小升初典型奥数：比例问题（讲义）-2023-2024学年六年级下册数学北师大版

比例问题比例问题【知识精讲+典型例题+高频真题+答案解析】编者的话：同学们，恭喜你已经开启了奥数思维拓展的求知之旅，相信你已经正确规划了自己的学习任务，本套资料为小升初思维拓展、分班考、择校考而设计，针对小升初的高频知识点进行全面精讲，易错点逐个分解，强化练习高频易错真题，答案解析非常通俗易懂，可助你轻松掌握、理解、运用该知识点解决问题！2024年10月编者的话：同学们，恭喜你已经开启了奥数思维拓展的求知之旅，相信你已经正确规划了自己的学习任务，本套资料为小升初思维拓展、分班考、择校考而设计，针对小升初的高频知识点进行全面精讲，易错点逐个分解，强化练习高频易错真题，答案解析非常通俗易懂，可助你轻松掌握、理解、运用该知识点解决问题！2024年10月目录导航资料说明第一部分：知识精讲：把握知识要点，掌握方法技巧，理解数学本质，提升数学思维。第二部分：典型例题：选题典型、高频易错、考试母题，具有理解一题，掌握一类的优势。第三部分：高频真题：精选近两年统考真题，助您学习有方向，做好题，达到事半功倍的效果。第四部分：答案解析：重点、难点题精细化解析，犹如名师讲解，可以轻松理解。第一部分第一部分知识精讲知识清单方法技巧知识清单方法技巧一．比的应用【知识点归纳】1．按比例分配问题的解题方法：（1）把比看作分得的份数，用先求出每一份的方法来解答．解题步骤：a．求出总份数；b．求出每一份是多少；c．求出各部分相应的具体数量．（2）转化成份数乘法来解答．解题步骤：a．先根据比求出总份数；b．再求出各部分量占总量的几分之几；c．求出各部分的数量．2．按比例分配问题常用解题方法的应用：（1）已知一个数量的各部分的比和其中某一部分的量，求另外几个部分量；（2）已知两个量或几个量的比和其中两个量的差，求总量．二．正、反比例【知识点归纳】1．正比例的意义：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系．如果用字母x和y表示这两种相关联的量，用k表示它们的比值一定，正比例关系可以用式子表示为：y＝kx．2．反比例的意义：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系．如果用字母x和y表示这两种相关联的量，用k表示它们的乘积一定，反比例的关系可以表示为：xy＝k．三．按比例分配【知识点归纳】1．按比例分配定义：在工农业生产和日常生活中，常常需要把一个数量按照一定的比来进行分配．这种分配方法通常叫做按比例分配．2．解题方法：（1）求总份数（2）想各部分占总数量的几分之几（3）用分数乘法求出各部分是多少．四．按比例分配应用题把一个数按一定的比（或连比）分成若干部分，叫做按比例分配．解答这类题的方法是：把一个总数A分成几部分，使顺次与几个已知数的连比成正比例关系，只要求出总份数，然后，把A分别乘以各部分量所占总量的几分之几，或者求出总份数后，再求平均每份是多少，然后，按照各个量所占的份数，求出几份是多少．第二部分第二部分典型例题例题1：、、三个水桶的总容积是公升，如果、两桶装满水，桶是空的；若将桶水的全部和桶水的，或将桶水的全部和桶水的倒入桶，桶都恰好装满。求、、三个水桶容积各是多少公升？【答案】480公升；400公升；560公升【分析】根据题意可知，桶水的全部加上桶水的等于桶水的全部加上桶水的，所以桶水的等于桶水的，那么桶水的全部等于桶水的，桶水为桶水的。据此确定三个水桶容积之比，根据按比例分配问题的解题方法进行计算。【详解】、、三个水桶的容积之比是。桶的容积：（公升）桶的容积：（公升）桶的容积：（公升）答：A桶容积是480公升，B桶容积是400公升，C桶容积是560公升。【点睛】关键是确定三个水桶容积之比，掌握按比例分配应用题的解题方法。例题2：小张、小李和小王于某日上午分别步行、骑自行车和开汽车从A地出发沿公路向B地匀速前进．已知小李比小张晚1小时出发，小王比小李晚45分钟出发．他们三人恰在中途某地相遇．若小李比小张早到达B地24分钟，则小王比小张早多少分钟．【答案】42分钟【详解】解法一：由题目可知小张、小李、小王都是以匀速前进，且无论相遇点之前和相遇点之后总行程都相等，所以我们应当使用“路程相同，速度比等于时间的反比”这条比例关系来解答本题．首先，小张和小李的相遇前后的两个追及，相遇前的追及路程为小张行走一小时的路程，相遇后的追及路程为小张行走24分钟的路程，所以追及路程比为60：24=5：2，两人速度都不变，所以速度差也不变，所以追及时间比为5：2，所以小李前后行走的时间比也是5：2，即前后两段路程比为5：2．其次，小王和小张的前后两个追及问题：由于前后路程比为5：2，所以小王的行走时间比为5：2，也即是追及时间比为5：2，速度都不变，所以追及路程比为5：2，而前段追及路程是小张行走60+45=105分钟的路程，所以后段追及路程是小张行走105÷5×2=42（分钟）所行走的路程，即小王比小张早42分钟到达．解法二：运用折线示意图，结合基本几何知识，整个行程过程和其中的数量关系即可一目了然，即：，解得，t=42．