人教版八年级数学上册重难考点专题04等边三角形(知识串讲+5大考点)特训(原卷版+解析)

专题04等边三角形考点类型知识串讲（一）等边三角形（特殊的等腰三角形）（1）等边三角形性质①等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60º②在直角三角形中，如果一个锐角等于30º，那么它所对的直角边等于斜边的一半（2）等边三角形判定①三个角都相等的三角形是等边三角形。②有一个角是60º的等腰三角形是等边三角形。（二）解题方法（1）三角形三个内角的平分线交于一点，并且这一点到三边的距离等。（2）三角形三个边的中垂线交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。（3）常用辅助线：=1\*GB3①三线合一；=2\*GB3②过中点做平行线[来源:（4）含30°角的直角三角形性质（三）等腰三角形与等边三角形的区别与联系考点训练考点1：等边三角形的性质——求角度典例1：（2023春·四川成都·八年级统考期末）如图，将等边三角形ABC纸片折叠，使得点A的对应点D落在BC边上，其中折痕分别交边AB,AC于点E，F，连接DE,DF．若DF⊥BC，则∠AEF

A．15° B．30° C．45° D．60°【变式1】（2023·北京海淀·人大附中校考三模）用一块等边三角形的硬纸片（如图1）做一个底面为等边三角形且高相等的无盖的盒子（边缝忽略不计，如图2），在△ABC的每个顶点处各剪掉一个四边形，其中四边形AMDN中，∠MDN的度数为（

）

A．100° B．110° C．120° D．130°【变式2】（2023·甘肃武威·统考中考真题）如图，BD是等边△ABC的边AC上的高，以点D为圆心，DB长为半径作弧交BC的延长线于点E，则∠DEC=（

）

A．20° B．25° C．30° D．35°【变式3】（2023·河南周口·河南省淮阳中学校考三模）如图，l∥m，等边三角形ABC的顶点B在直线m上，∠1=25°，则∠2的度数为（

）

A．65° B．45° C．40° D．35°考点2：等边三角形的性质——求线段典例2：（2023春·广东清远·八年级校联考期中）如图，点E在等边△ABC的边BC上，BE=6，射线CD⊥BC，垂足为点C，点P是射线CD上一动点，点F是线段AB上一动点，当EP+FP的值最小时，BF=7，则AB的长为（

）

A．7 B．8 C．9 D．10【变式1】（2023春·全国·八年级阶段练习）如图，等边△ABC的边长为4，AD是△ABC的边BC上的高，过点D作DE⊥AC于点E，则AE的长是（）A．1 B．2 C．3 D．4【变式2】（2023秋·山东威海·七年级统考期末）如图，△ABC和△BDE都是等边三角形，点A，D，E在同一条直线上，BE=2，CE=4，则A．6 B．5 C．8 D．7【变式3】（2023春·辽宁沈阳·八年级统考阶段练习）如图，△ABC是等边三角形，D是线段BC上一点（不与点B，C重合），连接AD，点E，F分别在线段AB,AC的延长线上，且DE=DF=AD，点D从B运动到C的过程中，△CDF周长的变化规律是（

）A．不变 B．一直变小 C．先变大后变小 D．先变小后变大考点3：等边三角形的性质与判定综合典例3：（2023秋·八年级课时练习）如图，已知等边三角形ABC的边长为3，过AB边上一点P作PE⊥AC于点E，Q为BC延长线上一点，取PA=CQ，连接PQ，交AC于点M，则EM的长为（

）

A．12 B．32 C．1【变式1】（2022秋·安徽黄山·八年级统考期末）如图，已知等边△ABC和等边△BPE，点P在BC的延长线上，EC的延长线交AP于点M，连接BM，有下列结论：①AP=CE；

