2023年浙江省杭州市中考数学模拟试题分类汇编：二次函数（解析版）

试卷第=page11页，共=sectionpages33页2023年浙江省杭州市中考数学模拟试题分类汇编：二次函数一、单选题1．（2023·浙江杭州·校考二模）已知抛物线经过平移后得到抛物线，若抛物线上任意一点坐标是，则其对应点坐标一定是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据题意求得抛物线向下平移2个单位后得到抛物线，故抛物线上任意一点向下平移2个单位得到其对应点的坐标．【详解】解：∵抛物线经过平移后得到抛物线，∴抛物线向下平移2个单位后得到抛物线，∴抛物线上任意一点坐标是，则其对应点坐标为．故选：A．【点睛】本题主要考查了二次函数图像的平移，解题的关键是根据题意推得抛物线向下平移2个单位后得到抛物线．2．（2023·浙江杭州·校考二模）已知抛物线经过不同的两点，，下列说法正确的是（）A．若时都有，则B．若时都有，则C．若时都有，则D．若时都有，则【答案】C【分析】根据两点的纵坐标相同，可求得抛物线的对称轴为直线，再由对称轴公式即可求得答案；【详解】解：∵抛物线经过，两点，∴抛物线的对称轴为直线．对于A选项，若时，∴．又，∴此时，y随x的增大而减小．∴抛物线开口向上．∴，故A不符合题意；对于B选项，若时，∴．此时关于对称轴对称的点为，若，∴或．∴选项B不符合题意．若时，∴．又，∴此时，y随x的增大而减小．∴抛物线开口向上．∴，故C符合题意．若时，∴．又，∴此时，y随x的增大而增大．∴抛物线开口向下．∴，故D不符合题意．故选：C．【点睛】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题时需要熟练掌握并灵活运用．3．（2023·浙江杭州·校联考二模）已知二次函数和一次函数（，为常数）．若．当函数的图象经过点时，与之间的数量关系为（）A．或 B．或 C． D．【答案】A【分析】首先根据条件求出，然后将代入，得出关于、等式即可求解．【详解】解：，，，，，，函数的图象经过点，，或，或．故选：A．【点睛】本题主要考查二次函数的性质，解一元二次方程，正确并且灵活地应用二次函数的性质是解题的关键．4．（2023·浙江杭州·校联考三模）已知二次函数的图象与x轴交于A(a，0)，B(b，0)两点，且满足，．当时，该函数的最大值H与m满足的关系式是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据二次函数图象与x轴交于A(a，0)，B(b，0)两点，且，确定函数图象的对称轴的位置，从而确定当1≤x≤3时，时取最大值，即可得出H与m的关系．【详解】解：∵二次函数图象与x轴交于A(a，0)，B(b，0)两点，且，∴二次函数图象的对称轴，∵二次函数，距离对称轴越远的点，函数值越大，∵当对称轴为直线时，横坐标为1和3的点到对称轴的距离最远，且此时这两个点到对称轴的距离相等，此时当或，函数值最大，∵当对称轴不是直线，当1≤x≤3时，横坐标为的点距离对称轴最远，当时，函数有最大值，，故A正确．故选：A．【点睛】本题主要考查了二次函数图象的性质，根据确定二次函数对称轴的位置是解题的关键．5．（2023·浙江杭州·校考三模）二次函数的图象与x轴的两个交点为，，且，点是图象上一点，那么下列判断正确的是（

）A．当时， B．当时，C．当时， D．当时，【答案】D【分析】根据二次函数的图象与性质可进行排除选项．【详解】解：由二次函数可知开口向上，对称轴为直线，当时，随的增大而减小，当时，y随x的增大而增大；∵，是二次函数与x轴的交点，点是图象上的一点，∴当时，则或；故、选项错误；当时，则，故正确；当且时，此时有可能，故错误；故选．【点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．6．（2023·浙江杭州·杭州市丰潭中学校考三模）已知二次函数，当时，函数值为，当时，函数值为，若，则下列结论正确的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】分和两种情况根据二次函数的对称性确定出与的大小关系，然后对各选项分析判断即可得解．【详解】解：∵∴令，即∴解得或∴二次函数与x轴的交点为和∴二次函数的对称轴为，①当时，二次函数图象开口向上，∵，∴点到对称轴的距离小于点到对称轴的距离，∴，即，∴，无法确定的正负情况，②时，二次函数图象开口向下，∵，如图，∴点到对称轴的距离小于点到对称轴的距离，∴，即，∴，无法确定的正负情况，综上所述，正确的是．故选：B．【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，主要利用了二次函数的对称性，难点在于根据二次项系数a的正负情况分情况讨论．7．（2023·浙江杭州·校考三模）若二次函数的解析式为．若函数图象过点和点，则q的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据二次函数的解析式为，可以得到该函数的对称轴，再根据函数过点和点，可以得到，然后即可用含m的代数式表示出p，然后根据在该函数图象上，代入函数解析式，即可得到关于m的二次函数，再根据m的取值范围，即可得到q的取值范围．【详解】解：∵二次函数的解析式为，∴该函数的对称轴为直线，∵函数过点和点，∴，∴，∴，∴当时，q随m的增大而减小，∵，∴当时，q取得最大值4；当时，q取得最小值，∴q的取值范围是，故选：A．【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，得到q和m的函数解析式，利用二次函数的性质求最值．8．（2023·浙江杭州·统考中考真题）设二次函数是实数，则（

）A．当时，函数的最小值为 B．当时，函数的最小值为C．当时，函数的最小值为 D．当时，函数的最小值为【答案】A【分析】令，则，解得：，，从而求得抛物线对称轴为直线，再分别求出当或时函数y的最小值即可求解．【详解】解：令，则，解得：，，∴抛物线对称轴为直线当时，抛物线对称轴为直线，把代入，得，∵∴当，时，y有最小值，最小值为．故A正确，B错误；当时，抛物线对称轴为直线，把代入，得，∵∴当，时，y有最小值，最小值为，故C、D错误，故选：A．【点睛】本题考查抛物线的最值，抛物线对称轴．利用抛物线的对称性求出抛物线对称轴是解题的关键．9．（2023·浙江杭州·校联考二模）已知a＜0，，是方程的两个根，且，，是抛物线与x轴的两个交点横坐标，且，则，，，的大小关系为（）A． B．C． D．【答案】C【分析】由，是方程的两个根，且，可得的图象如图示，且，对称轴为直线，而的形状与的形状相同，开口方向一致，与轴交于同一点，且对称轴为直线，结合，则，从水平方向看的图象是的图象先向左平移得到的；可得的图象如图示；再结合图象可得答案．【详解】解：∵，是方程的两个根，且，∴的图象如图示，且，对称轴为直线，

而的形状与的形状相同，开口方向一致，与轴交于同一点，且对称轴为直线，∵，则，则，∴从水平方向看的图象是的图象先向左平移；∴的图象如图示；∴，故选C【点睛】本题考查的是二次函数的图象的平移，二次函数的性质，熟练的利用数形结合的方法解题是关键．10．（2023·浙江杭州·杭州市十三中教育集团（总校）校考三模）已知二次函数和，令，则下列说法正确的是（）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则【答案】D【分析】根据题意画出两个函数图象，然后结合函数图象及绝对值的意义依次判断即可．【详解】解：∵，∴对称轴为，∵∴相当于将向右平移1个单位长度，对称轴为，如图所示：当时，，即当点横坐标到的距离大于时，由图得即或时，当时，；当时，；故A、B选项错误，不符合题意；当时，即当点横坐标到的距离小于等于时，由图得即时，由图得：当时，为负数，且二者之间距离最大，∴，，∴，当时，为正数，且二者之间距离最大，∴，，∴，∴时，，故选：D．

