广东省部分学校2025届高三年级上册8月摸底测试数学试题（含答案）

广东省部分学校2025届高三上学期8月摸底测试数学试题

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

的。

1.已知集合4={y\y=log2x,x>1},集合B=(y\y=拉>1},则2nB=()

A.(1,1)B.(0,1)C.(0,1)D.0

2.已知等边三角形力BC的边长为1,-AC+AC-AB+AB-'BC=()

A.-B.——C.—5D.―

3.已知sina+cosa=1,ae(0,兀)，则2；in2a=()

5、'1—tan2a'7

724

A.——B.---C.-1D.2

4.已知?i为异面直线，m_L平面a,n1平面若直线E满足/1m,I1n,lUa,1邺,则()

A.a//13,l//aB.a与£相交，且交线平行于I

C.a1I1aD.a与£相交，且交线垂直于I

5.移动互联网给人们的沟通交流带来了方便.某种移动社交软件平台，既可供用户彼此添加“好友”单独交

流，又可供多个用户建立一个“群”(“群里”的人彼此不一定是“好友”关系)共同交流.如果某人在平台

上发了信息，他的“好友”都可以看到，但“群”里的非“好友”不能看到，现有一个10人的“群”，其

中一人在平台上发了一条信息，“群”里有3人说看到了，那么这个“群”里与发信息这人是“好友”关

系的情况可能有()

A.56种B.120种C.64种D.210种

6.已知函数/(%)=炉+32—X的图象在点4(1/(1))处的切线方程为y=4*—3,则函数/(x)的极大值为()

A.-1B.——C.——D.1

7.已知抛物线C:y2=8%,圆尸:0一2)2+y2=4(点F为其圆心)，直线上y=fc(x-2)(fcW0)自上而下顺次与

上述两曲线交于Ml、M2、“3、”4四点，则下列各式结果为定值的是()

A.\MXM3\■\M2M4\B.IFMJ■|FM4|C.\M^M2\■\M3M4\D.\FMX\■\MrM2\

8.已知函数/(%)的定义域为R,/(2+x)+/(-x)=0,对任意的％i，x26[1,+oo)(%1<x2),均有/(冷

)-/(xi)>°>已知a,b(a芋b)为关于x的方程久2-2I+/_3=0的两个解,则关于t的不等式

/(a)+/(b)+/(t)>0的解集为()

A.(1,2)B.(-2,0)C.(0,1)D.(-2,2)

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二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

9.设4B两点的坐标分别是(一1,0),(1,0),直线AM,相交于点M,设直线AM、的斜率分别为的、

k2,下列说法正确的是()

A.当上的=-拊，点M的轨迹是椭圆的一部分

B.当心©=4时，点M的轨迹是双曲线的一部分

C.当心一矽=2时，点M的轨迹是抛物线的一部分

D.当好+七=2时，点M的轨迹是椭圆的一部分

10.已知函数/'(久)=Acos(a)x+w)(4>0,3>0,|如<$的图象如图所示，令g(x)=/(久)一，(x)，则下列

说法正确的是()

A.遍)=2

B.函数g(x)图象的对称轴方程为x=/ot+岩(kGZ)

C.若函数九(x)=g(x)+2的两个不同零点分别为久1，x2>则|孙-型1的最小值为三

D.函数。(久)的图象上存在点P,使得在点P处的切线斜率为-2

11.定义域是复数集的子集的函数称为复变函数，f(Z)=Z2就是一个多项式复变函数.给定多项式复变函

数/(z)之后，对任意一个复数zo,通过计算公式zn+i=/(z“)，neN可以得到一列值zo,z2,....

zn，….如果存在一个正数M,使得|Zn|<M对任意neN都成立，则称Zo为f(z)的收敛点；否则，称z0为

/(z)的发散点.则下列选项中是/(z)=z2的收敛点的是

A.V2B.—iC.1—iD.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

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12.已知△ABC的三个内角分别为4B,C,若sin4sinB,sinC成等差数列，则角B的取值范围是

13.中国传世数学著作《九章算术》卷五“商功”主要讲述了以立体问题为主的各种形体体积的计算公式.

例如在推导正四棱台(古人称方台)体积公式时，将正四棱台切割成九部分进行求解.下图(1)为俯视图，图

(2)为立体切面图,E对应的是正四棱台中间位置的长方体，B,D,H,F对应四个三棱柱，A,C,I,G对应

四个四棱锥.若这四个三棱柱的体积之和为12,四个四棱锥的体积之和为4,则该正四棱台的体积为.

