相关问

题.

2.会作轴对称图形的对称轴.

3.会根据已知点和对称轴作对应的对称点.

值预习导学

阅读教材P6P63内容,完成预习内容.

1.填空：

⑴线段的垂直平分线的性质：

线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.

几何语言描述:如图，直线1为线段AB的垂直平分线，且垂足为C,则

AC=BC,APAC也△PBC,PA=PB.

(2)如图,AD±BC,BD=DC,点C在AE的垂直平分线上,AB,AC,CE的长度

有什么关系?AB+BD与DE有什么关系？

A

解:AB=AC=CE,AB+BD=DE.

()线段垂直平分线的性质的应用.

(3)线段垂直平分线的判定：

与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.

线段的垂直平分线是到线段两个端点的距离相等的所有点的集合.

几何语言描述:如图,PA=PB.①若PC1AB,垂足为C,则AC=BC;②若

AC=BC,则PC±AB.

2.下列条件中，不能判定直线MN是线段AB的垂直平分线的是

(C)

A.MA=MB,NA=NB

B.MA=MB,MN±AB

C.MA=NA,MB=NB

D.MA=MB,MN平分NAMB

3.如图,AB=AC,MB=MC,直线AM是线段BC的垂直平分线吗?

解:是.

〔)可根据线段垂直平分线的判定证明两个点都在BC的垂直平分

线上,再根据两点确定一条直线得到直线AM是线段BC的垂直平分线.

4.填空：

(1)如果两个图形成轴对称,其对称轴就是任何一对对应点所连线段

的垂直平分线.因此我们只要找到一对对应点,作出连接它们的线段的垂

直平分线,就可以得到这两个图形的对称轴.

(2)对于轴对称图形,只要找到任意一对对应点,作出对应点所连线段

的垂直平分线,就得到此图形的对称轴.

5.下列成轴对称的图形中，所画的对称轴不正确的是(C)

奏口口访OO

ARCD

6.下列轴对称图形中，对称轴的画法正确的是（B）

®典例剖析

【例1】（《全科王》13.1.2T3）如图，^ABC中，AB=AC=14cm,AB

的垂直平分线MN交AC于点D,且4DBC的周长是24cm,则BC=10cm.

U由线段垂直平分线的性质得到线段相等,这是此性质的重要应

用.

【跟踪训练1]如图，在AABC中,AB=AC,AB的垂直平分线交AB,AC

于点D,E,4BCE的周长是8,AB-BC=2,则AABC的周长是（A）

A.13B.12

C.11D.10

A

D

B

【例2】如图，在4ABC中，AC1DC,AD平分NBAC,DE1AB于点E,求

证直线AD是CE的垂直平分线.

〔解答)VAD平分NBAC,DE±AB,DC±AC,

.•.DE=CD.

.•.点D在CE的垂直平分线上.

在Rt^AED与RtZXACD中,

VAD=AD,DE=DC,

ARtAAED^RtAACD,.,.AE=AC.

.•.点A在CE的垂直平分线上.

直线AD是CE的垂直平分线.

1）证明线段垂直平分线的方法1即定义:证垂直平分，方法2即线

段垂直平分线的判定方法.

【跟踪训练2]在锐角三角形ABC内一点P满足PA=PB=PC,则点P

是4ABC(D)

A.三条角平分线的交点

B.三条中线的交点

C.三条高的交点

D.三边垂直平分线的交点

[例3]如图，AABC和ADEF关于某条直线成轴对称，你能作出这

条直线吗?

〔解答）如图，直线MN即为所作.

〔）作线段垂直平分线是根据线段垂直平分线的判定,而作对称轴

是根据轴对称的性质作对称轴.

【跟踪训练3]如图，AABC和AA'B'C'是两个成轴对称的图形,请

画出它们的对称轴.（保留作图痕迹，不写作法）

解:如图所示.

国巩固训练

1.如图，点E,F,G,Q,H在一条直线上,且EF=GH,我们知道按如图所作的直

线1为线段FG的垂直平分线，下列说法正确的是（A）

EFxGQH

A.1是线段EH的垂直平分线

B.1是线段EQ的垂直平分线

C.1是线段FH的垂直平分线

D.EH是1的垂直平分线

2.下列图形中，对称轴最多的图形是（D）

3.到平面内不在同一直线上的三个点A,B,C的距离相等的点有］_个・

4.如图，在Z\ABC中，EF是AC的垂直平分线,AF=12,BF=3,则BC=15.