【点睛】题目主要考查二次函数的基本性质，绝对值的意义，理解题意，采用数形结合思想求解是解题关键．11．（2023·浙江杭州·杭州市公益中学校考三模）设函数，，直线的图象与函数，的图象分别交于点，，得（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．着，则【答案】C【分析】根据题意分别画出，的图象，继而根据图象即可求解．【详解】解：如图所示，若，则，故A选项错误；如图所示，若，则或，故B选项错误；如图所示，若，则，故C选项正确，D选项错误；故选：C．【点睛】本题考查了二次函数图象的性质，理解题意，画出图象，数形结合是解题的关键．12．（2023·浙江杭州·校考二模）已知点，在二次函数的图象上，点是函数图象的顶点.（

）A．当＞时，的取值范围时＜＜B．当＞时，的取值范围是＞C．当＞时，的取值范围是＜D．当＞时，的取值范围是＜【答案】D【分析】通过已知条件判断出函数有最大值和最小值两种情况，即开口有上下两种情况，然后根据两点与对称轴有同侧和异侧两种情况分类讨论选项中的关系是否成立．【详解】解：A选项时，函数有最小值，图象开口向上，若已知两点在对称轴同侧时，如图，关系不成立；B选项时，函数有最小值，图象开口向上，若已知两点在对称轴异侧时，如图，＞关系不成立；C选项时，函数有最大值，图象开口向下，若已知两点在对称轴异侧时，如图，＜关系不成立；D选项时，函数有最大值，图象开口向下，如图，两点不论在对称轴的同侧还是异侧都成立．故选：D．【点睛】本题考查了抛物线的性质和分类讨论的数学思想，关键在于对对称轴与已知两点的位置进行分类讨论，较好的考查了数学分析能力．13．（2023·浙江杭州·统考二模）点在二次函数的图象上，针对n的不同取值，存在点P的个数不同，甲乙两位同学分别得到如下结论：甲：若P的个数为1，则；乙：若P的个数为2，则则下列判断中正确的是（）A．甲正确，乙正确 B．甲正确，乙错误C．甲错误，乙正确 D．甲错误，乙错误【答案】B【分析】根据抛物线的对称性可知，当是顶点的纵坐标时，P的个数为1，当不是顶点纵坐标时，P的个数为2，即可得出结论．【详解】解：∵，∴抛物线的顶点坐标为：，∵点在二次函数的图象上，∴当时，点为抛物线的顶点，只有1个，当时，根据抛物线的对称性，点P的个数为2；∴甲正确，乙错误；故选B．【点睛】本题考查二次函数的图象和性质．熟练掌握抛物线的对称性，是解题的关键．14．（2023·浙江杭州·统考二模）已知二次函数，，（a，b为常数，且），则下列判断正确的是（

）A．若，当时，则 B．若，当时，则C．若，当时，则 D．若，当时，则【答案】B【分析】先计算，再根据各选项给定的条件逐一分析即可得到答案．【详解】解：∵，，∴，，，∴，∴；∴；故A不符合题意；∵，，∴，，，∴；∴；故B符合题意；∵，，∴，，，∴；∴；故C不符合题意；∵，，∴，，，∴可以比0大，也可以比0小；∴，的大小不确定；故D不符合题意；故选B【点睛】本题考查的是二次函数的函数值的大小比较，因式分解的应用，熟练的利用作差的方法比较大小是解本题的关键．15．（2023·浙江杭州·杭州市公益中学校考二模）已知二次函数（为常数）经过点，一元二次方程的两个解为，，当时，则的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】首先根据函数与方程的联系，确定抛物线过点，，然后根据题意求得抛物线的对称轴为直线，进而得到抛物线为，根据抛物线的对称性得出，即可得到，代入得到，根据图象上点的坐标特征即可求得．【详解】解：∵二次函数，一元二次方程的两个解为，，∴抛物线过点，，抛物线经过点，，抛物线的对称轴为直线，，抛物线为，抛物线经过点，，，，，∵，∴，，，，故选：B．【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的图象和性质，以及二次函数与一元二次方程之间的关系，熟知二次函数的对称性是解题的关键．16．（2023·浙江杭州·校考二模）关于一元二次方程，有以下命题：①若，则；②若方程两根为和2，则；③若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根；④若有两个相等的实数根，则无实数根．其中真命题是()A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④【答案】A【分析】①由可知是的解，据此判断即可；②把，代入再消去b即可得到a与c的关系式，从而作出判断；③根据有两个不相等的实根得出从而得出，从而作出判断；④根据有两个相等的实数根得出，从而得到第二个方程，无法判断正负，从而推断④错误．【详解】解：①若则是的解，即方程有实数根，故①正确；②把代入方程得到：（1）把代入方程得到：（2）把（2）式加上（1）式×2得到：

即：故②正确；③方程有两个不相等的实数根，则它的，∴方程必有两个不相等的实根．故③正确；④∵有两个相等的实数根，∴∴对于方程，即来说，由于不知道a的正负，因此无法判断的正负，故④错误．∴正确的有：①②③．故选A．【点睛】本题考查一元二次方程的根的判别式，命题的真假判断，掌握根的判别式与根的情况的关系是解题的关键．17．（2023·浙江杭州·统考一模）已知点、是二次函数图象上的两个点，若当时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】首先根据点A、B是该二次函数图象上的两点且纵坐标相等，可得对称轴为直线，再根据开口向上，时，y随x的增大而减小，可得，据此即可求解．【详解】解：∵点、是二次函数图象上的两个点，∴该二次函数图象的对称轴为直线，且开口向上，∵当时，y随x的增大而减小，∴该二次函数图象的对称轴为直线或在其右侧，，解得，故选：B．【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，得到该二次函数图象的对称轴为直线或在其右侧是解决本题的关键．18．（2023·浙江杭州·统考二模）已知y关于x的二次函数，下列结论中正确的序号是（

）①当时，函数图象的顶点坐标为；②当m≠0时，函数图象总过定点：③当时，函数图象在x轴上截得的线段的长度大于；④若函数图象上任取不同的两点、，则当时，函数在时一定能使成立．A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②④【答案】A【分析】求出当时，二次函数图象的顶点坐标即可判断①；当m≠0时，二次函数，当时，y的值与m无关，求出x的值，即可得到定点，即可判断②；求出，函数图象在x轴上截得的线段的长度大于；即可判断③；当时，抛物线的对称轴为，则抛物线开口向下，当时，只有当对称轴在右侧时，y才随x的增大而减小，即成立，即可判断④．【详解】解：当时，二次函数，此时函数图象的顶点坐标为，故①正确；当m≠0时，二次函数，当时，y的值与m无关，此时，，当时，，当时，，∴函数图象总过定点，：故②正确；当时，，∵，∵，∴，∴当时，∴，∴函数图象在x轴上截得的线段的长度大于；故③正确；函数图象上任取不同的两点、，则当时，抛物线的对称轴为，∴抛物线开口向下，当时，只有当对称轴在右侧时，y才随x的增大而减小，即成立，故④错误，综上可知，正确的是①②③，故选：A【点睛】此题考查了抛物线与x轴的交点，主要考查了函数图象上的点的坐标特征，要求非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等坐标的求法及这些点代表的意义及函数特征．19．（2023·浙江杭州·校联考一模）已知二次函数（，是常数）的图象与轴的交点坐标是，，，当时，，当时，，则（

