专题7.5 数列的其他应用（原卷版）

专题7.5数列的其他应用题型一分段递推数列求通项公式题型二公共项数列题型三插项数列题型四数列中的新定义问题题型五数列的结构不良题型六递推数列的实际应用题型一 分段递推数列求通项公式例1．（2023·江西南昌·统考三模）已知数列满足，其中，则数列的前项和为______.例2．（2023春·广东佛山·高二佛山一中校考阶段练习）（多选）已知数列满足，，则（

）A．B．当为偶数时，C．D．数列的前项和为练习1．（2023·全国·高二专题练习）已知数列满足，，记，求数列的通项公式．练习2．（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测）已知数列满足，数列满足．(1)求数列的通项公式；(2)求数列的前n项和．练习3．（2023秋·安徽宣城·高三统考期末）已知数列满足，，，令.(1)写出，，并求出数列的通项公式；(2)记，求的前10项和.练习4．（2023·陕西安康·陕西省安康中学校考模拟预测）已知数列的首项为,数列的前项和小于实数，则的最小值为（

）A． B． C． D．练习5．（2023春·重庆渝中·高二重庆巴蜀中学校考阶段练习）已知数列满足：①；②.则的通项公式______；设为的前项和，则______.（结果用指数幂表示）题型二 公共项数列例3．（2023春·河北石家庄·高二石家庄市第十五中学校考阶段练习）数列的通项公式分别为和，设这两个数列的公共项构成集合A，则集合中元素的个数为（

）A．167 B．168 C．169 D．170例4．（2023·江苏南通·统考模拟预测）已知数列是公差为3的等差数列，数列是公比为2的等比数列，且满足．将数列与的公共项按照由小到大的顺序排列，构成新数列．(1)证明：(2)求数列的前n项和．练习6．（2023·重庆沙坪坝·高三重庆八中校考阶段练习）将数列与的公共项由小到大排列得到数列，则数列的前n项的和为__________．练习7．（2023·全国·高三专题练习）已知，将数列与数列的公共项从小到大排列得到新数列，则__________.练习8．（2022秋·安徽阜阳·高三安徽省临泉第一中学校联考阶段练习）已知等差数列的前项和为，且．(1)求数列的通项公式；(2)若数列由与的公共项按从小到大的顺序排列而成，求数列落在区间内的项的个数．练习9．（2023·全国·高三专题练习）记为公比不为1的等比数列的前项和，，．(1)求的通项公式；(2)设，若由与的公共项从小到大组成数列，求数列的前项和．练习10．（2022秋·山东济宁·高三统考期中）我国古代数学名著《孙子算经》载有一道数学问题：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数值剩二，七七数之剩二，问物几何？”根据这一数学思想，所以被除余的自然数从小到大组成数列，所有被除余的自然数从小到大组成数列，把和的公共项从小到大得到数列，则（

）A． B． C． D．题型三 插项数列例5．（2023·全国·高三专题练习）若在数列的每相邻两项之间插入此两项的和，可以形成一个新的数列，再把所得数列按照同样的方法可以不断构造出新的数列．现将数列1，3进行构造，第1次得到数列1，4，3；第2次得到数列1，5，4，7，3；依次构造，第次得到数列1，．记，若成立，则的最小值为（

