2024年中考数学试题分类汇编：图形的旋转（36题）解析版

专题21图形的旋转（36题）

一、单选题

1.（2024・湖北・中考真题）平面坐标系尤2y中，点A的坐标为（T,6）,将线段绕点。顺时针旋转90。,

【答案】B

【分析】本题考查坐标系下的旋转.过点A和点A分别作x轴的垂线，证明会£OAC（AAS）,得到

AC=OB=4,OC=AB=6＞据此求解即可.

【详解】解：过点A和点4分别作1轴的垂线，垂足分别为BC,

:点A的坐标为(-4,6),

OB=4,AB=6,

•・•将线段。4绕点。顺时针旋转90。得到04,

：.OA=OAfNAQ4'=90。，

・•・ZAOB=90°-ZArOC=ZOAC,

AAOB^O4rC(AAS),

**.AC=OB=4,OC=AB=6,

，•点A的坐标为（6,4）,

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故选：B.

2.（2024.吉林・中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（-4,0）,点C的坐标为（0,2）.以04OC

为边作矩形。1BC,若将矩形Q4BC绕点。顺时针旋转90。，得到矩形OAB'C,则点？的坐标为（）

B'

A.(“2)B.(-4,2)C.(2,4)D.(4,2)

【答案】C

【分析】本题主要考查了坐标与图形变化一旋转，矩形的性质等等，先根据题意得到OA=4,OC=2,再

由矩形的性质可得AB=OC=2,ZABC=90°,由旋转的性质可得。V=Q4=4,AB'=AB=2,

ZOAB'=90°,据此可得答案.

【详解】解：：点A的坐标为（T,0）,点C的坐标为（0,2）,

OA=4,OC=2,

•..四边形。1BC是矩形，

AB=OC=2,ZABC=90°,

:将矩形。"C绕点。顺时针旋转90。，得到矩形OAB'C',

OA'=OA=4,AB'=AB=2,ZOAB'=90°,

：.A®。轴，

•••点8’的坐标为（2,4）,

故选：C.

3.（2024•天津・中考真题）如图，A8C中，48=30,将ABC绕点C顺时针旋转60得到.DEC,点A8

的对应点分别为RE,延长W交DE于点尸，下列结论一定正确的是（）

A.ZACB=ZACDB.AC//DE

C.AB=EFD.BF±CE

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【答案】D

【分析】本题考查了旋转性质以及两个锐角互余的三角形是直角三角形，平行线的判定，正确掌握相关性

质内容是解题的关键.先根据旋转性质得NBCE=NACD=60。，结合48=30,即可得证3尸，CE,再根

据同旁内角互补证明两直线平行，来分析AC〃DE不一定成立；根据图形性质以及角的运算或线段的运算

得出A和C选项是错误的.

【详解】解：记所与CE相交于一点H,如图所示：

：ABC中，将ABC绕点C顺时针旋转60得到DEC,

ZBCE=ZACD=60°

"?ZB=30°

.•.在BHC中,ZBHC=180°-ZBCE-ZB=90°

BFLCE

故D选项是正确的，符合题意；

设NAC"=x。

ZACB=60°-x°,

"?ZB=30°

/.ZEDC=ABAC=180°-30°-（60。-x。）=90°+x。

NEDC+ZACD=90°+x°+60°=150。+x°

：廿不一定等于30。

Z./EDC+/ACD不一定等于180。

•*.AC〃DE1不一定成立，

故B选项不正确，不符合题意；

VZACB=6O°-x°,ZACD=60°,廿不一定等于0。

NACB=/ACD不一定成立，

故A选项不正确，不符合题意；

•..将ASC绕点C顺时针旋转60得至LDEC,

：.AB=ED=EF+FD

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/.BA>EF

故C选项不正确，不符合题意；

故选：D

4.(2024・四川自贡・中考真题)如图，在平面直角坐标系中，。(4,-2),将RtAOCD绕点。逆时针旋转90。到

位置，则点8坐标为()

A.(2,4)B.(4,2)C.(-4-2)D.(-2,4)

【答案】A

【分析】本题考查坐标与图形，三角形全等的判定和性质.由旋转的性质得到RtM3RtAO4B,推出

OA=OC=4,AB=CD=2即可求角轧

【详解】解：：。(4,-2),

AOC=4,CD=2,

,：将Rt^OCD绕点。逆时针旋转90°到OAB,

/.RtAOCE^RtA.OAB,

Q4=OC=4,AB=CD=2,

.••点2坐标为(2,4),

故选：A.

