2024-2025学年新教材高中数学阶段提升课第一课空间向量与立体几何学案含解析新人教B版选择性必修第一册

PAGE阶段提升课第一课空间向量与立体几何eq\a\vs4\al(,,题组训练一)空间向量的运算1．已知直三棱柱ABC­A1B1C1的全部顶点都在球O的表面上，∠BAC＝90°，AA1＝BC＝2，则eq\o(AO,\s\up6(→))·(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))＝()A．1B．2C．2eq\r(2)D．4【解析】选B.依题意，O在底面ABC的投影为△ABC的外心O1，因为∠BAC＝90°，故O1为BC的中点，eq\o(AO,\s\up6(→))·(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))＝2·eq\o(AO,\s\up6(→))·＝2·＝2.2．如图，已知空间四边形OABC，其对角线为OB，AC，M，N分别是对边OA，BC的中点，点G在线段MN上，eq\o(MG,\s\up6(→))＝2eq\o(GN,\s\up6(→))，现用基向量eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))，eq\o(OC,\s\up6(→))表示向量eq\o(OG,\s\up6(→))，设eq\o(OG,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))＋zeq\o(OC,\s\up6(→))，则x，y，z的值分别是()A．x＝eq\f(1,3)，y＝eq\f(1,3)，z＝eq\f(1,3)B．x＝eq\f(1,3)，y＝eq\f(1,3)，z＝eq\f(1,6)C．x＝eq\f(1,3)，y＝eq\f(1,6)，z＝eq\f(1,3)D．x＝eq\f(1,6)，y＝eq\f(1,3)，z＝eq\f(1,3)【解析】选D.因为eq\o(OG,\s\up6(→))＝eq\o(OM,\s\up6(→))＋eq\o(MG,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)(eq\o(MA,\s\up6(→))＋eq\o(AN,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)×eq\f(1,2)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AN,\s\up6(→))＝eq\f(5,6)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(AB,\s\up6(→))＋\o(BN,\s\up6(→))))＝eq\f(5,6)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)×eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\f(5,6)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)(eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→)))＋eq\f(1,3)(eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→)))＝eq\f(1,6)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OC,\s\up6(→))，所以x＝eq\f(1,6)，y＝eq\f(1,3)，z＝eq\f(1,3).向量运算的技巧(1)关键是娴熟驾驭向量加减运算的平行四边形法则、三角形法则及各运算公式，理解向量运算法则、运算律及其几何意义．(2)熟记空间向量的坐标运算公式，设a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，①加减运算：a±b＝(x1±x2，y1±y2，z1±z2).②数量积运算：a·b＝x1x2＋y1y2＋z1z2.③向量夹角：cos〈a，b〉＝eq\f(x1x2＋y1y2＋z1z2,\r(xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1))＋yeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1))＋zeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1)))\r(xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))＋yeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))＋zeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2)))).④向量长度：设M1(x1，y1，z1)，M2(x2，y2，z2)，则＝eq\r(（x1－x2）2＋（y1－y2）2＋（z1－z2）2).eq\a\vs4\al(,,题组训练二)利用空间向量证明平行、垂直关系1．已知直线l的方向向量a，平面α的法向量μ，若a＝(1，1，1)，μ＝(－1，0，1)，则直线l与平面α的位置关系是()A．垂直B．平行C．相交但不垂直D．直线l在平面α内或直线l与平面α平行【解析】选D.a·μ＝1×(－1)＋1×0＋1×1＝0，得直线l的方向向量垂直于平面的法向量，则直线l在平面α内或直线l与平面α平行．2．如图，已知平行六面体ABCD­A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，且∠C1CB＝∠C1CD＝∠BCD＝60°，当eq\f(CD,CC1)的值等于________时，能使A1C⊥平面C1BD.【解析】不妨设eq\f(CD,CC1)＝x，CC1＝1，若A1C⊥平面C1BD，则A1C⊥C1B，A1C⊥C1D，而＝＋eq\o(CD,\s\up6(→))，＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→))＋，由＝0，得(eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→))＋)·(＋eq\o(CD,\s\up6(→)))＝－eq\o(CD,\s\up6(→))2＋·eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＝0，由·eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(x,2)－eq\f(x2,2)，可得方程1－x2＋eq\f(x－x2,2)＝0，解得x＝1或x＝－eq\f(2,3)(舍)，因此，当eq\f(CD,CC1)＝1时，能使A1C⊥平面C1BD.答案：13．在四棱锥P­ABCD中，PD⊥平面ABCD，四边形ABCD是正方形，E是PA的中点，求证：(1)PC∥平面EBD；(2)平面PBC⊥平面PCD.【证明】如图，以D为坐标原点，分别以DC，DA，DP所在的直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系．