九年级数学根的判别式及根与系数的关系培优教程

九年级数学根的判别式及根与系数的关系培优教程考点·方法·破译1．掌握一元二次方程根的判别式的运用，能兼顾运用的条件；2．理解掌握一元二次方程的根与系数关系，并会运用根与系数关系求对称式的值.经典·考题·赏板（成都）若关于x的一元二次方程QUOTE有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）A．k>-1B.QUOTEC.k<1D.QUOTE【解法指导】由题意得QUOTE【变式题组】1．（十堰）下列方程中，有两个不相等实数根的是（）A．QUOTEB.QUOTEC.QUOTED.QUOTE2．(潍坊)关于x的方程QUOTE有实数根，则整数a的最大值是（）A．6B.7C.8D.9【例２】（荆州）关于x的方程QUOTE只有一解（相同解算一解），则a的值为（）A．a=0B.a=2C.a=1D.a=0或a=2【解法指导】本题考查方程的有关知识，关于x的方程QUOTE只有一解，有两种情况，①该方程是一元一次方程，此时a=0；②该方程是一元二次方程，方程有两个相等的实数根，QUOTE,解得a=2.故选D.QUOTE【变式题组】3．(成都)设QUOTE是一元二次方程QUOTE的两个实数根，则QUOTE的值为_________.4．(南通)设QUOTE是一元二次方程QUOTE的两个实数根，则QUOTE,则a=______【例３】（包头）关于x的一元二次方程QUOTE的两个实数根分别是QUOTE，且QUOTE=7,则QUOTE的值是（）A．1B.12C.13D.25【解法指导】本题考查一元二次方程根与系数的关系及根的判别式，要注意所求的值必须满足QUOTE.由题意知：QUOTE又∵QUOTEQUOTE,而当m=5时，原方程的判别式QUOTE,此时方程无解，QUOTE不合题意舍去.QUOTE,故选C.【变式题组】5．（潍坊）已知关于x的一元二次方程QUOTE的两个实数根是QUOTE,则k的值是（）A．8B.-7C.6D.56．（鄂州）设QUOTE是关于x的一元二次方程QUOTE的两实根，当a为何值时，QUOTE有最小值？最小值是多少？【例４】（兰州）已知关于x的一元二次方程QUOTE.如果此方程有两个不相等的实数根，求a的取值范围；如果此方程的两个实数根为QUOTE,且满足QUOTE,求a的值.【解法指导】解：（1）QUOTE.∵方程有两个不相等的实数根，QUOTE.(2)由题意得：QUOTEQUOTE【变式题组】7．(绵阳)已知关于x的一元二次方程x2+2（k－1）x+k2－1=0有两个不相等的实数根．（1）求实数k的取值范围；（2）0可能是方程的一个根吗？若是，请求出它的另一个根；若不是，请说明理由．【例５】（中山）已知关于x的方程QUOTE.（1）求证:方程有两个不相等的实数根.（2）当m为何值时，方程的两根互为相反数？并求出此时方程的解.【解法指导】证明方程有两个不相等的实数根，一般要把QUOTE化为完全平方加正常数的形式.（1）证明:因为△==所以无论取何值时,△>0，所以方程有两个不相等的实数根.（2）解：因为方程的两根互为相反数，所以，根据方程的根与系数的关系得，解得，所以原方程可化为，解得，【变式题组】8．(中山)已知一元二次方程QUOTE.(1)若方程有两个实数根，求m的值；（2）若方程的两个实数根为QUOTE，且QUOTE+QUOTE,求m的值.【例６】设实数s,t分别满足QUOTE,并且st≠1，求QUOTE的值.【解法指导】本题要观察s,t的共同点，应用方程的思想，把它们看做一个一元二次方程的两根，应用根与系数关系求值.解：∵s≠0，∴第一个等式可以变形为：QUOTE,又∵st≠1，∴QUOTEt是一元二次方程x2+99x+19=0的两个不同的实根，于是，有QUOTE,即st+1=－99s，t=19s．∴QUOTE演练巩固·反馈提高01．(东营)若n（n≠0）是关于x的方程QUOTE的根，则m+n的值为A.1B.2C.-1D.-202．(株洲)定义：如果一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“凤凰”方程.已知是“凤凰”方程，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是 A． B． C． D．03．（崇左）一元二次方程QUOTE的一个根为-1，则另一个根为．04．(贺州)已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是．05．（上海）如果关于的方程（为常数）有两个相等的实数根，那么．06．（泰安）关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是.07．（淄博）已知关于x的方程．（1）若这个方程有实数根，求k的取值范围；（2）若这个方程有一个根为1，求k的值；（3）若以方程的两个根为横坐标、纵坐标的点恰在反比例函数的图象上，求满足条件的m的最小值．08．已知关于x的一元二次方程QUOTE(1)若方程有两个相等的实数根，求m的值；（2）若方程的两个实数根之积等于QUOTE,求QUOTE的值.09．（孝感）已知关于的一元二次方程有两个实数根和．（1）求实数的取值范围；（2）当时，求的值．10．（鄂州）关于x的方程有两个不相等的实数根.(1)求k的取值范围.(2)是否存在实数k，使方程的两个实数根的倒数和等于0?若存在，求出k的值；若不存在，说明理由11．（北京）已知：关于的一元二次方程．（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）设方程的两个实数根分别为，（其中）．若是关于的函数，且，求这个函数的解析式；（3）在（2）的条件下，结合函数的图象回答：当自变量的取值范围满足什么条件时，．12．（淄博）已知是方程的两个实数根，且．(1)求及a的值；(2)求的值．培优升级·奥赛检测01．（全国联赛）设，，且，则代数式的值为（）A5.B7.C9.D.11.02．（延边预赛）已知m是方程QUOTE的一个根，则代数式QUOTE的值等于（）A．2016B.2017C.2018D.201903．如果a、b都是质数，且QUOTE,那么QUOTE的值为（）A．QUOTEB.QUOTEC.QUOTEDQUOTE或204．（全国竞赛）已知实数QUOTE，且满足QUOTE的值为（）A．23B.-23C.-2D.-1305.(全国竞赛)设QUOTE是关于x的方程QUOTE的两个实数根，则QUOTE的最大值为___________06．已知QUOTE是方程QUOTE的两个实数根，则QUOTE07．（全国联赛）对于一切不小于2的自然数n，关于x的一元二次方程QUOTE的两个根记作QUOTE,则QUOTE__08．已知关于x的方程：QUOT