5.(2024•江苏无锡・中考真题)如图，在ABC中，ZB=80°,ZC=65°,将：ABC绕点A逆时针旋转得到

AAB'C'.当AQ落在AC上时，/54C'的度数为()

A.65°B.70°C.80°D.85°

【答案】B

【分析】本题主要考查了旋转的性质，三角形内角和定理，由旋转的性质可得/B'AC'=/B4C,

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由三角形内角和定理可得出48'47=/朋。=35。，最后根据角的和差关系即可得出答案.

【详解】解：由旋转的性质可得出/B'AC'=NBAC,

ZBAC+ZB+ZC=180°,

ZBAC=180。—80°—65°=35°,

：.ZB'AC'=ABAC=35°,

：.ABACABAC+ZB'AC70°,

故选：B.

6.（2024.黑龙江大庆.中考真题）如图，在矩形ABCD中，AB=10,3c=6,点〃是AB边的中点，点、N

是A£）边上任意一点，将线段绕点〃顺时针旋转90。，点N旋转到点N',则△MBN'周长的最小值为

A.15B.5+5岔C.10+5近D.18

【答案】B

【分析】本题考查了旋转的性质，矩形的性质，勾股定理，确定点N'的轨迹是解题的关键.由旋转的性质

结合AAS证明四△GMN',推出MG=AM=5,得到点N'在平行于48,且与的距离为5的直

线上运动，作点M关于直线EF的对称点M',连接M'B交直线EF于点、N',此时△MBN'周长取得最小值，

由勾股定理可求解.

【详解】解：过点N'作交AZ）、BC于E、F,过点/作尸垂足为G,

•..矩形ABCD,

AB//CD,

：.ABEFCD,

/.四边形AMGE和BMG/都是矩形,

ZA=ZMGN'=9Q0,

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由旋转的性质得ZNMV，=90。，MN=MN',

：.ZAMN=90°-ZNMG=ZGMN',

：.iAMN^GMN'(AAS),

：.MG=AM=5,

...点N'在平行于AB,且与AB的距离为5的直线上运动，

作点M关于直线所的对称点财，连接交直线所于点N',此时△MBN'周长取得最小值，最小值为

BM+BM',

'：BM=-AB=5,MM'=5+5=10,

2

BM+BM'=5+yj52+l02=5+5A/5-

故选：B.

7.（2024.内蒙古赤峰.中考真题）如图，ASC中，AB=BC=1,ZC=72°.将ABC绕点A顺时针旋转

得到△AB'C',点"与点B是对应点，点C'与点C是对应点.若点C'恰好落在8C边上，下列结论：①

点8在旋转过程中经过的路径长是②3幺〃BC;③30=CD；④嘿=22.其中正确的结论是（）

5ACBD

【答案】A

【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，旋转的性质，弧长公式，等腰三角形的判定和性质，三角

形内角和定理.根据旋转的性质结合等腰三角形的性质求得各角的度数，再逐一判断各项，即可求解.

【详解】解：：AB=3C,ZC=72°,

AZBAC=ZC=12°,ZABC=180°-2NC=36°,

由旋转的性质得ZAB'C=ZABC=36°,ZB'AC=ABAC=72°,ZAC'B'=NC=72°,ZAC'B'=ZADC=72°,

AC'=AC,

：.ZAC'C=/C=72°,

ZCAC=36°,

：.NC4c'=NB4C'=36°,

ZB'AB=72°—36°=36°,

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由旋转的性质得AB'=AB,

ZABB'=ZAB'B=1(180°-36°)=72°,

=:万；①说法正确;

②；/3'AB=NABC=36°,AB'A//BC-,②说法正确;

③ZDC'B=180°-2x72°=36°,

ZDC'B=ZABC=36°,

：.BD=C'D-,③说法正确;

④：ZBB'D=ZABC=36°,ZB'BD=ZBAC=72°,

AB'BAABAC,

.ABB'B-r--rz,

一"工.④说法正确;

ACDD

综上，①②③④都是正确的,

故选：A.

8.（2024.四川广元・中考真题）如图，将ASC绕点A顺时针旋转90。得到VAZ5E,点B,C的对应点分别

为点。，E,连接CE,点。恰好落在线段CE上，若CD=3,BC=l,则4）的长为（）

C.2D.2后

【答案】A

【分析】此题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，由旋转得AC=AE,

ZCAE=90。，DE=3C=1,推出^ACE是等腰直角三角形，CE=4,过点A作AHLCE于点H,得到EZD=1,

利用勾股定理求出AO的长.