例题3：A、B两地间有一座桥，甲、乙两人分别从A、B两地同时出发，3小时后在桥上相遇．如果甲加快速度，每小时多行2千米，而乙提前0.5小时出发，则仍旧在桥上相遇．如果甲延迟0.5小时出发，乙每小时少走2千米，还会在桥上相遇，则A、B两地相距多少千米？【答案】72千米【详解】三种方式相遇所行的路程都相等，典型的由时间比化速度比的题目，求出了速度再求总路程就简单了．因为每次相遇的地点都在桥上，所以在这三种情况中，甲每次走的路程都是一样的，同样乙每次走的路程也是一样的．在第二种情况中，乙速度不变，所以乙到桥上的时间还是3小时，他提前了0.5小时，那么甲到桥上的时间是3-0.5＝2.5（小时），两次相遇时间比为3：2.5，路程一样，所以甲的速度成反比为2.5：3=5：6，又速度增加2千米每小时，所以甲原速为2÷（6－5）×5=10（千米/小时）．在第三种情况中，甲速度不变，所以甲到桥上的时间还是3小时，他延迟了0.5小时，那么乙到桥上的时间是3＋0.5＝3.5（小时），与第一种情况相比较，两种相遇时间比为3：3.5，路程一样，所以乙的速度成反比为3.5：3=7：6，又速度减少2千米每小时，所以乙原速为2÷（7－6）×7=14（千米/小时）．这样就可以求出A、B两地的距离为（10＋14）×3＝72（千米）．第三部分第三部分高频真题1．分子、分母之和为23，分母增加19以后，得到一个新的分数，把这个分数化为最简分数是，原来的分数是几分之几？2．两个连队同时分别从一个营地出发前往一个目的地进行演习，A连有卡车可以装载正好一个连的人员，为了让两个连队的士兵同时到达目的地，A连士兵坐车出发一定时间后下车让卡车回去接B连的士兵，两营的士兵恰好同时到达目的地，已知营地与目的地之间的距离为32千米，士兵行军速度为8千米/小时，卡车行驶速度为40千米每小时，求两营士兵到达目的地一共要多少时间？3．甲、乙二人步行远足旅游，甲出发后1小时，乙从同地同路同向出发，步行2小时到达甲于45分钟前曾到过的地方。此后乙每小时多行500米，经过3小时追上速度保持不变的甲。甲每小时行多少米？4．高中学生的人数是初中学生人数的，高中毕业生的人数是初中毕业生人数的，高、初中毕业生毕业后，高、初中留下的人数都是520人．问高、初中毕业生共有多少人？5．在地铁车站中，从站台到地面有一架向上的自动扶梯．小强乘坐扶梯时，如果每秒向上迈一级台阶，那么他走过20级台阶后到达地面；如果每秒向上迈两级台阶，那么走过30级台阶到达地面．从站台到地面有多少级台阶？．6．甲、乙两人在10年前的年龄比为2:3，现在他俩的年龄比为3:4，那么10年后他俩的年龄比为多少？7．甲本月收入的钱数是乙收入的，甲本月支出的钱数是乙支出的，甲节余240元，乙节余480元．甲本月收入多少元？8．一架飞机从甲城飞往乙城，每小时飞行800千米．返回时，每小时飞行速度减慢到700千米，比去时多用了0.3小时．甲、乙两城相距多少千米？9．两个长方形，他们的面积的比是8：7，长的比是4：5，那么宽的比是多少？10．A、B两地相距24千米，甲和乙两人分别由A、B两地同时相向而行，往返一次，甲比乙早返回原地．途中两人第一次相遇于C点，第二次相遇于点D．CD相距6千米，则甲、乙两人的速度比是为多少？11．超市商店运来264台冰箱，在两天时间里全部卖完，已知第一天卖出的与第二天卖出的相等，求这两天分别卖出多少台冰箱？12．甲、乙两人分别从A、B两地相向而行，甲行了全程的，正好与乙相遇，已知甲每小时行4.5千米，乙行完全程要5.5小时，求A、B两地相距多少千米？13．某次数学竞赛设一、二、三等奖。已知：①甲、乙两校获一等奖的人数相等；②甲校获一等奖的人数占该校获奖总人数的百分数与乙校相应的百分数的比为；③甲、乙两校获二等奖的人数总和占两校获奖人数总和的；④甲校获三等奖的人数占该校获奖人数的；⑤甲校获二等奖的人数是乙校获二等奖人数的倍。那么，乙校获一等奖的人数占该校获奖总人数的百分数等于多少？14．学校四五六年级共有615名学生，已知六年级学生的，等于五年级学生的，等于四年级学生的．这三个年级各有多少名学生？15．甲、乙、丙三人进行200米赛跑，当甲到终点时，乙离终点还有40米，丙离终点还有50米，如果甲、乙、丙赛跑的速度都不变，那么当乙到达终点时，丙离终点还有多少米？16．一个爱斯基摩人乘坐套有只狗的雪橇赶往朋友家，在途中第一天，雪橇以爱斯基摩人规定的速度全速行驶，一天后，有只狗扯断了缰绳和狼群一起逃走了，于是剩下的路程爱斯基摩人只好用只狗拖着雪橇，前进的速度是原来的，这使他到达目的地的时间比预计的时间迟到了天．事后，爱斯基摩人说：“逃跑的狗如果能再拖雪橇走千米，那我就能比预计时间只迟到一天．”请问，爱斯基摩人总共走了多少千米路程？17．有10根大小相同的进水管给、两个水池注水，原计划用4根进水管给水池注水，其余6根给水池注水，那么5小时可同时注满。因为发现水池以一定的速度漏水，所以改为各用5根进水管给水池注水，结果也是同时注满。（1）如果用10根进水管给漏水的水池注水，需要多少分钟注满？