图⑴图⑵

14.袋中装有10个除颜色外完全一样的黑球和白球，已知从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率

是(现从该袋中任意摸出3个球，记得到白球的个数为X,贝伤(X)=.

四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15.(本小题12分)

已知力，B,C为△ABC的三个内角，向量访=(2-2sin4sinA+cos4)与ri=(sinA-cos4,l+sin力)共线，

且荏•前＞0.

(1)求角4

(2)求函数y=2sin2-1+cos£1O的值域.

16.(本小题12分)

如图，已知四边形4BCD和四边形A8EF都是边长为1的正方形，且它们所在的平面互相垂直.”、N两点分

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别在正方形对角线AC和上移动，且CM=BN=a（0＜a＜避）.

（1）当M、N分别为力C、BF的中点时，求证：MN〃平面BCE;

（2）当MN的长最小时，求平面MM4与平面MNB夹角的余弦值.

17.（本小题12分）

一般地，我们把平面内与两个定点％,尸2的距离的差的绝对值等于非零常数（小于IF1&I）的点的轨迹叫做

双曲线.这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫做双曲线的焦距.

（1）请用上述定义证明反比例函数旷=;的图象是双曲线；

（2）利用所学的知识，指出双曲线y=%k〉0）的焦点坐标与渐近线方程；

（3）我们知道，双曲线y=%k＞0）上的任意一点到x=0与y=0的距离之积是常数，即xy=北探讨双曲

线今爷=1（。＞。力＞0）上的任意一点是否有类似结论，若有，写出结论并证明;若没有，则说明理由•

18.（本小题12分）

立德中学为了解全校学生体能达标的情况，从高三年级1000名学生中随机选出40名学生参加体能达标测

试，并且规定体能达标测试成绩小于60分的为“不合格”，否则为“合格”.若高三年级“不合格”的人数不

超过总人数的5%,则该年级体能达标为“合格”，否则该年级体能达标为“不合格”，需要重新对高三年级学

生加强训练.现将这40名学生随机分成甲、乙两个组，其中甲组有24名学生，乙组有16名学生.经过测试后，

两组各自将测试成绩统计分析如下:甲组的平均成绩为70,标准差为4;乙组的平均成绩为80,标准差为6.（数

据的最后结果都精确到整数）

（1）求这40名学生测试成绩的平均分h和标准差s（结果保留整数）；

（2）假设高三学生的体能达标测试成绩服从正态分布Not。?）,用样本平均数又作为由的估计值"用样本标准差

s作为。的估计值H利用估计值估计,高三学生体能达标测试是否“合格”；

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(3)为增强趣味性，在体能达标的跳绳测试项目中,同学们可以向体育特长班的强手发起挑战.每场挑战赛都采

取七局四胜制.积分规则如下:以4:0或4:1结束，获胜队员积4分，落败队员积0分;以4:2或4:3结束，获胜队员

积3分，落败队员积1分.假设体育特长生小强每局比赛获胜的概率均为|,求小强在一场挑战赛中所得积分为

3分的条件下，他前3局比赛都获胜的概率.

附：；〃个数的方差52三£忆1(%-%)2;

②若随机变量Z〜N(出。2),则尸(的Z</z+ff)=0.6826,P(/z-2o-<Z<〃+2G=0.9544,P(〃-3b<Z<〃+3。尸0.9974.

19.(本小题12分)

对于函数f(x)QeD),若存在正常数r,使得对任意的久eD,都有/(%+T)N/(X)成立，我们称函数

f(x)为“7同比不减函数”.

(1)求证：对任意正常数7,/(%)=/都不是“T同比不减函数”；

TT

(2)若函数/(无)=kx+sinx是同比不减函数”，求k的取值范围；

(3)是否存在正常数T,使得函数/(x)=x+|x-l|-|x+1|为“T同比不减函数”，若存在，求T的取值范

围;若不存在，请说明理由.

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参考答案

l.c

2.D

3.X

4.B

5.C

6.D

7.C

8.A

9.ABC

IQ.ACD

11.BD

TT

12.(0同

13.28

14.|

15.解：(1)由题设知：(2—2smi4)(l+sinA)—^sinA+cosA)(sinA-cosA)=0,

2(1—sin2i4)—sin2i4+cos2A=0,

•••sir^A=-|,

4

又a为三角形内角，所以shM=岑，

由乐•赤>o知a为锐角，

(2)由⑴及题设知：B+C=^,

所以：y—2sin2-1+cos(^--B)=1—cosB+cos。—B)

=1+岑sinB—|cosB=1+sin(B—^),

又0<B<^,

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17T

•••一万<sin(B-%)<1,

yG8,2),

因此函数y=2s出2?+cos£/的值域为6，2).

