5.5 解三角形与其他知识的综合运用（精讲）（教师版）

5.5解三角形与其他知识的综合运用（精讲）一．仰角和俯角在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方叫仰角，目标视线在水平视线下方叫俯角(如图1).二．方位角从正北方向起按顺时针转到目标方向线之间的水平夹角叫做方位角.如B点的方位角为α(如图2).三．方向角正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，如南偏东30°，北偏西45°等.四.坡度：坡面与水平面所成的二面角的正切值.考法一解三角形在实际生活中的运用【例1-1】（2023·河北·模拟预测）释迦塔俗称应县木塔，建于公元1056年，是世界上现存最古老最高大之木塔，与意大利比萨斜塔、巴黎埃菲尔铁塔并称“世界三大奇塔”.2016年、释迦塔被吉尼斯世界纪录认定为世界最高的木塔.小张为测量木塔的高度，设计了如下方案：在木塔所在地面上取一点，并垂直竖立一高度为的标杆，从点处测得木塔顶端的仰角为60°，再沿方向前进到达点，并垂直竖立一高度为的标杆，再沿方向前进到达点处，此时恰好发现点，在一条直线上.若小张眼睛到地面的距离，则小张用此法测得的释迦塔的高度约为（参考数据：）（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】如图,过点作于点,过点作于点,交于点,则四边形,,都是矩形,所以,所以.在Rt中,,所以,由已知得,所以,即,解得.故选：B.【例1-2】（2023·河南郑州·洛宁县第一高级中学校联考模拟预测）如图，某景区为方便游客，计划在两个山头M，N间架设一条索道．为测量M，N间的距离，施工单位测得以下数据：两个山头的海拔高度，在BC同一水平面上选一点A，测得M点的仰角为，N点的人仰角为，以及，

则M，N间的距离为（

）

A． B．120m C． D．200m【答案】A【解析】由题意，可得，且，在直角中，可得，在直角中，可得，在中，由余弦定理得，所以.故选：A.

【一隅三反】1．（2023春·江苏·高三江苏省前黄高级中学校联考阶段练习）如图所示，某学生社团在公园内测量某建筑的高度，为该建筑顶部.在处测得仰角，当沿一固定方向前进60米到达处时测得仰角，再继续前进30米到达处时测得仰角，已知该建筑底部A和、、在同一水平面上，则该建筑高度为（

）

A． B． C．45 D．90【答案】D【解析】设，由题意知，所以，同理，即.在和中，.

由余弦定理可得：，即，解得.故选：D2．（2023·陕西西安·统考一模）圣·索菲亚教堂坐落于中国黑龙江省，是一座始建于1907年拜占庭风格的东正教教堂，被列为第四批全国重点文物保护单位，其中央主体建筑集球，圆柱，棱柱于一体，极具对称之美，可以让游客从任何角度都能领略它的美.如图，小明为了估算索菲亚教堂的高度，在索菲亚教堂的正东方向找到一座建筑物，高为，在它们之间的地面上的点（三点共线）处测得楼顶，教堂顶的仰角分别是和，在楼顶处测得塔顶的仰角为，则小明估算索菲亚教堂的高度约为(取)（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】在直角中，，因为在中，，，所以，在中由正弦定理可得，又由，所以在直角中，可得,故选：B3．（2023·浙江·高三专题练习）喜来登月亮酒店是浙江省湖州市地标性建筑，某学生为测量其高度，在远处选取了与该建筑物的底端在同一水平面内的两个测量基点与，现测得，，米，在点处测得酒店顶端的仰角，则酒店的高度约是（

）（参考数据：，，）A．91米 B．101米 C．111米 D．121米【答案】B【解析】由题设，在△中，又，所以，又米.故选：B考法二解三角形与平面向量的综合【例2】（2023·全国·高三专题练习）在中，角A，B，C对应边分别为a，b，c，已知三个向量，，共线，则形状为（

）A．等边三角形 B．等腰三角形C．直角三角形 D．等腰直角三角形【答案】A【解析】向量，共线，．由正弦定理得：．．，所以则．，即．同理由，共线，可得．形状为等边三角形．故选：A．【一隅三反】1．（2023·上海普陀·曹杨二中校考模拟预测）已知点为的外心，且，则为（

）A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定【答案】C【解析】三个角所对的三边分别为，取的中点，的中点，的中点，连接，，，则，，，所以，，，因为，所以，即，由余弦定理得，因为，所以，即为钝角三角形.故选：C.

