专题9.5 抛物线（原卷版）

专题9.5抛物线题型一抛物线的定义与方程题型二抛物线方程与位置特征题型三距离的最值问题题型四实际问题中的抛物线题型五抛物线中的三角形和四边形问题题型六抛物线的简单几何性质题型一 抛物线的定义与方程例1．（2023秋·高二课时练习）过抛物线焦点F的直线与抛物线交于P，Q两点，若P，Q在抛物线准线上的射影为，则等于（

）A． B． C． D．例2．（2023·山东烟台·统考三模）设抛物线的焦点为，点，过点的直线交于两点，直线垂直轴，，则________．练习1．（2023秋·高三课时练习）抛物线的顶点在原点，对称轴是x轴，抛物线上的点到焦点的距离是6，则抛物线的方程为（

）A． B．C． D．或练习2．（2021秋·高三课时练习）分别求符合下列条件的抛物线方程:(1)顶点在原点,以坐标轴为对称轴,且过点;(2)顶点在原点,以坐标轴为对称轴,焦点到准线的距离为.练习3．（2023·北京·北京四中校考模拟预测）已知抛物线的焦点为，准线为，点是抛物线上一点，于.若，则抛物线的方程为（

）A． B．C． D．练习4．（2023·福建福州·福州三中校考模拟预测）已知抛物线与圆，过抛物线的焦点作斜率为的直线与抛物线交于两点，与圆交于两点（在轴的同一侧），若，则的值是___________．练习5．（2023·河南·洛宁县第一高级中学校联考模拟预测）已知F是抛物线的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N，若，则___________题型二 抛物线方程与位置特征例3．（2023·陕西渭南·统考二模）将抛物线绕其顶点顺时针旋转之后，正好与抛物线重合，则（

）A． B． C．-2 D．2例4．（2023秋·高二课时练习）已知抛物线的标准方程如下，分别求其焦点和准线方程：(1)；(2)．练习6．（2023春·上海普陀·高三曹杨二中校考阶段练习）在同一坐标系中，方程与的曲线大致是（

）A． B．C． D．练习7．（2022·高三单元测试）已知，则方程与在同一坐标系内对应的图形编号可能是（

）A．①④ B．②③ C．①② D．③④练习8．（2022·高三课时练习）根据下列条件，求抛物线的标准方程，并画图：(1)准线方程为；(2)焦点在x轴上且其到准线的距离为6；(3)对称轴是x轴，顶点到焦点的距离等于2；(4)对称轴是y轴，经过点．练习9．（2023·全国·模拟预测）十一世纪，波斯（今伊朗）诗人奥马尔·海亚姆（约1048-1131）发现了三次方程的几何求解方法，如图是他的手稿，目前存放在伊朗的德黑兰大学．奥马尔采用了圆锥曲线的工具，画出图像后，可通过测量的方式求出三次方程的数值解．在平面直角坐标系上，画抛物线，在轴上取点，以为直径画圆，交抛物线于点．过作轴的垂线，交轴于点．下面几个值中，哪个是方程的解？（

）A． B． C． D．练习10．（2022·高三单元测试）（多选）已知，则方程与在同一坐标系内对应的图形可能是（

）A． B．C． D．题型三 距离的最值问题例5．（2023·江苏无锡·校联考三模）已如，是抛物线上的动点（异于顶点），过作圆的切线，切点为，则的最小值为______.例6．（2023秋·高三课时练习）若点的坐标为，F为抛物线的焦点，点在抛物线上移动，为使最小，点的坐标应为__________．练习11．（2023·上海虹口·华东师范大学第一附属中学校考三模）已知是抛物线的焦点，P是抛物线C上一动点，Q是曲线上一动点，则的最小值为_______．练习12．（2022秋·河南焦作·高三统考期末）已知是抛物线上的一个动点，则点到直线和的距离之和的最小值是（

）A．3 B．4 C． D．6练习13．（2023·江苏南通·统考模拟预测）已知点是抛物线上的动点，则的最小值为______.练习14．（2023·河南·校联考模拟预测）设P为抛物线C：上的动点，关于P的对称点为B，记P到直线的距离分别，，则的最小值为（

）A． B．C． D．练习15．（河北省唐山市、保定市四校（保定中恒高级中学有限公司等）2023届高三一模数学试题）（多选）抛物线的焦点为，为抛物线上的动点，若点不在抛物线上，且满足的最小值为，则的值可以为（

）A． B．3 C． D．题型四 实际问题中的抛物线例7．（2023·青海海东·统考模拟预测）图中是抛物线形拱桥，当水面在时，拱顶距离水面2米，水面宽度为8米，则当水面宽度为10米时，拱顶与水面之间的距离为（

