4.2 等差数列（十六大题型）（原卷版）

4．2等差数列课程标准学习目标1、通过生活中的实例，理解等差数列的概念和通项公式的意义．2、探索并掌握等差数列的前项和公式，理解等差数列通项公式与前项和公式的关系．3、能在具体问题情境中发现数列的等差关系，并解决相应的问题．4、体会等差数列与一元一次函数的关系．1、掌握等差数列的通项公式，能利用等差数列的通项公式进行基本的运算2、了解等差数列前n项和公式的推导过程．3、掌握等差数列前n项和公式．4、能根据等差数列的定义证明一个数列是等差数列．知识点01等差数列的定义一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母表示．知识点诠释：⑴公差一定是由后项减前项所得，而不能用前项减后项来求；⑵共同特征：从第二项起，每一项与它前面一项的差等于同一个常数（即公差）；符号语言形式对于数列，若（，，为常数）或（，为常数），则此数列是等差数列，其中常数叫做等差数列的公差．知识点诠释：定义中要求“同一个常数”，必须与无关．等差中项如果，，成等差数列，那么叫做与的等差中项，即．知识点诠释：①两个数的等差中项就是两个数的算术平均数．任意两实数，的等差中项存在且唯一．②三个数，，成等差数列的充要条件是．【即学即练1】（2023·高二课时练习）已知数列是等差数列，下面的数列中必为等差数列的个数是（

）①

②

③

④A．1 B．2 C．3 D．4知识点02等差数列的通项公式等差数列的通项公式首相为，公差为的等差数列的通项公式为：，推导过程：（1）归纳法：根据等差数列定义可得：，所以，，，……当n=1时，上式也成立所以归纳得出等差数列的通项公式为：（）．（2）叠加法：根据等差数列定义，有：，，，…把这个等式的左边与右边分别相加（叠加），并化简得，所以．（3）迭代法：所以．知识点诠释：①通项公式由首项和公差完全确定，一旦一个等差数列的首项和公差确定，该等差数列就唯一确定了．②通项公式中共涉及、、、四个量，已知其中任意三个量，通过解方程，便可求出第四个量．等差数列通项公式的推广已知等差数列中，第项为，公差为，则．证明：因为，所以所以由上可知，等差数列的通项公式可以用数列中的任一项与公差来表示，公式．可以看成是时的特殊情况．【即学即练2】（2023·广东深圳·高二校联考期中）在等差数列中，，，则数列的通项公式.知识点03等差数列的性质等差数列中，公差为，则①若，且，则，特别地，当时．②下标成公差为的等差数列的项，，，…组成的新数列仍为等差数列，公差为．③若数列也为等差数列，则，，（k，b为非零常数）也是等差数列．④仍是等差数列．⑤数列（为非零常数）也是等差数列．【即学即练3】（2023·广东阳江·高二校考期中）已知数列是等差数列，且，则（

）A． B． C．1 D．2知识点04等差数列的前项和公式等差数列的前项和公式公式一：证明：倒序相加法①②①+②：因为所以由此得：公式二：证明：将代入可得：知识点诠释：①倒序相加是数列求和的重要方法之一．②上面两个公式均为等差数列的求和公式，共涉及、、、、五个量，已知其中任意三个量，通过解方程组，便可求出其余两个量．【即学即练4】（2023·甘肃白银·高二校考阶段练习）已知等差数列的前n项和为S，且，，则（

）A．-2 B．2 C．4 D．6知识点05等差数列的前n项和的有关性质等差数列中，公差为，则①连续项的和依然成等差数列，即，，，…成等差数列，且公差为．=2\*GB3②若项数为，则，，③若项数为，则，，，，【即学即练5】（2023·高二课时练习）在项数为2n＋1的等差数列中，所有奇数项的和为165，所有偶数项的和为150，则n等于（