【详解】解：由旋转得△ABC//C4E=90。,

：.AC=AEfZCAE=90°,DE=BC=1,

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，"CE是等腰直角三角形，CE=CD+DE=3+1=4,

过点A作AH，CE于点打，

：.AH=-CE=CH=HE=2,

2

•*.HD=HE-DE=2-1=1,

•*-AD=^AH2+HD2=V22+12=V5，

故选:A.

9.（2024•重庆・中考真题）如图，在正方形A3CD的边CD上有一点E,连接AE,把AE绕点E逆时针旋

转90。，得到FE,连接CP并延长与AB的延长线交于点G.则—的值为（）

「3A/2n3百

.---\-j.-----------

22

【答案】A

【分析】过点/作DC延长线的垂线，垂足为点儿则NH=90。，证明ADEWEHF,则A£>=&7=1,

设DE=HF=x,得到HF=CH=x,则NHW=45°,故CF=®x,同理可求CG=J^BC=JL贝U

FG=CG-CF=6（1-X）,因此£2=10二0=0.

CE1-x

【详解】解：过点尸作DC延长线的垂线，垂足为点”，则/〃=90。，

ABG

由旋转得以=£F,ZAEF=90°,

:四边形A8CD是正方形，

；.2D90?,DC//AB,DA=DC=BC,设ZM=OC=3C=1,

•*.ZD=ZH,

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•・•NAEH=N1+NA£F=N2+ND,

AZ1=Z2,

/.ADE^EHF,

：・DE=HF,AD=EH=1,设DE=HF=x,

贝！JCE=DC—。石=1—%,

：.CH=EH-EC=\-(1-x)=x,

：.HF=CH=x,而NH=90。,

NHCF=45。，

HF

CF==y/2x,

sin45°

•・•DC//AB,

：.ZHCF=ZG=45°,

同理可求CG=V2BC=V2，

FG=CG-CF=y/2-y/2x=y/2（l-x）9

.FGV2（1—X）r-

••------------------=72,

CE1-x

故选：A.

【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，解直角三角形，旋转的性质，正确添加辅

助线，构造“一线三等角全等”是解题的关键.

10.（2024・四川内江•中考真题）如图，在平面直角坐标系中，ABJLy轴，垂足为点8,将，ABO绕点A逆

时针旋转到VA旦。的位置，使点B的对应点耳落在直线y=上，再将VA旦&绕点B,逆时针旋转到

4

的位置，使点a的对应点。2也落在直线y=上，如此下去，……,若点B的坐标为（0,3）,则

点用7的坐标为（）.

A.(180,135)B.(180,133)C.(-180,135)D.(-180,133)

【答案】C

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【分析】本题考查了平面直角坐标系、一次函数、旋转的性质、勾股定理等知识点.找出点的坐标规律以

及旋转过程中线段长度的关系是解题的关键.

通过求出点A的坐标，AB.OA,0B的长度，再根据旋转的特点逐步推导出后续点的位置和坐标，然后

结合图形求解即可.

【详解】48-1》轴，点8的坐标为（0,3）,

3

0B=3,则点A的纵坐标为3,代入y=

4

得：x=T,则点A的坐标为（-4,3）.

0B=3,AB=4,

OA=V32+42=5>

由旋转可知，OB=O[B[=O2B2=…=3,0A=A=02A=…=5,AB=AB{==…=4,

OB{=OA+ABl=4+5=9,4用=3+4+5=12,

B&3=B3B5==B35B37=12,

(37-1)

OB37=0Bx+8四=9+'2'x12=225.

设点岛的坐标为］ja),

则OB37=J/+L=225,

3

解得4=一180或180(舍去)，贝U--。=135,

4

二点用7的坐标为(-180,135).

故选C.

11.（2024・四川南充・中考真题）如图是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦

图”，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成.在正方形ABC。中，AB=10.下列三个结论:

3

①若tanZA。9=：,则跖=2；②若Rt^ABG的面积是正方形EFG8面积的3倍，则点P是AG的三等

分点；③将ABG绕点A逆时针旋转90。得到△ADG,则BG'的最大值为5指+5.其中正确的结论是（）

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D

A.①②B.①③C.②③D.①②③

【答案】D

AF3

【分析】根据tan/AZ）/=—=—,设A方=3%,得到。尸=4%,进而得至!JAD=5x=AB=10,求出工的值,

DF4

3

判定①，根据Rt^ABG的面积是正方形£FGH面积的3倍，求出AG=7BG,进而得到

FG=AG-BG=^AG,判断②；旋转得到ZAG'D=ZAGB=90°,进而得到点G'在以AO为直径的半圆上,

取AD的中点。，连接80,0G',得到5GW30+0G',判断③.