（2）如果增加4根同样的进水管，水池仍然漏水，并且要求在注水过程中每个水池的进水管的数量保持不变，那么要把两个水池注满最少需要多少分钟？（结果四舍五入到个位）18．有一个长方体，长与宽的比是，宽与高的比是。已知这个长方体的全部棱长之和是厘米，求这个长方体的体积。19．某工地用种型号的卡车运送土方．已知甲、乙、丙三种卡车载重量之比为，速度比为，运送土方的路程之比为，三种车的辆数之比为。工程开始时，乙、丙两种车全部投入运输，但甲种车只有一半投入，直到天后，另一半甲种车才投入工作，一共干了天完成任务。那么，甲种车完成的工作量与总工作量之比是多少？20．有若干个突击队参加某工地会战，已知每个突击队人数相同，而且每个队的女队员的人数是该队的男队员的，以后上级从第一突击队调走了该队的一半队员，而且全是男队员，于是工地上的全体女队员的人数是剩下的全体男队员的，问开始共有多少支突击队参加会战？21．某商场有一部自动扶梯匀速由下而上运动，甲乙二人都急于上楼办事,因此在扶梯的同时匀速登梯,甲登了55级后到达楼上，乙登梯速度是甲的2倍(单位时间乙登梯级数是甲的2倍)，他登了60级后到达楼上，求自动扶梯的级数？22．航模一班和航模二班的人数比为8∶7，如果将航模一班的8名同学调到航模二班去，那么航模一班与航模二班人数比为4∶5，原来这两班各有多少人？23．甲乙两人植树，单独植完这批树，甲比乙所需时间多，如果两人一起干，完成任务时乙比甲多植36棵，这批树一共多少棵？24．甲乙丙三人同去商场购物，甲花钱数的等于乙花钱数的，乙花钱数的等于丙花钱数的，结果丙比甲多花钱93元，问他们三人共花了多少钱？25．小明沿着向上移动的自动扶梯从顶向下走到底，他走了150级，他的同学小刚沿着自动扶梯从底向上走到顶，走了75级，如果小明行走的速度是小刚的3倍，那么可以看到的自动扶梯的级数是多少？26．甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，相向而行，甲车速度是乙车速度的．当乙车行至全程的时，甲车距中点还有30千米，A、B两地相距多少千米？27．A、B、C三辆汽车以相同的速度同时从甲市开往乙市，开车后1小时A车出了事故，B和C车照常前进，A车停车修理半小时后以原速度的继续前进，B、C两车行至距离甲市200千米处B车出了事故，C车照常前进，B车停了半小时后也以原速度的继续前进，结果到达乙市的时间C车比B车早1小时，B车比A车早1小时，求甲、乙两市的距离为多少千米？28．甲、乙两人原有的钱数之比为，后来甲又得到180元，乙又得到30元，这时甲、乙钱数之比为，求原来两人的钱数之和为多少？29．商场的自动扶梯以匀速由下往上行驶，两个孩子在行驶的扶梯上上下走动，女孩由下往上走，男孩由上往下走，结果女孩走了40级到达楼上，男孩走了80级到达楼下．如果男孩单位时间内走的扶梯级数是女孩的2倍，则当该扶梯静止时，可看到的扶梯梯级有多少级．30．甲、乙两车同时从A、B两地相向而行，它们相遇时距A、B两地中心处8千米，已知甲车速度是乙车的1.2倍，求A、B两地的距离．31．某团体有100名会员，男会员与女会员的人数之比是14∶11，会员分成三个组，甲组人数与乙、丙两组人数之和一样多.各组男会员与女会员人数之比是：甲组12∶13，乙组5∶3，丙组2∶1，那么丙有多少名男会员？32．客车和货车同时从A、B两地相对开出，货车的速度是客车的．两车在离两地中点30千米处相遇．A、B两地相距多少千米？33．大巴和轿车都从A地出发驶向B地，大巴与轿车的速度之比为5∶6。大巴比轿车早出发18分钟，但在AB的中点C处停留了8分钟，轿车则不停的驶向B地。如果大巴和轿车的速度都不变，大巴将比轿车晚2分钟到达B地。（1）轿车出发多少分钟后追上大巴？（2）如果轿车追上大巴后，速度增加，且轿车到达B地后立即原路返回A地，当轿车再次与大巴相遇时，大巴已经行驶了全程的几分之几？34．在商场里甲开始乘自动扶梯从一楼到二楼，并在上向上走，同时乙站在速度相等的并排扶梯从二层到一层．当甲乙处于同一高度时，甲反身向下走，结果他一共走了60级，如果他一直走到顶端再反身向下走，则一共要走80级，那么，自动扶梯不动时从下到上要走多少级？35．一列货车和一列客车同时从甲乙两地相向开出，已知客车的速度是货车的速度的，两车相遇时，客车比货车少行8千米．求甲、乙两地间的距离．36．年前姐姐与妹妹的年龄比为，年后姐姐和妹妹的年龄比为，问姐姐和妹妹的年龄差为多少岁？37．周长一定，甲的长与宽的比为3：2，乙的长与宽的比是7：5，求甲乙的面积比是多少？38．兰州来的马师傅擅长做拉面，拉出的面条很细很细，他每次做拉面的步骤是这样的：将一个面团先搓成圆柱形面棍，长米．然后对折，拉长到米；再对折，拉长到米……照此继续进行下去，最后拉出的面条粗细(直径)仅有原先面棍的．问：最后马师傅拉出的这些细面条的总长有多少米？(假设马师傅拉面的过程中．面条始终保持为粗细均匀的圆柱形，而且没有任何浪费)39．甲、乙、丙三种糖果每千克价分别是22元、30元、33元.某人买这三种糖果，在每种糖果上所花钱数一样多，问他买的这些糖果每千克的平均价是多少元？