）（

）A．，至少有一个小于 B．，都小于C．，至少有一个大于 D．，都大于【答案】A【分析】根据题意易得、到和的距离至少有一个小于，进而利用二次函数的性质可进行求解．【详解】解：∵二次函数（，是常数）的图象与轴的交点坐标是，，且，∴，，∴，∴、到和的距离至少有一个小于，不妨设，则有：，即，∴，至少有一个小于；故选A．【点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．20．（2023·浙江杭州·统考一模）已知二次函数（a为不等于零的常数），命题①：点不在该函数图象上；命题②：该函数图象的对称轴在y轴左侧；命题③：该函数图象与y轴的交点位于原点的上方；命题④：该函数有最小值，且最小值不大于零．如果这四个命题中只有一个命题是假命题，则这个假命题是（

）A．命题① B．命题② C．命题③ D．命题④【答案】B【分析】将点代入解析式，即判断①是真命题，进而根据二次函数的性质，开口方向，对称轴，与轴的交点坐标，结合题意分析判断即可求解．【详解】解：∵①将点代入解析式，即∴∴，∵∴原方程无解，∴点不在该函数图象上；故①是真命题；∵∴对称轴为直线∵，而,∴的符号不确定，∵，当，，该函数图象与y轴的交点为，若，则,该函数图象的对称轴在y轴右侧，该函数图象与y轴的交点位于原点的上方，函数有最小值，若，则,该函数图象的对称轴在y轴左侧，该函数图象与y轴的交点位于原点的下方，函数有最大值，若命题②是真命题，则命题③是假命题，命题④也是假命题，∵这四个命题中只有一个命题是假命题，∴命题②是假命题;故选：B．【点睛】本题考查了真假命题的判断，二次函数的性质，熟练掌握掌握二次函数的性质是解题的关键．21．（2023·浙江杭州·统考一模）坐标平面上有一水平线与二次函数的图形，其中为一正数，且与二次函数图象相交于、两点，其位置如图所示．若：：，则的长度为()A．17 B．19 C．21 D．24【答案】C【分析】根据对称轴，结合即可求解．【详解】解：设对称轴与交于点．.，．对称轴，．，：：．：：：：．故选：C．【点睛】本题考查了二次函数关于对称轴对称，结合图形，找到线段的长度是解题的关键．22．（2023·浙江杭州·一模）点，在抛物线上，存在正数，使得且时，都有，则的取值范围是（

）A． B．C．或 D．或【答案】C【分析】根据函数解析式求出对称轴，根据关于抛物线的轴对称性质求出，取值范围，再根据不等关系列不等式求解即可得到答案；【详解】解：由题意可得，抛物线对称轴为直线，根据二次函数对称性可得，当时，当，，即，∵存在正数m，使得且时，都有，∴或，解得：或，故选C．【点睛】本题考查抛物线的轴对称性及对称轴公式，解题的关键是根据抛物线的对称性，利用数形结合思想解题．23．（2023·浙江杭州·统考一模）设二次函数（a，c是常数，），已知函数的图象经过点，，，设方程的正实数根为m，（

）A．若，，则 B．若，，则C．若，，则 D．若，，则【答案】D【分析】根据二次函数的性质可得点关于对称轴的对称点为，点关于对称轴的对称点为，再由二次函数图象与方程的关系可得二次函数的图象与直线的右侧的交点的横坐标为m，再结合图象即可求解．【详解】解：∵二次函数关于y轴对称，∴点关于对称轴的对称点为，点关于对称轴的对称点为，∵方程的正实数根为m，∴二次函数的图象与直线的右侧的交点的横坐标为m，如图，当时，，故A、B选项错误，不符合题意；当，时，，故C选项错误，不符合题意；D选项正确，符合题意；故选：D【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．24．（2023·浙江杭州·统考一模）二次函数与自变量的部分对应值表如下，已知有且仅有一组值错误(其中，，，均为常数)甲同学发现当时，是方程的一个根；乙同学发现当时，则．下列说法正确的是()A．甲对乙错 B．甲错乙对 C．甲乙都错 D．甲乙都对【答案】A【分析】根据表格数据得出与的数据正确，进而得出，对称轴为直线，判断甲正确，假设乙正确，则出现2组数据错误，与题意不符，据此即可求解．【详解】解：根据表格可知，与时的函数值相等，当时，，时，∴由抛物线的对称性可得，对称轴为直线，即∵∴当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大，∴抛物线开口向上，则，∵对称轴为，当时，∴当时，即当时，是方程的一个根；若时，则，则存在2组数据错误，故不符合题意，故甲对乙错，故选：A．【点睛】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．25．（2023·浙江杭州·统考一模）已知抛物线，该抛物线经过平移得到新抛物线，新抛物线与x轴正半轴交于两点，且交点的横坐标在1到2之间，若点，在抛物线的图象上，则的范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】设平移后解析式为，由新抛物线与x轴正半轴交于两点，且交点的横坐标在1到2之间得，由点，在抛物线的图象上可得，，最后表示出的长度求范围即可．【详解】∵抛物线，该抛物线经过平移得到新抛物线，∴平移后解析式为，∵新抛物线与x轴正半轴交于两点，且交点的横坐标在1到2之间，∴，∵点，在抛物线的图象上∴，，∴，∴当时，最小，当或时，最大，∴，故选：C．【点睛】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质和二次函数的平移，表示出是解题的关键．26．（2023·浙江杭州·统考一模）在平面直角坐标系中，已知，设函数的图像与x轴有M个交点，函数的图像与x轴有N个交点，则（

）A．或 B．或 C．或 D．或【答案】C【分析】先根据函数的图像与x轴有M个交点解得，再对a，b分情况讨论，求得答案．【详解】对于函数，当时，函数与x轴两交点为（－a，0）、（－b，0），∵，所以有2个交点，故对于函数①，交点为，此时②，交点为，此时③，交点为，此时综上所述，或故选C．【点睛】本题考查二次函数与坐标轴的交点，解题的关键是分情况讨论a，b．27．（2023·浙江杭州·统考一模）已知二次函数，与的部分对应值为：x…-2-1012…y…-1232？…关于此函数的图象和性质，下列说法正确的是（

）A．当时，函数图象从左到右上升 B．抛物线开口向上C．方程的一个根在与之间 D．当时，【答案】C【分析】根据表格数据知道函数图象关于对称，顶点为，所以图象的开口向下，则可以判断选项A、B、D错误；根据图像与轴的交点，即可判断C选项正确．【详解】和时的函数值相同，都是2，抛物线的对称轴为，抛物线的顶点为，是函数最大值，抛物线的开口向下，故B选项错误；当时，随的增大而减小，即函数图象从左到右下降，故A选项错误；时，，时，，方程的一个根在与之间，故C选项正确；函数图象关于对称，

与的值相等，时，，故D选项错误．故答案选C．【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．二、解答题28．（2023·浙江杭州·校考二模）已知抛物线．(1)若点在抛物线上，求抛物线解析式．(2)若时，随着的增大而减小，求的取值范围．(3)若点，，在抛物线上且，求的取值范围．【答案】(1)或(2)(3)的取值范围是或【分析】（1）代入点即可求解；（2）根据题意得出，解不等式即可；（3）利用二次函数的性质即可得出关于的不等式（组），解不等式（组）即可．【详解】（1）解：∵点在抛物线上，∴，解得或，∴抛物线解析式为或；（2）对于二次函数，∵，∴该函数图像开口向上，∵时，随着的增大而减小，∴，解得；（3）当时，可知点，，从左至右分布，∵，∴，解得；当时，∴，解得，综上所述，的取值范围是或．【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数的解析式、二次函数图像上点的坐标特征、二次函数的性质等知识，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．29．（2023·浙江杭州·校考一模）如图，已知二次函数的图象与x轴交于点，点，与y轴交于点A．(1)求二次函数的表达式；(2)连接、，若点N在线段上运动（不与点B、C重合），过点N作，交于点M，当面积最大时，求N点的坐标；(3)连接，在（2）的结论下，求与的数量关系．