5.如图,在4ABC中,边AB,AC的垂直平分线相交于点P.求证点P在BC的

垂直平分线上.

证明：\•边AB,AC的垂直平分线相交于点P,

，PA=PB,PA=PC,

.,.PB=PC,

点P在BC的垂直平分线上.

@课堂小结

1.线段的垂直平分线的性质和判定有时是交叉使用的.

2.作对称轴的步骤:先找出任意一对对应点,再作出对应点所连线段

的垂直平分线.

13.2画轴对称图形

第一课时画轴对称图形

口教学目标

1.会作已知图形关于某条直线对称的图形.

2.能利用轴对称的一些性质设计图案.

◎预为导学

阅读教材P67〜68“归纳、思考及归纳”，完成预习内容.

1.填空：

如图,观察下面剪纸的形成过程并填空：

⑴由一个平面图形可以得到与它关于一条直线1对称的图形,这个

图形与原图形的形状、大小完全相同.

⑵新图形上的每一点都是原图形上的某一点关于直线1的对称点.

（3）连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分.

2.如图，观察作线段AB关于直线1对称图形的过程并填空：

（1）几何图形都可以看作由点组成，只要分别作出这些点关于对称轴

的对应点,再连接这些对应点,就可以得到原图形的轴对称图形.

（2）对于一些由直线、线段或射线组成的图形，只要作出图形中一些特

殊点（如线段端点）的对称点,连接这些对称点,就可以得到原图形的轴对

称图形.

®典例剖析

【例题】（《全科王》13.2第一课时T5）如图，在10X10的正方形

网格中，每个小正方形的边长都为1,网格中有一个格点三角形ABC（即三

角形的顶点都在格点上）.

⑴在图中画出4ABC关于直线1对称的△ABG;（要求:A与B与

Bi,C与G相对应）

（2）在（1）间的结果下,连接BBbCCb求五边形BBAGC的面积.

〔解答）（1）如图所示,△ABC即为所求.

（2）五边形BBAQC的面积为卜（5+6）X4-|x2X3-|x2X2=17.

［）（1）可先作出各点的对称点，再顺次连接各点就得到所求图

形；（2）网格中求不规则图形的面积，一般用割补法.

【跟踪训练】（《全科王》13.2第一课时T6）图（1）、图⑵均是8

X8的正方形网格,每个小正方形的顶点称为格点,线段OM,ON的端点均在

格点上.在图（1）、图⑵给定的网格中以OM,ON为邻边各画一个四边形，

使第四个顶点在格点上.要求：

（1）所画的两个四边形均是轴对称图形；

（2）所画的两个四边形不全等.

(1)⑵

解:如图所示.

@巩固训练

1.下列说法正确的是（B）

A.全等的两个图形可以由其中一个经过轴对称变换得到

B.轴对称变换得到的图形与原图形全等

C.轴对称变换得到的图形可以由原图形经过一次平移得到

D.轴对称变换中的两个图形,每一对对应点所连线段都被这两个图形之间

的直线垂直平分

2.作已知点关于某直线的对称点的第一步是（B）

A.过已知点作一条直线与已知直线相交

B.过已知点作一条直线与已知直线垂直

C.过已知点作一条直线与已知直线平行

D.不确定

3.右图是由三个小正方形组成的图形,若在图中补画一个小正方形，使补

画后的图形为轴对称图形,则共有4种补法.

4.已知直线AB和ADEF,作aDEF关于直线AB的对称图形,将作图步骤补

充完整(如图).

⑴分别过点D,E,F作直线AB的垂线,垂足分别是点M,P,N;

⑵分别延长DM,EP,FN至G,H,I,使GM=DM,HP=EP,FN=IN;

(3)顺次连接GH,HI,IG,得ADEF关于直线AB的对称图形△GHI.

5.如图，一轴对称图形画出了它的一半，请你以虚线1为对称轴画出它的

另一半.