40．甲、乙两项工程分别由一、二队来完成。在晴天，一队完成甲工作要12天，二队完成乙工程要15天；在雨天，一队的工作效率要下降，二队的工作效率要下降。结果两队同时完成工作，问工作时间内下了多少天雨？41．甲乙两人同时从A、B两地出发，甲每分钟行80米，乙每分钟行60米，两人在途中C点相遇．如果甲晚出发7分钟，两人将在途中D处相遇，且A、B中点E到C点的距离是到D点距离的2倍．求A、B两地间距离．42．有一个长方体，长和宽的比是，宽与高的比是．表面积为，求这个长方体的体积.43．枚壹分硬币摞在一起与枚贰分硬币摞在一起一样高，枚壹分硬币摞在一起与枚伍分硬币摞在一起一样高。用壹分、贰分、伍分硬币各摞成一个圆柱体，并且三个圆柱体一样高，共用了枚硬币，问：这些硬币的币值为多少元？44．一块长方形铁板，宽是长的．从宽边截去厘米，长边截去以后，得到一块正方形铁板．问原来长方形铁板的长是多少厘米？45．甲容器中有纯酒精11升，乙容器有水9升．第一次将甲容器中的一部分纯酒精倒入乙容器使酒精和水混合；第二次将乙容器中的一部分混合液倒入甲容器．这样，甲容器中纯酒精含量为62.5%，乙容器中纯酒精含量为25%，那么，第二次从乙容器倒入甲容器的混合液是多少升？46．一个容器内注满了水。将大、中、小三个铁球这样操作：第一次，沉入小球；第二次，取出小球，沉入中球；第三次，取出中球，沉入大球。已知第一次溢出的水量是第二次的3倍，第三次溢出的水量是第一次的2倍。求小、中、大三球的体积比。47．一把小刀售价元．如果小明买了这把小刀，那么小明与小强剩余的钱数之比是；如果小强买了这把小刀，那么两人剩余的钱数之比变为．小明原来有多少钱？48．张家与李家的收入钱数之比是8∶5，开支的钱数之比是8∶3，结果张家结余240元，李家结余270元.问每家各收入多少元？49．加工某种零件，甲分钟加工个，乙分钟加工个，丙分钟加工个．现在三人在同样的时间内一共加工个零件．问：甲、乙、丙三人各加工多少个零件?参考答案：1．【详解】分子=（23+19）×=7，分母=（23+19）×=35，原来的分数是=，答：原来的分数是．2．1.6小时【详解】40÷8=5，即卡车的速度是士兵行军速度的5倍，那么卡车折回时已走的路程是B连士兵遇到卡车时已走路程的（5+1）÷2=3倍．卡车折回所走的路程是B连士兵遇到卡车时已走路程的2倍．车接到B连士兵后，还要行走3倍B连士兵遇到卡车时已走路程才能追上A连士兵，此时他们已经到达了目的地，因此总路程相当于4倍B连士兵遇到卡车时已走路程，所以B连士兵遇到卡车时已走路程为8千米，而卡车的总行程为（3+2+3）×8=64千米，这一段路，卡车行驶了64÷40=1.6小时，这也是两营士兵到达目的地所花的时间．答：两营士兵到达目的地一共要1.6小时．3．4000米【分析】乙加速之前步行2小时的路程等于甲步行2.25小时的路程，得到甲、乙速度之比2︰2.25，乙的速度是甲的速度的1.125倍；加速之后乙加速之后步行3小时的路程等于甲步行3.75小时的路程，甲乙速度比为3︰3.75，乙的速度是甲的速度的1.25倍，由于乙加速后每小时多走500米，所以甲的速度为500÷（1.25－1.125），依此计算即可。【详解】加速前甲乙的速度之比为2︰2.25＝8︰9，乙的速度是甲的速度的1.125倍；加速后甲乙的速度比为3︰3.75＝4︰5，乙的速度是甲的速度的1.25倍，甲的速度为500÷（1.25－1.125）＝500÷0.125＝4000（米/时），答：甲每小时行4000米。【点睛】先求出甲乙二人的速度比是解答此题的关键。4．1160人【详解】先画出如下示意图：6-5＝1，相当于图中相差17-12＝5（份），初中总人数是5×6＝30份，因此，每份人数是：520÷（30-17）=40（人）.因此，高、初中毕业生共有：40×（17＋12）＝1160（人）.答：高、初中毕业生共1160人.5．60级【详解】每秒迈一级台阶走20级所花时间为20秒，每秒迈二级台阶走30级所花的时间为15秒，设20秒扶梯向上走级，则15秒走了级．由扶梯长度可得20+=30+，解得=40，扶梯长20+40=60（级）．6．4:5【详解】设10年前甲的年龄为岁，则当时乙的年龄为岁，那根据现在两人的年龄比可得方程：，等式两边前后项交叉相乘可得，解得，所以10年前甲的年龄为20岁，乙的年龄为30岁，10年后两人分别是40岁、50岁，10年后两人的年龄比为4:5．7．600【详解】甲、乙本月收入的比是，分别节余240元和480元，支出的钱数之比是．如果乙节余480元，甲节余元，那么两人支出的钱数之比也是，现在甲只节余240元，多支出了60元，结果支出的钱数之比从变成了(即)，所以这60元就对应份，那么甲支出了元，所以甲本月收入为元．8．1680千米【详解】往返的速度比是800:700=8:7，往返的时间比=7:8；0.3÷（8-1）×7×800=1680（千米）9．10：7．【分析】根据长方形的面积公式，面积=长×宽，得到面积的比=长得比×宽的比，因此得解．