【答案】(1)；(2)当时，即时，的面积最大；(3)．【分析】（1）由点B和点C的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；（2）可设，则可用n表示出的面积，由，可求得，则可用n表示出的面积，再利用二次函数的性质可求得其面积最大时n的值，即可求得N点的坐标；（3）由N点坐标可求得M点为的中点，由直角三角形的性质可得，在和中，可分别求得和的长，可求得与的关系，从而可得到与的数量关系．【详解】（1）解：将点，点的坐标分别代入可得，解得，∴二次函数的表达式为；（2）解：设点的坐标为，则，，∵，，∴，在中，令，可得，∴点，，∴，∵，∴，与在边和边上等高，∴，∴，∵，∴当时，即时，的面积最大；（3）解：当时，N为边中点，∵，∴，∴M为边中点，∴，∵，，∴，∴．【点睛】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、平行线分线段成比例、三角形的面积、二次函数的性质、直角三角形的性质、勾股定理等知识．在（1）中注意待定系数法的应用，在（2）中找到和的面积之间的关系是解题的关键，在（3）中确定出为和的中间“桥梁”是解题的关键．30．（2023·浙江杭州·校联考二模）在平面直角坐标系中，设二次函数(a是常数)．(1)当时，求函数图象的顶点坐标和对称轴．(2)若函数图象经过点，，求证：．(3)已知函数图象经过点，，点，若对于任意的都满足，求a的取值范围．【答案】(1)顶点坐标，对称轴为直线(2)见解析(3)或【分析】（1）当时，，进而可求顶点坐标与对称轴；（2）将，，代入得，，，则，进而结论得证；（3）由题意知，二次函数图象开口向上，对称轴为直线，则在对称轴右侧，由对于任意的都满足，则点A，B，C存在如下情况：情况1，如图1，根据二次函数的图象与性质，以及，列不等式，，求解集即可；情况2，如图2，由二次函数的图象与性质可得，；，分别求解满足要求的解集即可．【详解】（1）解：当时，，∴顶点坐标，对称轴为直线；（2）证明：将，，代入得，，，∴，∴；（3）解：由题意知，二次函数图象开口向上，对称轴为直线，则在对称轴右侧，∵对于任意的都满足，∴点A，B，C存在如下情况：情况1，如图1，

