5.1.2 弧度制-2020-2021学年高一数学新教材配套学案（人教A版必修第一册）

5.1.2弧度制【学习目标】课程标准学科素养1.理解弧度制的概念；2.能进行角度与弧度的互化；3.会利用弧度制证明并应用扇形周长及面积公式.1.直观想象2.数学运算【自主学习】一．度量角的两种制度角度制：1度角等于周角的：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做二．弧度数的计算三．角度与弧度的互化180°＝rad1°＝rad；1rad＝（）°四．弧度制下的弧长与扇形面积公式设扇形的半径为R，弧长为l，α(0<α<2π)为其圆心角，则(1)弧长公式：l＝(2)面积公式：S=＝【小试牛刀】判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)【经典例题】题型一角度制与弧度制的互化例1.【跟踪训练】1已知α＝15°，β＝eq\f(π,10)，γ＝1，θ＝105°，φ＝eq\f(7π,12)，试比较α，β，γ，θ，φ的大小.题型二用弧度制表示有关的角例2将－1125°写成α＋2kπ(k∈Z)的形式，其中0≤α<2π.并判断它是第几象限角？【跟踪训练】2用弧度制表示终边落在如图（右）所示阴影部分内的角θ的集合.利用弧度制证明并利用扇形公式：例3【跟踪训练】3(1)已知一扇形的圆心角是72°，半径为20，求扇形的面积.(2)已知扇形的周长为10cm，面积为4cm2，求扇形圆心角的弧度数.【当堂达标】1．自行车的大链轮有88齿，小链轮有20齿，当大链轮逆时针转过一周时，小链轮转过的弧度数()A.eq\f(5π,11)B.eq\f(44π,5)C.eq\f(5π,22)D.eq\f(22π,5)2.(多选)下列与eq\f(9π,4)的终边相同的角的表达式中，正确的是()A.2kπ＋45°(k∈Z)B.k·360°＋eq\f(9π,4)(k∈Z)C.k·360°－315°(k∈Z) D.2kπ＋eq\f(π,4)(k∈Z)3.－135°化为弧度为______，eq\f(11π,3)化为角度为________.4.已知一扇形的周长为4，当它的半径与圆心角取何值时，扇形的面积最大？最大值是多少？【参考答案】【自主学习】度弧度半径长正负02π360°π180°αR【小试牛刀】√×√√【经典例题】例1课本例题【跟踪训练】1解α＝15°＝15×eq\f(π,180)＝eq\f(π,12)，θ＝105°＝105×eq\f(π,180)＝eq\f(7π,12)，∵eq\f(π,12)<eq\f(π,10)<1<eq\f(7π,12)，∴α<β<γ<θ＝φ.例2解－1125°＝－1125×eq\f(π,180)＝－eq\f(25π,4)＝－8π＋eq\f(7π,4).其中eq\f(3π,2)<eq\f(7π,4)<2π，因为eq\f(7π,4)是第四象限角，所以－1125°是第四象限角.【跟踪训练】2解终边落在射线OA上的角为θ＝135°＋k·360°，k∈Z，即θ＝eq\f(3π,4)＋2kπ，k∈Z.终边落在射线OB上的角为θ＝－30°＋k·360°，k∈Z，即θ＝－eq\f(π,6)＋2kπ，k∈Z，故终边落在阴影部分的角θ的集合为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(θ\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)＋2kπ≤θ≤\f(3π,4)＋2kπ，k∈Z))))例3课本例题【跟踪训练】3（1）解设扇形弧长为l，因为圆心角72°＝72×eq\f(π,180)＝eq\f(2π,5)rad，所以扇形弧长l＝|α|·r＝eq\f(2π,5)×20＝8π，于是，扇形的面积S＝eq\f(1,2)l·r＝eq\f(1,2)×8π×20＝80π.（2）解设扇形圆心角的弧度数为θ(0<θ<2π)，弧长为lcm，半径为Rcm，依题意有eq\b\lc\{\rc\