【详解】宽的比=面积的比÷长的比，=（8：7）÷（4：5），=÷，=×，=，=10：7；答：宽的比是10：7．10．9︰7【详解】因为甲比乙早返回原地，甲的速度比乙快，第二个相遇点D应该比C更靠近A点．由于相关数量未知，首先假设第一次相遇时甲和乙分别行走了x千米和y千米．可得：x+y=24①由假设可得：第二次相遇时，甲、乙分别行走了3x千米和3y千米，那么甲返回时走了3x-（x+y）=2x-y，第二个相遇点距B点（2x-y）千米，这段距离比y多6千米，所以有：（2x-y）-y=6②联立①②两个方程能得到：x=13.5，y=10.5，所以两人的速度比为9︰7．11．第一天卖出192台，第二天卖出72台【详解】可以利用比例关系把这题进行分率转化，得出第一天与第二天的倍数关系．因为第一天卖出的与第二天卖出的相等，所以第一天×=第二天×，第一天︰第二天=8︰3．根据总冰箱数以及第一天和第二天卖出冰箱的关系，得出每天卖出冰箱的数．第一天卖出：264×=192（台）第一天卖出：264×=72（台）答：第一天卖出192台，第二天卖出72台．12．29.7千米【分析】因为两车行驶的时间一定，所以速度与路程成正比例，根据甲、乙路程比，可推知速度比及所用时间比，根据甲行了全程的，可以求出甲行了全程1-=、甲与乙的速度比为5:6.再根据“距离相同，速度比=时间的反比”．最后可求甲行完全程所用的时间5.5×=6.6小时，再根据“速度×时间=距离”可得A、B两地相距6.6×4.5=29.7千米．【详解】甲路程：乙路程=:（1-）=5:6甲速度：乙速度=5:6甲、乙两人走完全程所用的时间比：6:5走完全程甲所用的时间为5.5×=6.6A、B两地相距：6.6×4.5=29.7（千米）答：A、B两地相距29.7千米．13．24%【分析】由①、②可知甲、乙两校获奖总人数的比为，不妨设甲校有60人获奖，则乙校有50人获奖。由③知两校获二等奖的共有（人）；由⑤知甲校获二等奖的有（人）；由④知甲校获一等奖的有（人），那么乙校获一等奖的也有12人，从而所求百分数为。【详解】解：设甲校有60人获奖，则乙校有50人获奖。两校获二等奖：（60＋50）×20%＝110×0.2＝22（人）甲校获二等奖：22÷（4.5＋1）×4.5＝22÷5.5×4.5＝4×4.5＝18（人）甲校获一等奖：60－60×50%－18＝60－30－18＝12（人）12÷50×100%＝24%答：乙校获一等奖的人数占该校获奖总人数的百分数是24%。【点睛】此题主要运用了百分数的应用，学生认真仔细，逐一计算。14．180名；225名；210名【详解】将六年级学生的，等于五年级学生的，等于四年级学生的，看作一个单位，那么六年级学生人数等于2个单位，五年级学生等于2.5个单位，四年级学生等于学生，所以六年级、五年级、四年级学生人数的比为，所以六年级学生人数为=180人，五年级学生人数为人，四年级学生人数为人15．12.5米【分析】当甲到终点时，乙离终点还有40米，丙离终点还有50米，所用的时间相同．据此可知乙、丙的路程比、速度比．【详解】甲跑完了200米时：乙跑了：200-40=160（米）；丙跑了：200-50=150（米）；乙与丙的速度比：160：150=16：15当乙跑200米时，丙跑了：200÷=200×=187.5（米）丙离终点还有：200-187.5=12.5（米）；答：当乙到达终点时，丙还有12.5米．16．160【详解】(法1)根据爱斯基摩人所说的话，“逃跑的狗如果能再拖雪橇走千米，那我就能比预计时间只迟到一天”，可知只狗拉雪橇走千米，比只狗拉雪橇走千米少用一天．设只狗的速度是千米/天，则根据题意有：，解得：再设原计划走天，由题意得：，解得：，所以爱斯基摩人总共走了：(千米)．(法2)由于所行总路程不变，依题意知只狗拉雪橇的速度与只狗拉雪橇的速度比为，所以时间比为，结果恰好晚了天，所以行完全程计划用天，实际用了天，再拖雪橇千米后所用时间比还是，所以再拖雪橇千米后计划用时天．实际用时天，所以只狗托雪橇的速度为(千米/天)，所以全称为千米17．（1）144分钟；（2）257分钟【分析】（1）设每只进水管的工效为“1”，根据原计划的情况，可以求出A、B池的容量，再结合实际的情况，可以求出漏水的效率，然后计算10根进水管给漏水的A水池注水的效率，进而计算时间.（2）增加4根同样的进水管，一共14根，可以先假设同时注满，根据A、B池的容量之比，求出各自所需要的进水管数量，但由于进水管数量是整数，所以只能取临近的整数进行分类讨论。【详解】（1）设每只进水管的工效为“1”，那么A池容量为4×5＝20，B池容量为6×5＝30；当用5根进水管给B池灌水时需30÷5＝6小时，而在6小时内5只其水管给A池也是灌有30的水，所以漏了30—20＝10，因此漏水的工效为；（1）用10根进水管给漏水的A池灌水，那么需要的时间是：（小时）2.4小时＝144分钟答：需要144分钟注满。（2）设A池需根，那么B池需14根，有，所以有，化简解得。