）A．9 B．10C．11 D．12知识点06等差数列中的函数关系等差数列的通项公式是关于的一次函数（或常数函数）等差数列中，，令，则：（，是常数且为公差）（1）当时，为常数函数，为常数列；它的图象是在直线上均匀排列的一群孤立的点．（2）当时，是的一次函数；它的图象是在直线上均匀排列的一群孤立的点．①当时，一次函数单调增，为递增数列；=2\*GB3②当时，一次函数单调减，为递减数列．等差数列的前项和公式是关于的一个常数项为零的二次函数（或一次函数）由，令，，则：（，是常数）（1）当即时，，是关于的一个一次函数；它的图象是在直线上的一群孤立的点．（2）当即时，是关于的一个常数项为零的二次函数；它的图象是在抛物线上的一群孤立的点．=1\*GB3①当时有最小值=2\*GB3②当时，有最大值知识点诠释：1、公差不为0的等差数列的通项公式是关于n的一次函数．2、（，是常数）是数列成等差数列的充要条件．3、公差不为0的等差数列的前项和公式是关于n的一个常数项为零的二次函数．4、（其中，为常数）是数列成等差数列的充要条件．【即学即练6】（2023·山东日照·高二校考阶段练习）在数列中，若，前项和，则的最大值为．【方法技巧与总结】1、等差数列中对称设项法的应用（1）某两个数是等差数列中的连续两个数且知其和，可设这两个数为：，，公差为；（2）三个数成等差数列且知其和，常设此三数为：，，，公差为；（3）四个数成等差数列且知其和，常设成，，，，公差为．2、等差数列前项和的最值（1）在等差数列中，当，时，有最大值，使取得最值的可由不等式组确定；当，时，有最少值，使取到最值的可由不等式组确定．（2），若，则从二次函数的角度看：当时，有最少值；当时，有最大值．当取最接近对称轴的正整数时，取到最值．题型一：等差数列的判断例1．（2023·浙江杭州·高二杭师大附中校考期中）“”是“数列为等差数列”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件例2．（2023·福建莆田·高二莆田第二十五中学校考阶段练习）已知数列满足，则是为等差数列的（

）A．充分条件但不是必要条件 B．必要条件但不是充分条件C．充要条件 D．既不是充分条件也不是必要条件例3．（2023·高二课时练习）现有下列命题：①若，则数列是等差数列；②若，则数列是等差数列；③若（b、c是常量），则数列是等差数列．其中真命题有（

）．A．0个 B．1个 C．2个 D．3个变式1．（2023·高二课时练习）下列数列中，不成等差数列的是（

）．A．2，5，8，11 B．1.1，1.01，1.001，1.0001C．a，a，a，a D．，，，【方法技巧与总结】对于数列，若（，，为常数）或（，为常数），则此数列是等差数列，其中常数叫做等差数列的公差．题型二：等差数列的通项公式及其应用例4．（2023·上海闵行·高二校考阶段练习）已知数列中，，，则.例5．（2023·北京·高二101中学校考期中）设是等差数列，且，，则数列的通项公式为．例6．（2023·辽宁鞍山·高二东北育才学校校联考期末）在数列中，，且.则数列的通项公式为.变式2．（2023·全国·高二专题练习）在数列中，对任意总有，且，则．变式3．（2023·北京海淀·高二中关村中学校考期中）已知数列满足，，则．变式4．（2023·全国·高二假期作业）数列中，，，则14是的第项．变式5．（2023·甘肃嘉峪关·高二统考期末）在等差数列中，，，则.变式6．（2023·江苏连云港·高二赣榆一中校考阶段练习）已知为等差数列，，，则．【方法技巧与总结】等差数列通项公式的求法与应用技巧（1）等差数列的通项公式可由首项与公差确定，所以要求等差数列的通项公式，只需求出首项与公差即可．（2）等差数列的通项公式中共含有四个参数，即，，，，如果知道了其中的任意三个数，那么就可以由通项公式求出第四个数，这一求未知量的过程，我们通常称之为“知三求一”．（3）通项公式可变形为，可把看作自变量为的一次函数．题型三：等差数列的证明例7．（2023·重庆荣昌·高二重庆市荣昌中学校校考阶段练习）已知数列满足，且.(1)求；(2)证明：数列是等差数列，并求.例8．（2023·江苏连云港·高二赣榆一中校考阶段练习）已知数列满足，且.(1)证明：是等差数列；(2)求数列的通项公式.例9．（2023·黑龙江齐齐哈尔·高二齐齐哈尔市恒昌中学校校考期末）设数列的前n项和，满足，且(1)证明：数列为等差数列(2)求的通项公式变式7．（2023·全国·高二专题练习）在数列中4，，．求证：数列{}是等差数列；变式8．（2023·全国·高二专题练习）已知数列中，，．(1)求证：数列是等差数列；(2)求数列的通项公式．【方法技巧与总结】证明等差数列的方法（1）定义法或数列是等差数列．（2）等差中项法数列为等差数列．（3）通项公式法数列{an}的通项公式形如（，为常数）数列为等差数列．题型四：等差中项及应用例10．（2023·山东日照·高二统考期中）已知，，则a，b的等差中项为（

