山西省大同市2025届高三年级上册开学质量检测联考数学试题（含答案）

山西省大同市2025届高三上学期开学质量检测联考数学试题

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

的。

1.已知复数Z1=9,若复数Z2与Z1在复平面内对应的点关于原点对称，则Z2=()

A.ITB.1+iC.-1—iD.—1+1

2.已知集合Z={x|x(2-x)>0],B=[x\y]x+1>1},则()

A.AnB=0B.XUB=RC.BQAD.A

3.已知向量a=(-1,%),b=(—%,2),若五与右方向相同，则久=()

A.0B.1C.A/2D.—V2

4.若cos^—a)=¥，则sin2a=()

1i?

A.-B.——C.-

5.已知双曲线C:久2T=i(b>o)的一条渐近线与圆(万一2)2+、2=4交于4B两点，若网=孽，贝设的

昌心率为()

A.WB.手C.A/3D.在

6.已知函数/(无)=2sin(wc+$+t®>0)图象的两相邻对称轴之间的距离为全若存在卬%2e[0,^],

使得2/Qi)W/(冷)成立，贝股的最大值为()

A,-4B.-2C.4D.2

7.某商场举办购物抽奖活动，其中将抽到的各位数字之和为8的四位数称为“幸运数”(如2024是“幸运

数”)，并获得一定的奖品，则首位数字为2的“幸运数”共有()

A.32个B.28个C.27个D.24个

8.已知％1,第2是函数"%)=^ax2-2x+In%的两个极值点，若不等式zn>+/(%2)+久1久2恒成立，则实

数血的取值范围是()

A.(-3,+oo)B.[-2,+oo)C.(2,+oo)D.[e,+00)

二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

9.已知函数/(%)=\loga(x+1)|(a>0,a91),则下列说法正确的是()

A./Q)的图象恒过某个定点

B./(%)在(-L0)上单调递减，在(0,+8)上单调递增

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C.f(x)图象上存在两个不同的点关于y轴对称

D.若对任意久6[-1,2],/(x)<1恒成立，则实数a的取值范围是(0,9U(3,+8)

10.记数列5｝的前n项和为Sn,若存在实数H,使得对任意的neN+，都有|Sn|<H,则称数列｛an｝为“和

有界数列”.下列说法正确的是()

A.若｛斯｝是等差数列，且公差d=0,则｛斯｝是“和有界数列”.

B.若｛an｝是等差数列，且｛an｝是“和有界数列”，则公差d=0.

C.若｛an｝是等比数列,且公比⑷<1,则｛an｝是“和有界数列”.

D.若｛an｝是等比数列，且｛an｝是“和有界数列"，则｛an｝的公比⑷<1.

11.已知正方体2BCD-4中与。1的棱长为2,E,F分别是棱力的中点，动点P满足Q=4荏+〃而，

其中儿〃G(0,1],则下列命题正确的是()

人.若4=2〃，则平面48』1平面DEF

B.若2=〃，贝UDiP与AG所成角的取值范围为『,詈

C.若；1=〃—宏贝中小〃平面4停止

D.若4+〃=之则线段P尸长度的最小值为平

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.中国跳水队素有“梦之队”称号，在刚刚结束的2024巴黎奥运会上，中国跳水队取得了优异的成绩淇

中单人跳水比赛的计分规则为：运动员做完一套入水动作后，由7位专业裁判进行打分，从打出的分数中

按照高低去掉前两个和后两个，剩余3个分数的总和再乘以这套动作的难度系数即为该运动员的最终得分.

若某位运动员在一轮比赛中入水动作的难度系数为3.2,7位裁判给他打出的分数分别为9.5、9.5、9、8、

9、9.5、8.5,则这7个数据的方差为,该运动员本轮比赛的得分为.

13.已知。10141)，20242)岛(%3,%)是抛物线。丫2=2%上三个不同的点，它们的横坐标X1，%2,久3成等差

数列，F是C的焦点，若俨29|=2,则以为的取值范围是.

14.已知定义在(0,+8)的函数满足对任意的正数X,y都有f(x)+f(y)=/(久y),若2熊)+得)=-2,则

/(2025)=.

四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15.(本小题12分)

已知函数/'(X)=ax3+bx2-x(a,beR)的图象在点(1)(1))处的切线方程为y+1=0.