）A．6 B．7 C．8 D．9例6．（2023·安徽滁州·校考模拟预测）已知等比数列的前项和为，且(1)求数列的通项公式；(2)在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，求数列的前项和．练习11．（2023秋·江苏盐城·高三江苏省阜宁中学校联考期末）已知数列的通项公式，在数列的任意相邻两项与之间插入个4，使它们和原数列的项构成一个新的数列，记新数列的前n项和为，则的值为______．练习12．（2023·全国·学军中学校联考二模）设数列满足.(1)求数列的通项公式；(2)在数列的任意与项之间，都插入个相同的数，组成数列，记数列的前项的和为，求的值.练习13．（2023·浙江·校联考模拟预测）已知数列的前项和为，且．(1)求的通项公式；(2)保持中各项先后顺序不变，在与之间插入个1，使它们和原数列的项构成一个新的数列，记的前n项和为，求的值（用数字作答）．练习14．（2023春·辽宁锦州·高三校考期中）记为各项均为正数的等比数列的前n项和，，且，，成等差数列.(1)求的通项公式；(2)在和之间插入n个数，使得这个数依次组成公差为的等差数列，求数列的前n项和.练习15．（2023·浙江金华·统考模拟预测）已知数列的前项和，，且.数列满足，.(1)求数列，的通项公式；(2)将数列中的项按从小到大的顺序依次插入数列中，在任意的，之间插入项，从而构成一个新数列，求数列的前100项的和.题型四 数列中的新定义问题例7．（2023·全国·高三对口高考）对于数列，定义为数列的一阶差分数列，其中(1)若数列的通项公式，求的通项公式；(2)若数列的首项是1，且满足，证明数列为等差为数列.例8．（2023·广东佛山·校考模拟预测）（多选）所有的有理数都可以写成两个整数的比，例如如何表示成两个整数的比值呢？代表了等比数列的无限项求和，可通过计算该数列的前项的和，再令获得答案.此时，当时，，即可得.则下列说法正确的是（

）A．B．为无限循环小数C．为有限小数D．数列的无限项求和是有限小数练习16．（2023·江苏扬州·扬州中学校考模拟预测）若数列满足，则称数列为“平方递推数列”．已知数列中，，点在函数的图象上，其中n为正整数，(1)证明：数列是“平方递推数列”，且数列为等比数列；(2)设，定义，且记，求数列的前n项和．练习17．（2023·湖北武汉·统考三模）将按照某种顺序排成一列得到数列，对任意，如果，那么称数对构成数列的一个逆序对.若，则恰有2个逆序对的数列的个数为（

）A．4 B．5 C．6 D．7练习18．（2023·北京·人大附中校考三模）已知数列满足：对任意的，总存在，使得，则称为“回旋数列”．以下结论中正确的个数是（

）①若，则为“回旋数列”；②设为等比数列，且公比q为有理数，则为“回旋数列”；③设为等差数列，当，时，若为“回旋数列”，则；④若为“回旋数列”，则对任意，总存在，使得．A．1 B．2 C．3 D．4练习19．（2023·重庆沙坪坝·重庆八中校考二模）（多选）在数列中，（，为非零常数），则称为“等方差数列”，称为“公方差”，下列对“等方差数列”的判断正确的是（

）A．是等方差数列B．若正项等方差数列的首项，且是等比数列，则C．等比数列不可能为等方差数列D．存在数列既是等差数列，又是等方差数列练习20．（2023·江苏苏州·校联考三模）（多选）若数列满足：对任意的，总存在，使，则称是“数列”.则下列数列是“数列”的有（