）A．米 B．米 C．米 D．米例8．（2023春·广东韶关·高三校考阶段练习）有一个隧道内设双行线公路，其截面由一长方形和抛物线构成，如图所示.为了保证安全，要求行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上的高度之差至少为0.7m，若行车道总宽度为7.2m，则车辆通过隧道时的限制高度为______m.练习16．（2023春·广西南宁·高三统考开学考试）北京时间2022年4月16日9时56分，神舟十三号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆，全国人民都为我国的科技水平感到自豪.某学校科技小组在计算机上模拟航天器变轨返回试验.如图，航天器按顺时针方向运行的轨迹方程为，变轨（即航天器运行轨迹由椭圆变为抛物线）后返回的轨迹是以轴为对称轴，为顶点的抛物线的一部分（从点到点）.已知观测点A的坐标，当航天器与点A距离为4时，指挥中心向航天器发出变轨指令.(1)求航天器变轨时点的坐标；(2)求航天器降落点与观测点A之间的距离.练习17．（2023·上海·高三专题练习）如图所示，一种建筑由外部的等腰梯形PQRS、内部的抛物线以及水平的杠杆AB组成，其中PS和QR分别与抛物线相切于A，B，A，B分别是PS和QR的中点.梯形的高和CD的长度都是4米.(1)求杠杆AB的长度；(2)求等腰梯形的周长.练习18．（2023·全国·高三专题练习）有一正方形景区，所在直线是一条公路，该景区的垃圾可送到位于点的垃圾回收站或公路上的流动垃圾回收车，于是，景区分为两个区域和，其中中的垃圾送到流动垃圾回收车较近，中的垃圾送到垃圾回收站较近，景区内和的分界线为曲线，现如图所示建立平面直角坐标系，其中原点为的中点，点的坐标为．(1)求景区内的分界线的方程；(2)为了证明与的面积之差大于1，两位同学分别给出了如下思路，思路①：求分界线在点处的切线方程，借助于切线与坐标轴及景区边界所围成的封闭图形面积来证明；思路②：设直线：，分界线恒在直线的下方（可以接触），求的最小值，借助于直线与坐标轴及景区边界所围成的封闭图形面积来证明．请选择一个思路，证明上述结论．练习19．（2023春·福建莆田·高三莆田一中校考期中）如图1所示，抛物面天线是指由抛物面（抛物线绕其对称轴旋转形成的曲面）反射器和位于焦点上的照射器（馈源，通常采用喇叭天线）组成的单反射面型天线，广泛应用于微波和卫星通讯等领域，具有结构简单、方向性强、工作频带宽等特点．图2是图1的轴截面，A，B两点关于抛物线的对称轴对称，F是抛物线的焦点，∠AFB是馈源的方向角，记为，焦点F到顶点的距离f与口径d的比值称为抛物面天线的焦径比，它直接影响天线的效率与信噪比等．如果某抛物面天线馈源的方向角满足，，则其焦径比为（

）A． B． C． D．练习20．（2023·全国·高二专题练习）探照灯､汽车前灯的反光曲面､手电筒的反光镜面､太阳灶的镜面等都是抛物镜面.灯泡放在抛物线的焦点位置，通过镜面反射就变成了平行光束，如图所示，这就是探照灯､汽车前灯､手电筒的设计原理.已知某型号探照灯反射镜的纵断面是抛物线的一部分，光源位于抛物线的焦点处，灯口直径是，灯深，则光源到反射镜顶点的距离为（

）A． B． C． D．题型五 抛物线中的三角形和四边形问题例9．（2023·广东珠海·珠海市斗门区第一中学校考三模）已知抛物线的焦点为，准线与坐标轴交于点是抛物线上一点，若，则的面积为（

）A．4 B． C． D．2例10．（2023·福建莆田·校考模拟预测）已知抛物线的焦点为，准线为，、是上异于点的两点（为坐标原点），若，过的中点作于点，则的最小值为_________．练习21．（2023·吉林长春·长春吉大附中实验学校校考模拟预测）设抛物线：（）焦点为，准线为，过第一象限内的抛物线上一点作的垂线，垂足为．设，与相交于．若，且的面积为，则抛物线的方程为________________.练习22．（2023春·海南·高三海南中学校考阶段练习）设O为坐标原点，F为抛物线C：的焦点，过焦点F且倾斜角为的直线与抛物线C交于M，N两点（点N在第一象限），当时，，则____________，练习23．（2023·全国·高二专题练习）已知抛物线的焦点为，直线与交于，两点，，线段的中点为，过点作抛物线的准线的垂线，垂足为，则的最小值为____．练习24．（2023·全国·模拟预测）已知是抛物线的焦点，点A，B在抛物线上，且的重心坐标为，则（

）A． B．6 C． D．练习25．（2023·甘肃金昌·永昌县第一高级中学统考模拟预测）已知抛物线的焦点为F，准线l交x轴于点E，过F的直线与C在第一象限的交点为A，则的最大值为______．题型六 抛物线的简单几何性质例11．（2023·全国·高三对口高考）已知是抛物线上的两个点，O为坐标原点，若且的垂心恰是抛物线的焦点，则直线的方程是（

）A． B． C． D．例12．（2022秋·重庆·高三统考期末）已知，则方程表示的曲线可能是（

）A． B．C． D．练习26．（2023春·甘肃张掖·高三高台县第一中学校考阶段练习）（多选）对于抛物线，下列描述不正确的是（

）A．开口向上，焦点为