由二次函数的图象与性质可得，解得，，解得，∴；情况2，如图2，

由二次函数的图象与性质可得，解得，又∵，，解得或，∴；综上所述，a的取值范围为或．【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质．解题的关键在于数形结合．31．（2023·浙江杭州·校联考三模）已知二次函数的图象经过点．(1)若该二次函数图象与轴的一个交点是．①求二次函数的表达式：②当时，函数最大值为，最小值为．若，求t的值；(2)对于该二次函数图象上的两点，当时，始终有．求的取值范围．【答案】(1)①；②的值为；(2)或．【分析】（1）①利用待定系数法求二次函数解析式；②利用配方法得到，则抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为，再利用得，所以，根据二次函数的性质，当时，时，函数有最小值，当或时，函数有最大值，即，则，然后解方程即可；（2）先利用二次函数的图象经过点得到，则可求出抛物线的对称轴为直线，根据二次函数的性质，点到对称轴的距离大于或等于点到对称轴的距离，即，解得或，然后利用得到或，从而得到的范围．【详解】（1）解：①把分别代入得，解得，∴抛物线解析式为；②∵，∴抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为，∵，∴，解得，∴，∴当时，时，函数有最小值-4，即N=-4，当或时，函数有最大值，即，∵，∴t2-2t-3-（-4）=3，解得（舍去），，∴的值为；（2）∵二次函数的图象经过点（，∴，解得，∴，抛物线的对称轴为直线，∵在抛物线上，且，∴点到对称轴的距离大于或等于点到对称轴的距离，∴，∴或，∵，∴或，解得或．【点睛】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的最值，一元二次方程和不等式组解法，熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键．32．（2023·浙江杭州·校考三模）已知二次函数和一次函数．(1)若二次函数的图像过点，求二次函数的表达式；(2)若一次函数与二次函数的图像交于x轴上同一点A，且这个点不是原点．①求证：；②若的另一个交点B为二次函数的顶点，求b的值．【答案】(1)(2)①见解析；②【分析】（1）直接利用待定系数法，求出函数解析式即可．（2）①先求出二次函数与轴的交点坐标，进而得到一次函数与二次函数的图像的交点坐标，然后再代入一次函数，即可解答；②先求出二次函数的顶点坐标，然后代入一次函数即可解答．【详解】（1）解：∵二次函数过，∴，解得：∴二次函数的表达式为．（2）①证明：∵当时，解得：，∴二次函数与x轴交于和点，又∵一次函数与二次函数的图像交于x轴上同一点A，且这个点不是原点，∴一次函数过点，∴，∴．②∵，∴，∵两个函数图像的另一个交点为二次函数的顶点，∵二次函数的顶点为，∴过，∴过，∴∵，∴，解得：．∴．【点睛】本题考查二次函数与一次函数的综合应用．熟练掌握二次函数与一次函数的图像和性质是解题的关键．33．（2023·浙江杭州·杭州市丰潭中学校考三模）在平面直角坐标系中，设二次函数（是常数）(1)当时，求函数图象的顶点坐标和对称轴；(2)若函数图象经过点，，求证：；(3)若，，的图象交于点,，，设为图象上一点，求的值．【答案】(1)抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线(2)见详解(3)【分析】（1）由配方法可求出顶点坐标；（2）将已知两点代入求出，，再表示出，由，即可求解；（3）联立，解得：再根据与关于对称轴对称即可得出结果．【详解】（1）解：当时，，抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线；（2）证明：函数图象经过点，，，，，；（3）解：联立，解得：，，故，的图象交于点，，与关于二次函数的对称轴对称，，，．【点睛】本题考查了二次函数的图象与系数的关系、二次函数图象上的点的坐标特点、二次函数的增减性，熟练掌握二次函数图象上的点的坐标特点及二次函数的性质是解题的关键．34．（2023·浙江杭州·校考三模）已知抛物线．(1)当时，求抛物线的对称轴和顶点坐标；(2)若该抛物线上任意两点，都满足：当时，，当时，，试判断点是否在抛物线上；(3)是抛物线上的两点，且总满足，求的最值．【答案】(1)抛物线的对称轴为，其顶点坐标为(2)点不在抛物线上(3)的最大值为5，最小值为3【分析】（1）将代入抛物线解析式，然后化成顶点式，即可获得答案；（2）结合二次函数图像的性质可确定该抛物线的对称轴为，进而求得该抛物线解析式，然后判断点是否在抛物线上即可；（3）结合抛物线解析式可得该抛物线开口向上，其对称轴为，已知点在抛物线对称轴右侧．分两种情况讨论：①当点在对称轴右侧或在对称轴上，且在点的左侧或与点重合时满足条件；②当点在对称轴左侧，且点到抛物线对称轴的距离小于或等于点到对称轴的距离时满足条件．然后列关于的不等式，求解即可．【详解】（1）解：当时，该抛物线解析式为，∴抛物线的对称轴为直线，其顶点坐标为；（2）点不在抛物线上，理由如下：当时，，∴，即，当时，，∴，即，∴该抛物线的对称轴为，此时可有，∴该抛物线解析式为，令，则，∴点不在抛物线上；（3）对于抛物线，∵，∴该抛物线开口向上，其对称轴为直线，∴点在抛物线对称轴右侧，∵，①当点在对称轴右侧或在对称轴上，且在点的左侧或与点重合时满足条件，∴且，解得；②当点在对称轴左侧，且点到抛物线对称轴的距离小于或等于点到对称轴的距离时满足条件，∴且，解得．综上所述，当时，满足，∴的最大值为5，最小值为3．【点睛】本题主要考查了二次函数图像与性质、二次函数图像上点的坐标特征等知识，理解题意，运用数形结合和分类讨论的思想分析问题是解题关键．35．（2023·浙江杭州·校考三模）已知二次函数，当时，时，，(1)求b与c的值．(2)当x取何值时，(3)抛物线上有两点，，当时，直接写出a的取值范围．【答案】(1)，详见解析(2)当或时，，详见解析(3)或，详见解析【分析】(1)由已知得到关于的二元一次方程组，解出b、c即可；(2)由(1)知：二次函数为，根据函数的增减性即可得出x的取值范围；(3)根据二次函数图象的增减性和点离对称轴的距离的关系，分类讨论：两点不在对称轴右侧、两点不在对称轴左侧，两点分别在对称轴两侧，分别得到关于a的不等式组，解不等式组即可得出结论．【详解】（1）由题意得，解得：，即b与c的值分别为；（2）由(1)知：二次函数为，∴二次函数图象的顶点为，开口向上，对称轴是直线，当时，函数有最小值为；当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大，∴当时，，解得：；当时，，解得：，∴当或时，．（3）∵抛物线上有两点，∴由(2)知：当时，函数有最小值为；当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大，∴当时，则，有两点不在对称轴右侧时，；两点不在对称轴左侧时，，有两点分别在对称轴两侧时，，∴由解得：；由解得：，由解得：，而无解，∴综上所述，当时，a的取值范围是或．【点睛】本题考查了二次函数的图象及性质的应用，不等式组的解法等知识点，熟练掌握其性质是解决此题的关键．36．（2023·浙江杭州·统考中考真题）设二次函数，（，是实数）．已知函数值和自变量的部分对应取值如下表所示：…0123……11…(1)若，求二次函数的表达式；(2)在（1）问的条件下，写出一个符合条件的的取值范围，使得随的增大而减小．(3)若在m、n、p这三个实数中，只有一个是正数，求的取值范围．【答案】(1)(2)当时，则时，随的增大而减小；当时，则时，随的增大而减小(3)【分析】（1）用待定系数法求解即可．（2）利用抛物线的对称性质求得抛物线的对称轴为直线；再根据抛物线的增减性求解即可．（3）先把代入，得，从而得，再求出，，，从而得，然后m、n、p这三个实数中，只有一个是正数，得，求解即可．【详解】（1）解：把，代入，得，解得：，∴．（2）解：∵，在图象上，∴抛物线的对称轴为直线，∴当时，则时，随的增大而减小，当时，则时，随的增大而减小．（3）解：把代入，得，∴∴把代入得，，把代入得，，把代入得，，∴，∵m、n、p这三个实数中，只有一个是正数，∴，解得：．【点睛】本题考查用待定系数法求抛物线解析式，抛物线的图象性质，解不等式组，熟练掌握用待定系数法求抛物线解析式和抛物线的图象性质是解析的关键．37．（2023·浙江杭州·校联考二模）已知二次函数（为常数，）．(1)求证：无论取任何实数时，函数与轴总有交点；(2)若为正整数，且函数图象与轴两个交点的横坐标均为整数．①已知，是该函数图象上的两点，且，求实数的取值范围；②将抛物线向右平移个单位，与轴的两个交点分别为，，若，请结合图象直接写出的取值范围．【答案】(1)见解析(2)①实数的取值范围为或；②【分析】（1）根据根的判别式即可得到结论；（2）先根据为正整数，且函数图象与轴两个交点的横坐标均为整数，求出的值，即可得到二次函数的解析式，①令，分别求出与的值，由得到不等式，解不等式即可得到答案；②先求出平移后的抛物线的解析式，再求出平移之后的抛物线与轴的交点，即，分别表示出，，代入求出的范围，从而即可得到答案．【详解】（1）证明：根据题意可得：，无论取任何实数时，函数与轴总有交点；（2）解：当时，，，，即，，函数图象与轴两个交点的横坐标均为整数，，为正整数，，，①