解:找到关键的顶点,分别向轴引垂线，并延长找到对应点，顺次连接.

®课堂小结

作与图形成轴对称的图形,关键在于将图形抽象出各点,然后作点的

对称点，再连线即可.

第二课时用坐标表示轴对称

◎教学目标

1.探索关于x轴、y轴对称的每对对称点的规律.

2.利用关于x轴、y轴对称的点的坐标的规律，能作出关于x轴、y

轴对称的图形.

国预当导字

阅读教材P69~70"思考、归纳及例2”，完成预习内容.

1.填空：

⑴如图，在坐标系中作出B,C两点关于x轴对称的点；

y

5

4

*3

-

-

I

Ou5

_

-

思考:点(x,y)关于x轴的对称点是(x「y).

归纳:关于x轴对称的点的坐标的特点:横坐标相同,纵坐标互为相反

⑵如图,在坐标系中作出B,C两点关于y轴对称的点.

思考：点(x,y)关于y轴的对称点是(-x,y).

归纳:关于y轴对称的点的坐标的特点:纵坐标相同,横坐标互为相反

数.

2.点P(-5,6)关于x轴对称的点为Q,则点Q的坐标为(-5,-6).

3.点P(-5,6)关于y轴对称的点为M,则点M的坐标为(5,6).

4.教材P70~71练习第1,2,3题.

1)课本练习第3题，作对称图形的关键点就是先找出各顶点的对

称点,再顺次连接.

@典例剖析

[例1](《全科王》13.2第二课时T4)已知点

A(2a-b,5+a),B(2b-l,-a+b).

⑴若点A,B关于x轴对称,求a,b的值；

(2)若A,B关于y轴对称,求(4a+b)的值.

1解答)(1):•点A,B关于x轴对称，

・1式八会1'n解得｛厂一般

(5+a-a+b=0,3=—5.

(2),••点A,B关于y轴对称，

,fZa-b+2b-l=0解得

(5+a=—CL+D,lb=3.

/.(4a+b)=(-4+3)=-l.

【跟踪训练11(《全科王》13.2第二课时T9)已知点M(1-2m,m-1)

关于的取值范围在数轴上表示正确的是(A)

।J-।—1£->--1——1j>—»--।—<)—A-^-

00.5100.5100.5100.51

ABCD

[例2]如图，已知点A(4,-l),B(2,-4),C(5,-5).

(1)作出AABC以直线y=l为对称轴的对称图形△ABG;

(2)写出A,C关于直线x=-2对称的点A2,C2的坐标及四边形ACC2A2的

面积.

1解答)(1)如图所示.

⑵A2(-8,-l),C2(-9,-5),S四边形ACC2&=52・

0可先写出各对称点的坐标,再描点画图.求不规则图形的面积可

用割补法求解.

【跟踪训练2]如图，已知4ABC的三个顶点的坐标分别是

(-1,5),(-5,3),(-3,-1),分别作出AABC关于x轴、y轴的对称图形.

解：如图所示,△ABG和AAzB2c2即为所求作的图形.

金巩固训练

1•点P(3,-4)关于x轴对称的点的坐标是(D)

A.(-4,3)B.(-3,4)

C.(-3,-4)D.(3,4)

2.在平面直角坐标系中，已知点A关于直线x=l对称的点为B(-2,4),则点

A的坐标为(A)

A.(4,4)B.(-2,-2)C.(2,4)D.(3,4)

3.点A(2,-3)向上平移6个单位长度后的点关于x轴对称的点的坐标是

⑵-3).

4.点P⑶4)关于y轴对称的点的坐标是P'(a,b),则a-b=z7.

5.如图,在直角坐标系中,A,B,C,D各点的坐标分别为

(-7,7),(-7,1),(-3,1),(-1,4).

(1)在给出的图形中，画出四边形ABCD关于y轴对称的四边形ABCD;(不

写作法)

(2)写出点A和G的坐标；

(3)求四边形AECD的面积.

解：(1)所求作的四边形ABCD如下图.

⑵由⑴可得A(7,7),G(3,1).

⑶S四边形Lo=6X6-1X2X3-1X6X3

=36-3-9

=36-12

=24.

