山东省日照市2024-2025学年高二上学期校际联合开学考试 数学试题（含解析）

2023级高二校际联合考试数学试题考生注意：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束，将试题卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知集合，则（）A．B．C．D．2．函数的图像的大致形状是（）A．B．C．D．3．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若的面积为，则（）A．B．C．D．4．已知函数在上单调递减，则实数a的取值范围为（）A．B．C．D．5．已知，则（）A．B．C．D．6．己知是边长为6的等边三角形，点D是AB的中点，点G是线段CD上一点，满足，则（）A．B．C．D．7．己知函数，则图像有如下性质（）A．关于点中心对称B．关于直线轴对称C．关于点中心对称D．关于点中心对称8．设，且，则，的最小值等于（）A．B．C．D．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。9．设A，B为两个随机事件，以下命题正确的是（）A．若A与B对立，则B．若A与B互斥，，则C．若，且，则A与B相互独立D．若A与B相互独立，，则10．己知函数的最大值为2，其部分图象如图所示，则（）A．B．函数为偶函数C．满足条件的正实数存在且唯一D．是周期函数，且最小正周期为11．如图，正方体棱长为2，点M是其侧面上的动点（含边界），点P是线段上的动点，下列结论正确的是（）A．存在点P，M，使得平面与平面PBD平行B．当点P为中点时，过A，P，点的平面截该正方体所得的截面是梯形C．当点M是线段的中点时，不存在点P使直线垂直平面D．当P为棱的中点且时，点M的轨迹长度为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．若幂函数的图像过点，则__________．13．已知扇形AOB的半径为10，以O为原点建立如图所示的平面直角坐标系，己知，则弧AB的中点C的坐标为__________．14．若存在实数m，使得对于任意的，不等式恒成立，则取得最大值时，__________．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15．（13分）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c满足．（1）求B的大小；（2）若，的面积为，求的周长．16．（15分）己知盒中有大小、质地相同的红球、黄球、蓝球共4个，从中任取一球，得到红球或黄球的概率是，得到黄球或蓝球的概率是．（1）求盒中红球、黄球、蓝球的个数；（2）设置游戏规则如下：从盒中有放回的取球两次，每次任取一球记下颜色．若取到两个球颜色相同则甲胜，否则乙胜从概率的角度判断这个游戏是否公平，请说明理由．17．（15分）在四棱锥中，平面平面ABCD，，，，，．（1）证明：平面PAD；（2）若为等边三角形，求点C到平面PBD的距离．18．（17分）设a为常数，函数．（1）当时，求函数的值域；（2）若函数在区间上有两个不同的零点，求实数a的取值范围；（3）当时，设n为正整数，在区间上恰有2024个零点，求所有可能的正整数n的值．19．（17分）给定正整数，设集合，对于集合M中的任意元素，定义，．（1）当时，若，求所有满足条件的；（2）当时，均为M中的元素，且，求k的最大值；（3）当时，若均为M中的元素，其中，且满足，求k的最小值．

2023级高二校际联合考试数学试题答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1-4BCCD5-8AADB二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。9．BD10．ACD11．ABD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．13．14．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15．【解析】（1）由余弦定理及，可得，2分又由正弦定理，可得，4分因为，所以，所以，所以，6分又因为，所以7分（2）由，可得，9分根据余弦定理，得，所以所以，12分所以的周长为．13分16．【解析】（1）设盒中红球、黄球、蓝球个数分别为x，y，z，从中任取一球，得到红球或黄球为事件A，得到黄球或蓝球为事件B，1分则，3分由己知得，6分解得，所以盒中红球、黄球、蓝球的个数分别是2，1，1；7分（2）由（1）知红球、黄球、蓝球个数分别为2，1，1，用1，2表示红球，用a表示黄球，用b表示蓝球，m表示第一次取出的球，n表示第二次取出的球，表示试验的样本点，8分则样本空间，．10分可得，11分记“取到两个球颜色相同”为事件M，“取到两个球颜色不相同”为事件N，则，所以，13分所以，14分因为，所以此游戏不公平．15分17．【解析】（1）因为，所以，2分又因为，所以，则．4分因为平面平面ABCD，且平面平面，平面PAD，所以平面PAD．7分（2）过点P作，因为平面平面ABCD，且平面平面，所以平面ABCD．8分因为由（1）知平面PAD，所以10分在中，，而．12分设点C到平面PBD的距离为h，由，得，14分解得，所以点C到平面PBD的距离为．15分18．【详解】（1）由题意，令，则，2分当时，，4分所以，当时，取最大值；当时，取最小值，所以的值域为；6分（2）由题意，函数在区间上有两个不同的零点，即函数在上仅有一个零点，因为，由零点存在性定理，只需，得；9分（3）因为，所以有两个零点，又，不妨10分当时，得，在（k为正整数），内零点个数为，在内零点个数为，因为，所以；12分当时，在（k为正整数）内零点个数为，在内零点个数为，此时不存在n；14分当时，则，在（k为正整数）内零点个数为，因为，所以；16分综上n的所有可能值为1012，1349．17分19．【解析】（1）令，由题意知解得或或3分（写出一个给1分）（2）表示之间至少有2个分量不相等，M中的元素总情况：5分对上述所有元素分析，最大为3，此时只有、符合要求；当时，通过列举知满足的有共四个元素同理可知满足条件的元素还可以是：共四个元素∴k的最大值为48分（写出一组即可）（3）由，知．而条件的含义是，在序列中，任意一对相邻的向量都恰有个分量不相等10分根据题目内容，己有．法一：若，则，因为，所以恰有个分量不相等，即中恰有个1，又中含n个1，所以，中恰有2个分量不相等，所以．因为，所以，与矛盾．这就表明不成立，故．13分注意到，，，满足全部条件，此时．（上述的选取不唯一）所以k的