当时，，当时，，，，解得：或，实数的取值范围为：或；②抛物线的解析式为：，抛物线向右平移个单位后的解析式为：，令，则，解得：，，，，，即，，，，，．【点睛】本题主要考查了根据一元二次方程根的情况求参数，二次函数图象的平移，二次函数与轴的交点，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象与性质，采用数形结合的思想解题．38．（2023·浙江杭州·杭州市十三中教育集团（总校）校考三模）在平面直角坐标系中，二次函数图象的表达式为，其中．(1)若此函数图象过点，求这个二次函数的表达式．(2)若、为此二次函数图象上两个不同点，当时，，求a的值．(3)若点在此二次函数图象上，且当时y随x的增大而增大，求t的范围．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）将，代入即可；（2）由可得这两个点关于抛物线的对称轴对称，再利用对称轴公式计算即可；（3）由题意可得，分和分别求解即可．【详解】（1）解：将，代入得：，解得：，∴,∴这个二次函数的表达式为：；（2）∵，∴这两个点关于抛物线的对称轴对称，∴，∴，∴；（3）解：点在二次函数图象上，∴，∵当时y随x的增大而增大，当时，有，∴，∴，当时，不符合题意舍去，∴．【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数表达式，函数图象上点的坐标的特征，二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的各知识点是解决本题的关键．39．（2023·浙江杭州·杭州市公益中学校考三模）已知抛物线，，是实数，与轴交于，两点．(1)若，且，两点的坐标分别为，，求函数的表达式及其图象的顶点坐标；(2)函数的图象与轴只有一个交点，经过点，，求的值；(3)若抛物线过点，，，，求证．【答案】(1)，(2)(3)证明见解析【分析】（1）由“交点式”关系式性质得，、的值为1、，再代入，即可求出关系式，再将对称轴代入即可求出顶点；（2）判断出两点在同一条水平线上，故可求对称轴为，由函数的图象与轴只有一个交点得，与值相等，即是对称轴的值；（3）由题意，分三种情况分类讨论，从而得到两点在对称轴的两侧时，点离轴更近，列出方程求解即可得证．【详解】（1）解：，两点的坐标分别为，，、的值为1、，，，由，把代入关系式得，顶点坐标为；（2）解：，纵坐标相同，对称轴，函数的图象与轴只有一个交点，；（3）证明：由抛物线关系式得对称轴，，抛物线开口向下，①当，两点位于对称轴左侧时，随的值的增大而增大，，不符题意；②当，两点位于对称轴右侧时，随的值的增大而减小，，不受、影响；③当，两点位于对称轴两侧时，由题意得，抛物线上的点离对称轴越近，纵坐标越大，，点离对称轴更近，即，解得，．【点睛】本题考查了二次函数的图象及性质的应用，“交点式”关系式的对称轴的计算及其应用是解题关键．40．（2023·浙江杭州·校考二模）已知关于的二次函数．(1)该函数的图象与轴只有一个交点，求与之间的关系；(2)若，当时，随的增大而增大，求的范围；(3)当，，该图象不经过第三象限，求的取值范围．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）令，求出，，再根据函数的图象与轴只有一个交点，可得关系式；（2）根据，求出函数图像的对称轴，再根据当时，随的增大而增大，结合开口方向，可得不等式，解之可得；（3）求出函数图像与x轴交点，再根据该图象不经过第三象限，分图象与x轴只有一个交点，图象与x轴有两个交点，两种情况，分别讨论即可．【详解】（1）解：令，则，∴，，∵函数的图象与轴只有一个交点，∴；（2）∵，∴，∴二次函数图象的对称轴为直线，∵当时，随的增大而增大，，∴，解得：；（3）∵，，∴，令，∴，，∵该图象不经过第三象限，∴当该图象与x轴只有一个交点时，，解得：；当该图象与x轴有两个交点时，，，即，，解得：，综上：m的取值范围是．【点睛】本题考查了二次函数，涉及了图像与x轴交点问题，二次函数的图象和性质，解题的关键是熟练掌握函数的图像特征以及性质，理解参数的意义和作用，并能将已知条件转化为不等式求解．41．（2023·浙江杭州·统考二模）已知二次函数和一次函数．(1)二次函数的图象过点，求二次函数的表达式；(2)若一次函数与二次函数的图象交于x轴上同一点，且这个点不是原点．①求证：；②若两个函数图象的另一个交点为二次函数的顶点，求m的值．【答案】(1)二次函数的表达式为；(2)①证明见解析，②【分析】（1）待定系数法，求出函数解析式即可．（2）①先求出二次函数与轴的交点坐标，进而得到一次函数与二次函数的图象的交点坐标，代入一次函数，即可得出结论；②求出二次函数的顶点坐标，代入一次函数即可得出结果．【详解】（1）解：∵二次函数过，∴，∴二次函数的表达式为，将点代入，得，∴；∴二次函数的表达式为．（2）①∵当时，解得：，∴二次函数与x轴交于和点，又一次函数与二次函数的图象交于x轴上同一点，且这个点不是原点，∴一次函数过点，∴，∴；②∵，∴，∵两个函数图象的另一个交点为二次函数的顶点，∵二次函数的顶点为，∴过，∴∵，∴，∴．【点睛】本题考查二次函数与一次函数的综合应用．熟练掌握二次函数与一次函数的图象和性质，是解题的关键．42．（2023·浙江杭州·统考二模）在平面直角坐标系中，已知二次函数（b，c是常数）．(1)当，时，求该函数图象的顶点坐标．(2)设该二次函数图象的顶点坐标是，当该函数图象经过点时，求n关于m的函数解析式．(3)已知，当时，该函数有最大值8，求c的值．【答案】(1)(2)(3)2【分析】（1）将二次函数化为顶点式求解即可；（2）根据二次函数的性质和已知条件得到，，，，进而求解即可；（3）当时，二次函数的对称轴为直线，开口向下，分、、三种情况，利用二次函数的性质求解即可．【详解】（1）解：当，时，，∴当，时，该函数图象的顶点坐标为；（2）解：∵该函数图象经过点，∴，则，∵该二次函数图象的顶点坐标是，∴，，∴，，∴，即；（3）解：当时，二次函数的对称轴为直线，开口向下，∵，∴当即时，该函数的最大值为，即，解得，，不合题意，舍去；当即时，时，y随x的增大而减小，∴当时，y有最大值为，不合题意，舍去；当即时，时，y随x的增大而增大，∴当时，y有最大值为，解得，符合题意，综上，满足条件的c的值为2．【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质，利用分类讨论思想求解第（3）问是解答的关键．43．（2023年浙江省杭州市西湖区公益中学校中考二模数学试题）在平面直角坐标系中，当和时，二次函数（，是常数，）的函数值相等．(1)若该函数的最大值为，求函数的表达式，并写出函数图象的顶点坐标；(2)若该函数的图象与轴有且只有一个交点，求，的值．(3)记（2）中的抛物线为，将抛物线向上平移个单位得到抛物线，当时，抛物线的最大值与最小值之差为，求的值．【答案】(1)，；(2)，；(3)．【分析】（1）根据二次函数的性质及对称轴即可解答；（2）根据二次函数与轴的交点个数及二次函数的性质即可解答；（3）根据二次函数的平移规律及二次函数的性质即可解答．【详解】（1）解：∵当和时，二次函数（，是常数，）的函数值相等，∴二次函数的对称轴为，，∵该函数的最大值为，∴该函数的顶点坐标为，∴，∴由①②可得：，∴函数表达式为：；（2）解：∵该函数的图象与轴有且只有一个交点，∴一元二次方程，该函数的顶点坐标为，∴，，∴由①②可得（舍去），，∴，；（3）解：由（2）可得的解析式为：，∵将抛物线向上平移个单位得到抛物线，∴，∴当时，，∵的顶点坐标为，且当时，抛物线的最大值与最小值之差为，∴，随的增大而增大，∴，∴，∴，∴，∵，∴．【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数的顶点坐标，二次函数的最值，二次函数与轴的交点坐标，掌握二次函数的性质是解题的关键．44．（2023·浙江杭州·校考二模）设二次函数（是常数，）(1)若，求该函数图象的顶点坐标.(2)若该二次函数图象经过，，三个点中的一个点，求该二次函数的表达式.(3)若二次函数图象经过，两点，当，时，，求证：【答案】(1)(2)(3)见解析【分析】（1）当时，二次函数，即可求出顶点坐标；（2）先判断抛物线过点，代入解析式即可求得，从而求得抛物线的解析式；（3）分和两种情况，根据二次函数的增减性和已知条件列出的不等式便可求得结果．【详解】（1）当时，二次函数顶点坐标为；（2）当时，，因此不过点，当时，，因此不过点，故抛物线过点，代入得，，，抛物线的关系式为；（3）二次函数是常数，的图象与轴交于点，，，函数图象的对称轴为直线，当时，函数图象开口向上，当，时，，，，解得，舍去；当时，函数图象开口向下，时，，，，，，，故．【点睛】本题是二次函数的综合题，主要考查了二次函数的图象与性质，函数图象上点的坐标特征，待定系数法，关键是根据题意正确列出的不等式．45．（2023·浙江杭州·统考二模）二次函数（a，b为常数，）的图像经过点．(1)求该二次函数图像的对称轴（结果用含a的代数式示）(2)若该函数图像经过点；①求函数的表达式，并求该函数的最值．②设是该二次函数图像上两点，其中是实数．若，求证：【答案】(1)(2)①，最大值为3；②见解析【分析】（1）首先将点代入表达式，然后利用对称轴公式求解即可；（2）①将点代入求出函数的表达式，然后转化成顶点式即可求出该函数的最值；②首先根据得到，然后表示出利用二次函数的性质求解即可．【详解】（1）将点代入得，，∴，∴二次函数，∴对称轴为；（2）①将代入得，，∴解得，∴二次函数，∴，∵，∴抛物线开口向下，∴该函数的最大值为3；②∵∴，∴∵，∴的最大值为，∴．【点睛】本题考查了根据对称性求对称轴，待定系数法求二次函数解析式，掌握二次函数图象的性质是解题的关键．46．（2023·浙江杭州·统考二模）已知函数（m，n，k为常数且）．(1)若的图象经过点，求该函数的表达式．(2)若函数的图象始终经过同一定点M．①求点M的坐标和k的值．②若，当时，总有，求的取值范围．【答案】(1)(2)①，；②【分析】（1）利用待定系数法求解即可；（2）①先求出函数经过定点，则，且在函数的图象上，由此把代入解析式中求出k的值即可；②先求出抛物线的对称轴在定点的左侧，再结合函数图象可知当时，一次函数的函数值要大于等于二次函数的函数值，由此建立不等式求解即可．【详解】（1）解：把代入中得：，解得，∴；（2）解：①在中，当时，，∴函数经过定点，∵函数的图象始终经过同一定点M，∴，且在函数的图象上，∴，∴；②∵，抛物线的对称轴为直线，∴抛物线的对称轴在定点的左侧，由①得，∵，当时，总有，∴如图所示，当时，一次函数的函数值要大于等于二次函数的函数值∴

