2025年中考数学一轮复习之三角形

2025年中考数学一轮复习之三角形

选择题（共10小题）

1.在学习了《勾股定理》一课后，小明同学对于它的证明方式非常好奇，并动手操作，完成了其中一些

证明并给出了示意图.请你根据示意图帮助小明同学判断，一定不能完成定理证明的是（）

B.

2.已知关于尤的不等式组［“一。切，至少有两个整数解，且存在以2,a,5为边的三角形，则。的整

（2久+128

数解有（）

A.0个B.1个C.2个D.3个

3.将一副三角板按如图所示摆放，使含30°角的三角板的斜边与含45°角的三角板的一条直角边平行,

4.我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”如图所示，它是由四个全等的直角三

角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形.若大正方形面积为136,小正方形面积为16,则tan。的

值为（）

5.已知数轴上点A,B,C,。对应的数字分别为-1,1,x,7,点C在线段5。上且不与端点重合，若

线段A3,BC,CZ）能围成三角形，则％的取值范围是（）

4乌gp.

61X7

A.l<x<7B.2<x<6C.3<x<5D.3<x<4

6.如图，直线MN〃尸。，等腰直角三角板ABC的底角顶点A落在尸。上，直角顶点C落在MN上，若N

A.70°B.65°C.60°D.55°

7.如图，在Rt^ABC中，ZC=90°,分别以各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上称为“希波

克拉底月牙"，当AC=4,8C=2时，则阴影部分的面积为（）

A.4B.4TCC.8nD.8

8.如图，在△ABC中，AO_L8C于点。，点£■是8C的中点.设AB=c,AC=b,AD=h,BD=m,CD

=n,m<n9且层=根〃.有以下三个结论：

①。2=加2+根几；

1

②点A,B,C在以点E为圆心，5（血+力为半径的圆上；

③廿+机2>3层.

上述结论中，所有正确结论的序号是（）

A.①②B.①③C.②③D.①②③

9.勾股定理是人类数学文化的一颗璀璨明珠，是用代数思想解决几何问题最重要的工具，也是数形结合

的纽带之一.如图，当秋千静止时，踏板8离地的垂直高度8E=0.7m,将它往前推3机至C处时（即

水平距离。=3%），随板离地的垂直高度CT=25w,它的绳索始终拉直，则绳索AC的长是（）

1MI

JVJ

・.F-..................E

A.3.4mB.5mC.4mD.5.5m

10.如图，直线/i〃/2,等腰直角三角形ABC和等边△。石尸在/1,/2之间，点A,。分别在/1,/2上，点8,

C,E,b在同一直线上.若Na=53°则的度数为（）

_____A____________i

D’2

A.50°B.52°C.54°D.56°

二.填空题（共5小题）

11.如图，在四边形ABC。中，BCLBD,BC=2,BD=4.作垂足为点M,连接CM,若AM

=3,则CM+AD的最小值为________

A

B/4

C

12.如图，把四边形的某些边向两方延长，其它各边有不在延长所得直线的同一旁，这样的四边形叫做凹

四边形.如图，在凹四边形ABCD中，BC=2,AB=2痘,ZB=90°,NC=30°,ZA=15°,则

凹四边形ABCD的周长为

13.如图，已知/BAC=60°,AD是角平分线且4。=20,作AD的垂直平分线交AC于点F,DELAC,

14.如图，4ABC的顶点都在以边长为1的小正方形组成的网格格点上，则BC边上的高等

于.

15.如图，2。是△ABC的角平分线，DE_LBC于点、E.若3E=3,△2DE的面积为1.5,则点。到边AB

的距离为.

16.如图，△ABC中，AB=2AC,点尸为8c延长线上一点.

⑴若，,求抬的长；(请从信息“①/E4C=/B,®BC=6,③CP

=2”中选择两个分别填入横线中，将题目补充完整，并完成解答.)

(2)在(1)的条件下，当AC=A尸时，求△ABC的面积.

(1)求证：AB=DE；

(2)若NA=25°,NE=35°,求/EC。的度数.

18.如图，已知△ABC,ZC=50°,将45沿着射线BC的方向平移至。E,使E为8C的中点，连接A。,

记DE与AC的交点为O.