）A． B． C．1 D．例11．（2023·甘肃金昌·高二永昌县第一高级中学校考阶段练习）在等差数列中，若，则（

）A．13 B．26 C．39 D．52例12．（2023·黑龙江哈尔滨·高二统考期末）在等差数列中，若，则（

）A．3 B．4 C．5 D．6变式9．（2023·黑龙江哈尔滨·高二哈尔滨市第四中学校校考期中）已知等差数列满足，则（

）A． B． C． D．变式10．（2023·甘肃武威·高二统考开学考试）若是与的等差中项，则实数a的值为（

）A． B． C． D．5变式11．（2023·北京怀柔·高二北京市怀柔区第一中学校考期中）若、、成等差数列，则（

）A． B． C． D．【方法技巧与总结】若a，A，b成等差数列，则；反之，由也可得到a，A，b成等差数列，所以A是a，b的等差中项．题型五：等差数列的实际应用例13．（2023·黑龙江大庆·高二大庆中学校考阶段练习）《周髀算经》中有这样一个问题：冬至､小寒､大寒､立春､雨水､惊蛰､春分､清明､谷雨､立夏､小满，芒种这十二个节气，自冬至日起，其日影长依次成等差数列，若立春当日日影长为尺，立夏当日日影长为尺，则春分当日日影长为（

）A．尺 B．5尺 C．尺 D．尺例14．（2023·安徽阜阳·高二安徽省太和中学校考竞赛）在2022年北京冬奥会开幕式上，二十四节气倒计时惊艳亮相，与节气相配的14句古诗词，将中国人独有的浪漫传达给了全世界．我国古代天文学和数学著作《周髀算经》中记载：一年有二十四个节气，每个节气的晷长损益相同（晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度），二十四节气及晷长变化如图所示，相邻两个节气晷长减少或增加的量相同，周而复始．已知雨水的晷长为9.5尺，立冬的晷长为10.5尺，则冬至所对的晷长为（

）A．11.5尺 B．13.5尺 C．12.5尺 D．14.5尺例15．（2023·全国·高二专题练习）在北京冬奥会开幕式上，二十四节气倒计时惊艳了世界．从冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影长依次成等差数列，若冬至的日影长为18.5尺，立春的日影长为15.5尺，则春分的日影长为（

）A．9.5尺 B．10.5尺 C．11.5尺 D．12.5尺变式12．（2023·全国·高二专题练习）天干地支纪年法源于中国，中国自古便有十天干与十二地支，十天干即甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；十二地支即子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥.天干地支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”"起，例如，第一年为“甲子”，第二年为“乙丑”，第三年为“丙寅”，以此类推，排列到“癸西”后，天干回到“甲”重新开始，即“甲戌”，“乙亥”，然后地支回到“子”重新开始，即“丙子”，以此类推.今年是辛丑年，也是重庆一中建校90周年，则重庆一中建校的那一年是（