∴，∴．【点睛】本题主要考查了求二次函数解析式，二次函数的性质，二次函数与不等式，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．47．（2023·浙江杭州·校联考一模）已知二次函数.(1)求该二次函数图象与x轴的交点坐标；(2)若m＜0，当1≤x≤4时，y的最大值是2，求当1≤x≤4时，y的最小值；(3)已知P（2，），Q（4，）为平面直角坐标系中两点，当抛物线与线段PQ有公共点时，请求出m的取值范围.【答案】(1)（3,0）（1,0）；(2)-6；(3)m≥或m≤.【分析】（1）令y=0，解方程即可得出结论；（2）构建方程求出m的值即可解决问题；（3）分两种情况讨论：①当m＞0时，②当m＜0时．【详解】（1）设y=0，则mx2-4mx+3m=0，∴m（x2-4x+3）=0．∵m≠0，∴x2-4x+3=0，解得：x1=3，x2=1，∴该抛物线与x轴交点坐标为（3，0）或（1，0）．（2）∵该二次函数的图象开口向下，且对称轴为直线x＝2，∴当x＝2时，y取到在1≤x≤4上的最大值为2，∴4m﹣8m+3m＝2，∴m＝﹣2，y＝﹣2x2+8x﹣6．∵当1≤x≤2时，y随x的增大而增大，∴当x＝1时，y取到在1≤x≤2上的最小值0．∵当2≤x≤4时，y随x的增大而减小，∴当x＝4时，y取到在2≤x≤4上的最小值﹣6，∴当1≤x≤4时，y的最小值为﹣6．（3）当x=2时，y=4m-8m+3m=-m；当x=4时，y=16m-16m+3m=3m．①当m＞0时，依题意可得：，解得：，∴；②当m＜0时，依题意可得：，解得：，∴．综上所述：或．【点睛】本题是二次函数综合题．考查了二次函数的性质，函数的最值问题等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．48．（2023·浙江杭州·统考一模）已知二次函数．(1)若，试求该二次函数图象与轴的交点坐标．(2)若该二次函数图象的顶点坐标为，求证：．(3)若，且当自变量x满足时，，求m的值．【答案】(1)(2)见解析(3)【分析】（1）将代入，令，解一元二次方程即可求解；（2）根据顶点坐标公式，得出，，即可得证；（3）①当时，最小值为，不合题意，②当，最小值为时，，根据题意得出，进而将点代入得，，解方程即可求解．【详解】（1）解：将代入即，当时，解得：∴该二次函数图象与轴的交点坐标为（2）解：∵图象的顶点坐标为，∴，∴（3）解：∵，则对称轴为直线，自变量x满足时，，，当时，，在对称轴左侧，随的增大而增大，①当时，最小值为，不合题意，②当，最小值为时，，最大值为时，，∴，∴抛物线解析式为：，将点代入得，，解得：，∵，即，∴．【点睛】本题考查了求抛物线与轴的交点，二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．49．（2023·浙江杭州·统考一模）二次函数的图象与y轴的交点为．(1)求a的值．(2)求二次函数在x轴上截得的线段长的值．(3)对于任意实数k，规定：当时，关于x的函数的最小值记作：，求的解析式．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）把代入解析式即可；（2）根据（1）求出的解析式，令，解方程求出和，然后求出即可；（3）先求出的解析式，再根据的对称轴，然后分，，三种情况讨论即可．【详解】（1）解：∵二次函数的图象与y轴的交点为，∴，解得，∴a的值为；（2）解：由（1）知，，∴，令，则，解得，，∴，∴二次函数在x轴上截得的线段长的值为；（3）解：∵，∴，∴对称轴为，当即时，当时，有最小值，∴；当时，即，当时，有最小值，∴；当即时，当时，有最小值，∴，综上所述，的解析式为：．【点睛】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质，利用分类讨论思想是解题的关键．50．（2023·浙江杭州·一模）已知二次函数，(1)若，求函数的对称轴和顶点坐标．(2)若函数图象向下平移一个单位，恰好与x轴只有一个交点，求a的值．(3)若抛物线过点，且对于抛物线上任意一点都有，若点是这条抛物线上不同的两点，求证：．【答案】(1)，(2)(3)见详解【分析】（1）将带入二次函数，再将二次函数化为顶点式即可得到答案；（2）根据二次函数平移的性质得到平移后的函数，再根据新函数与x轴只有一个交点建立方程，解方程即可得到答案；（3）由题意可得为抛物线顶点，从而得到抛物线的对称轴为，从而计算出a的值，再将带入如抛物线的解析式得到，即可得到答案．【详解】（1）解：∵，∴，∴，∴，∴函数的对称轴和顶点坐标分别为：直线，；（2）解：函数图象向下平移一个单位得，∴与x轴只有一个交点，∴，解方程得：；（3）解：∵抛物线过点，且对于抛物线上任意一点都有，∴为抛物线的顶点，∴抛物线的对称轴为，∴，∴，∴抛物线为：，∵在抛物线上，∴，，∴，∴，∵是这条抛物线上不同的两点，∴，∴∴．【点睛】本题考查二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握二次函数顶点式以及二次根式的性质．51．（2023·浙江杭州·统考一模）在直角坐标系中，设函数（a，b，c是常数，）．(1)当时，①若该函数图象的对称轴为直线，且过点，求该函数的表达式；②若该函数的图象与x轴有且只有一个交点，求证：；(2)已知该函数的图象经过点，．若，，求a的取值范围．【答案】(1)①；②见解析(2)【分析】（1）①根据二次函数的对称轴公式即可求出b的值，再将代入该二次函数的解析式即可求出c的值，即得出该函数的表达式；②根据该函数的图象与x轴有且只有一个交点，即说明其相关一元二次方程有且只有一个实数解，再利用其根的判别式即得出，整理为，进而可求出，再配方，结合二次函数的性质即可求解；（2）将，代入该二次函数解析式，得，，两式相减并整理得．结合题意可求出，根据，说明，即．最后利用，求出a的取值范围即可．【详解】（1）解：①∵，∴该函数解析式为．∵该函数图象的对称轴为直线，∴，解得：．∵该函数图象过点，∴，解得：，∴该函数解析式为；②∵该函数解析式为，且其图象与x轴有且只有一个交点，∴方程有且只有一个实数解，∴，整理，得：，即，∴．∵，∴；（2）解：∵该函数的图象经过点，，∴，，∴，整理，得：，∴．∵，∴．又∵，∴，即．∵，∴，解得：．【点睛】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数图象与x轴的交点问题，整式的加减，分解因式等知识．掌握二次函数图象上的点满足其解析式是解题关键．52．（2023·浙江杭州·统考一模）已知关于x的二次函数（m，n为常数）．(1)若二次函数图象经过两点，求二次函数的表达式；(2)若，试说明该函数图象与x轴必有两个不同的交点；(3)若时，函数的最大值为p，最小值为q，且，求k的值．