广东省茂名市高州市2024年高三第一次模拟考试数学试卷

广东省茂名市高州市2024年高三第一次模拟考试数学试卷

1.已知集合力={x\x2+2x—8<0},B-{x\\x\<2},则力nB=（）

A.（—4,—2）B.（—2,2）C.[—2,2）D.[—2,2]

2.已知2=恕（i为虚数单位），则复数Zi-Z在复平面内对应的点位于（）

l+l

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

1n

3.已知xHO,neN*,则"=8”是"（2久3+》的二项展开式中存在常数项”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分又不必要条件

4.Gompertz曲线用于预测生长曲线的回归预测，常见的应用有：代谢预测，肿瘤生长预测，有限区

域内生物种群数量预测，工业产品的市场预测等等，其公式为：〃吟=上心一（其中k>0,b>0,a

为参数）.某研究员打算利用该函数模型预测公司新产品未来的销售量增长情况，发现a=e.若％=

1表示该新产品今年的年产量，估计明年（％=2）的产量将是今年的e倍，那么b的值为（e为自然数对

数的底数）（)

A.底TB.^1+1C.V5-1D.V5+1

2

5.已知cos(a+71)=-2sina,则空H竺竺边竺=()

cos2a+l

A.-1B.-jC.JD.Z

55o

6.已知7n为正项数列{%}的前n项的乘积，且的=2,加=端+1，则。5=（）

A.16B.32C.64D.128

7.已知椭圆斗+与=l（a>b>0）的左、右焦点分别为BA直线，：y=质（八0）与椭圆交于4B

ab

两点，直线AB与椭圆交于另一点。，若直线4。与BO的斜率之积为-木则椭圆的离心率为（）

A.1B.在C.|D.西

2242

8.曲线y=仇%与曲线y=/+2。%有公切线，则实数。的取值范围是（）

1111

A.（—8,—]]B.[―矛+8）C.（—00^—]D.[―,+oo）

9.已知圆C:/+y2-2%-2y—3=0,贝!J（）

A.圆。的圆心坐标为（一1,一1）

B.圆。的周长为2遍兀

C.圆M:(X+3)2+(y+1)25与圆C外切

D.圆C截y轴所得的弦长为3

10.中秋节起源于上古时代，普及于汉代，定型于唐代，如今逐渐演化为赏月、颂月等活动，以月

之圆兆人之团圆，为寄托思念故乡，思念亲人之情，祈盼丰收、幸福，成为丰富多彩、弥足珍贵的

文化遗产.某校举行与中秋节相关的“中国传统文化”知识竞赛，随机抽查了100人的成绩整理后得

到如图所示的频率分布直方图，则下列结论正确的是（）

B.样本的71%分位数为75

C.样本的平均值为68.5

D.该校学生中得分低于60分的约占20%

11.已知函数/（%）定义域为R,且/（久+2）+/（久）=0,/（2久+1）为偶函数，则下面一定成立的是

（）

A./（久）是奇函数B./（2024）=1

C./（%）的图象关于x=1对称D.2%：f（k）=2024

12.如图，已知圆锥顶点为P,其轴截面APAB是边长为2的为等边二角形，球。内切于圆锥（与圆

锥底面和侧面均相切），Q是球。与圆锥母线PB的交点，M是底面圆弧上的动点，则（）

A.球。的体积为罂兀

B.三棱锥4-QBM体积的最大值为年

C.MA+MQ的最大值为3

D.若M为48中点，则平面PMQ截球。的截面面积为?

13.有一座六层高的商场，若每层所开灯的数量都是下面一层的两倍，一共开了1890盏，则底层所

开灯的数量为________盏.

14.如图，AZBC在边长为1的小正方形组成的网格中，则荏.前=.

15.已知双曲线c：/—专=i，直线，:y=-+1分别与C的左、右支交于此N两点，。为坐标原

点，若AOMN的面积为①，则直线/的方程为.

16.已知函数/(%)的图象过点(0,1),其导函数/=4cos(2久+0)(4>0,0<(p<£)的图象如图所

示,若函数/(及)=l(t>0)在［0,兀］上有且仅有两个零点，则实数t的取值范围为.

