2025届新高考数学热点冲刺复习随机事件的概率与古典概型

2025届新高考数学热点冲刺复习

随机事件的概率与古典概型课前自主预习案课堂互动探究案课前自主预习案必

备

知

识1.样本空间和随机事件(1)样本点和有限样本空间①样本点：随机试验E的每个可能的__________称为样本点，常用ω表示．全体样本点的集合称为试验E的样本空间，常用Ω表示．②有限样本空间：如果一个随机试验有n个可能结果ω1，ω2，…，ωn，则称样本空间Ω＝{ω1，ω2，…，ωn}为有限样本空间．(2)随机事件①定义：将样本空间Ω的________称为随机事件，简称事件．②表示：大写字母A，B，C，….③随机事件的极端情形：必然事件、不可能事件．基本结果子集2．事件的关系与运算事件的关系或运算含义符号表示包含A发生导致B发生________并事件(和事件)A与B至少一个发生________或A＋B交事件(积事件)A与B同时发生________或AB互斥(互不相容)A与B不能同时发生互为对立A与B有且仅有一个发生A⊆BA∪BA∩B∅∅Ω3.频率与概率一般地，随着试验次数n的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件A发生的频率fn(A)会逐渐________事件A发生的概率P(A)．我们称频率的这个性质为频率的稳定性．因此，我们可以用频率fn(A)来估计概率P(A)．稳定于

1

0P（A）＋P（B）1－P（A）1－P（B）P（A）＋P（B）－P（A∩B）5．古典概型(1)古典概型的定义：具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型．①有限性：样本空间的样本点只有________；

②等可能性：每个样本点发生的可能性________．(2)古典概型的概率公式一般地，设试验E是古典概型，样本空间Ω包含n个样本点，事件A包含其中的k个样本点，则定义事件A的概率P(A)＝________．其中，n(A)和n(Ω)分别表示事件A和样本空间Ω包含的样本点个数．有限个相等

夯

实

基

础1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)事件发生的频率与概率是相同的．(

)(2)两个事件的和事件是指两个事件至少有一个发生．(

)(3)若A，B为互斥事件，则P(A)＋P(B)＝1.(

)(4)对立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是对立事件．(

)×√×√2．(教材改编)从一批产品中取出三件产品，设A＝“三件产品全不是次品”，B＝“三件产品全是次品”，C＝“三件产品不全是次品”，则下列结论正确的是(

)A．A，C互斥

B．B，C互斥C．任何两个都互斥D．任何两个都不互斥答案：B解析：从一批产品中取出三件产品，设A＝“三件产品全不是次品”，B＝“三件产品全是次品”，C＝“三件产品不全是次品”，在A中，A和C能同时发生，事件A和C不是互斥事件，故A错误；在B中，B和C不能同时发生，故B和C是互斥事件，故B正确；在C中，A和C能同时发生，事件A和C不是互斥事件，故C错误；在D中，B和C不能同时发生，故B和C是互斥事件，故D错误．故选B.

4．(易错)对于概率是1‰(千分之一)的事件，下列说法正确的是(

)A．概率太小，不可能发生B．1000次中一定发生1次C．1000人中，999人说不发生，1人说发生D．1000次中有可能发生1000次答案：D解析：概率是1‰说明发生的可能性是1‰，每次发生都是随机的，1000次中也可能发生1000次，只是发生的可能性很小．故选D.5．(易错)袋子中有3个大小质地完全相同的球，其中1个红球，2个黑球，现随机从中不放回地依次摸出2个球，则第二次摸到红球的概率为________．

课堂互动探究案1.了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义以及频率与概率的区别．2．理解事件间的关系与运算．3．掌握古典概型及其计算公式，能计算古典概型中简单随机事件的概率．问题思考·夯实技能

【问题1】互斥事件与对立事件有何区别与联系？

提示：互斥事件与对立事件都是两个事件的关系，互斥事件是不可能同时发生的两个事件，而对立事件除要求这两个事件不同时发生外，还要求二者之一必须有一个发生，因此，对立事件是互斥事件的特殊情况，而互斥事件未必是对立事件．

【问题2】随机事件A发生的频率与概率有何区别与联系？提示：随机事件A发生的频率是随机的，而概率是客观存在的确定的常数，但在大量随机试验中，事件A发生的频率稳定在事件A发生的概率附近．

