数学备课资料：平面几何中的向量方法

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精备课资料一、利用向量解决几何问题的进一步探讨用平面向量的几何运算处理平面几何问题有其独到之处,特别是处理线段相等，线线平行，垂直，点共线，线共点等问题，往往简单明了，少走弯路,同时避免了复杂,烦琐的运算和推理，可以收到事半功倍的效果.现举几例以供教师、学生进一步探究使用。1.简化向量运算图11例1如图11所示,O为△ABC的外心，H为垂心,求证:.证明：如图11,作直径BD,连接DA，DC，有=,且DA⊥AB,DC⊥BC,AH⊥BC，CH⊥AB，故CH∥DAH∥DC，得四边形AHCD是平行四边形。从而=.又=得即。2.证明线线平行例2如图12,在梯形ABCD中,E，F分别为腰AB,CD的中点.求证：EF∥BC,且｜|=(｜|+｜|)。图12证明:连接ED，EC,∵AD∥BC,可设=λ(λ〉0）,又E，F是中点，∴+=0,且=(+）。而+=+++=+=(1+λ），∴=，EF与BC无公共点,∴EF∥BC.又λ>0，∴｜｜=（｜|+｜λ|)=（｜｜+||).3。证明线线垂直图13例3如图13,在△ABC中，由A与B分别向对边BC与CA作垂线AD与BE,且AD与BE交于H,连接CH,求证：CH⊥AB.证明:由已知AH⊥BC，BH⊥AC,有又故有(+)·=0,且=0,两式相减,得=0，即·=0,∴⊥.4.证明线共点或点共线图14例4求证：三角形三中线共点，且该点到顶点的距离等于各该中线长的。已知:△ABC的三边中点分别为D，E，F(如图14）。求证:AE，BF,CD共点,且。证明:设AE,BF相交于点G,=λ1,由定比分点的向量式有=,又F是AC的中点,，设,则，∴∴即=。又==（CA+2CE)=·（+)=,∴C，G,D共线，且=.二、备用习题1。有一边长为1的正方形ABCD，设=a，=b，=c，则｜a—b+c|=_______________。2.已知|a｜=2,|b｜=，a与b的夹角为45°,则使λb—a与a垂直的λ=____________。3.在等边△ABC中,=a，=b，=c，且|a｜=1,则a·b+b·c+c·a=____________。4.已知三个向量=(k,12），=(4，5），=(10，k）,且A,B,C三点共线，则k=_________.图155。如图15所示，已知矩形ABCD，AC是对角线,E是AC的中点，过点E作MN交AD于点M,交BC于点N,试运用向量知识证明AM=CN。6.已知四边形ABCD满足||2+｜|2=｜|2+｜|2，M为对角线AC的中点。求证：｜｜=｜｜.7。求证:如果一个角的两边平行于另一个角的两边，那么这两个角相等或互补。参考答案:1.22.23。—4。-2或11图165.建立如图16所示的直角坐标系,设BC=a，BA=b,则C(a，0），A（0,b），E（)。又设M(x2，b)，N（x1,0），则=（x2，0）,=（x1—a，0)。∵，∴(=0。∴x2=a-x1.∴｜|=而｜｜=∴｜｜=|｜,即AM=CN。6.设=a，=b,=c,=d，∵a+b+c+d=0,∴a+b=—（c+d）.∴a2+b2+2a·b=c2+d2+2c·d。∵|｜2+|｜2=|｜2+｜｜2,∴a2+b2=(—d)2+(-c)2=c2+d2。②由①②得a·b=c·d.图17∵M是AC的中点,如图17所示,则=（d-c）,=(b—a）.∴||2=2=(b2+a2—2a·b）,｜|2=2=（d2+c2—2c·d）.∴｜|2=|｜2。∴||=｜|.7。解:已知OA∥O′A′，OB∥O′B′。求证:∠AOB=∠A′O′B′或∠AOB+∠A′O′B′=π.证明:∵OA∥O′A′，OB∥O′B′，∴=λ(λ∈R，λ≠0),=μ（μ∈R,μ≠0).∴cos∠AOB=。cos∠A′O′B′=,当与，与均同向或反向时,取正号，即cos∠AOB=cos∠A′O′B′.∵∠AOB,∠A′O′B′∈（0，π)，∴∠AOB=∠A′O′B′.当与，与只有一个反向时，取负号，即cos∠AOB=-cos