【答案】(1)(2)见解析(3)k的值为或3【分析】（1）利用待定系数法求解析式；（2）由得，代入得函数解析式为，求出判别式即可判断；（3）确定抛物线的对称轴为直线，开口向下，最大值为，再分两种情况当时，当时，求出k的值．【详解】（1）将代入，得，解得，∴次函数的表达式是；（2）∵，∴，∴函数解析式为，∵，∴，即，∴该函数图象与x轴必有两个不同的交点；（3）∵，∴抛物线的对称轴为直线，开口向下，最大值为，∴当时，当时有最大值，即；当时有最小值，，∵，∴，解得；当时，当时有最大值，即；当时有最小值，，∵，∴，解得或（舍去）综上，k的值为或3．【点睛】此题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图象与x轴交点问题，二次函数的最值问题，正确掌握二次函数的知识是解题的关键．53．（2023·浙江杭州·统考一模）二次函数与x轴交于两点．(1)当时，求m的值．(2)当时，①求证：．②点在该抛物线上，且，试比较与的大小．【答案】(1)；(2)①见解析；（2）【分析】（1）当时，，把代入求得，得到，把代入得，，解方程即可得到答案；（2）①把代入得，，由得到，进一步得，则，由解方程求出m，即可判断．②由①得，，则，把代入得，，则，由，得到,，进一步即可得到答案．【详解】（1）解：当时，，把代入得，，解得，∴，把代入得，，解得或；∵二次函数与x轴交于两点，∴；（2）①把代入得，，，∵，∴，，由得到，则，∴，∴（舍去），，∵∴．②由①得，，∴，把代入得，，，∴，∵，∴,∵∴，∴，∴，∴．【点睛】此题考查了二次函数的性质、解一元二次方程、比较函数值大小等知识，读懂题意并准确计算是解题的关键．54．（2023·浙江杭州·统考一模）汽车刹车后，车速慢慢变小至停止，这个速度变化的快慢称为加速度（加速度是指在某段时间内速度的变化与这段时间的比值：）．已知汽车刹车后向前滑行的距离与时间的函数关系如下：（表示刹车开始时的速度，表示加速度）．现有一辆汽车沿平直公路行驶，速度为，刹车后加速度为．问：(1)刹车后2秒时，该汽车的速度为多少？(2)从开始刹车至停止，该汽车滑行了多少时间？滑行的距离是多少？【答案】(1)(2)，【分析】（1）由得，将，，代入计算即可；（2）由得，当汽车停止时，，从而计算出汽车滑行的时间，再根据滑行的距离求解即可．【详解】（1）解：，，将，，代入，得：，答：刹车后2秒时，该汽车的速度为．（2）解：，，当汽车停止时，，从开始刹车至停止，该汽车滑行时间：，该汽车滑行的距离：，答：从开始刹车至停止，该汽车滑行了，滑行的距离是．【点睛】本题考查了根据公式进行计算，理解公式并代入相关数据进行计算即可，但因是高中物理内容，对初中学生来说有一定难度．55．（2023·浙江杭州·统考一模）设二次函数（b，c是常数）的图像与x轴交于A，B两点．(1)若A，B两点的坐标分别为(1，0)，(2，0)，求函数的表达式及其图像的对称轴．(2)若函数的表达式可以写成（h是常数）的形式，求的最小值．(3)设一次函数（m是常数）．若函数的表达式还可以写成的形式，当函数的图像经过点时，求的值．【答案】(1)，(2)(3)或【分析】（1）利用待定系数法计算即可．（2）根据等式的性质，构造以b+c为函数的二次函数，求函数最值即可．（3）先构造y的函数，把点代入解析式，转化为的一元二次方程，解方程变形即可．【详解】（1）由题意，二次函数（b，c是常数）经过(1，0)，(2，0)，∴，解得，∴抛物线的解析式．∴图像的对称轴是直线．（2）由题意，得，∵，∴b=-4h，c=∴，∴当时，的最小值是．（3）由题意，得因为函数y的图像经过点，所以，所以，或．【点睛】本题考查了二次函数的待定系数法，二次函数的最值，对称性，熟练掌握二次函数的最值，对称性是解题的关键．56．（2023·浙江杭州·统考一模）已知二次函数y＝ax²＋bx－4(a，b是常数.且a0)的图象过点(3，－1).(1)试判断点(2，2－2a)是否也在该函数的图象上，并说明理由.(2)若该二次函数的图象与x轴只有一个交点，求该函数表达式.(3)已知二次函数的图像过(，)和(，)两点，且当＜时，始终都有＞，求a的取值范围.【答案】（1）不在；（2）；；（3）【分析】（1）将点代入函数解析式，求出a和b的等式，将函数解析式改写成只含有a的形式，再将点代入验证即可；（2）令，得到一个一元二次方程，由题意此方程只有一个实数根，由根的判别式即可求出a的值，从而可得函数表达式；（3）根据函数解析式求出其对称轴，再根据函数图象的增减性判断即可.【详解】（1）二次函数图像过点代入得，，代入得将代入得，得，不成立，所以点不在该函数图像上；（2）由（1）知，与x轴只有一个交点只有一个实数根，或当时，，所以表达式为：当时，，所以表达式为：；（3）对称轴为当时，函数图象如下：若要满足时，恒大于，则、均在对称轴左侧，当时，函数图象如下：，此时，必小于综上，所求的a的取值范围是：.【点睛】本题考查了二次函数图象的性质（与x的交点问题、对称轴、增减性），熟记性质是解题关键.57．（2023·浙江杭州·模拟预测）如图1，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，过点C作轴，与抛物线交于另一点D，直线与相交于点M．(1)已知点C的坐标是，点B的坐标是，求此抛物线的解析式；(2)若，求证：；(3)如图2，设第（1）题中抛物线的对称轴与x轴交于点G，点P是抛物线上在对称轴右侧部分的一点，点P的横坐标为t，点Q是直线上一点，是否存在这样的点P，使得是以点G为直角顶点的直角三角形，且满足，若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)(2)证明见解析(3)或【分析】（1）利用待定系数法求解即可；（2）先求出当时，抛物线的解析式为，由此求出，再求出，求出直线的解析式为，设直线与y轴交于点E，则，得到，则，同理得，从而得到，即可证明；（3）如图所示，连接，求出抛物线对称轴为直线，则，推出，求出直线的解析式为，设，然后分当点Q在点P下方时，如图3-1所示，过点Q、P分别作x轴的垂线，垂足分别为M、N，证明，得到，解方程即可；当点Q在点P上方时，如图3-2所示，过点G作轴，过点P、Q分别作直线的垂线，垂足分别为N、M，同理可得，解方程即可．【详解】（1）解：把，代入得：，∴，∴抛物线解析式为；（2）解：∵，∴抛物线解析式为，令，则，解得或，∴，∴抛物线对称轴为直线，∵轴，∴，设直线的解析式为，∴，解得，∴直线的解析式为，设直线与y轴交于点E，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴；（3）解：如图所示，连接，∵抛物线解析式为，∴抛物线对称轴为直线，∴，∴，∴；∵，∴，设直线的解析式为，∴，∴，∴直线的解析式为，设，当点Q在点P下方时，如图3-1所示，过点Q、P分别作x轴