所以A池用7根或6根进水管，此时对应所需时间，分别为：①当A池用7根进水管时：A：7根水管；需时间小时＝225分钟；B：7根水管，需时间小时257分钟；此时要把两个水池注满最少需要257分钟；②当A池用6根进水管时：A：6根水管，需时间小时277分钟；B：8根水管，需时间30÷8＝小时＝225分钟；此时要把两个水池注满最少需要277分钟。所以，要把两个水管都注满，最少需257分钟，7根水管注A池，7根水管注B池。答：最少需要257分钟。【点睛】本题考查的是工程问题，当有多种情况时，需要进行分类讨论。18．4500立方厘米【分析】将宽与高的比的前项变成1，那么后项就是，所以长方体的长、宽、高的比是6：3：2，而长方体的棱长之和＝（长方体的长＋长方体的宽＋长方体的高）×4，那么长方体的长＋长方体的宽＋长方体的高＝220×＝55厘米，然后根据长、宽、高占着三条边之和的几分之几，可以求得长、宽、高的值，再根据长方体的体积＝长×宽×高，作答即可。【详解】由条件宽与高的比为，所以这个长方体的长、宽、高的比为2：1：＝6：3：2由于长方体的所有棱中，长、宽、高各有条，所以长方体的长为厘米；宽为厘米；高为厘米；所以这个长方形的体积为立方厘米。答：这个长方体的体积是4500立方厘米。【点睛】此题解答关键是利用按比例分配的方法求出长、宽、高，再根据长方体的体积公式进行解答。19．32:79【详解】由于甲、乙、丙三种卡车运送土方的路程之比为，速度之比为，所以它们运送次所需的时间之比为，相同时间内它们运送的次数比为：。在前天，甲车只有一半投入使用，因此甲、乙、丙的数量之比为．由于三种卡车载重量之比为，所以三种卡车的总载重量之比为。那么三种卡车在前天内的工作量之比为：。在后天，由于甲车全部投入使用，所以在后天里的工作量之比为。所以在这天内，甲的工作量与总工作量之比为：。20．4支【分析】由于每个队的女队员人数是该队男队员人数的，所以原来全体女队员人数是全体男队员人数的，即原来女队员人数是全体队员人数的，当第一队调走一半队员，且全是男队员后，女突击队人数是剩下的全体男突击队员人数的，即总数的，这一过程中女队员人数没有发生变化，所以调走后的队员总数与调走前的队员总数之比是∶＝7∶8，即调走的队员人数占总数的，而调走的队员人数占第一突击队的，且原来每支突击队的总人数相同，所以共有＝4支突击队。【详解】原来女队员人数是全体队员人数的＝；当第一队调走一半队员，女突击队人数是剩下总数的＝；调走后的队员总数与调走前的队员总数之比是∶＝7∶8，则共有：÷＝＝4（支）答：共有4支突击队。【点睛】首先根据这一过程中女队员人数没有发生变化，根据前后女队员人数占总人数的分率求出前后总人数的比是完成本题的关键。21．66级【详解】乙与甲的时间比为60/2：55/1=30：55，甲与乙走过的级数差5级，是由于扶梯自动运行的时间差导致的，时间差为25个单位，那么5个时间单位扶梯自动缩进1级，30个时间单位缩进6级，那么级数为60+6=66，或者55+55÷5=66．22．一班有48名，二班有42名【详解】8＋7＝154＋5＝98÷(－)＝90(人)90×＝48(名)90×＝42(名)23．252棵【详解】时间与工效成反比，甲比乙所需时间多，即甲的时间是乙的43倍．设甲、乙的工作效率为x与y因为同时合作，所以甲、乙植树的总量比也是3：4，即可以将整个数量分成7份，那么甲植了其中3份的树，而乙植了4份的树．乙比甲多1份，而又知乙比甲多植36棵所以总共的棵数（棵）24．429元【详解】略25．120级【详解】小明走过的级数是小刚走过的级数的2倍，同时小明速度又是小刚的3倍，可以得到小明与小刚走的时间比2：3，因此小明走的级数实际上是静止的级数加上行走时间内扶梯伸出的级数，小刚行走的级数是静止级数减去行走时间内扶梯缩进的级数，那么他们走过的级数差就是扶梯伸出级数与缩进级数的150-75=75，伸出时间和缩进时间比是2：3，那么伸出和缩进级数比就是2：3，因此伸出级数为75÷（2+3）×2=30，静止时就应该是150-30=120．26．180千米【分析】由甲车速度是乙车速度的，可知甲车速度：乙车速度=5:6；相同时间内甲车行驶的路程是乙车行驶路程的=.当乙车行至全程的时，甲车行驶至全程的×=，由题意甲车距中点还有30千米可知，全程的-全程的=30千米，据此可得A、B两地相距30÷（-）=180千米.【详解】当乙车行至全程的时，甲车行驶至全程的：×=A、B两地的距离：30÷（-）=180（千米）答：A、B两地相距180千米．27．280千米【分析】题目给出的距离信息只有200千米这一条，所以我们应当求出200千米对应的路程比。如果A车没有停半小时，那么它将比C车晚到1.5小时，因A车后来的速度是C车的，所以A车和C车相同路程行程的时间比为5∶4，即C车每行驶4小时就比A车快1小时，所以C车快了1.5小时，说明C车后来行了1.5×4＝6（小时）．那么从甲市到乙市C车行了6＋1＝7（小时）。同样如果B车没有停半小时，它将比C车晚到0.5小时，而此时B车和C车在相同路段行程的时间比也是5∶4，说明C车后来行了0.5÷（5－4）×4＝2（小时），这段路是甲、乙两市距离的。所以B车出事故时，已经行驶了整个路程的。用200除以即可得解。