②∠PME=60°；

③MB平分∠AME；

④AM+MC=BM，其中正确的结论是（

）A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④【变式2】（2023春·重庆九龙坡·八年级重庆实验外国语学校校考开学考试）如图，点D、点E分别是等边△ABC的边AB、AC上的点，且AD=CE，连接CD、BE交于点O，在OB上截取OF，使得A．BE=CD B．∠BOC=120° C．∠BDF=∠ACD D．DO=OC【变式3】（2023秋·四川宜宾·八年级统考期末）如图，在直线AC的同一侧作两个等边三角形△ABD和△BCE，连接AE与CD，AE与CD交于点H，AE与BD交于点G，BE与CD交于点F，连接GF、BH．过B点作CD、AE的垂线段BM、BN，垂足分别为M、N．①AE=DC②∠AHD=60°③△EGB≌△CFB④∠AHB=∠CHB⑤GF∥AC⑥BM=BN．以上6个结论中，正确的个数有（A．6 B．5 C．4 D．3考点4：含30°角的直角三角形典例4：（2023·河南濮阳·统考三模）如图，在平面直角坐标系中，点B在x轴上，现将等边△AOB向右平移适当长度得到对应△CDE，且AB，CD交于点P，若OD=2BP=4，则点C的坐标为（

）

A．6,0 B．132,0 C．7,33【变式1】（2023秋·广西崇左·八年级统考期末）如图，等边三角形ABC中，D、E分别为AB、BC边上的两个动点，且总使AD=BE，AE与CD交于点F，AG⊥CD于点G，则FG:AF等于（

）A．1 B．2 C．13 D．【变式2】（2023春·福建宁德·八年级统考期中）如图，∠AOB=60°，点P在边OA上，点M、N在边OB上（点M在点N的左侧），OP=8，MN=2，若PM=PN，则OM的长为（

）A．3 B．4 C．5 D．6【变式3】（2023春·山东青岛·八年级即墨市第二十八中学校考期中）已知如图AC=BC=12，∠B=15°，AD⊥BC于D．则AD的长是（

）A．4 B．5 C．6 D．7考点5：等边三角形的动点问题典例5：（2022秋·广西南宁·八年级广西大学附属中学校考期末）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，BC=6，D为AB的中点，P为BC上一动点，连接AP，DP，则AP+DP【变式1】（2022秋·湖北十堰·八年级统考期中）如图，∠AOB=60°，C是BO延长线上一点，OC=12cm，动点P从点C出发沿CB以2cm/s的速度移动，动点Q从点O出发沿OA以1cm/s的速度移动，如果点P、Q同时出发，用ts表示移动的时间，当【变式2】（2023秋·山东德州·八年级统考期末）已知点A在x轴的负半轴上，以OA为边在第二象限作等边△AOB，点M、N分别为OA、OB边上的动点，以MN为边在x轴上方作等边△MNE，连结OE，当∠EMO=45°时，则∠MEO的度数为______．【变式3】（2023秋·河南安阳·八年级校考期末）如图，∠AOB=30°，点M，N分别是射线OA，OB上的动点，点P为∠AOB内一点，且OP=5，则同步过关一、单选题1．（2023秋·黑龙江牡丹江·八年级统考期末）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=15°，DE垂直平分AB，交BC于点E，BE=10cm，则边AC的长为（

）A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm2．（2023·江苏·八年级假期作业）如图，在等边△ABC中，AB＝4cm，BD平分∠ABC，点E在BC的延长线上，且∠E=30∘，则CE的长是（A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm3．（2023秋·八年级单元测试）如图，直线l//m//n，等边三角形ABC的顶点B、C分别在直线n和m上，边BC与直线n所夹的锐角β为25°，则∠α的度数为（

）A．25° B．45° C．35° D．30°4．（2022秋·青海西宁·八年级统考期末）如图，∠AOB＝60°，以点O为圆心，以适当长为半径作弧交OA于点C，交OB于点D；分别以C，D为圆心，以大于12CD的长为半径作弧，两弧在∠AOB内部相交于点P；画射线OP，在射线OP上截取线段OM＝6，则点M到OB的距离为（A．6 B．5 C．4 D．35．（2023秋·黑龙江哈尔滨·八年级哈尔滨市第十七中学校校考阶段练习）下列说法中：①与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上；②等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合；③如果三角形一条边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形；④有一个角是60°的三角形是等边三角形．正确的说法有（）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个6．（2022春·湖南岳阳·八年级统考期末）在Rt△ABC中，∠C=30∘，斜边AC的长为5cm，则AB的长为（A．2.5cm B．2cm C．3cm D．4cm7．（2023·浙江·九年级自主招生）如图，C是线段BD上一点，分别以BC、CD为边长在BD同侧作等边三角形BCA和等边三角形CDE，连接BE,AD，分别交AC于M，交CE于N．若AC=3,CM=2，则CN=（

