广东省2025届高三上学期第一次调研考试数学试题

★启用前注意保密广东省2025届普通高中毕业班第一次调研考试数学本试卷共4页，考试用时120分钟，满分150分．注意事项：1．答卷前，考生务必将自己所在的市（县、区）、学校、班级、姓名、考场号和座位号填写在答题卡上，将条形码横贴在每张答题卡左上角“条形码粘贴处”．2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上将对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上．3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上：如需改动，先画掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答无效．4．考生必须保证答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合，则（）A． B． C． D．2．已知复数满足，则（）A． B． C．1 D．3．已知函数满足，则（）A． B． C． D．4．外接球半径为的正四面体的体积为（）A． B．24 C．32 D．5．设点为圆上的一动点，点为抛物线上的一动点，则的最小值为（）A． B． C． D．6．已知的值域为，则实数的取值范围为（）A． B． C． D．7．设为锐角，且，则与的大小关系为（）A． B． C． D．不确定8．若，且，则的取值范围是（）A． B． C． D．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．变量之间的相关数据如下表所示，其经验回归直线经过点，且相对于点的残差为0.2，则99.51010.511111065A． B． C． D．残差和为010．已知函数，则（）A．的值域是 B．的最小正周期是C．关于对称 D．在上单调递减11．甲、乙、丙、丁四人共同参加4项体育比赛，每项比赛的第一名到第四名的得分依次为5分，3分，2分，1分．比赛结束甲获得16分为第一名，乙获得14分为第二名，且没有同分的情况．则（）A．第三名可能获得10分B．第四名可能获得6分C．第三名可能获得某一项比赛的第一名D．第四名可能在某一项比赛中拿到3分三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．已知函数过原点作曲线的切线，其切线方程为_____________．13．如图是一个的九宫格，小方格内的坐标表示向量，现不改变这些向量坐标，重新调整位置，使得每行、每列各三个向量的和为零向量，则不同的填法种数为_____________．14．已知数列满足记的前项和为，若，则_____________；若，则_____________．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）中，所对的边分别为，已知是与的等比中项，且是与的等差中项．（1）证明：；（2）求的值．16．（15分）如图，四边形是圆柱的轴截面，点在底面圆上，3，点是线段的中点，点是的中点．（1）证明：平面；（2）求点到平面的距离．17．（15分）某学校有两家餐厅，王同学每天中午会在两家餐厅中选择一家用餐，如果前一天选择了餐厅则后一天继续选择餐厅的概率为，前一天选择餐厅则后一天选择餐厅的概率为，如此往复．已知他第1天选择餐厅的概率为，第2天选择餐厅的概率为．（1）求王同学第天恰好有两天在餐厅用餐的概率；（2）求王同学第天选择餐厅用餐的概率．18．（17分）设直线．点和点分别在直线和上运动，点为的中点，点为坐标原点，且．（1）求点的轨迹方程；（2）设，求当取得最小值时直线的方程；（3）设点关于直线的对称点为，证明：直线过定点．19．（17分）函数的定义域为，若满足对任意，当时，都有，则称是连续的．（1）请写出一个函数是连续的，并判断是否是连续的，说明理由；（2）证明：若是连续的，则是连续且是连续的；（3）当时，其中），且是连续的，求的值．

广东省2025届普通高中毕业班第一次调研考试数学参考答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．题号12345678选项DCDABCAD二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．题号91011选项ADBCDABD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．13．7214．（前空2分，后空3分）四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．解：（1）由题，得，，因为是与的等差中项，所以，则，在中，由正弦定理，得，因此．（2）在中，由余弦定理得，由（1）知，则，即．因为是与的等比中项，所以，从而，即，从而，解得或（舍去）在中，由余弦定理得，因此．16．（1）证明：取的中点为，连接．因为点分别是和的中点，所以，且．在圆柱的轴截面四边形中，．所以，因此四边形是平行四边形．所以，又平面平面，所以平面．（2）解：由圆的性质可知，连接延长必与圆交于点，连接，因为平面平面，所以面，又因为已证平面，且，所以平面平面．从而点到平面的距离即为点到平面的距离．以为坐标原点，的中垂线为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，如图所示．则所以，设为平面的法向量，则由可取因此点到平面的距离，即点到平面的距离为．17．（15分）解：（1）设“王同学第天选择餐厅”．．由全概率公式，得，解得．设“王同学第天恰好有两天在餐厅用餐”，则，因此．（2）设“王同学第天选择餐厅”，则，由题与（1）可得．由全概率公式，得．则，又因为，所以是以首项为，公比为的等比数列．因此，即．18．解：（1）设，则，所以从而因为，所以，即．则，化简得．所以点的轨迹方程为．（2）由（1）得，则的最小值为1，此时或，即或．当时，可得，从而直线的方程为；当时，同理可得直线的方程为．（3）设，由（2）知，当时，直线，得，直线；当时，直线，得，直线．当是其他点时，直线的斜率存在，且，则直线的方程为，注意到，化简得．设，则由解得，又，所以，从而，令，得，因此直线过定点．19．解：（1）是连续的，也是连续的．理由如下：由，有，同理当，有，所以是连续的，也是连续的．（2）因为是连续的，由定义可得当时，有，