17.在AABC中，内角A,B,C的对边分别是a,b,c,且加讥(B+C)=as讥华.

(1)求B的大小;

(2)若。是4C边的中点，且BD=2,求△ABC面积的最大值.

18.已知等差数列的前n项和为Sn，且S5=S4+S3,2a3n-3a2n=1,nGN*.

(1)求数列｛a"的通项公式；

(2)求数列｛昆+1｝的前ri项和7n.

19.近几年，随着新一轮科技革命和产业变革孕育兴起，新能源汽车产业进入了加速发展的阶段,

我国的新能源汽车产业，经过多年的持续努力，技术水平显著提升、产业体系日趋完善、企业竞争

力大幅增强，呈现市场规模、发展质量“双提升”的良好局面.某汽车厂为把好质量关，对送来的某

个汽车零部件进行检测.

(1)若每个汽车零部件的合格率为0.9,从中任取3个零部件进行检测，求至少有1个零部件是

合格的概率；

(2)若该批零部件共有20个，其中有4个零部件不合格，现从中任取2个零部件，求不合格零

部件的产品数X的分布列及其期望值.

20.如图，在三棱柱4BC-&B1Q中，AB1BC,AB=BC=V2,BB、=显,1平面ABC,N

为&Bi的中点，M为线段4C上的动点.

(1)当M为中点时，求证：||平面BCQBj

(2)当CM=机寸，求直线MN与平面BQM所成角的正弦值.

21.已知抛物线C:y2=2p%(p>0),F为抛物线的焦点，P,Q其为准线上的两个动点，且PF1

QF.当|PF|=2|QF|时，\PQ\=5.

(1)求抛物线C的标准方程；

(2)若线段分别交抛物线C于点4B,记APQF的面积为Si，AABF的面积为S2,当S1=

9s2时,求|PQ|的长.

22.设函数/■(久)=e*+asin%,xG［0,+oo).

(1)当a=-l时，/(x)Nb久+1在［0,+8)上恒成立，求实数b的取值范围；

(2)若a>0JO)在［0,+8)上存在零点，求实数a的取值范围.

答案解析部分

L【答案】C

2.【答案】A

3.【答案】A

4.【答案】A

5.【答案】D

6.【答案】B

7.【答案】B

8.【答案】B

9.【答案】B,C

10.【答案】A,C

11.【答案】A,C

12.【答案】A,C,D

13.【答案】30

14.【答案】9

15.【答案】y=+V2x+1

16.【答案】6，1）

-77__RB

17.【答案】（1）解：•・•4+B+C=兀，・•・sinA=sin^B+C）,・•・bsinA=asinCLCOS2,

・••由正弦定理可得sinBsi兀4=sinAco

,.BB.BB....B

•・•sinBn=2nsui2cos2，-*•LSITI-^COS-^sinA=sinAcos-^--

sinAH0,cos,W0,:.sin号=艮吟=看，即B=茶

（2）解：依题意,S^ABC—^acsinB=^-ac-

因为|瓦5+前|=2|前I，所以|瓦？+前|=4，（瓦？+近）2=16，

1二

所以。2+a2+ac=16>3ac,ac<丁，

ABC面积的最大值为,x竽x孚=孥.

18.【答案】（1）解：•.•数列是等差数列，记其公差为小

5%+竽（/=4（11+竽&+3。1+等必=

2a1=d,今/Q]=1

由题意知—+d=l(d=2

、2［。1+（3九一1）由一3［。1+（2几-1）矶=1,

所以tin=1+(n-1)'2=2n—1；

(2)解.••On+1-Sn+「Sn_1____1__J------+------+----------------1_=J__

用牛.•Q9l

'乙，c-cc-ccncc'dcdc''cdcc

3几3rl+i3713rl+i3九+i,223)九n+l

]

S/i+i

_（l+2n-l）n_7^=1——

,%-2-n2；"0+1产

19.【答案】（1）解：记“检测出至少有1个零部件是合格品”为事件4

则P(4)=1-P(3)=1-(1-0.9)3=0.999；

（2）解：由题意可知，随机变量X的可能取值为0,1,2,

11

C16c4323

=-----==

2952)

2O95

所以随机变量X的分布列为

X012

1232_3_

199595

厂〜、c12,32,r338

E(X)=°X西+14X无+2X免=讴=

20.【答案】（1）证明：如图，在平面ABC内作CZ的垂线CD,「BiCl平面4BC,4C,BrC,DC两

依题意，以C为坐标原点，分别以方，而，国为久,y,z轴正方向建立空间直角坐标系.