2．（2022·广东广州·三模）已知的内角，，所对的边分别为，，，向量，，.(1)若，，为边的中点，求中线的长度；(2)若为边上一点，且，，求的最小值.【答案】(1)；(2).【解析】(1)∵向量，，，∴，即，∴，∴，∵为边的中点，，，∴，∴，又，，，∴，∴，即，∴中线的长度为；(2)∵为边上一点，，∴，∴，∴，即，∴，又，∴，∴，即，∴，当且仅当，即取等号，故的最小值为考法三解三角形与三角函数性质综合【例3】（2023春·上海黄浦·高三格致中学校考阶段练习）已知函数.(1)求函数的单调递减区间；(2)在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足，求的取值范围.【答案】(1)(2)【解析】（1）令，则所以，单调减区间是.（2）由得：，即，由于，所以.在中，，，于是，则，，，所以.【一隅三反】1．（2023·上海·高三专题练习）已知，，（1）求的最小正周期及单调递减区间；（2）已知锐角的内角的对边分别为，且，，求边上的高的最大值．【答案】（1）最小正周期为；单调递减区间为；（2）．【解析】（1）．的最小正周期为：；当时，即当时，函数单调递减，所以函数单调递减区间为：；（2）因为，所以，，，．设边上的高为，所以有，由余弦定理可知：，，，（当用仅当时，取等号），所以，因此边上的高的最大值.2．（2023·全国·高一专题练习）已知向量，，函数.（1）求函数的零点；（2）若钝角的三内角的对边分别是，，，且，求的取值范围.【答案】（1），；（2）.【解析】1）由条件可得：，∴，所以函数零点满足，则，得，；（2）由正弦定理得，由（1），而，得，∴，，又，得，∴代入上式化简得：，又在钝角中，不妨设为钝角，有，则有.∴.3．（2023·安徽）已知函数，将的图象横坐标变为原来的，纵坐标不变，再向左平移个单位后得到的图象，且在区间内的最大值为.（1）求的值；（2）在锐角中，若，求的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）将函数的图象横坐标变为原来的，纵坐标不变，再向左平移个单位后得到的图象，则，，，当，即时，最大值，所以，；（2），，则，所以，，所以，，，是锐角三角形，由，解得，所以，，，则.考法四解三角形与各种心的综合【例4】（2022·广东·模拟预测）的内角的对边分别为，且.从下列①②③这三个条件中选择一个补充在横线处，并作答.①为的内心；②为的外心；③为的重心.(1)求；(2)若，__________，求的面积.注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分.【答案】(1)(2)选①：；选②：；选③：.【解析】(1)因为，由正弦定理得，，，三角形中，，所以，，则，所以，；(2)选①O为的内心，如图，分别是内切圆在各边上的切点，在中由余弦定理得，，设内切圆半径为，则，，所以；选②O为的外心，在外部，如图，外接圆上，由（1），所以，在中由余弦定理得，，，．选③O为的重心，如图，分别是各边上的中点，在中由余弦定理得，，由三角形重心的性质可得，，故.【一隅三反】1.（2022·湖北省仙桃中学模拟预测）如图，在△ABC中，已知，，，BC边上的中线AM与的角平分线相交于点P．(1)的余弦值．(2)求四边形的面积.【答案】(1)(2)【解析】(1)在中，由余弦定理可知：,即故,,是等腰三角形，故在中，由余弦定理可知：即,在中，由正弦定理可知：因为为锐角，所以(2)由（1）知：是的重心，所以,故所以四边形的面积为2．（2022·广东广州·三模）在①；②这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并作答.问题：已知中，分别为角所对的边，__________.(1)求角的大小；(2)已知，若边上的两条中线相交于点，求的余弦值.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.【答案】(1)；(2)【解析】(1)若选①，，由正弦定理得，又，则，又，即，又，则；若选②，由正弦定理得，又，则，即，则，又，则；(2)以为坐标原点，所在直线为轴，过点垂直于的直线为轴，建立如图所示平面直角坐标系，易得，由可得，则，则，则.3．（2022·广东深圳·一模）如图，在△ABC中，已知，，，BC，AC边上的两条中线AM，BN相交于点P．(1)求的正弦值；(2)求的余弦值．【答案】(1)(2)【解析】(1)解：解法1、由余弦定理得，即，所以，所以，在中，由余弦定理，得，在中，由余弦定