AF3

【详解】解：在RtAD尸中，tanZADF=—=—,

DF4

・••设A产=3%,贝lj：DF=4x,

AD=5x=AB=10,

••x=2,

：.AF=6,DF=8,

■:DFA^AGBmBHC§CED,

DE=AF=6,

；.EF=DF—DE=2；故①正确；

1?

若Rt^ABG的面积是正方形EFGH面积的3倍，贝U：-AGBG=3FG2=3（AG-BG）-,

AAGBG=6（AG-BG）2,即：6AG2-13AGBG+6BG2=0,

3?

・・・AG=—BG或AG=—BG（舍去），

23

/.FG=AG-BG=-AG,

3

；•点产是AG的三等分点；故②正确；

,/将ABG绕点A逆时针旋转90°得到△ADG,

ZAG'D=ZAGB=90°,

.•.点G'在以AD为直径的半圆上，

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取AD的中点。，连接80,0G',贝ij：BG'<BO+OG',OG'=0A=-AD=5,

2

BO=y/o^+AB2=5A/5，

•*.BG'<BO+OG'=5^/5+5,

即：BG'的最大值为5指+5;故③正确；

故选D.

【点睛】本题考查解直角三角形，勾股定理，旋转的性质，解一元二次方程，求圆外一点到圆上一点的最

值，熟练掌握相关知识点，并灵活运用，是解题的关键.

12.（2024.北京•中考真题）如图，在菱形ABCD中，ZBAD^6O°,。为对角线的交点.将菱形ABCD绕点0

逆时针旋转90。得到菱形AB'C'D',两个菱形的公共点为E,F,G,H.对八边形BEB'GDTiO'E给出下面

四个结论：

①该八边形各边长都相等；

②该八边形各内角都相等；

③点。到该八边形各顶点的距离都相等；

④点0到该八边形各边所在直线的距离都相等。

上述结论中，所有正确结论的序号是（）

A.①③B.①④C.②③D.②④

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【答案】B

【分析】根据菱形ABCD,ZaW=60°,则/B4O=/IMO=30。，ZAOD^ZAOB=90°,结合旋转的性

质得到点4,。',3',。'一定在对角线4。,8。上，且OD=OU=OB=OB',OA=OA'=OC=OC,继而得到

AD'=CD,ZD'AH=ZDC'H=30°,结合川HA=/DHC',继而得到；AD'H^.,C'DH,可证DH=DH,

C'H=AH,同理可证。'E=BE,BF=HF,3'G=DG,证二A'BEgCI汨,继而得到=得到

DH=BE=DH=UE=BF=FB，=B，G=DG,可以判定该八边形各边长都相等，故①正确；根据角的平

分线的性质定理，得点。到该八边形各边所在直线的距离都相等，可以判定④正确；根据题意，得

ZED,H=120°,结合/DOD=90。，NODH=NODH=60。,得到NZ)7iD=150。，可判定②该八边形各

内角不相等；判定②错误，证D'OH^DOH,进一步可得ODKOH,可判定点。到该八边形各顶点的

距离都相等错误即③错误，解答即可.

本题考查了旋转的性质，菱形的性质，三角形全等判定和性质，角的平分线性质定理，熟练掌握旋转的性

质，菱形的性质，三角形全等判定和性质是解题的关键.