6.如图,在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1,格点三角形ABC的

顶点A,C的坐标分别为(-4,5),(-1,3).

⑴请在图中正确作出平面直角坐标系;

⑵请作出4ABC关于y轴对称的△A'B'C';

⑶点B'的坐标为(2,1),AA-B'C'的面积为4.

解：(1)(2)如图所示.

@课算小缜

解题时紧紧抓住点关于X轴、y轴和图形关于x轴、y轴对称的规律,

弄清规律后就可以轻松解题了.

13.3等腰三角形

13.3.1等腰三角形

第一课时等腰三角形的性质

口教学目标

1.了解等腰三角形的概念,掌握等腰三角形的性质.

2.运用等腰三角形的概念及性质解决相关问题.

@预百导手

1.如图，把一张长方形纸片按图中的虚线对折,剪下阴影部分,再把它

展开，得到aABC,则AB=AC,所以4ABC是等腰三角形.

2.把剪出的等腰三角形ABC沿折痕AD对折,找出其中重合的线段和角,

填入下表:

重合的线段重合的角

NCAD与N

AC与AB

BAD

CD与BDNC与NB

ZADC与Z

AD与AD

ADB

猜想:等腰三角形除了两腰相等以外，你还能发现它的其他性质吗?

等腰三角形的两个底角相等.

如图，在4ABC中，AB=AC.求证：NB=NC.

证明：作顶角的平分线AD,则有N1=N2.

在ABAD和ACAD中，

rAB=AC,

.Z1=Z2,

=40（公共边），

二.ABAD^ACAD（SAS）,

...NB=NC（全等三角形的对应角相等）.

你还有其他的方法吗？

第二种方法:作4ABC的高线AD垂直底边BC于点D.

A

第三种方法:作AABC的中线AD交底边BC于点D.

A

你能用一句话来叙述这个结论吗?

等腰三角形的性质1:等腰三角形的两个底角相等（简写成“篁边对笠

鱼”).

符号语言:在4ABC中，•；AB=AC,，NB=NC.

通过以上的证明，我们还可以发现等腰三角形的性质2:

等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合（简

写成“三线合一”）.

如图，在4ABC中，AB=AC,AD平分NBAC.求证:BD=CD,AD_LBC.

证明：在ABAD和ACAD中,

28=AC,

Z1=Z2,

/D=AD,

/.△BAD^ACAD(SAS).

r.BD=CD,NADB=NADC（全等三角形的对应角相等）.

又•.•NADB+NADC=180°,

.\ZADB=ZADC=90o,

即AD±BC.

®典例剖析

类型1等边对等角

【例1】（教材P例例1）如图，在AABC中，AB=AC,点D在AC上，且

BD=BC=AD.求AABC各角的度数.

（解答）*.*AB=AC,BD=BC=AD,

ZABC=ZC=ZBDC,

NA=NABD（等边对等角）.

设NA=x,则NBDC=NA+NABD=2x,

从而NABC=NC=NBDC=2x.

于是在4ABC中，有NA+NABC+NC=x+2x+2x=180°.

解得x=36°.

•/△ABC中，ZA=36°,ZABC=ZC=72°.

【跟踪训练1】（《全科王》13.3.1第一课时T1）等腰三角形的一

个内角为70°,则另外两个内角的度数分别是（D）

A.55°,55°

B.70°,40°或70°,55。

C.70°,40°

D.55°,55°或70°,40°

【跟踪训练2]如图,在4ABC中,AC=DC=DB,ZACD=100°，求NB的

度数.

Ana

解：NB=20°.

类型2三线合一

［例2］如图，在4ABC中,AB=AC,D是BC的中点,E,F分别是AB,AC

上的点，且AE=AF.求证:DE=DF.

［解答）如图，连接AD.

•.,AB=AC,D是BC的中点，

ZEAD=ZFAD.

在4AED和aAED中，

rAE=AF,

ZEAD=ZFAD,

=AD,

.,.△AED^AAFD(SAS).

/.DE=DF.