设DC＝a，PD＝b，则D(0，0，0)，C(a，0，0)，B(a，a，0)，A(0，a，0)，P(0，0，b)，Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(a,2)，\f(b,2))).(1)eq\o(DE,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(a,2)，\f(b,2)))，eq\o(DB,\s\up6(→))＝(a，a，0).设平面EBD的一个法向量为n＝(x，y，z)，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\o(DE,\s\up6(→))·n＝0，,\o(DB,\s\up6(→))·n＝0，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)y＋\f(b,2)z＝0，,ax＋ay＝0.))令x＝1，得n＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，－1，\f(a,b)))，因为eq\o(PC,\s\up6(→))·n＝(a，0，－b)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，－1，\f(a,b)))＝0，所以eq\o(PC,\s\up6(→))⊥n，故PC∥平面EBD.(2)由题意得，平面PDC的一个法向量为eq\o(DA,\s\up6(→))＝(0，a，0)，又eq\o(PB,\s\up6(→))＝(a，a，－b)，eq\o(PC,\s\up6(→))＝(a，0，－b)，设平面PBC的一个法向量为m＝(x1，y1，z1)，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\o(PB,\s\up6(→))·m＝0，,\o(PC,\s\up6(→))·m＝0，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(ax1＋ay1－bz1＝0，,ax1－bz1＝0，))得y1＝0，令x1＝1，则z1＝eq\f(a,b)，所以m＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，0，\f(a,b)))，因为eq\o(DA,\s\up6(→))·m＝(0，a，0)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，0，\f(a,b)))＝0，所以eq\o(DA,\s\up6(→))⊥m，即平面PBC⊥平面PCD.1．证明两条直线平行，只需证明这两条直线的方向向量是共线向量．2．证明线面平行的方法(1)证明直线的方向向量与平面的法向量垂直．(2)能够在平面内找到一个向量与已知直线的方向向量共线．3．证明面面平行的方法证明这两个平面的法向量是共线向量．4．证明两条直线垂直，只需证明这两条直线的方向向量垂直．5．证明线面垂直的方法证明直线的方向向量与平面内的两个不共线的向量相互垂直．6．证明面面垂直的方法证明两个平面的法向量相互垂直．eq\a\vs4\al(,,题组训练三)利用空间向量求空间角1．如图，在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥AB，PA⊥AD，AD＝1，AB＝eq\r(2)，△PAB是等腰三角形，点E是棱PB的中点，则异面直线EC与PD所成角的余弦值是()A.eq\f(\r(3),3)B．eq\f(\r(6),3)C．eq\f(\r(6),4)D．eq\f(\r(2),2)【解析】选B.因为AB，AD，AP两两垂直，以A为原点，AB，AD，AP分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系．又因为PA＝AB＝eq\r(2)，AD＝1，所以A(0，0，0)，B(eq\r(2)，0，0)，C(eq\r(2)，1，0)，D(0，1，0)，P(0，0，eq\r(2))，因为E是棱PB的中点，所以Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，0，\f(\r(2),2)))，所以eq\o(EC,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，1，－\f(\r(2),2)))，eq\o(PD,\s\up6(→))＝(0，1，－eq\r(2))，所以cos〈eq\o(EC,\s\up6(→))，eq\o(PD,\s\up6(→))〉＝eq\f(1＋1,\r(\f(1,2)＋1＋\f(1,2))×\r(1＋2))＝eq\f(\r(6),3).2．如图所示，在四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，侧棱A1A⊥底面ABCD，AB∥CD，AB⊥AD，AD＝CD＝1，AA1＝AB＝2，E为棱A1A的中点．(1)证明：B1C1⊥CE；(2)求二面角B1­CE­C1的正弦值；(3)设点M在线段C1E上，且直线AM与平面ADD1A1所成角的正弦值是eq\f(\r(2),6)，求线段AM的长．【解析】(1)以A为原点可建立如图所示空间直角坐标系．则A(0，0，0)，B(0，0，2)，C(1，0，1)，B1(0，2，2)，C1(1，2，1)，E(0，1，0)，所以＝(1，0，－1)，eq\o(CE,\s\up6(→))＝(－1，1，－1)，所以·eq\o(CE,\s\up6(→))＝1×(－1)＋0×1＋(－1)×(－1)＝0，所以B1C1⊥CE.(2)由(1)知：＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，－2，－1))，eq\o(CE,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，1，－1))，因为CC1⊥平面A1B1C1D1，B1C1⊂平面A1B1C1D1，所以CC1⊥B1C1，又B1C1⊥CE，CC1，CE⊂平面CEC1，CC1∩CE＝C，所以B1C1⊥平面CEC1，所以平面CEC1的一个法向量为＝(1，0，－1).设平面B1CE的法向量n＝(x，y，z)，则，令z＝1，则y＝－2，x＝－3，所以n＝(－3，－2，1)，所以cos〈，n〉＝＝eq\f(－3－1,\r(2)×\r(14))＝－eq\f(2\r(7),7)，所以sin〈，n〉＝eq\f(\r(21),7)，所以二面角B1­CE­C1的正弦值为eq\f(\r(21),7).(3)由(1)知：eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，1，0))，＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，1，1))，设eq\o(EM,\s\up6(→))＝λ＝(λ，λ，λ)，0≤λ≤1，所以eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\o(AE,\s\up6(→))＋eq\o(EM,\s\up6(→))＝(λ，λ＋1，λ)，因为AA1⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，所以AA1⊥AB，又AB⊥AD，AA1，AD⊂平面ADD1A1，AA1∩AD＝A，所以AB⊥平面ADD1A1，所以平面ADD1A1的一个法