(1)求函数/(%)的解析式;

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(2)若对于区间［—3,3］上任意两个自变量的值小，久2,有If。。—〃>2)1Wc，求实数c的最小值.

16.(本小题12分)

已知"BC中，角4,B,C所对的边分别为a,b,c,其中a=2,sinB+sinC=2sinA.

4

(1)右cos4=-,求△ABC的面积；

(2)若-ABC是锐角三角形，。为BC的中点，求2D长的取值范围.

17.(本小题12分)

如图，己知四棱锥P—4BCD中，AB//CD,AD=BC=1,CD=2AB=2也，AD1PC,PB1BC.

(1)证明：PB1CD；

⑵若四棱锥P-4BCD的体积为1,求直线PA与平面PCD所成角的正弦值.

18.(本小题12分)

2272

由半椭圆a+与=l(x20)与半椭圆叁■+方=l(xW0)合成的曲线称作"果圆"，其中a2nb2+©2,

a>b>c>0.如图，F,Fi，F2是相应椭圆的焦点，4，A和当，％分别是“果圆”与x,y轴的交点.

(1)若△尸％&是边长为2的等边三角形，求“果圆”的方程；

(2)若阂&吐出网，求:的取值范围;

(3)连接“果圆”上任意两点的线段称为“果圆”的弦，是否存在斜率为定值k的“果圆”平行弦的中点轨

迹总是落在某个椭圆上？若存在，求出所有可能的k值；若不存在，说明理由.

19.(本小题12分)

某市教育局举办的校园足球比赛，其中小学生足球淘汰赛阶段的比赛规则如下：①常规时间分上、下半

场，每个半场各30分钟，在常规时间内进球多的一方获得比赛的胜利并进入下一轮；②如果在常规时间内

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两队战平，则双方各派3名队员进行3轮点球决战，进球多的一方获得比赛的胜利并进入下一轮；③如果点

球大战依然战平，则将进行抽签决定哪支球队进入下一轮，现有甲、乙两队进行淘汰赛阶段的比赛.

(1)假设在常规时间内甲队获胜的概率为J，战平的概率为占在点球大战中甲队获胜以及战平的概率均为

I;在抽签环节，两队进入下一轮机会均等.已知在甲队进入下一轮的条件下，求他们是通过抽签进入下

一轮的概率；

(2)点球大战中，当领先的一方提前获得比赛的胜利，则剩下的队员不再出场进行点球比赛(如甲方3：1领

先时，乙队的最后一名队员不必再出场比赛).假设甲队每名队员射进点球的概率均为|,乙队每名队员射进

点球的概率均为看点球大战每一轮由甲队先踢.

⑴记两队点球决战一共出场的球员人数为X,求X的分布列与数学期望；

(ii)求甲队在点球大战中获胜的概率.

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参考答案

l.A

2.D

3.C

4.B

5.D

6.C

7.B

8.B

9.ABD

10.BC

11.7IC

2

12.y；；；88

13.(-3,3)

14.4

15.解：⑴

•・•/(x)=3a/+26x—1,根据题意，得得);■即

［/(1)=013a+2b—1=0

a=-42

解得,33,故/(久)=-X3--X2-X.

b=——32

2

⑵

令/'(%)=2解得久=或汽=，

4x—3x—1=0,1—74

当久€(-3,—2乂1,3)时，f(%)>0；当久时，f'(x)<0,

故/(久)在(一,,1)为减函数，在(-3,-2(1,3)为增函数，

故f(久)max=max{/'(—1),/(3)}=max{||,当}=y,

/Wmin=min{f(l),/(-3))=min{一(，一引=-y->

因为对于区间［-3,3］上任意两个自变量的值%i,X2，

都有1/(久1)一f(久2)|<l/WmaX-/(X)min|=66

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所以cN66,所以c的最小值为66.

16.解：(1)

因为sinB+sinC=2sin4由正弦定理可得b+c=2a,故b+c=4,

又4=按+c2—2bccosA=(b+c)2—=16—故be=孚

因为cosA=1,而4为三角形内角，故sinA=|,

所以S44BC=/csin4=1x|x^=l.