【跟踪训练3】如图,在4ABC中,AB=AC,D是BC的中点，下列结论

中不正确的是(D)

A

A.ZB=ZC

B.AD±BC

C.AD平分NBAC

D.AB=2BD

电巩固训练

1.如图，在ZiABC中,AB=AC,D是BC的中点，ZB=40°,则NBAD的度数为

(C)

A.100°B.80°

C.50°D.40°

BD

2.如图，在ZiABC中,AB=AC,D为BC上一点，且DA=DC,BD=BA,则NB的大小

为（B）

A.40°B.36°C.30°D.25°

3.如图，在4ABC中，AB=AC,ZC=72°,AB的垂直平分线DE交AB于点D,交

AC于点E,则NBEC的度数为72^.

4.如图，直线1.//12,点A在直线L上，点B在直线b上,AB=BC,ZC=30°,

Zl=80°，则N2=40°.

5.如图,在AABC中,AB的垂直平分线EF交BC于点E,交AB于点F,D为线

段CE的中点,BE=AC.

⑴求证:AD_LBC;

⑵若NBAC=75°，求NB的度数.

REn

证明：（1）连接AE.

•.•EF垂直平分AB,

.•.AE=BE.

VBE=AC,.\AE=AC.

•:D是EC的中点，CADLBC.

解：（2）设NB=x.

VAE=BE,AZBAE=ZB=x.

...ZAEC=2x.

VAE=AC,AZC=ZAEC=2x.

在AABC中，3x+75°=180°,

解得x=35°,

AZB=35°.

值课堂小结

’轴对称图形

生由一品皿两个底角相等，简称“等边对等角”

寺腰二角形《

顶角平分线、底边上的中线、底边上的

、高相互重合,简称“三线合一”

第二课时等腰三角形的判定

。教要目.标.

1.掌握等腰三角形的判定方法.

2.利用等腰三角形的判定方法证明相关问题,会以尺规作图作等腰三

角形.

年预习导学

思考:我们知道,如果一个三角形有两条边相等,那么它们所对的角相

等.反过来,如果一个三角形有两个角相等,那么它们所对的边有什么关

系？

猜想:如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等.

如图，在4ABC中，ZB=ZC.求证:AB=AC.

证明：作NBAC的平分线AD,则有N1=N2.

（ZB=ZC,

在ABAD和ACAD中，1N1=Z2,

UD=力。（公共边），

AABAD^ACAD（AAS）,

.•.AB=AC（全等三角形的对应边相等）.

你还有其他的方法吗？

第二种方法:作4ABC的高线AD垂直底边BC于点D.

第三种方法:作4ABC的中线AD交底边BC于点D.

由上面的证明，我们可以得到等腰三角形的判定方法：

如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等（简写

成“等角对等边”）.

注意：“等角对等边”的前提是一个三角形.

符号语言：在4ABC中，•.•NB=NC,...AB=AC.

等腰三角形的性质与判定有区别吗？

性质:等边=等角；

判定:等角n等边.

®典例剖析

类型1等边对等角

【例1］（教材P78例2）求证:如果三角形一个外角的平分线平行于

三角形的一边,那么这个三角形是等腰三角形.

已知：如图，ZCAE^AABC的外角,N1=N2,AD〃BC.

求证:AB=AC.

（导引）要证明AB=AC,可先证明NB=NC.因为N1=N2,所以可以

设法找出NB,ZC与Nl,Z2的关系.

（解答）VAD/7BC,

.•.N1=NB（两直线平行，同位角相等）.

N2=NC（两直线平行，内错角相等）.

VZ1=Z2,

ZB=ZC.

...AB=AC（等角对等边）.

（）角平分线+平行线一等腰三角形：当一个三角形中出现角平分线

和平行线时,我们就可以寻找到等腰三角形，即角平分线+平行线一等腰三

角形.利用这一规律,就可以进行线段的等量代换,进而解决问题.

【跟踪训练1】（《全科王》13.3.1第二课时T1）在AABC中，NA

和NB的度数如下，能判定AABC是等腰三角形的是（B）

A.ZA=50°,ZB=70°B.ZA=70°,ZB=40°

C.ZA=30°,ZB=90°D.ZA=80°,ZB=60°

【跟踪训练2】如图，已知0C是NA0B的平分线,DC〃OB,那么ADOC

一定是笠腰三角形（按边分类填）.