AB1BC,AB=BC=立,：.AC=>JBA2+BC2=2.

2

••・BCu平面ABC,BiCJ•平面ABC,••.BiCIBC,BXC=\BB\-BC=2.易知4(2,0,0),B(l,1,0)，

.•.当M为4c中点时，点M的坐标为(1,0,0)，Bi(0,0,2),QC-1,-1,2).

AA^=西,.•.点Ai的坐标为(0。2)-(1,1,0)+(2,0,0)=(1,—1,2).

二Ng,-2(2)-AB—(—1,1,0)，MN-(—2)•

•••ABu平面ABC,/Cl平面ZBC,BXCVAB.

又力B1BC,BCCB]C=C,BC,BRu平面BCC/i,：.ABL^^BCC1B1.

■.■AB-'MN=0,MN||平面BCC/i；

(2)解:M(|,0,0),则而=(—[_.,2),MB=(1,l,0),~MC1=

设平面BCiM的法向量为记=（a,b,c）.

-^a+b=0,(a=3,

5令a=3,贝I」b=—l,,.•・访=(3,-L2).

一可。-b+2c=0,、c=2.

设直线MN与平面3clM所成的角为a.

由题意可得s出a=|c°s优而）|=/耦24=12VT1

V154X/14—77

21•【答案】（1）解：设支轴与准线的交点为M.

•••PF1QF,.♦.当|PF|=2|QF|时，tan乙PQF=2=tan^AFM,

：.\PM\=2\MF\,\MF\=2\MQ\.

：.\PQ\=\PM\+\MQ\=|\MF\=5\MF\=2=p，

••・抛物线C的标准方程为y2=4x；

(2)解：依题意，直线AB的斜率不为0,

二设直线48的解析式为久=ky+b,4(久1，%)，B(x2,y2)-

联立j匕7华〃消去久，得y2_4ky_4b=0.+刈=曲，为当=一如

Lx—Ky十ut

由同-FB=0可得(%1-1,%)，(比2-1，丫2)=。，二(久1一1)(%2-1)+为为=。，整理得反一6b+

1=4/c2.①

易知直线ZF的解析式为y=1),•••力二言.同理，为=音.

•.-S1=9S2,.-.\PF\-\QF\=9\AF\-\BF\,即需=9X掰，.•・募=等

...符=9,.走层1_夕fa-IK%-D=%即—含=9,•,»=：

y

丫1，2,,yry2~(%1T乂％2刀'1729

=22

•••\yr—y2l+丫2)2-4yly2=V16/c+166=V4Z?—8b+4=导.

-2%-2y2%仍-2次为+2为-2y2

附「班一如一以二1一以二Ij（修―1）（%2—1）1

1

,（必为―2）（y「及），”,64

=1―=7石-----1=4|九一丫21=5

22.【答案】（1）解：当a=—1时，/（%）=e比一s讥%，，转化为e"-bx—s讥％—1之0,在［0,+8）上

单调递增.

令八(久)—ex—bx—sinx—1,■,■/i'(久)—ex—cosx—b.

若bWO,则％'(久)N0在［0,+8)上恒成立，/i(x)在［0,+8)上单调递增，故/i(x)?八(0)=0,符合题

忌；

若b>0,令函数m(%)=ex-cosx-b,则TH'(%)=ex+sinx>0在［0,+8)上恒成立，

・,・根(%)在［0,+8)上单调递增，m(0)=-b<0,且当％7+8时，g(%)—+8.

・••3x0e(0,+8),g(%o)=o,故当久e(O,%o)时，h(x)=m(x)<0，/(%)单调递减，

当%G(%o,+8)时，九'(%)=m(x)>0，hQ)单调递增，贝!J/iQo)</i(0)=0,不符合题