(2)

在△4BD中，liic2=^+AD2—axADcosZ.BDA；

在"CD中，由Z?2=—+4£)2—0x4DCOSNC£M；

4

而cosNCIM+cos^BDA=0,所以廿+c2=^+2AD2=2+2AD2,

故=炉+,-2=丝+(4”2_2=b2_4b+7=的一2)2+3,

,a2+Z?2>c24+匕2〉(4一瓦)2

2

而△ABC是锐角三角形，故炉+©2>(12即,b+(4-6)2>4,

c2+a2>b2[(4—Z))2+4>62

故l＜b吟

故2WAD?＜学即避＜4。（卑.

42

17.解：（1）证明：设。是CD的中点，连接08,由于〃。/MB=。。,

所以四边形4B0D是平行四边形，所以=0B=1,

由于。C=也BC=1,所以。B2+BC2=0C2,所以。81BC,

所以4D1BC,由于2D1PC,PCCiBC=C,PC,BCu平面PBC,

所以2。1平面PBC,由于PBu平面PBC,所以AD1PB,

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由于PB1BC,AD,BCu平面4BCD,且直线AD与直线BC相交，

所以PB_L平面ABCD,而CDu平面4BCD,故PB1CD.

(2)过4作4E1CD,垂足为E,过8作BF1CD,垂足为F,

则四边形ZBFE是矩形，EF=AB=迎,DE=CF=#,

所以BF=AE=、口lT，

722

依题意UPTBCD=亚〉＜xPB=券=1,PB=2,

由于PB1平面ABCD,AB,BFu平面力BCD,所以PB1AB,PB1BF,

则B4BF,PB两两相互垂直，以B为原点建立如图所示空间直角坐标系.

C

P(0,0,2)/(0,也0),C停一孝,0),喈,啜0),

PA=(0,也-2),丽=(¥，―孝,-2),而=住,¥，一2),

设平面PCD的法向量为五=(x,y,z),

n-~PC=^x-^y-2z=0一

则，一一52，故可设几=(2",0,1),

n-PD=旺K+丝y-2z=0

22,

设直线P4与平面PCD所成角为仇贝Usin9=*：篇|=三宗=坐.

18.解：(1)由内?2|=2^^=2,|。尸|==避，a2=b2+c2,

解得匕=2,a=巾,

因此“果圆”的方程为亨+?=1(%>0),f+^=1(%<0)；

(2)因为MiAI>IB1&I，故a+c>2b,得上=F>26—a,

而(2力1>2b2>b2+c2=a2,即2b>a,

于是，a2—b2>4b2—4ah4-a2,-<7,

a5

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又a2=62+c2<2b2,贝叶>平，.4的取值范围是(平,§；

Ct-乙Ct-乙J

(3)我们先证明一个结论：

若斜率为k的直线与椭圆7n%2+ny2=](7n>0,n>0,7n7m交于a,B两点，则4、B中点在同一条直线.

证明：设3(%2,、2)，它们的中点为MQo,yo),

则m妊+nyj=1且m始+建秃=1,

从而根(就一蛀)+?1(胃一区)=0,故-久2)Oi+%2)+n(yi-y2)(yi+丫2)=。，

故mxo+nkyo=0,故/、B中点在直线mx+nky=0上.

对于“果园”的弦的中点，

若斜率k=0,则设直线y=t,

它与“果圆”的交点是(a(-c

弦的中点(叩)满足卜

y=t

弦的中点轨迹方程是泼7+2=1，

而*a—c)—b=|(a-26-c)=|(^2+c2-2b-c)<|[(h+C)-2/J-C]<0,

即*a-c)Hb,所以，若“果圆”弦所在直线的斜率为0,则平行弦中点轨迹是椭圆，

若“果圆”弦的斜率上大0,则可平移过程总存在无数条斜率为k的直线与“果园”的左半椭圆相交，由前

述证明的结论，此时中点在直线上，

故平行弦中点轨迹不能总落在某个椭圆上.

综上，斜率k=0时，“果圆”平行弦中点轨迹落在某个椭圆上；

斜率k力0时，“果圆”平行弦中点轨迹不能总落在某个椭圆上.

19.解:(1)

设为“甲进入下一轮”，B为“甲乙两队抽签”，

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mx)=1+|x|+|x|x|=12+2+15P(^)=|x|x|=1