）A． B．C． D．题型五 数列的结构不良例9．（2023·江西·统考模拟预测）已知等差数列的前项和为，，．(1)求的通项公式及；(2)设__________，求数列的前项和．在①；②；③这三个条件中任选一个补充在第（2）问中，并求解．注：如选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．例10．（2023秋·贵州铜仁·高三统考期末）已知正项数列的前项和为，在①，且；②；③，，这三个条件中任选一个，解答下列问题：(1)证明数列是等比数列，并求其通项公式；(2)设，数列的前项和为，若恒成立，求的最小值.注：若选择不同的条件分别解答，则按第一个解答计分.练习21．（2023春·广西·高三校联考阶段练习）已知数列的前项和为，在①且；②；③且，，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并求解：(1)已知数列满足______，求的通项公式；(2)已知正项等比数列满足，，求数列的前项和．练习22．（2023春·江西·高三校联考阶段练习）已知数列的各项均为正数，记为的前项和.(1)从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立；①；②；③.(2)在（1）的条件下，若，求.注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.练习23．（2023春·浙江杭州·高三浙江大学附属中学校考期中）在①；②这两组条件中任选一组，补充下面横线处，并解答下列问题.已知数列的前n项和是，数列的前n项和是，___________.(1)求数列的通项公式；(2)设，数列的前n项和为，求.练习24．（2023秋·云南昆明·高三统考期末）已知是数列的前项和，①，，②，且，③，请从①②③中选择一个条件进行求解.注：如果选择不同的条件分别解答，则按第一个解答计分.(1)求数列的通项公式；(2)数列的前项和为，是否存在正整数，使恒成立？若存在，求出的最大值；若不存在，请说明理由.练习25．（2023春·北京海淀·高三中央民族大学附属中学校考期中）已知数列中，，_____，其中．从①数列的前项和，②，③且，这三个条件中一个，补充在上面的问题中并作答.注：若选作多个条件分别解答，按第一个解答计分.(1)求数列的通项公式；(2)设，求证：数列是等差数列；(3)设数列，求数列的通项公式及前20项和．题型六 递推数列的实际应用例11．（2023·全国·高三专题练习）农历是我国古代通行历法，被誉为“世界上最突出和最优秀的智慧结晶”.它以月相变化周期为依据，每一次月相朔望变化为一个月，即“朔望月”，约为29.5306天.由于历法精度的需要，农历设置“闰月”，即按照一定的规律每过若干年增加若干月份，来修正因为天数的不完美造成的误差，以使平均历年与回归年相适应设数列满足，其中均为正整数，且，，，，，，…，那么第n级修正是“平均一年闰个月”，已知我国农历为“19年共闰7个月”，则它是（

）A．第3级修正 B．第4级修正 C．第5级修正 D．第6级修正例12．（2023·全国·高三专题练习）（多选）1202年，斐波那契在《算盘全书》中从兔子问题得到斐波那契数列1，1，2，3，5，8，13，21该数列的特点是前两项为1，从第三项起，每一项都等于它前面两项的和，人们把这样的一列数组成的数列称为斐波那契数列，19世纪以前并没有人认真研究它，但在19世纪末和20世纪，这一问题派生出广泛的应用，从而活跃起来，成为热门的研究课题，记为该数列的前项和，则下列结论正确的是（

）A． B．为偶数C． D．练习26．（2022秋·福建漳州·高三统考期末）（多选）被誉为“闽南第一洞天”的风景文化名胜——漳州云洞岩，有大小洞穴四十余处，历代书法题刻二百余处.由于岩石众多，造就了云洞岩石头上开凿台阶的特色山路，美其名曰：天梯，其中有一段山路需要全程在石头上爬，旁边有铁索可以拉，十分惊险.某游客爬天梯，一次上1个或2个台阶，设爬上第个台阶的方法数为，下列结论正确的是（

）A． B． C． D．练习27．（2021秋·重庆·高三校联考阶段练习）阿司匹林（分子式，分子质量180）对血小板聚集的抑制作用，使它能降低急性心肌梗死疑似患者的发病风险.对于急性心肌梗死疑似患者，建议第一次服用剂量300，嚼碎后服用以快速吸收，以后每24小时服用200.阿司匹林口服后经胃肠道完全吸收，阿司匹林吸收后迅速降解为主要代谢产物水杨酸（分子式，分子质量138），降解过程生成的水杨酸的质量为阿司匹林质量的，水杨酸的清除半衰期（一般用物质质量衰减一半所用的时间来描述衰减情况，这个时间被称作半衰期）约为12小时.（考虑所有阿司匹林都降解为水杨酸）(1)求急性心肌梗死疑似患者第1次服药48小时后第3次服药前血液中水杨酸的含量（单位）；(2)证明：急性心肌梗死疑似患者服药期间血液中水杨酸的含量不会超过230.练习28．（2023春·山西太原·高三山西大附中校考阶段练习）某地出现了虫害，农业科学家引入了“虫害指数”数列{I}，