(1)求证：△A0£)义△COE；

(2)若AC平分/BA。，求NB的度数.

19.某校项目式学习小组开展项目活动，过程如下：

项目主题：测量某水潭的宽度.

问题驱动：能利用哪些数学原理来测量水潭的宽度？

组内探究：由于水潭中间不易到达，无法直接测量，需要借助一些工具来测量，比如自制的直角三角形

硬纸板，米尺，测角仪，平面镜等，甚至还可以利用无人机，确定方法后，先画出测量示意图，然后进

行实地测量，并得到具体数据，从而计算水潭的宽度.

成果展示：下面是同学们进行交流展示时的两种测量方案:

方案方案①方案②

—w

测量示意图

L

图②

C1-------

图①

测量说明如图①，测量员在地面上找如图②，测量员在地面上找

一点C,在BC连线的中点。一点C,沿着BC向前走到点

处做好标记，从点C出发，。处，使得CO=AC,沿着

沿着与A2平行的直线向前AC向前走到点E处，使得

走到点E处，使得点E与点CE=BC,测出。、E两点之

A、。在一条直线上，测出间的距离

CE的长度

测量结果CE=20m,BD=CD,CE//AC—CD,BC—CE,DE—2Qm

AB

请你选择上述两种方案中的一种，计算水潭的宽度A艮

20.将△A8C和如图放置.已知ZD+ZC//F=18()°,AB//EF,求证：AABC^ADEF.

A

//\

BECD

2025年中考数学一轮复习之三角形

参考答案与试题解析

一.选择题（共10小题）

1.在学习了《勾股定理》一课后，小明同学对于它的证明方式非常好奇，并动手操作，完成了其中一些

证明并给出了示意图.请你根据示意图帮助小明同学判断，一定不能完成定理证明的是（）

【考点】勾股定理；相似三角形的判定与性质；三角形的面积.

【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力.

【答案】c

【分析】由正方形面积公式、三角形面积公式以及梯形面积公式分别对各个选项进行判断即可.

【解答】解：A.设计的图形中，如下图，

c2=4x彳ab+(a—6)2,

.'.c1~2ab+a1-2ab+b2,

.".c1=a2+b2,

•••可完成定理证明，故本选项不符合题意;

B.设计的图形中，如下图，

1111

.".-ab+~abc7=&(a+b)(a+b),

/.2ab+c2—cP'+lab+b1,

'.c^+kr—c1,

可完成定理证明，故本选项不符合题意；

C.设计的图形中，不能完成勾股定理的证明，符合题意;

D.设计的图形中，如下图，

VZA=ZA,ZACB=ZADC=90°,

AADC^AACB,

.ACAD

••一,

ABAC

：.AC2=AB9AD,

•:/B=/B,ZBCA=ZBDC=90°,

:.XBCNSXBDC,

.BCBA

••—,

BDBC

:.Bd=AB・BD,

.'.Ad+B^^AB-AD+AB-BD^AB(AD+BZ5)=AB2,即a2+c2=c2,

可完成定理证明，故本选项不符合题意.

故选：C.

【点评】本题考查了勾股定理的证明、正方形面积公式、三角形面积公式以及梯形面积公式，相似三角

形的性质与判定，熟练掌握勾股定理是解题的关键.

2.已知关于x的不等式组［,至少有两个整数解，且存在以2,a,5为边的三角形，则。的整

t2x+1>8

数解有（）

A.0个B.1个C.2个D.3个

【考点】三角形三边关系；解一元一次不等式组；一元一次不等式组的整数解.

【专题】一元一次不等式（组）及应用；三角形；运算能力；推理能力.

【答案】B

【分析】依据不等式组至少有两个整数解，即可得到。>5,再根据存在以2,a,5为边的三角形，可

得3<a<7,即可得到结论.

【解答】解：解不等式尤-。<0,可得无<4,

解不等式2x+l28,可得尤》3.5,

：不等式组至少有两个整数解，

••ci）>5,

又•.•存在以2,a,5为边的三角形，

：.a的取值范围是5<a<7,

的整数解有1个，

故选：B.

【点评】此题考查的是一元一次不等式组的解法和三角形的三边关系的运用，求不等式组的解集应遵循

以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了.