A

D.C

OR

类型2作等腰三角形

【例2](教材P78例3)已知等腰三角形底边长为a,底边上的高的

长为h,求作这个等腰三角形.

(解答)作法：(1)作线段AB=a.

(2)作线段AB的垂直平分线MN,与AB相交于点D.

(3)在MN上取一点C,使DC=h.

(4)连接AC,BC,则AABC就是所求作的等腰三角形.

【跟踪训练3】如图，在AABC中，ZA=80°,ZB=40°,请你用尺规

作图法作一条直线把如图所示的AABC分成两个等腰三角形,并通过计算

说明你的分法的合理性.

解:作BC的垂直平分线MN交AB于点D,连接CD,则直线CD把AABC

分成了两个等腰三角形.

证明如下：•「MN垂直平分BC,

.*.DC=DB,

.\ZDCB=ZB=40o,

/.ABCD是等腰三角形.

AZADC=ZDCB+ZB=80°,

VZA=80°,.\ZA=ZADC,

/.AACD是等腰三角形，

直线CD把4ABC分成了两个等腰三角形.

®巩固训练

1.如图，下列条件不能推出aABC是等腰三角形的是（C）

A.ZB=ZC

B.AD±BC,ZBAD=ZCAD

C.AD±BC,ZBAD=ZACD

D.AD±BC,BD=CD

2.如图,在AABC中,AB=AC,BO,CO分别为NABC和NACB的平分线且相交于

点0,过。作9£〃1^交人13”（；于点口,£,图中的等腰三角形有（D）

A.2个B.3个

C.4个D.5个

A

3.如图,在RtAABC中，ZACB=90°,D为AB上的点,BD=CD=5,贝ijAD=5.

4.如图，在AABC中,AB=AC,D,E两点分别在AC,BC上,BD是NABC的平分

线，DE〃AB.若BE=5cm,CE=3cm,则4CDE的周长是13cm.

5.如图，锐角三角形ABC的两条高BD,CE相交于点0,且0B=0C.

⑴求证：4ABC是等腰三角形;

⑵判断点0是否在NBAC的平分线上,并说明理由.

证明：⑴•••0B=0C,

，Z0BC=Z0CB.

•••锐角三角形ABC的两条高BD,CE相交于点0.

AZBEC=ZCDB=90°.

ZBEC+ZBCE+ZABC=ZCDB+ZDBC+ZACB=180°,

ZABC=ZACB,

.,.AB=AC,

.'.△ABC是等腰三角形.

解：(2)点。在ZBAC的平分线上.

理由如下:如图，连接A0并延长交BC于点F,

；AB=AC,

在aAOB^AAOC中，OB=OC,

、。力=OA,

，AAOB^AAOC(SSS).

工ZBAF=ZCAF.

.•.点。在NBAC的平分线上.

®课堂小结

性质与边角关

名称图形概念判定

系

1.两腰相等

有两边相等的三1.两边相等

A2.等边对等角

等腰三角形/\角形是等腰三角2.等角对等

3.三线合一

,形边

4.轴对称图形

注意:应用“等边对等角”和“等角对等边”时要在同一个三角

形中.

13.3.2等边三角形

第一课时等边三角形的性质与判定

@教学目标

1.了解等边三角形是特殊的等腰三角形.

2.理解等边三角形的性质与判定.

要

阅读教材P79~80内容,完成下面内容.

定义类比：

等腰三角形中，有一种特殊的情况,就是底与腰相等,这时三角形的三

边相等，我们把三条边都相等的三角形叫做等边三角形.

思考1：把等腰三角形的性质用于等边三角形，能得到什么结论?

性质类比：

等腰三角形等边三角形

两条边相等三条边都相等

两个底角相等三个角都相等,且都是60°

底边上的中线、高和顶角每一边上的中线、高和这一

的平分线相互重合边所对的角的平分线相互重

合

,A

对称轴（1条）对称轴（3条）

思考2:一个三角形的三个内角满足什么条件才是等边三角形?