）A．壬酉年 B．壬戊年 C．辛酉年 D．辛未年变式13．（2023·高二课时练习）习近平总书记提出：乡村振兴，人才是关键．要积极培养本土人才，鼓励外出能人返乡创业．为鼓励返乡创业，黑龙江对青山镇镇政府决定投入创业资金和开展“创业技术培训”帮扶返乡创业人员．预计该镇政府每年投入的创业资金构成一个等差数列（单位万元，），每年开展“创业技术培训”投入的资金为第一年创业资金的倍，已知．则预计该镇政府帮扶五年累计总投入资金的最大值为（

）A．72万元 B．96万元 C．120万元 D．144万元变式14．（2023·江西宜春·高二上高中学校考期末）《张邱建算经》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女不善织，日减功迟，初日织五尺，末日织一尺，今三十织迄……”其大意为：有一女子不善于织布，每天比前一天少织同样多的布，第一天织5尺，最后一天织一尺，三十天织完…….则该女子第11天织布（

）A．尺 B．尺 C．尺 D．尺【方法技巧与总结】（1）解决实际应用问题，首先要认真领会题意，根据题目条件，寻找有用的信息．若一组数按次序“定量”增加或减少时，则这组数成等差数列．合理地构建等差数列模型是解决这类问题的关键，在解题过程中，一定要分清首项、项数等关键的问题．（2）能在具体的问题情境中，识别数列的等差关系，抽象出数列的模型，并能用有关知识解决相应的问题，是数学建模的核心素养的体现．题型六：等差数列性质的应用例16．（2023·西藏拉萨·高二校考期中）已知是等差数列，，则等于（

）A．48 B．40 C．60 D．72例17．（2023·甘肃嘉峪关·高二统考期末）若方程的四个根组成一个首项为的等差数列，则（

）A．1 B．C． D．例18．（2023·新疆巴音郭楞·高二校考期中）在等差数列中，，则的值为（

）A． B． C． D．变式15．（2023·福建宁德·高二统考期中）已知等差数列，若，则（

）A．20 B．24 C．28 D．32变式16．（2023·陕西渭南·高二统考期末）在等差数列中，，则的值为（

）A． B．11 C．22 D．33变式17．（2023·陕西延安·高二子长市中学校考期末）已知等差数列中，，则（

）A．4 B．5 C．6 D．7变式18．（2023·北京顺义·高二统考期末）数列是等差数列，若，则（

）A． B．5 C．9 D．15变式19．（2023·广西玉林·高二校联考期中）已知等差数列满足，则（

）A．3 B．6 C．2 D．4【方法技巧与总结】等差数列运算的两种常用思路（1）基本量法：根据已知条件，列出关于，的方程（组），确定，，然后求其他量．（2）巧用性质法：观察等差数列中项的序号，若，且，则．题型七：等差数列中对称设项法的应用例19．（2023·全国·高二单元测试）（1）三个数成等差数列，其和为，前两项之积为后一项的倍，求这三个数.（2）四个数成递增等差数列，中间两数的和为，首末两项的积为，求这四个数.例20．（2023·全国·高二专题练习）已知四个数成等差数列，中间两项之和为2，首末两项之积为，求这四个数.例21．（2023·宁夏·平罗中学高二阶段练习）四个数成递增等差数列，四个数之和等于，中间两个数之积为，求这四个数.变式20．（2023·全国·高二课时练习）（1）已知四个数成等差数列且是递增数列，这四个数的平方和为94，首尾两数之积比中间两数之积少18，求此等差数列；（2）已知等差数列是递增数列，且其前三项之和为21，前三项之积为231，求数列的通项公式．【方法技巧与总结】等差数列中对称设项法的应用1、某两个数是等差数列中的连续两个数且知其和，可设这两个数为：，，公差为；2、三个数成等差数列且知其和，常设此三数为：，，，公差为；3、四个数成等差数列且知其和，常设成，，，，公差为．题型八：等差数列前项和的有关计算例22．（2023·四川凉山·高二宁南中学校考阶段练习）设等差数列前n项和是，若，则（