【详解】向两方分别延长3。，连接的，

根据菱形ABCD,ZBW=60°,则/S4O=/ZMO=30。，ZAOD^ZAOB^90°,

菱形ABCD绕点。逆时针旋转90°得到菱形AB'C'D',

.•.点A,C'一定在对角线AC,8。上，且OD=OD=OB=OB',Q4=(M'=OC=OC,

AD'=CD,ZD'AH=ZDC'H=30°,

ZD'HA^ZDHC,

：.AD'H^C'DH,

：.DH=DH,C'H=AH,同理可证。'E=3E,B尸=3'尸,3'G=Z)G,

•/ZEA'B=ZHC'D=30°,A'B=CD,ZABE=ZC'DH=120°,

ABE^CDH,

：.DH=BE,

：.DH=BE=DH=D'E=BF=FB'=B'G=DG,

,该八边形各边长都相等，

故①正确；

根据角的平分线的性质定理，得点。到该八边形各边所在直线的距离都相等，

•••④正确；

根据题意，得NEDH=120。,

/DOD=90°,ZOD'H=Z.ODH=60°,

ZD'HD=150°,

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该八边形各内角不相等；

.•.②错误，

根据OD=OD',D'H=DH,OH=OH,

iD'OH^DOH,

ND'HO=ZDHO=75°,

Z（9DH=60°,

故ODwOH,

/.点0到该八边形各顶点的距离都相等错误

③错误，

故选B.

二、填空题

13.（2024・四川雅安•中考真题）如图，在,ABC和VADE中，AB=AC,ABAC=ZDAE=40°,将VAZJE

绕点A顺时针旋转一定角度，当AD/3c时，/的度数是.

【答案】60。或120。

【分析】本题考查的是等腰三角形的性质，旋转的性质，分两种情况分别画出图形，再结合等腰三角形的

性质与角的和差运算可得答案；

【详解】解：如图，当4J/3C时，延长AO交BC于J,

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A

VAB=AC,NBAC=NDAE=40°,

：.ZBAJ=ZCAJ=20°,

：.ZBAE=200+40°=60°；

如图，当时，延长ZM交BC于J,

VAB=AC,ZBAC=ZDAE=40°,

：.ZBAJ=ZCAJ=20°,

：.ZBAE=180°-20°-40°=120°,

故答案为：60。或120。

14.（2024・吉林长春•中考真题）一块含30。角的直角三角板ABC按如图所示的方式摆放，边与直线/重

合，A3=12cm.现将该三角板绕点B顺时针旋转，使点C的对应点C'落在直线/上，则点A经过的路径

长至少为cm.（结果保留万）

【答案】87r

【分析】本题主要考查了旋转的性质、弧长公式等知识点，掌握弧长公式成为解题的关键.

由旋转的性质可得/4BC=/A'3c=60。,即N/曲=120°,再根据点A经过的路径长至少为以B为圆心,

以A3为半径的圆弧的长即可解答.

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【详解】解：•••将该三角板绕点8顺时针旋转，使点C的对应点C'落在直线/上,

ZABC=ZABC=60°,即ZA'BA=120°,

点A经过的路径长至少为~=8兀.

loU

故答案为：8兀.

15.（2024•黑龙江大兴安岭地•中考真题）如图，在RtaABC中，ZACB=90°,tanZ5AC=1,BC=2,AD=1,

线段AD绕点A旋转，点2为（7。的中点，则的最大值是.

B

C

【答案】272+1

【分析】本题考查了解直角三角形，三角形中位线定理，旋转的性质，解题的关键是找出3P取最大值时B、

P、M三点的位置关系.

取AC的中点连接PM、BM,利用解三角形求出=dMC，+BC?=20，利用三角形中位线定理

推出加=工4。=,，当AD在AC下方时，如果8、P、M三点共线，则有最大值.

22

【详解】解：取AC的中点连接尸加、BM.

VZACB^90°,tanZBAC=-,BC=2,

2

：,AM=CM=-AC=2,

2

•*-BM=ylMC2+BC2=A/22+22=2夜，

VP,M分别是CD、AC的中点，

PM=-AD=-.

22

如图，当AO在AC下方时，如果8、P、〃三点共线，则BP有最大值,

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最大值为BM+MP=26+L

2

故答案为：2V2+1.

16.(2024・四川广安・中考真题)如图，直线y=2x+2与x轴、y轴分别相交于点A,B,将“108绕点A

逆时针方向旋转90。得到ACD,则点。的坐标为.

【答案】(-3,1)

【分析】本题考查一次函数图象与坐标轴的交点，旋转的性质，正方形的判定和性质等，延长DC交y轴

于点E,先求出点A和点8的坐标，再根据旋转的性质证明四边形Q4CE是正方形，进而求出DE和OE的

长度即可求解.

【详解】解：如图，延长DC交y轴于点E,

y=2x+2中，令x=0,贝l]y=2,令y=2x+2=0,解得了=-1,

OA=1,OB=2,

AOB绕点A逆时针方向旋转90°得到；ACD,

ZACD=ZAOB=ZOAC=90°,OA=OC=1,OB=CD=2,

四边形Q4CE是正方形.

