备考2024届高考数学一轮复习大题规范练6概率与统计

大题规范6概率与统计

考情综述概率与统计解答题,每年必考，难度中等或中等偏上.该类问题以真实情境为载

体，注重考查学生的应用意识、阅读理解能力以及数据分析、数学建模和数学运算素养，

充分体现了概率与统计的工具性和综合性.

从近几年的命题情况看，命题热点有(1)概率问题，核心是概率计算及离散型随机变量的

分布列与期望的求解，其中互斥、对立、相互独立事件的概率，条件概率，全概率是概率

计算的核心，排列组合是进行概率计算的工具；(2)统计问题，核心是样本数据的获得及

分析方法，重点是统计图表的应用，样本的数字特征、一元线性回归模型及独立性检验；

(3)概率与统计的综合，概率统计与其他知识(如函数、数列)的综合.

具体解题时，需要先过“审题关”，再过“公式关”，最后过“运用关”，否则，极易出

现错误，导致“会而不对”.

示例［2023新高考卷H/12分］某研究小组经过研究发现某种疾病的患病者与未患病者的

某项医学指标有明显差异，经过大量调查，得到如下的患病者和未患病者该指标的频率分

布直方图：

于或等于c的人判定为阴性，此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率，记为

p(c);促诊率是将未患病者判定为阳性的概率，记为乡(c).假设数据在组内均匀分布.

以事件发生的频率作为相应事件发生的概率.

(1)当漏诊率P(c)=0.5%时，求临界值。和误诊率q(c)；

(2)设函数/(c)=p(c)(c).当［95,105］时，求/(c)的解析式，并求/(c)

在区间［95,105］的最小值.

规范答题

(1)由题中患病者该指标的频率分布直方图知(100-95)X0.002=l%>0.5%,所以95

<<?<100,

设X为患病者的该指标，

则〃(c)=P(XWc)=(c-95)X0.002=0.5%,解得c=97.5.(2分)一注意纵轴表示

禁，不要误以为小矩形的高就是频率.

设丫为未患病者的该指标，

则q(c)=P(Y>c)=(100-97.5)><0.01+5X0.002=0.035=3.5%.(4分)f注意题

眼“误诊率是将未患病者判定为阳性的概率”，故需利用未患病者该指标的频率分布直方

图求出丫>。的频率.

(2)当95WcW100时，p(c)=(c-95)X0.002=0.002c-0.19,

q(c)=(100-c)X0.01+5X0.002=-0.01c+1.01,

所以f(c)=p(c)+q(c)=-0.008c+0.82;(6分)一观察患病者和未患病者

该指标的频率分布直方图，需对c分两类(95WcW100与100VcW105)讨论.

当100VcW105时,

p(c)=5X0.002+(c-100)X0.012=0.012c-1.19,

q(c)=(105-c)X0.002=-0.002c+0.21,

所以f(c)=p(c)+q(c)=0.01c-0.98.(8分)

f-0.008c+0.82,95<c<100,

综上所述，f(c)lo.Olc-O.98,100<c<105.(10分)一/(c)的解析式要写成

分段形式.

由一次函数的单调性知，函数/(c)在［95,100］上单调递减，在(100,105］上单调递

增，

作出/(c)在区间［95,105］上的大致图象(喀)，可得/(c)在区间［95,105］上的最小

值fG)min=/(100)=-0.008X100+0.82=0.02.(12分)

感悟升华

I.解答概率与统计问题重在“辨”——辨析、辨型

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2.概率与统计解答题的答题策略

（1）会识图，能从所给的频率分布直方图中读出相关数据，会用频率分布直方图求出题设

条件中的事件的频率，并用样本估计总体的思想，估计出相应事件的概率.

（2）明确事件类型，弄清问题所涉及的事件有什么特点，事件之间有什么关系，如互斥、

对立、相互独立等；厘清事件以什么形式发生，如同时发生、至少有几个发生、至多有几

个发生、恰有几个发生等；明确抽取方式，如放回还是不放回、抽取有无顺序等.

（3）会计算，会用排列组合的方法计算基本事件发生数和事件总数，会根据概率计算公式

和性质计算事件的概率；会求期望与方差；会套用求,，f等的公式求值.

（4）与函数和数列的综合题，会借助函数与导数思想和数列的有关知识求解.

训练［与函数综合/12分］乒乓球被称为我国的“国球”，是一种深受人们喜爱的球类体育

项目.在某高校运动会的女子乒乓球单打半决赛阶段，规定：每场比赛采用七局四胜制，率

先取得四局比赛胜利的选手获胜，且该场比赛结束.已知甲、乙两名运动员进行了一场比

赛，且均充分发挥出了各自的水平，其中甲运动员每局比赛获胜的概率为〃（0<p<l）,

每局比赛无平局，且每局比赛结果互不影响.

（1）若前三局比赛中，甲至少赢得一局的概率为多，求乙每局比赛获胜的概率；

（2）若前三局比赛中甲只羸了一局，设这场比赛结束还需要比赛的局数为3求4的分布

列和数学期望/（p）,并求当〃为何值时，/（p）最大.

解析（1）设事件A为“前三局比赛中，甲至少嬴得一局”，（1分）

则P（A）=1-（1—〃）3=*，（事件A包含的情况比校多，直接求解P（A）比较困

难，故考虑利用正难则反的思想求解）（3分）

化简得25后一75〃+36=0,即（5p-3）（5〃-12）=0,

所以或（舍去），（4分）

所以乙每局比赛获胜的概率为1一.=，（5分）

（2）由题意知，j的所有可能取值分别为2,3,4,（6分）

P(。=2)=(1-p)2=i-2p+p2,

P«=3)="+GP(1-p)2=3p3—4p2+2p,

P(4=4)=C储(1-p)Xl=3/-3p3.(9分)

则E的分布列为

e234

pL2p+p23P3-4p2+2p3P2-3p3

所以/(p)=2(1—2"+/)+3(3p3—4p?+2p)+4(3p2—3p3)=—3p3+2p2+2p+2

(0<p<l),(10分)

f(p)=-9//+4p+2,

令/