）A．5 B．45 C．15 D．90例23．（2023·福建宁德·高二福鼎市第一中学校考阶段练习）若数列满足，且，则其前15项和（

）A．135 B．105 C．90 D．75例24．（2023·福建宁德·高二统考期中）在等差数列中，，为数列的前项和，则（

）A． B． C． D．变式21．（2023·福建莆田·高二校考期中）在等差数列中，其前项和为，若是方程的两个根，那么的值为（

）A． B． C． D．变式22．（2023·河北石家庄·高二石家庄实验中学校考期末）已知数列是等差数列，是其前n项和，，则（

）A．160 B．253 C．180 D．190变式23．（2023·西藏拉萨·高二校考期中）设是等差数列的前n项和，已知，，则等于（

）A．49 B．35 C．13 D．63【方法技巧与总结】等差数列中的基本计算（1）利用基本量求值：等差数列的通项公式和前项和公式中有五个量和，这五个量可以“知三求二”．一般是利用公式列出基本量和的方程组，解出和，便可解决问题．解题时注意整体代换的思想．（2）结合等差数列的性质解题：等差数列的常用性质：若，则，常与求和公式结合使用．题型九：等差数列前项和的比值问题例25．（2023·福建宁德·高二福建省宁德第一中学校考开学考试）已知等差数列，，其前项和分别为，，且满足，．例26．（2023·辽宁阜新·高二校考期中）已知等差数列的前n项和为，等差数列的前n项和为，且，求.例27．（2023·河南许昌·高二禹州市高级中学校考期末）设等差数列、的前项和分别为、，若对任意的，都有，则．变式24．（2023·江西宜春·高二江西省清江中学校考期中）两个等差数列，的前n项和分别为和，已知，则．变式25．（2023·高二课时练习）已知，分别是等差数列，的前n项和，且，则．变式26．（2023·福建莆田·高二莆田第二十五中学校考阶段练习）设等差数列，的前项和分别为，，若，则=.【方法技巧与总结】设，的前项和为，，则．题型十：等差数列前项和的性质例28．（2023·广西玉林·高二校考期中）设等差数列的前n项和为，若，，则的值是．例29．（2023·北京·高二北京市第五中学校考期末）设等差数列的前项和为，若，则.例30．（2023·上海·高二期中）设等差数列的前n项和为，已知，则．变式27．（2023·高二课时练习）设等差数列的前n项和为，若，则．变式28．（2023·安徽亳州·高二校考期中）等差数列的前n项和为，且，，则．【方法技巧与总结】利用等差数列前n项和的性质简化计算（1）在解决等差数列问题时，先利用已知求出和，再求所求，是基本解法，有时运算量大些；（2）等差数列前项和的有关性质在解题过程中，如果运用得当可以达到化繁为简、化难为易、事半功倍的效果．（3）设而不求，整体代换也是很好的解题方法．题型十一：等差数列前项和的最值问题例31．（2023·全国·高二专题练习）已知等差数列的前项和为，且，则满足的正整数的最大值为．例32．（2023·江西抚州·高二临川一中校考期末）设为等差数列的前n项和，若，，则．例33．（2023·上海静安·高二校考阶段练习）已知数列的前项和，当且仅当时，取得最小值，那么的取值范围是.变式29．（2023·北京·高二北京市第一六六中学校考期中）等差数列中，公差，，则当前项和最大时，变式30．（2023·江西赣州·高二统考期中）已知等差数列的前n项和为，，若时，最小，则=.变式31．（2023·河南许昌·高二校考期中）已知等差数列的通项公式，记其前n项和为，那么当时，取得最小值．变式32．（2023·上海浦东新·高二上海市进才中学校考阶段练习）已知等差数列的前项和为，且，，则取最小值时，．变式33．（2023·高二校考课时练习）已知等差数列的前n项和为，，，则取得最大值时n的值为.变式34．（2023·上海普陀·高二上海市晋元高级中学校考阶段练习）已知等差数列中，，当且仅当时，前项和取得最小值，则公差的取值范围是.变式35．（2023·新疆·高二校联考期末）已知等差数列的首项为，前项和为，若，且，则的取值范围为．变式36．（2023·陕西商洛·高二校考阶段练习）数列的通项公式，是的前项和，时，最小.【方法技巧与总结】（1）等差数列前项和最大（小）值的情形①若，，则存在最大值，即所有非负项之和．②若，，则存在最小值，即所有非正项之和．（2）求等差数列前项和最值的方法①寻找正、负项的分界点，可利用等差数列性质或利用或来寻找．②运用二次函数求最值．题型十二：求数列的前项和例34．（2023·江苏苏州·高二校联考阶段练习）在公差为的等差数列中，已知，且.(1)求；(2)若，求.例35．（2023·全国·高二随堂练习）等差数列中，，公差，令，求数列的前n项和．例36．（2023·江苏盐城·高二校考开学考试）在等差数列中，，(1)求数列的通项公式；(2)求的前项和．变式37．（2023·河南南阳·高二南阳中学校考阶段练习）已知数列为等差数列，其前n项和为，且，，数列.(1)求的通项公式；(2)求数列的前n项和.变式38．（2023·湖北省直辖县级单位·高二校考阶段练习）设单调递减的等差数列的前项和为.(1)求数列的通项公式及前项和；(2)设数列的前项和为，求.变式39．（2023·高二课时练习）在数列中，，且满足.(1)求数列的通项公式；(2)设，求．【方法技巧与总结】已知等差数列，求绝对值数列的有关问题是一种常见的题型，解决此类问题的核心便是去掉绝对值，此时应从其通项公式入手，分析哪些项是正的，哪些项是负的，即找出正、负项的“分界点”．题型十三：等差数列前n项和公式的实际应用例37．（2023·江苏徐州·高二校考阶段练习）《张邱建算经》记载：今有女子不善织布，逐日织布同数递减，初日织五尺，末一日织一尺，计织三十日，问共织布尺．例38．（2023·河南平顶山·高二统考期末）南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中描述了如图所示的形状，后人称为“三角垛”.三角垛的最上层（即第一层）有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，…，从第二层开始，每层球数与上一层球数之差依次构成等差数列.现有60个篮球，把它们堆放成一个三角垛，那么剩余篮球的个数最少为.