3.将一副三角板按如图所示摆放，使含30°角的三角板的斜边与含45°角的三角板的一条直角边平行,

【考点】等腰直角三角形；平行线的性质.

【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力.

【答案】B

【分析】根据平行线的性质可得NA8C的度数，再根据三角形内角和定理可得/a的度数.

【解答】解：•••含30°角的三角板的斜边与含45°角的三角板的一条直角边平行，如图所示:

VZC=30°,

.•.Za=180°-45°-30°=105°,

故选：B.

【点评】本题考查了平行线的性质，三角板中角度的特点，三角形内角和定理等，熟练掌握这些知识是

解题的关键.

4.我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”如图所示，它是由四个全等的直角三

角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形.若大正方形面积为136,小正方形面积为16,则tan0的

3

D.-

4

【考点】勾股定理的证明；解直角三角形.

【专题】解直角三角形及其应用；运算能力；推理能力.

【答案】A

【分析】设小直角三角形的直角边为a,b,根据两个正方形的面积得到4X*6(a-6)2=136,(a-b)

2=16,进而推出Z?=〃-4,ab=60,则可得方程〃(〃-4)=60,

解方程求出〃=10,则Z?=〃-4=6,再由正切的定义可得tan8=怖=¥=号.

【解答】解：设小直角三角形的直角边为a,b,a>b,大正方形面积为136,小正方形面积为16,

.*.4x(a-b)2=136,(a-b)2=16,

：・2ab+(〃-Z?)2=136,

a-Z?=4,

.,.2ab+16=136,b=a-4,

•*60,

••ci（。-4）=60,

解得a=10或a=-6（舍去），

.".b—a-4=6,

tan0=者=当=率

故选：A.

【点评】本题主要考查了求角的正切值，解一元二次方程，解题的是掌握还是得灵活运用.

5.已知数轴上点A,B,C,。对应的数字分别为-1,1,无，7,点C在线段BD上且不与端点重合，若

线段AB,BC,8能围成三角形，则x的取值范围是（）

A_BCDr

6ix7>

A.l<x<7B.2<x<6C.3Vx<5D.3cx<4

【考点】三角形三边关系；数轴；解一元一次不等式组.

【专题】实数；一元一次不等式（组）及应用；三角形；运算能力.

【答案】C

仅-1+7-%>2①

【分析】由三角形三边关系定理得：h+x-l>7-x@,得到不等式组的解集是3〈尤<5,即可得到

[2+7-x>x-l@

答案.

【解答】解：由点在数轴上的位置得：AB^l-（-1）=2,BC=x-1,CD=7-x,

（x-1+7-x>2®

由三角形三边关系定理得：12+x—l>7—x②，

（2+7-%>%-1（3）

不等式①恒成立，

由不等式②得：尤>3,

由不等式③得：尤<5,

不等式组的解集是3Vx<5,

故选：C.

【点评】本题考查三角形三边关系定理，数轴，解一元一次不等式组，关键是由三角形三边关系定理得

到一元一次不等式组.

6.如图，直线MN〃尸。，等腰直角三角板A8C的底角顶点A落在尸。上，直角顶点C落在上，若/

A.70°B.65°C.60°D.55°

【考点】等腰直角三角形；平行线的性质.

【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力.

【答案】D

【分析】先根据AABC是等腰直角三角形可得/8=45°,由三角形外角的性质得N8OM=10°+45

=55°,最后根据平行线的性质可得答案.

【解答】解：:△ABC是等腰直角三角形，

.,.ZB=45°,

10°,

/BDM=ZB+ZBCM,

：.ZBDM^10°+45°=55°,

'：MN//PQ,

：.ZPAB=ZBDM=55°.

故选：D.

【点评】本题考查平行线的性质，等腰直角三角形的性质，三角形的外角的性质等知识，解题的关键是

学会用数形结合的思想思考问题，属于中考常考题型.

7.如图，在RtAABC中，NC=90°,分别以各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上称为“希波

克拉底月牙"，当AC=4,8C=2时，则阴影部分的面积为()

A.4B.4TTC.8itD.8

【考点】勾股定理.

【专题】与圆有关的计算.

【答案】A

【分析】根据勾股定理得到根据扇形面积公式计算即可.