CE=OE=OA=1,

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DE=CD+CE=2+1=3,

，点。的坐标为（-3,1）.

故答案为：（-3,1）.

17.（2024•江苏盐城•中考真题）如图，在ABC中，NACB=90。，AC=BC=2也,点。是AC的中点,

连接8£>,将BCD绕点、B旋转,得到一5E7L连接CF,当CF〃AB时，CF=.

【答案】2+76/76+2

【分析】本题主要考查等腰直角三角形的性质，勾股定理，平行线的性质，全等三角形的性质的综合，掌

握等腰直角三角形的性质，勾股定理，旋转的性质是解题的关键.

根据等腰直角三角形的性质可得AB,CD,BD,3尸的值，作BGLCF,根据平行线的性质可得BCG是

等腰直角三角形，可求出CG,3G的长，在直角BFU中，根据勾股定理可求出fU的长度，由此即可求

解.

【详解】解：；在sABC中，ZACB=90°,AC=BC=2①,

：.Z.CAB=ZCBA=45°,AB=y/2AC=4,

:点。是AC的中点，

AD=CD=-AC=y/2,

2

在RtBCD中，BD=yJCD2+BC2=J（应J+仅&/=如,

,/将BCD绕点B旋转得到一BEF,

BCD-BEF,

:.BD=BF=®,EF=CD=血，BC=BE=2也，

如图所示，过5GLCF于点G,

,/CF//AB,

第18页共61页

，NFCB=NCBA=45°,

BCG是等腰直角三角形，且BC=20，

/.CG=BG=—BC=—x2-j2=2,

22

在Rf3FG中，FG=_BG。=小卜时一2。=布,

CF=CG+FG=2+y/6,

故答案为：2+娓.

18.（2024・四川泸州・中考真题）定义：在平面直角坐标系中，将一个图形先向上平移。（。＞0）个单位，再

绕原点按逆时针方向旋转。角度，这样的图形运动叫做图形的变换.如：点A（2,0）按照「（1,90。）变

换后得到点A的坐标为（-L2）,则点B（V3,-1）按照0（2/。5°）变换后得到点E的坐标为.

t答案12,吟

【分析】本题考查了解直角三角形,坐标与图形.根据题意，点B（区一»向上平移2个单位,得到点C（A/3,1）,

再根据题意将点C（有」）绕原点按逆时针方向旋转105。，得到O?=OC=2,ZBW=45°,据此求解即

可.

【详解】解：根据题意，点网退,-1）向上平移2个单位，得到点C（百,1）,

OC=J+（阴=2,sinZCOE=^|=1,

ZCOE=30°,

根据题意，将点C（0,1）绕原点按逆时针方向旋转105。,

AB'OE=105°+30°=135°,

作耳。1,无轴于点。，

第19页共61页

OB'=OC=2,ZB'OD=180°-135°=45°,

‘B'D=OD=OB'-sin45°=夜，

点8'的坐标为卜0），

故答案为：（-叵吟.

19.（2024•江苏苏州•中考真题）直线］：y=x-l与％轴交于点A,将直线自绕点A逆时针旋转15。，得到直线

12,则直线4对应的函数表达式是.

【答案】y=

【分析】根据题意可求得4与坐标轴的交点A和点8,可得ZOAB=ZOBA=45°,结合旋转得到ZOAC=60°,

则NOC4=30。，求得OC=g,即得点C坐标，利用待定系数法即可求得直线4的解析式.

【详解】解：依题意画出旋转前的函数图象4和旋转后的函数图象4,如图所示：

设4与y轴的交点为点8,

令尤=0,得y=-l；令y=o,即x=l,

AA（l,0）,8（0,-1）,

Q4=l,OB=L

即ZOAB=ZOBA=45°

•••直线4绕点A逆时针旋转15。，得到直线4,

Z（MC=60°,/OC4=30。，

/.OC=OAxtan60°=&OA=6,

则点C仅,-旬,

设直线4的解析式为，=履+6,则

第20页共61页

Q=k+bk=>/3

解得＜

Y=bb=-y/3

那么，直线'的解析式为丁=后「6,

故答案为：y=y/3x-y/3.

【点睛】本题主要考查一次函数与坐标轴的交点、直线的旋转、解直角三角形以及待定系数法求一次函数

解析式，解题的关键是找到旋转后对应的直角边长.