例39．（2023·安徽·高二校联考期末）公元前1800年，古埃及的“加罕纸草书”上有这样一个问题：将100德本（德本是古埃及的重量单位）的食物分成10份，第一份最大，从第二份开始，每份比前一份少德本，求各份的大小.在这个问题中，最小的一份是德本.变式40．（2023·湖北·高二校联考阶段练习）张大爷为了锻炼身体，每天坚持步行，用支付宝APP记录每天的运动步数.在11月的30天中，张大爷每天的运动步数都比前一天多相同的步数，经过统计发现前10天的运动步数是6.9万步，前20天的运动步数是15.8万步，则张大爷在11月的运动步数是万步.变式41．（2023·宁夏石嘴山·高二平罗中学校考期中）将一些相同的“〇”按如图所示摆放，观察每个图形中的“〇”的个数，若第个图形中“〇”的个数是，则的值是．变式42．（2023·江西赣州·高二校考阶段练习）一支车队有15辆车，某天下午依次出发执行运输任务，第一辆车于14时出发，以后每间隔发出一辆，假设所有的司机都连续开车，并都在19时停下来休息．已知每辆车行驶的速度都是，则这个车队当天一共行驶了千米？【方法技巧与总结】（1）与等差数列前项和有关的应用题，其关键在于构造合适的等差数列．（2）遇到与正整数有关的应用题时，可以考虑与数列知识联系，抽象出数列的模型，并用有关知识解决相关的问题，是数学建模的核心素养的体观．题型十四：由等差数列的前n项和判断等差数列例40．（2023·高二单元测试）已知数列的前项和（），则此数列的通项公式为．例41．（2023·高二课时练习）已知数列的前n项和求数列的通项公式；求证：数列是等差数列．例42．（2023·江苏南通·高二统考期中）设各项均为正数的数列满足（、为常数），其中为数列的前项和.(1)若，，求证：是等差数列；(2)若，，求数列的通项公式；(3)若，求的值.变式43．（2023·高二课时练习）已知一个数列的前项和．(1)当时，求证：该数列是等差数列；(2)若数列是等差数列，求满足条件．变式44．（2023·高二课时练习）数列的前项和.（1）判断是不是等差数列，若是，求其首项、公差；（2）设，求数列的前项和．变式45．（2023·高二课时练习）数列满足前项和，则数列的通项公式为【方法技巧与总结】（其中，为常数）是数列成等差数列的充要条件．题型十五：等差数列片段和的性质例43．（2023·上海闵行·高二校考阶段练习）已知等差数列的前n项和为，满足，，则.例44．（2023·云南曲靖·高二统考期末）等差数列的前项和为，若，，则．例45．（2023·江苏盐城·高二盐城市伍佑中学校考期末）等差数列的前项和为30，前项和为100，则它的前项和为.变式46．（2023·广东河源·高二龙川县第一中学校考期末）记为等差数列的前n项和．若，，则．变式47．（2023·河南商丘·高二校联考期末）已知等差数列的前项和为，若数列的前项和为，则.【方法技巧与总结】连续项的和依然成等差数列，即，，，…成等差数列，且公差为．题型十六：等差数列的奇数项与偶数项和例46．（2023·甘肃·高二校考阶段练习）一个等差数列共100项，其和为80，奇数项和为30，则该数列的公差为（