【解答】解：由勾股定理得，AB2=AC2+BC2=20,

[1AC[BC〔AB

则阴影部分的面积=5XACXBC+5XnX()XnX()2-7TXTlX(—)2

2222222

=1x2X4+|x-rtx|x(AC2+BC2-AB2)

ZZ4

=4,

故选：A.

【点评】本题考查的是勾股定理、扇形面积计算，掌握勾股定理和扇形面积公式是解题的关键.

8.如图，在△ABC中，AO_L2C于点。，点E是BC的中点.设AB=c,AC=b,AD=h,BD=m,CD

=n,m<n,且层=7加.有以下三个结论：

@c2=m2+mn；

1

②点A,B,C在以点E为圆心，](巾+n)为半径的圆上；

③■+"，>3层.

上述结论中，所有正确结论的序号是()

A.①②B.①③C.②③D.①②③

【考点】勾股定理.

【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力.

【答案】D

【分析】根据AZ)J_5C可得A82=BZ)2+A£)2,即02=m2+%2,又因为〃2=加几，所以《2=^+相〃，故①正

确；根据AO_L8C,痉=mn,可证△ABDs/^CA。，进而NA4C=90°,所以点A,B,C在以点E为

1

圆心，5(血+71)为半径的圆上，故②正确；根据相似三角形的性质逐一分析解答即可；在Rt^ACD中，

22222

AC=A£>+CZ>,即。2-%2二九2,可得/?2+加2_3■=(庐一〃2)+(祖2一2层)=n+m-2mn=(m-n)

2，根据加〈九，可知(m-n)2>0,所以层+加2>3庐，故③正确.

【解答】解：9.AD=h,BD=m,CD=n,且炉=加几，

hnCD

——=BP—=—,

mhBDAD

・・・A0_L5C于点O,

ZADB=ZCDA=90°,

XABDsXCAD,

：.ZBAD=ZC,

9：ZC+ZCAD=90°,

：.ZBAD+ZCAD=90°,

・•・△ABC为直角三角形.

在RtZXAB。中，AB2=BD1+AD2,

c2=m2+/z2,

・#=mn,

c2=m2+mn,故①正确.

:△ABC为直角三角形，ZBAC=90°,BC=m+〃,

1

・••点A,B,C在以点E为圆心，鼻(M+n)为半径的圆上，故②正确；

在RtZXAC。中，AC2=AD2+CD2,即庐-庐=九2,

/.Z?2+m2-3/Z2=(庐-庐)+(m2-2/z2)=n2+m2-2mn=(m-n)2,

■；m〈n,

-3/Z2=(m-n)2>0,

.•.庐+也2>3层,故③正确.

故选：D.

【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理、直径所对的圆周角为90。、以及代数推理

等知识.

9.勾股定理是人类数学文化的一颗璀璨明珠，是用代数思想解决几何问题最重要的工具，也是数形结合

的纽带之一.如图，当秋千静止时，踏板8离地的垂直高度8E=0.7优，将它往前推3机至C处时(即

水平距离CZ)=3W7),随板离地的垂直高度CP=2.5相，它的绳索始终拉直，则绳索AC的长是()

A

IWIcZ^D

A.3.4mB.5mC.4mD.5.5m

【考点】勾股定理的应用.

【专题】等腰三角形与直角三角形；应用意识.

【答案】A

【分析】设AC的长为x,则AB=AC=x〃z,故A£>=AB-8D=(%-1.8)m.在直角△ADC中利用勾

股定理即可求解.

【解答】解：由题意可知，CF=2.5/77,BE=0.7m,

.\BD=1.8m.

设AC的长为尤根，贝i|AB=AC=xwi,

所以AD=A8-8£)=(x-1.8)m.

在直角△ADC中，AD2+CD1=AC2,即(x-1,8)2+32=x2,

解得：x=3.4,

即绳索AC的长是3.4米.

故选：A.

【点评】本题考查勾股定理的实际应用，找到直角三角形并利用勾股定理构造方程是解题的关键.

10.如图，直线等腰直角三角形ABC和等边在心/2之间，点A,。分别在心/2上，点B,

C,E,尸在同一直线上.若Na=53°,则的度数为()

A.50°B.52°C.54°D.56°

【考点】等边三角形的性质；平行线的性质.