【详解】1.5×4＋1＝6＋1＝7（小时）0.5÷（5－4）×4＝0.5÷1×4＝2（小时）1－2÷7＝1－＝＝200×＝280（千米）答：甲、乙两市之间的距离为280千米。【点睛】此题已知条件为速度比例和时间差，也符合“比例＋两者之一或两者和与差”的出题模式，所以利用“比例转化＋按比例分配（已知两者之一或两者和与差分别求两者）”的解题模式，注意此题中的时间差计算时要扣除停留的时间，注意加减关系。28．660【详解】两人原有钱数之比为，如果甲得到180元，乙得到150元，那么两人的钱数之比仍为，现在甲得到180元，乙只得到30元，相当于少得到了120元，现在两人钱数之比为，可以理解为：两人的钱数分别增加180元和150元之后，钱数之比为，然后乙的钱数减少120元，两人的钱数之比变为，所以120元相当于4份，1份为30元，后来两人的钱数之和为元，所以原来两人的总钱数之和为元．29．60级【详解】关键是找出两人上下楼的时间比．因为男孩的速度是女孩的2倍，所以男孩走80级到达楼下与女孩走40级到达楼上所用时间相同，男孩下楼过程中由于自动扶梯上行而多走的路应该等于女孩上楼过程借助自动扶梯少走的路，男孩比女孩多走的路应等于行程过程中自动扶梯运行的级数的两倍．因此自动扶梯向上运行了（80-40）÷2=20（级），扶梯可见部分有80-20=60（级）．30．176千米【分析】甲车速度是乙车的1.2倍，甲、乙两车速度比是6：5，相遇时甲车和乙车行驶的路程比是6：5，甲车行驶的路程为6份，乙车行驶的路程为5份，甲车比乙车多行驶了1份路程，一份是2×8=16千米，A、B两地的距离就是11×16=176千米．【详解】2×8×（6+5）=176(千米)答：A、B两地相距176千米．31．12名【详解】略32．300千米【分析】货车的速度是客车的，根据“时间相同，速度比=距离比”可知相遇时货车和客车行驶的路程比是2：3，货车行驶的路程为2份，客车行驶的路程为3份，货车比客车少行驶了1份路程，一份是2×30=60千米，A、B两地的距离就是60×5=300千米．【详解】2×30×（2+3）=300(千米)答：A、B两地相距300千米．33．（1）50分钟；（2）【分析】（1）通过题意可知，大巴车相当于比轿车早出发（18－8）分钟，大巴车不停地驶向B地，已知如果大巴和轿车的速度都不变，大巴将比轿车晚2分钟到达B地，则同样行驶完AB的路程，大巴车所花时间比轿车多花（18－8＋2）分钟，根据路程相同，速度比等于时间的反比，所以大巴与轿车的速度之比为5∶6，大巴与轿车的时间之比是6∶5，所以大巴车所花时间比轿车多花（6－5）份时间，据此根据比的应用，用（18－8＋2）÷（6－5）即可求出每份是多少，进而求出6份和5份，也就是大巴与轿车分别行驶完全程需要的时间，轿车追上大巴时，大巴已离开C地，大巴车相当于比轿车早出发（18－8）分钟，轿车追上大巴车时，两车的时间差是（18－8）分钟，根据路程相同，速度比等于时间的反比，大巴与轿车的时间之比是6∶5，也就是两车的时间差是（6－5）份，根据比的应用，用（18－8）÷（6－5）即可求出每份是多少，进而求出5份，也就是轿车追上大巴车需要的时间。（2）把全程看作单位“1”，已知轿车出发追上大巴车时需要50分钟，而轿车行驶完全程需要60分钟，所以用50÷60即可求出轿车追上大巴车时行驶了全程的几分之几，也就是，剩下全程的（1－），也就是；如果轿车追上大巴后，速度增加，轿车现在的速度是原来的（1＋），据此可知大巴与轿车现在的速度之比为5∶[6×（1＋）]，也就是5∶7，根据时间相同，速度比＝路程比，可知大巴车被追上之后到与轿车相遇所行驶的路程∶轿车开始增速到与大巴车相遇所行驶的路程＝5∶7，此时从增速到相遇时，两车的路程和占全程的2个，据此按比分配，用×2÷（5＋7）即可求出每份是多少，进而乘5即可求出大巴车被追上之后到与轿车相遇所行驶的路程占全程的几分之几；再加上即可求出当轿车再次与大巴相遇时，大巴已经行驶了全程的几分之几。【详解】（1）同样行驶完AB的路程，大巴车所花时间比轿车多花（18－8＋2）分钟，根据路程相同，速度比等于时间的反比，所以大巴与轿车的速度之比为5∶6，大巴与轿车的时间之比是6∶5，（18－8＋2）÷（6－5）＝12÷1＝12（分钟）大巴行驶完全程需要：12×6＝72（分钟）轿车行驶完全程需要：12×5＝60（分钟）轿车追上大巴车时，两车的时间差是（18－8）分钟，（18－8）÷（6－5）×5＝10÷1×5＝50（分钟）答：轿车出发50分钟后追上大巴。（2）轿车追上大巴时，行驶了全程的50÷60＝剩下1－＝大巴与轿车现在的速度之比为5∶[6×（1＋）]，5∶[6×（1＋）]＝5∶[6×]＝5∶7时间相同，速度比＝路程比，大巴车被追上之后到与轿车相遇所行驶的路程占全程的：×2÷（5＋7）×5＝×2÷12×5＝÷12×5＝××5＝当轿车再次与大巴相遇时，大巴已经行驶了全程的：＋＝答：当轿车再次与大巴相遇时，大巴已经行驶了全程的。【点睛】本题主要考查了较复杂的行程问题，明确路程相同，速度比等于时间的反比以及时间相同，速度比等于路程比是解答本题的关键。