16.解：(1)如图,连接CE,AE,

•••M、N分别为AC、BF的中点,

■­■N是4E中点，

MN//CE,

又MNU平面BCE,CEu平面8CE.

•••MN〃平面BCE.

（2）如图，建立空间直角坐标系,

则X(l,0,0),C(0,0,l),F(l,l,0),£(0,l,0),

CM=BN-a,,0,1-N\__oi

----->aci

•••MN=（0,杀声I）,

...|MN|=，（哀—」）2+（。―/）2+（1一a）2=,2—J2a+1；

当。=字时，|MN|最小，最小值为孝；此时M,N为中点时，MN最短,

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则M(1,O,1),W(|,1,O),取MN的中点G,连接4G,BG,

则,3

•••AM=AN,BM=BN,•••AG1MN,BG1MN,

N4GB是平面MN力与平面MNB所成二面角,

设平面MM4与平面MNB的夹角为a,

•・•褊=&[-6，而=(《，U)

\GA•GB\1

•••cosa=^=；~.

\GA\­\GB\3

-1

•••平面MM4与平面MNB夹角的余弦值是w.

-I111

17.1?：(1)证明：(1)对于y=-，有％=[,注意到1=T='，

xyy*

则函数y=;的反函数为其本身.

故y=3关于直线y="对称，

同时又因y=—%与y=久垂直，

故反比例函数y=§的两条对称轴分别为y=±久，

则若其符合双曲线的定义，其焦点一定在y=x上.

而y=》与双曲线丫=5的两个交点AM—1,—1),4(1,1)是双曲线的两个顶点.

则实轴长2a=2避，两焦点坐标为％(-避，-也)，尸2(&，避).

设点P(x,y)在函数y=§的图象上，则y=1,即P(x9,

(E)当久>0时，x+1>2,当且仅当x=1时取等号，

所以|PF1|一|PF2I=+V^)2+(1---+(工\/5)2

=+1)+也]2_j[(x+])一避]2=(x+1)+避一(x+《)+也=2”.

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(ii)当x<0时，从而x+§W-2,当且仅当乂=一1时，取等号，

同理，有IPF2HPF1I=2避.

因此，无论点P(x,y)在第一象限或者在第三象限，

均有IIPF1HPF2II=2M(小于[%尸2|).

所以函数y=?的图象是双曲线.

(2)函数y=*k>0)的图象是以Fi(—Jn,—J很)，F2a2kz2k)为两焦点、，

实轴长2a=2网的双曲线，两渐近线方程分别为％=0和丫=0.

(3)因为x=0与y=0是双曲线y=§(k>0)的两条渐近线，有孙=k.

27

类似地：双曲线左=l(a>0力>0)上的任意一点到它的两条渐近线的距离之积是常数.

证明：设。(右,月)是双曲线:—j|=l(a>0,b>0)上任意一点，

则有炉话=a2b2

双曲线今-，=l(a>0,b>0)的渐近线方程为b%±ay=0.

于是点。到双曲线的两条渐近线的距离之积为辞篇1•埠=俨于吸=碧苏结论成立.

b7a+a2+b21a2+b2

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18.解：(1)由题意可得，这40名学生测试成绩的平均分返金(70X24+80X16)=74,

故这40名学生测试成绩的平均分74,

22

由公式s2=/，=i(X厂%)2=京(xJ+/H---Fxn)-nX],

设甲组学生的测试成绩分别为修，必，…，切4，

设乙组学生的测试成绩分别为犯5,必6,…，必0，

222

则甲组的方差为(XJ+MH---1-%24)-24X70]=4,

则(X12+X22+,**+^242)=24(16+702)

22,,，+222

则乙组的方差为*2=9(X25+X26+X4O)-16X80]=6,

则(X252+X26^--卜入4()2)=16(36+802),

则这40名学生的方差为(煌+历2+…+如2)+(X252W+-+W)-40X742]

1

=—[24(16+702)+16(36+802)-40X742]=48,

所以s=0^=4平27,

故这40名学生测试成绩的标准差为7；

(2)由久=74,s七7,得口的估计值&=74,◎的估计值3=7.

P(|i-2o<^<n+2o)=P(60<^<88)=0.9544,

1—o9S44

■■.P(X<60)=P(X288)=；