【专题】线段、角、相交线与平行线；等腰三角形与直角三角形；几何直观；运算能力；推理能力.

【答案】B

【分析】延长AC交/2于H,由平行线性质得/C〃O=180。-Za=127°,由等腰直角三角形性质得

NACB=/ECH=45°,再由等边三角形性质得NEZ加=60。,则NCED=180°-ZDEF=

120°,再由四边形内角和等于360°得/EDH=68。，由此可得的度数.

【解答】解：延长AC交/2于H,如下图所示：

V11//12JZa=53°,

.,.ZCH£>+Za=180°,

ZCHZ)=180°-Za=180°-53°=127°,

・・・△ABC是等腰直角三角形，且N8AC=90°,

ZACB=ZECH=45°,

:△。斯是等边三角形，

：.ZDEF=ZEDF=60°,

.•.ZCEZ)=180°-ZDEF=120°,

在四边形CEDH中，ZECH+ZCHD+ZCED+ZEDH=360°,

即45°+127°+120°+/EDH=360°,

：.ZEDH=68°,

.•.Zp=180°-Z.EDF-ZEDH=lS0°-60°-68°=52°.

故选：B.

【点评】此题主要考查了等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质，平行线的性质，准确识图，熟练

掌握等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质，平行线的性质是解决问题的关键.

二.填空题(共5小题)

11.如图，在四边形ABC。中，BCLBD,BC=2,BD=4.作AA/1.8。，垂足为点Af,连接CM,若

=3,则CM+AD的最小值为V41

A

C

【考点】勾股定理；解直角三角形；线段的性质：两点之间线段最短.

【专题】等腰三角形与直角三角形；矩形菱形正方形；推理能力.

【答案】V41.

【分析】过。作AM的平行线，过A作8。的平行线，两平行线交于点E,即AE//MD,证

明四边形AMOE是矩形推出CM+AD=CM+ME；连接CE,则当点〃与CE、BD的交点重合时，CM+ME

最小，从而CM+AD最小，且最小值为线段CE的长；在RtAEFC中，由勾股定理求出CE的长即可得

出结果.

【解答】解：如图，过D作AM的平行线，过A作2D的平行线，两平行线交于点E,即AM//DE,

AE//MD,

"：AM±BD,

四边形AMDE是矩形，

：.DE±BD,AM=DE=?>,AD=ME,

：.CM+AD=CM+ME；

连接CE,

则当点M与CE、8。的交点重合时，CM+ME最小,从而CM+A。最小，且最小值为线段CE的长;

过C作C尸〃B。，交ED延长线于点R则尸=90°,

四边形BCFO是矩形，

：.CF=BD=4,ZF=90°,DF=BC=2,

：.EF^DE+DF^5；

在RtZXEFC中，由勾股定理得，

CE=VCF2+EF2=V16+25=V41,

.♦.CM+AD最小值为V41,

故答案为：V41.

【点评】本题考查了矩形的判定与性质，勾股定理，正确作出辅助线构造直角三角形EFC是解题的关

键.

12.如图，把四边形的某些边向两方延长，其它各边有不在延长所得直线的同一旁，这样的四边形叫做凹

四边形.如图，在凹四边形ABCD中，BC=2,AB=243,ZB=90°,ZC=30°,ZA=15°,则

凹四边形ABC。的周长为4g+2a.

C

【考点】勾股定理；含30度角的直角三角形.

【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力.

【答案】4V3+2V2.

【分析】过点。作。E_LBC于点E,作。于点R作/。GB=30°,设。E=x,则。=2。£=

2x,由勾股定理求出CE的长，继而求出BE的长，再证四边形。防尸是矩形，即可得出DR8F的长，

再求出。G的长、FG的长，由A8的长即可求出尤的值，从而求出凹四边形A8CQ的周长.