34．30级【详解】向上走速度为甲和自动扶梯的速度和，向下走速度为甲和自动扶梯的速度差．当甲乙处于同一高度时，甲反身向下走，结果他一共走了60级，如果他一直走到顶端再反身向下走，则一共要走80级，60÷80=3/4，这说明甲乙处于同一高度时，甲的高度是两层总高度的3/4．则甲和自动扶梯的速度和与自动扶梯的速度之比是3/4：(1-3/4)=3：1，即甲的速度与自动扶梯速度之比2：1，甲和自动扶梯的速度差与自动扶梯的速度相等．向下走速度向上走速度的1/3，所用时间为向上走的3倍，则甲向下走的台阶数就是向上走台阶数的3倍.因此甲向上走了80÷(3+1)=20级台阶．甲的速度与自动扶梯速度之比2：1，甲走20级台阶的同时自动扶梯向上移动了10级台阶，因此如果自动扶梯不动，甲从下到上要走20+10=30级台阶．35．40千米【分析】客车速度：货车速度=2：3，客车路程：货车路程=2：3，客车行驶的路程为2份，货车行驶的路程为3份，也就是说客车比货车少行了1份，少行了8千米；所以两城相距8÷=40千米．【详解】8÷=40(千米)答：甲、乙两城相距40千米．36．3岁【详解】这样年龄差为份，从年前到年后是年，恰好对应份，所以姐姐和妹妹的年龄差为岁.37．864：875【详解】甲的长与宽的比是3：2，可知甲的长和宽一共是5份；乙的长与宽的比是7：5，可知乙的长和宽一共是12份；根据“甲乙两个长方形的周长相等”，可得出它们的周长是5和12的最小公倍数，即：．分别求出甲乙各自的长和宽，就可以求出面积的比．甲的长，宽=；乙的长=宽=甲的；乙的；它们面积的比是：864：875【点睛】公倍数、周长、面积，38．6553.6【详解】最后拉出的面条直径是原先面棍的，则截面积是原先面棍的，细面条的总长为：(米)．注意运用比例思想．39．27.5元【详解】解法一：设每种糖果所花钱数为1．平均价是：=27.5（元）答：这些糖果每千克平均价是27.5元．上面解法中，算式很容易列出，但计算却使人感到不易．最好的计算方法是，用22，30，33的最小公倍数330，乘这个繁分数的分子与分母，就有：=27.5（元）解法二：先求出这三种糖果所买数量之比.不妨设，所花钱数是330，立即可求出，所买数量之比是甲∶乙∶丙=15∶11∶10.平均数是（15+11+10）÷3=12.单价33元的可买10份，要买12份，单价是33×=27.5（元）40．10个【分析】先求出晴天时甲、乙的工作效率，再计算雨天时甲、乙的工作效率，求出晴天、雨天甲、乙的工作效率的关系；由于两队同时开工、同时完工，可以求出晴天和雨天之比，然后再计算具体的天数。【详解】在晴天，一队、二队的工作效率分别为和，一队比二队的工作效率高；在雨天，一队、二队的工作效率分别为和，二队的工作效率比一队高；由知，3个晴天5个雨天，两个队的工作进程相同，此时完成了工程的，所以在施工期间，共有6个晴天10个雨天。答：工作时间内下了10天雨。【点睛】本题考查的是工程问题，这里将工程问题与比例问题相结合，求出晴天和雨天的天数比是解题的关键。41．2240米或6720米【详解】甲晚出发7分钟，也就是乙先走了60×7=420米，两人共同行走的时间也减少了．对应的路程和也发生了变化．前后两次二人的相遇路程和相差420千米，那么前后两次相遇时间相差为420÷（80＋60）=3（分钟），而本来这三分钟甲能多走80×3=240（米），这就说明C点与D点之间的距离为240米，由条件“A、B中点E到C点的距离是到D点距离的2倍”可以得到中点到C、D两点之间的距离．不过这里要分两种情况：（一）中点E在C、D之间，那么ED、EC的距离和为240米，EC的距离为：240÷（2+1）×2=160米也就是说甲乙同时出发后的相遇点距离中点160米，即甲比乙多走了320米．两人相遇所花的时间为：320÷（80-60）=16（分）．A、B之间的距离为：（80+60）×16=2240（米）．（二）C、D在E点的同一侧，那么ED、EC的距离差为240米，EC的距离为：240÷（2-1）×2=480（米），也就是说甲乙同时出发后的相遇点距离中点480米，即甲比乙多走了960米，两人相遇所花的时间为`：960÷（80-60）=48（分）．A、B之间的距离为：（80+60）×48=6720（米）．综上所述，A、B两地之间距离为2240米或6720米．【点睛】如果只涉及到距离关系，没有提到位置关系，而且这些点在同一条直线上，那么就不只有一种位置关系．42．36cm³【详解】由条件长方体的长、宽、高的比，则长方体的所有视面，上面、前面、左面的面积比为，这三个面的面积和等于长方体表面积的二分之一，所以，长方体的上面的面积为，前面的面积为，左面的面积为，而，所以即是长、宽、高的乘积，所以这个长方体的体积为．43．3.08元【分析】由题意可知，所有的硬币共有124枚，然后求出把124枚硬币总共分成了多少份，也就是要求出壹分硬币、贰分硬币以及伍分硬币的数量比，因为壹分硬币和贰分硬币的数量比为，壹分硬币和伍分硬币的数量比为，化为三联比后为壹分硬币、贰分硬币以及伍分硬币的数量比，从而可以求出总份数，以及每