判定类比:

图形

判£\等腰三角形等边三角形

两条边相等的三角形是三条边都相等的三角形是

从边看

等腰三角形等边三角形

三个角都相等的三角形是

两个角相等的三角形是等边三角形

从角看

等腰三角形

有一个角是60°的等腰三角

形是等边三角形

0典例剖析

类型1等边三角形的性质

[例1]如图，等边三角形ABC中，点D为BC延长线上一点，点E为

CA延长线上一点，且AE=CD,求证:AD=BE.

A

BCD

〔解答）在等边三角形ABC中，AB=CA,ZBAC=ZACB=60°,

.\ZEAB=ZDCA=120o.

在aEAB和4DCA中，

rAE=CD,

-ZEAB=ZDCA,

/B=CA,

.,.△EAB^ADCA（SAS）,

.\BE=AD.

〔）等边三角形的三边相等、三角相等、三线合一，这为三角形全

等提供了良好的条件，因此全等三角形的问题往往借助等边三角形来解

决.

【跟踪训练1】如图,AD是等边三角形ABC的中线,AE=AD,则NEDC

的度数为（D）

A.30°B.25°C.20°D.15

【跟踪训练2】（《全科王》13.3.2第一课时T11）如图，已知AABC

和4CDE都是等边三角形,求证:AD=BE.

证明：AABC和4CDE都是等边三角形,

工ZACB=ZDCE=60°,AC=BC,DC=EC.

ZACD+ZBCD=ZACB,ZBCE+ZBCD=ZDCE,

ZACD=ZBCE.

rAC=BC,

在4ACD和ABCE中，-ZACD=Z.BCE,

、DC=EC,

：.AACD^ABCE(SAS).

.\AD=BE,

类型2等边三角形的判定

【例2］（教材P80例4）如图，AABC是等边三角形,DE〃BC,分别交

AB,AC于点D,E.求证：AADE是等边三角形.

［解答）：AABC是等边三角形,

,ZA=ZB=ZC.

VDE/7BC,

二.ZADE=ZB,ZAED=ZC.

二.ZA=ZADE=ZAED.

AAADE是等边三角形.

想一想:本题还有其他证法吗？

（）判定一个三角形是等边三角形的技巧：（1）若已知条件中有一个

内角为60°,则可通过证明另外一个内角也为60°，或通过证明有两边相

等来得到三角形为等边三角形；（2）若已知条件中有两边相等,则可通过证

明第三边和它们相等或通过证明有一个内角为60°,来得到三角形为等

边三角形.

【跟踪训练3】（《全科王》13.3.2第一课时T5）下列三角形:①三

个内角都等于60°;②有一个外角等于60°的等腰三角形;③三个外角

（每个顶点处各取一个外角）都相等的三角形;④一腰上的中线也是这条腰

上的高的等腰三角形.其中是等边三角形的是（C）

A.①②③B.①②④

C.①③④D.②③④

【跟踪训练4】如图,AC与BD相交于点0,若0A=0B,NA=60°,且

AB〃CD,求证：ZiOCD是等边三角形.

X)

4R

证明：•.•OA=OB,

AZA=ZB=60°.

又•/AB〃DC,

AZA=ZC=60°,ZB=ZD=60°.

/.△OCD是等边三角形.

@巩固训练

1.如图，在AABC中，D为BC的中点，AD±BC,E为AD上一点，ZABC=60°,

NECD=40°,则NABE的度数为（C）

A.10°B.15°

C.20°D.25°

2.如图,在等边三角形ABC中，AB=2,点D为BC的中点,DE//AB交AC于点

E,过点E作EF±DE,交BC的延长线于点F,则图中长度为1的线段有

(D)

3.如图，AABC是等边三角形,过它的三个顶点分别作对边的平行线,则图

中共有殳个等边三角形.

4.如图，AB=AC=8cm,DB=DC.若NABC=60°,则BE=4cm.

5.如图，点D,E,F分别是等边三角形ABC的三条边AB,BC,CA上的点.

⑴如图（1）,若AD=BE=CF,求证：ADEF是等边三角形;

⑵如图（2）,若ADEF是等边三角形，求证:AD=BE=CF.

AA

(1)⑵

证明：（1）:AABC是等边三角形,

AZA=ZB=ZC=60°,AB=BC=CA.