【解答】解：过点。作OELBC于点E,作。于点r作/。G8=30°,

设DE=x,

在RtZxCL比中，NC=30°,

：.CD=2DE=2x,

由勾股定理得，CE=<CD2-DE2=7(2x)2-%2=V3x,

,:BC=2,

:.BE=BC-CE=2-V3x,

\'DE±BC,DFLAB,ZB=90°,

...四边形。EBE是矩形，

：.DE=BF=x,DF=BE=2一岛,

在RtZXOFG中，ZZ)GB=30°,

:.DG=2DF=2(2-V3x)=4一2遮％,/GDF=60°,

FG

,."tan60°=筹

.B_FG

7二三总

:.FG=2V3-3x,

VZDGB=30°,ZA=15°,

?.ZADG=ZDGB-ZA=30°-15°=15°,

ZADG^ZA,

：.AG=DG=4-243x,

'：AB=2A/3,

.*.x+2-\/3—3x+4—2V3x=2V3,

x=V3—1,

CD=2V3-2,DF=V3-1,AF=AB-BF=2V3-(V3-1)=V3+1,

在RtAADF中，由勾股定理得，XD=VDF2+XF2=J(V3-l)2+(V3+l)2=2a,

.•.凹四边形ABCD的周长为BC+AB+CD+AD=2+2V3+2y-2+2/=4旧+242,

故答案为：4V3+2V2.

【点评】本题考查了勾股定理，含30。角的直角三角形，矩形的判定与性质，熟练掌握勾股定理是解

题的关键.

13.如图，己知NBAC=60°,是角平分线且AD=20,作的垂直平分线交AC于点R作。ELAC,

则△OEF的周长为10+10b.

【考点】线段垂直平分线的性质.

【专题】三角形；推理能力.

【答案】见试题解答内容

【分析】根据含30°角的直角三角形的性质求出。及根据勾股定理求出AE,根据线段垂直平分线的

性质、三角形的周长公式计算，得到答案.

【解答】解：：/区4。=60°,是角平分线，

.•.ZZ)A£=30°,

在RtZXZME中，4。=20,ZDAE=30°,

：.DE=^AD=10,

由勾股定理得：AE=VXD2-DE2=10V3,

,：AD的垂直平分线交AC于点F,

C.FA^FD,

：.LDEF的垂直=OE+EF+FD=Z)E+EF+胆=Z)E+AE=10+10V3,

故答案为：10+10VI.

【点评】本题考查的是直角三角形的性质、勾股定理、线段垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线

上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键.

5-734

14.如图，△ABC的顶点都在以边长为1的小正方形组成的网格格点上，则8C边上的高等于七.

【考点】勾股定理；三角形的面积.

【专题】三角形；几何直观；运算能力.

一5V34

【答案】-.

【分析】根据图形可知：AC=2,AC边上的高为5,根据勾股定理可以求得的长，再根据等面积法

即可求得边上的高.

【解答】解：由图可得，

AC=2,AC边上的高为5,BC=V32+52=V34,

设BC上的边上的高为人

„,2X5V34/1

则一=——)

22

解得h=翌，

山林15faAL5V34

故答案为：——•

17

【点评】本题考查勾股定理、三角形的面积，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答.

15.如图，8。是△ABC的角平分线，DELBC于点E.若BE=3,△BOE的面积为1.5,则点。到边A8

的距离为1.

【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力.

【答案】1.

【分析】过点。作。尸，A8,交A8的延长线于点凡根据角平分线的性质证得。然后根据面

积公式求出。E即可解答.

【解答】解：过点。作。尸，42,交A8的延长线于点R

：8。是△ABC的角平分线，OEL8C于点E,

：.DE=DF,

:BE=3,△BOE的面积为1.5,

1

—X3XDE=1.5,

2

解得。£=1,

：.DF=DE=\.

故答案为：1.

【点评】本题考查了角平分线的性质定理,掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键.

三.解答题（共5小题）

16.如图，ZkABC中，AB=2AC,点尸为8C延长线上一点.

（1）若①4c=/8,③CP=2,求出的长；（请从信息“①/B4c=/8,②BC=6,③

CP=2”中选择两个分别填入横线中，将题目补充完整，并完成解答.）

（2）在（1）的条件下，当AC=A尸时，求△ABC的面积.

（备用图）

【考点】三角形的面积.

【专题】三角形；图形的相似；几何直观；运算能力.

【答案】（1）①/朋C=/B,③CP=2；%=4；

（2）3V15.