20.（2024•山东潍坊・中考真题）如图，在直角坐标系中，等边三角形ABC的顶点A的坐标为（0,4）,点、B,C

均在无轴上.将，ABC绕顶点A逆时针旋转30。得到△AB'C,则点C'的坐标为.

【答案】（4,4-孚）

【分析】本题主要考查旋转的性质，三角函数的计算，熟练掌握旋转的性质是解题的关键.作CFJLAO,

求出。尸，C'/的值即可得到答案.

ABC是等边三角形，AO1BC,

AO是的角平分线，

:.ZOAC^30°,

OC=-AC,

2

第21页共61页

在RtAOC中，AO2+OC2=AC2,

BP16+(-AC)2=AC2,

2

解得AC二述，

3

AC=AC=—,

3

4^3

OF=AO-AF=4-ACcos60°=4一一—,

3

空=m'—6。。=半

…一用

故答案为：(4,4-券).

三、解答题

21.(2024.山东济宁.中考真题)如图，ABC三个顶点的坐标分别是A(l,3)1(3,4),。(1,4).

yik

6

5_____I____L

4C；;B\\

3

A\\

2

1

o123456%

(1)将ABC向下平移2个单位长度得△A与C，画出平移后的图形，并直接写出点用的坐标;

(2)将△44C绕点与逆时针旋转90。得44G.画出旋转后的图形，并求点G运动到点G所经过的路径

长.

【答案】(1)作图见解析，耳(3,2)

⑵作图见解析，兀

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【分析】本题考查了作图一平移变换和旋转变换，弧长公式，解题的关键熟练掌握平移和旋转的性质,

(1)利用平移的性质作出对应点，再连线即可，

(2)利用旋转的性质分别作出对应点，再连线，G运动到点C?所经过的路径长即为弧长即可可求解

【详解】(1)解：44瓦G如下图所示:

(2)解：小8。2如上图所示:

X90°TTX2X90°

G运动到点c所经过的路径为:--------------------=-------------------=71

2180180

22.(2024・广东广州•中考真题)如图，RtAABC中,1B90?.

(1)尺规作图：作AC边上的中线8。(保留作图痕迹，不写作法);

(2)在(1)所作的图中，将中线8。绕点。逆时针旋转180。得到。。，连接AO,CD.求证：四边形ABCD

是矩形.

【答案】(1)作图见解析

(2)证明见解析

【分析】本题考查的是作线段的垂直平分线，矩形的判定，平行四边形的判定与性质,旋转的性质;

(1)作出线段AC的垂直平分线ER交AC于点。，连接2。，则线段80即为所求；

(2)先证明四边形A3CD为平行四边形，再结合矩形的判定可得结论.

【详解】(1)解：如图，线段2。即为所求；

第23页共61页

:由作图可得：AO=CO,由旋转可得：BO=DO,

，四边形ABCD为平行四边形,

ZABC=90°,

四边形ABC。为矩形.

23.（2024.甘肃兰州.中考真题）综合与实践

【问题情境】在数学综合实践课上，同学们以特殊三角形为背景，探究动点运动的几何问题，如图，在ABC

中，点N分别为AB,AC上的动点（不含端点），且AN=3M.

【初步尝试】（1）如图1,当，ABC为等边三角形时，小颜发现：将绕点M逆时针旋转120。得到

连接80,则朋N=D3,请思考并证明：

【类比探究】（2）小梁尝试改变三角形的形状后进一步探究：如图2,在ABC中，AB=AC,ABAC=90°,

AE，ACV于点E,交BC于点尸，将绕点M逆时针旋转90°得到MD,连接DA,DB.试猜想四边形AFBD

的形状，并说明理由；

【拓展延伸】（3）孙老师提出新的探究方向：如图3,在ABC中，AB=AC=4,4c=90。，连接BN,

CM,请直接写出的最小值.