,.,AD=BE=CF,.,.BD=EC=AF.

rAD=BE,

在aADF和ABED中，-ZA=ZB,

=BD,

.,.△ADF^ABED(SAS).

，DF=ED.

同理可证△ADF丝ACFE.

/.DF=FE.

/.DF=FE=ED.

.'.△DEF是等边三角形.

(2);△ABC,ADEF是等边三角形，

AZA=ZB=60°,DF=DE,JHZFDE=60°,

AZBDE+ZADF=ZADF+ZAFD=120°.

...ZAFD=ZBDE.

'乙4=/B,

在AADF和△BED中，•―/BDE,

、DF=DE,

.,.△ADF^ABED(AAS).

AAD=BE.

同理可证AADF之△CFE,

.,.AD=CF,

，AD=BE=CF.

®课和人结

等边三角形的性质等边三角形的判定

等边三角形的三条边都三边相等的三角形是等

相等边三角形

等边三角形的三个内角三个角都相等的三角形

都相等,并且每一个角是等边三角形

都等于60°

等边三角形各边上的中

有一个角是60°的等腰

线、高和所对角的平分

三角形是等边三角形

线相互重合

第二课时含30°角的直角三角形的性质

®教学目.标

1.探索含30°角的直角三角形的性质.

2.理解含30°角的直角三角形的性质，并会进行有关的计算和证明.

®预习导学

阅读教材P81内容,完成下面内容.

活动:用两个全等的含30。角的直角三角尺，你能拼出怎样的三角形?

能拼出等边三角形吗？

如图（1）,AABD就是等边三角形.

思考:你能借助这个图形,找至I」RtAABC的直角边BC与斜边AB之间的

数量关系吗？

△ADC是AABC的轴对称图形,

因此AB=AD,NBAD=2X30°=60°,

从而AABD是一个等边三角形.

再由AC±BD,

可得BC=CD=|AB.

于是我们得到：

在直角三角形中，如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于

斜边的一半.

符号语言:在RtZ\ABC中，

1

VZC=90°,ZA=30°,.*.BC=-AB.

2

你还能用其他方法证明吗？

方法二：如图，在4ABC内部作NACD=NA=30°,交AB于点D.

方法三：在BA上截取BE=BC,连接EC.

®典例剖析

【例题】（教材P81例5）下图是屋架设计图的一部分，点D是斜梁

AB的中点，立柱BC,DE垂直于横梁AC,AB=7.4m,ZA=30°.立柱BC,DE要

多长？

B

(解答)•.•DEJ_AC,BCJ_AC,NA=30°,

.•.BC』1AB,DE=1-AD.

22

.-.BC=|X7.4=3.7(m).

又AD=|AB,

.•.DE=-AD=ix3.7=1.85(m).

22

答:立柱BC的长是3.7m,DE的长是1.85m.

()这一性质是含有30°角的特殊直角三角形的性质，一般直角三

角形没有这个性质.

【跟踪训练1)(《全科王》13.3.2第二课时T3)如图,在RtAABC

中，NC=90°,NA=30°,AB+BC=12cm,贝UAB等于8cm.

【跟踪训练2】如图，NACB=90°,ZB=30°,CD_LAB.求证:AD』AB.

4

证明：•.•NACB=90°,NB=30°,

1

AAC=-AB.

2

VCD1AB,

.,.ZCDB=90°.

AZDCB=60°.

VZACB=90°,

AZACD=30°.

在RtZkACD中，

VZACD=30°.

.,.AD=-AC=^AB.

24

®巩固训练

1.如图，将一个有45°角的三角尺的直角顶点放在一张宽为3cm的纸带

边沿上.另一个顶点在纸带的另一边沿上,测得三角尺的一边与纸带的一

边所在的直线成30°角(如图中所示)，则三角尺的直角边的长为

(B)

A.3cmB.6cmC.8cmD.9cm

2.在AABC中，NA：ZB：ZC=1：2：3,最小边BC=4cm,则最长边AB的长

为（A）

A.8cmB.6cmC.V5cmD.5cm

3.如图，在AABC中,AB=AC,BC=12cm,ZBAC=120°,过点A作AD±AC交BC

于点D,则AD=4cm.