Cp4c

【分析】（1）选择①③CP=2,证△必Cs/kPBA得一=一，再根据A2=2AC即可得

PAAB

p力CPAC1

PA的长；另外（i）如果选择①NEACuNB,②BC=6,由△RICS2XPBA得一=一=——=一，

PBPAAB2

进而得P8=29,PA=2CP,此时求不出心的长；（ii）如果选择②BC=6,®CP=2,此时也求出外

的长，由此即可得出答案；

（2）过点A作AO_LPC于。，则CP=2,AC=AP=4,进而得CO=PD=1,再由勾股定理求出AD=V15,

zc1__

则Sc=V15,根据AB4c和△PB4相似且一=一,得SPAB=4V15,由此可得AABC的面积.

AB2A

【解答】解：（1）若①NB4C=NB③CP=2,求B4的长；

VZB4C=ZB,ZP=ZP,

・CPAC

••—,

PAAB

9

：AB=2ACf

.CP1

••=一,

PA2

：.PA=2CP=^

另外(i)如果选择①NB4C=N8,②BC=6,

同理AB4cs△PR4,

ePACPAC1

••PB~PA~AB~2

：.PB=2PA,B4=2CP,

此时求不出出的长；

(ii)如果选择②5c=6,③CP=2,此时也求出阴的长.

故答案为：①NB4C=N8③CP=2.

(2)过点A作AOLPC于。，如下图所示：

・・•在（1）的条件下,

：.CP=2,AP=4,

：.AC=AP=4,

；・CD=PD=1,

在Rt^ACZ）中，由勾股定理得：AD=yjAC2-CD2=V15,

.".SAPAC=.XCPXAD=X2V15=V15,

AC1

「△B4cs△尸BA,—=一，

AB2

S^PAC:S^PBA=1:4,

S^PAB=4S/\PAC=4V15,

•\S^ABC=S^PAB-SAB4C=4V15-V15=3V15.

【点评】此题主要考查了三角形的面积，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质

是解决问题的关键.

17.如图，CA=CD,ZBCE=ZACD,BC=EC.

(1)求证：AB=DE；

(2)若乙4=25°,Z£=35°,求/ECZ)的度数.

【考点】全等三角形的判定与性质.

【专题】图形的全等；运算能力；推理能力.

【答案】见试题解答内容

【分析】(1)由得/ACB=NDCE,而CA=CZ),BC=EC,即可根据“SAS”证明△

ACB与ADCE,贝!]A8=OE；

(2)由全等三角形的性质得NA=NQ=25°,而/E=35°,则NEC£)=180°-ZD-ZE=120°.

【解答】(1)证明：

NBCE+NACE=ZACD+ZACE,

：.ZACB=ZDCE,

在△ACB和△OCE中，

CA=CD

Z.ACB=Z.DCE,

BC=EC

:.AACB2ADCE(SAS),

：.AB=DE.

(2)解：由(1)得△ACB之△OCE,

AZA=ZD=25°,

VZ£=35°,

AZ£CD=180°-ZD-ZE=180°25°-35°=120°,

.♦./EC。的度数是120°.

【点评】此题重点考查全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理等知识，推导出

进而证明△ACB会△OCE是解题的关键.

18.如图，已知△ABC,NC=50°,将AB沿着射线2C的方向平移至。E,使E为BC的中点，连接AD,

记DE与AC的交点为。.

(1)求证：AAOD^ACOE；

(2)若AC平分/BA。，求NB的度数.

【考点】全等三角形的判定与性质；平移的性质.

【专题】图形的全等；平移、旋转与对称；推理能力.

【答案】(1)见解析过程；

(2)80°.

【分析】⑴由三角形中位线定理可得。4=OC,EO=%B=OD,由“SAS”可证△49。丝△(%)£；

(2)由全等三角形的性质可得/ZMO=NC=50°,由角平分线的定义可得"/氏4。=2/。4。=100°,

由平行线的性质可求解.

【解答】(1)证明：由平移可知，AB=DE,AB//DE,

为BC的中点，

是△ABC的中位线，

：.OA=OC,EO=^AB,

1

・•・OE=2E,

即DO=OE,

在△AO。与△COE中，

OA=OC

Z-AOD=Z-COE,

OD=OE

：.AAOD^ACOE(SAS)；

(2)解：VAAOD^ACOE,

：.ZDAO=ZC=50°,

〈AC平分NBA。，

：.ZBAC=ZOAD=50°,

/.ZBAD=2ZDAO=100°,

由平移可知，AD//BC,

：.ZBAD+ZB=1SO°,

.•.ZB=180°-ZJBAD=180°-100°=80°.