答案：CD

(2)袋中装有红球3个、白球2个、黑球1个，从中任取2个，则互斥而不对立的两个事件是(

)A．至少有一个白球；都是白球B．至少有一个白球；至少有一个红球C．至少有一个白球；红、黑球各一个D．恰有一个白球；一个白球一个黑球答案：C解析：对于A，至少有一个白球和都是白球的两个事件能同时发生，不是互斥事件，A不是；对于B，至少有一个白球和至少有一个红球的两个事件能同时发生，不是互斥事件，B不是；对于C，至少有一个白球和红、黑球各一个的两个事件不能同时发生但能同时不发生，是互斥而不对立的两个事件，C是；对于D，恰有一个白球和一个白球一个黑球的两个事件能同时发生，不是互斥事件，D不是．故选C.题后师说判断互斥事件、对立事件的两种方法角度二随机事件的频率与概率例2[2024·广东揭阳模拟]为了解某中学生遵守《中华人民共和国交通安全法》的情况，调查部门在该校进行了如下的随机调查，向被调查者提出两个问题：(1)你的学号是奇数吗？(2)在过路口时你是否闯过红灯？要求被调查者背对着调查人员抛掷一枚硬币，如果出现正面，就回答第一个问题，否则就回答第二个问题．被调查者不必告诉调查人员自己回答的是哪一个问题，只需回答“是”或“不是”，因为只有调查者本人知道回答了哪一个问题，所以都如实地作了回答．结果被调查的1200人(学号从1至1200)中有366人回答了“是”．由此可以估计这1200人中闯过红灯的人数是________．答案：132解析：被调查的1200人中，在准备回答的两个问题中每一个问题被问到的概率相同，所以第一个问题可能被问600次，因为被问的600人中有300人学号是奇数，而有366人回答了“是”，所以估计有66人闯过红灯，在600人中有66人闯过红灯，频率为0.11，用样本频率估计总体，从而估计这1200人中闯过红灯的人数为1200×0.11＝132人．题后师说计算简单随机事件的频率或概率的解题思路(1)计算所求随机事件出现的频数及总事件的频数．(2)由频率公式得所求，由频率估计概率．角度三互斥事件与对立事件的概率例3某学校在教师外出家访了解家长对孩子的学习关心情况活动中，一个月内派出的教师人数及其概率如下表所示：(1)求有4人或5人外出家访的概率；(2)求至少有3人外出家访的概率．派出人数≤2345≥6概率0.10.460.30.10.04

题后师说求复杂互斥事件概率的两种方法

答案：B

答案：AD

(3)四种电子元件组成的电路如图所示，T1，T2，T3，T4电子元件正常工作的概率分别为0.9，0.8，0.7，0.6，则该电路正常工作的概率为________.解析：该电路正常工作即T1正常工作，T2，T3，T4至少一个正常工作，所以该电路正常工作的概率为0.9×(1－0.2×0.3×0.4)＝0.8784.答案：0.8784

答案：D

答案：D

题后师说古典概型中样本点个数的探求方法

答案：C

答案：D

题型三

概率与统计的综合问题例5[2024·安徽安庆模拟]县政府组织500人参加卫生城市创建“义工”活动，按年龄分组所得频率分布直方图如图，完成下列问题：组别[25，30)[30，35)[35，40)[40，45)[45，50)人数5050a150b(1)如表是年龄的频数分布表，求出表中正整数a、b的值；(2)现在要从年龄较小的第1、2、3组中用分层抽样的方法抽取6人，则年龄在第1、2、3组的各抽取多少人？(3)在第(2)问的前提下，从这6人中随机抽取2人参加社区活动，求至少有1人年龄在第3组的概率．

题后师说概率与统计的结合题，无论是直接描述还是利用频率分布表、频率分布直方图等给出的信息，准确从题中提炼信息是解题的关键．巩固训练3某校以课程建设为核心，建立了学生劳动实践基地，开发了农事劳作课程，开展课外种植、养殖活动，打算引进小动物甲以及成立养殖小组．为了解学生的养殖意愿，该校在一年级的100名学生中进行问卷调查，调查数据如下：(1)分别估计该校男、女生中喜欢养殖小动物甲的概率；(2)学校决定由一年级负责养殖小动物