【答案】（1）见详解，（2）四边形的BD为平行四边形，（3）4百

【分析】（1）根据等边三角的性质可得ZA=60°,AB=AC,再由旋转的性质可得DM=AM,ZAMD=120。,

从而可得NDMB=NA=60。，证明一丝MBO（SAS）,即可得证；

（2）根据等腰直角三角形的性质可得NABC=45。，再根据旋转的性质可得MA=Mr）,/AMD=NAffiA=45。,

第24页共61页

ZDMA=ZDMB=90°,从而可得NM4D=NAB尸=45。，由平行线的判定可得AE)〃跳',证明

ANM^MEDUSAS),可得Z4A4N=NMDB,利用等量代换可得NDfiM=NM4F,再由平行线的判定可

得Z)B〃AF,根据平行四边形的判定即可得证；

(3)过点A作NBAG=45。，^,AG=CB,连接GM、GC,BG,延长CB,过点G作GO_LCB于点。,

根据等腰三角形的性质可证NG4M=NBCN=45。，证明GAM"BCN(SAS),可得GM=EV,从而可

得当点G、M、C三点共线时，3N+CM的值最小，最小值为CG的值，根据平行线的性质和平角的定义

可得NGBO=45。，再根据等腰直角三角形的性质和勾股定理求得OG=O8=2夜，从而可得OC=60，再

利用勾股定理求解即可.

【详解】(1)证明••[ABC为等边三角形，

/.ZA=60°,AB=AC,

,：绕点M逆时针旋转120。得到MD,

DM=AM,ZAMD=120。，

ZDMB=60°,

,:AN=BM,ZDMB=ZA=60°,

.ANM^,MBP(SAS),

MN=DB；

(2)解：四边形AF3D为平行四边形，理由如下，

VAB=AC,/B4c=90°,

ZABC=A5°,

,/绕点/逆时针旋转90。得到MD,

MA=MD,ZMAD=AMDA=45°,ZDMA=ZDMB=9OO,

：.ZMAD=ZABF=45°,

则尸，

在工AW和二MB。中，

'MA=DM

<AMAN=ZDMB,

AN=MB

：.ANM^MBO(SAS),

ZAMN=ZMDB,

•：AE1MN,

第25页共61页

ZAMN+ZMAE=90°,

ZMDB+ZMBD=90。,

：.ZDBM=ZMAFf

:.DB//AF,

则四边形AFBD为平行四边形；

(3)解：如图，过点A作NB4G=45。，使AG=CB,连接GM、GC,BG,延长CB,过点G作GOLCB

于点。

,.,AB=AC=4,ABAC=90°,

：.ZABC=ZACB=45°f

：./GAM=NBCN=45。,

■:AN=BM,

：・AM=CN,

又=AG=CB,

；・GAMgBCN(SAS),

:.GM=BN9

：.BN+CM=GM+CM>CG,

・•・当点G、M,。三点共线时，5N+。/的值最小，最小值为CG的值，

ZGAM=ZABC=45°,

:.AG//BC,

：.ZBAC=ZABG=90°f

：.ZGBO=180°-ZABG-ZABC=45°,

NG5O=45。，

:.OG=OB,

GB=叵OB=V2OG，

OG=OB=2yf2,

・•・OC=6亚，

在RtGOC中，GC=J(2V2)2+(6&『=4百，

・・・BN+CM的最小值为4A/5.

第26页共61页

【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、平行线的判定与性质、勾股定理、平行四边形的判定、旋转

的性质及等边三角形的性质，熟练掌握相关定理得出当点G、M、C三点共线时，BN+CM的值最小，最

小值为CG的值是解题的关键.

24.（2024・四川广安・中考真题）如图，矩形纸片的长为4,宽为3,矩形内已用虚线画出网格线，每个小

正方形的边长均为1,小正方形的顶点称为格点,现沿着网格线对矩形纸片进行剪裁，使其分成两块纸片.请

在下列备用图中，用实线画出符合相应要求的剪裁线.

注：①剪裁过程中，在格点处剪裁方向可发生改变但仍须沿着网格线剪裁；

②在各种剪法中，若剪裁线通过旋转、平移或翻折后能完全重合则视为同一情况.

【答案】见解析

【分析】本题考查的是矩形的性质，全等图形的定义与性质，同时考查了学生实际的动手操作能力，根据

全等图形的性质分别画出符合题意的图形即可.

，AC=3C,。为直线8C上任意一点,

连接AD.将线段AD绕点。按顺时针方向旋转90。得线段即，连接BE.

图1图2

【尝试发现】

第27页共61页

(1)如图1,当点。在线段3C上时，线段BE与co的数量关系为；

【类比探究】

(2)当点。在线段3C的延长线上时，先在图2中补全图形，再探究线段BE与8的数量关系并证明；

【联系拓广】

(3)若AC=BC=1,CD=2,请直接写出sin/EC。的值.

【答案】(1)BE=V2CZ);(2)BE=gCD，补图及证明见解析；(3)sinNEC。=冬叵或sinNECD=3叵

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