【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形中位线的定理，平移的性质，掌握全等三角形的

判定是解题的关键.

19.某校项目式学习小组开展项目活动，过程如下：

项目主题：测量某水潭的宽度.

问题驱动：能利用哪些数学原理来测量水潭的宽度？

组内探究：由于水潭中间不易到达，无法直接测量，需要借助一些工具来测量，比如自制的直角三角形

硬纸板，米尺，测角仪，平面镜等，甚至还可以利用无人机，确定方法后，先画出测量示意图，然后进

行实地测量，并得到具体数据，从而计算水潭的宽度.

成果展示：下面是同学们进行交流展示时的两种测量方案：

方案方案①方案②

测量示意图w:

图②

图①

测量说明如图①，测量员在地面上找如图②，测量员在地面上找

一点C,在BC连线的中点。一点C,沿着BC向前走到点

处做好标记，从点C出发，。处，使得CO=AC,沿着

沿着与平行的直线向前AC向前走到点E处，使得

走到点E处，使得点E与点CE=BC,测出。、E两点之

A、。在一条直线上，测出间的距离

CE的长度

测量结果CE=20m,BD=CD,CE//AC=CD,BC=CE,DE=20m

AB

请你选择上述两种方案中的一种，计算水潭的宽度

【考点】全等三角形的应用.

【专题】三角形；推理能力.

【答案】见试题解答内容

【分析】选择方案①：先证明/ABC=NC,结合NADB=NEDC,DB=DC,可得△A3。丝

再利用全等三角形的性质可得结论；

选择方案②：直接利用SAS证明△AC80ADCE,再利用全等三角形的性质可得结论；

【解答】解：选择方案①；

'：CE//AB,

：.ZABC=ZC,

；NADB=NEDC,DB=DC,

：.△ABD"AECD,

'：CE=2Qm,

：.AB=CE=20(m),

水潭的宽度AB为20m；

选择方案②：

'：AC=DC,BC=EC,ZACB=ZDCE,

：.AACB^ADCE,

'：DE=2Qm,

：.AB=DE^20(m),

，水潭的宽度4B为20%；

【点评】本题考查的是全等三角形的应用，熟记全等三角形的判定方法与全等三角形的性质是解本题的

关键.

20.将△ABC和△。斯如图放置.已知/D+NCHF=180°,AB//EF,求证：AABC^ADEF.

BECD

【考点】全等三角形的判定.

【专题】图形的全等；推理能力.

【答案】见解答.

【分析】先根据等角的补角相等得到再根据平行线的性质得到ZCHE=

ZA,所以NA=N。，然后利用“ASA”可判断△ABC咨△£>£?

【解答】证明：VZD+ZCHF=180°,NCHF+/CHE=180°,

：.ZD=ZCHE,

'：AB//EF,

:./B=/DEF,ZCHE=ZA,

：.ZA^ZD,

在△ABC和△。瓦'中，

fZA=/D

.AB=DE'

、乙B=乙DEF

：.AABC^ADEF(ASA).

【点评】本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法是解决问题的关键；选用

哪一种方法，取决于题目中的已知条件.

考点卡片

1.数轴

(1)数轴的概念：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴.

数轴的三要素：原点，单位长度，正方向.

(2)数轴上的点：所有的有理数都可以用数轴上的点表示，但数轴上的点不都表示有理数.(一般取右方

向为正方向，数轴上的点对应任意实数，包括无理数.)

(3)用数轴比较大小：一般来说，当数轴方向朝右时，右边的数总比左边的数大.

2.解一元一次不等式组

(1)一元一次不等式组的解集：几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的不等式组

的解集.

(2)解不等式组：求不等式组的解集的过程叫解不等式组.

(3)一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些

解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集.

方法与步骤：①求不等式组中每个不等式的解集；②利用数轴求公共部分.

解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到.

3.一元一次不等式组的整数解

(1)利用数轴确定不等式组的解(整数解).

解决此类问题的关键在于正确解得不等式组或不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一

步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式组的整数解.

(2)已知解集(整数解)求字母的取值.

一般思路为：先把题目中除未知数