）A． B．2 C． D．例47．（2023·高二单元测试）设等差数列的项数为奇数，则其奇数项之和与偶数项之和的比为（

）A． B． C． D．例48．（2023·高二单元测试）等差数列共2n+1个项，且奇数项和为165，偶数项和为150，则n=（

）A．10 B．13 C．11 D．22变式48．（2023·高二课时练习）已知等差数列共有项，其中奇数项之和为290，偶数项之和为261，则的值为（

）．A．30 B．29 C．28 D．27变式49．（2023·高二课时练习）已知某等差数列的项数为奇数，前三项与最后三项这六项之和为，所有奇数项的和为，则这个数列的项数为（

）A． B． C． D．【方法技巧与总结】（1）若项数为，则，，（2）若项数为，则，，，，一、单选题1．（2023·重庆荣昌·高二重庆市荣昌中学校校考阶段练习）已知等差数列中，，，则（

）A．0 B．-2 C．-4 D．-62．（2023·重庆荣昌·高二重庆市荣昌中学校校考阶段练习）《周髀算经》中有这样一个问题：从冬至起，接下来依次是小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏,小满、芒种共十二个节气，其日影长依次成等差数列，其中大寒、惊蛰、谷雨三个节气的日影长之和为25.5尺，且前九个节气日影长之和为85.5尺，则立春的日影长为（

）A．10.5尺 B．11尺 C．11.5尺 D．12尺3．（2023·江苏苏州·高二吴江中学校考阶段练习）已知为等差数列，，，的前n项和为，则使得取得最大值的n的值为（

）A．18 B．19 C．20 D．214．（2023·福建宁德·高二福鼎市第一中学校考阶段练习）已知等差数列的前项和有最小值，且，则使成立的正整数的最小值为（

）A．2022 B．2023 C．4043 D．40445．（2023·广西