）A．2 B．2.5 C．3 D．3.58．（2023春·全国·八年级专题练习）如图，在△ABC中，AB=4，BC=6，∠B=60°，将△ABC沿BC所在直线向右平移得到△A'B'CA．2 B．4 C．5 D．69．（2023秋·河南漯河·八年级漯河市实验中学校考期中）如图，在等边△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D，过点D作DE⊥BC于点E，且CE=2，则AB的长为（）A．8 B．4 C．6 D．7.510．（2022秋·广东珠海·八年级珠海市紫荆中学校考期中）如图，点C是线段AB上一点，△ACM、△BCN是等边三角形．AN与CM交于点B，BM与CN交于点F，AN与BM交于点D．下列结论：①AN=BM；②EF∥AB；③CE=BF；④CD⊥EF；⑤DC平分∠A．①③④ B．①②③⑤ C．①③⑤ D．①②③④⑤二、填空题11．（2022春·黑龙江绥化·七年级绥化市第八中学校校考期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，∠A＝60°，AD＝2，则BD＝______．12．（2022秋·福建厦门·八年级统考期中）在ΔABC中，AB=AC=10cm，∠A=60°，则13．（2022秋·广西南宁·八年级广西大学附属中学校考期末）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，BC=6，D为AB的中点，P为BC上一动点，连接AP，DP，则AP+DP14．（2022春·江苏苏州·八年级校考期末）如图，RtΔABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，BC=2cm，D为BC的中点，若动点E以1cm/s的速度从A点出发，沿着A→B→A的方向运动，设E点的运动时间为t秒（0≤t≤6），连接DE，当ΔBDE15．（2023秋·河南鹤壁·八年级鹤壁市外国语中学校考阶段练习）下列命题中，是真命题的是______（只填序号）．①全等三角形的对应边相等，对应角相等；②有两边和一角相等的两个三角形全等；③有一个角等于60度的等腰三角形是等边三角形；④3是9的平方根．16．（2022秋·辽宁鞍山·八年级统考期中）如图，△ABC为等边三角形，点M，N分别在BC、AC上，且BM=CN，AM与BN交于Q点，则∠AQN的度数为___________．三、解答题17．（2023秋·广东广州·八年级广州市第八十九中学校考期中）如图，△ABC中，∠C=90°，∠ABC=60°，BD平分∠ABC，若BD=6，求AC的长．

18．（2023秋·广东广州·八年级校考期末）如图：在等边三角形ABC中，点D,E分别是AB,BC延长线上的点，且BD=CE．求证：∠BCD=∠CAE．19．（2022秋·八年级单元测试）如图，△ABC中，∠A=90°，∠B=60°，BC的垂直平分线交BC于点D，交AC于点E．求证：（1）AE=DE；（2）若AE=6，求CE的长．20．（2023春·山东青岛·八年级统考期中）如图，△ABC中，AB＝AC，AD⊥AC交BC于点D，且∠CDA=60°，BD＝2，求BC的长．21．（2022秋·江西宜春·八年级校考期中）图①中所示的遮阳伞，伞柄垂直于地面，其示意图如图②．当伞收紧时，点P与点A重合；当伞慢慢撑开时，动点P由A向B移动；当点P到达点B时，伞张得最开．已知伞在撑开的过程中，总有PM=PN，CM=CN．(1)求证：PC垂直平分MN；(2)若CN=PN=60cm，当∠CPN=60°时，求AP22．（2022春·七年级单元测试）已知，如图，∠B=∠C，AB∥DE，EC=ED，求证：△DEC为等边三角形．

23．（2022秋·广西百色·八年级统考期中）已知△ABC的三边长分别为a，b，c．(1)若a，b，c满足（a﹣b）2+（b﹣c）2＝0，试判断△ABC的形状；(2)若a＝4，b＝2，且c为整数，求△ABC的周长．24．（2023秋·浙江杭州·八年级统考阶段练习）如图，点M、N分别在正△ABC（在正三角形中每一条边都相等，每一角都相等）的BC，CA边上，且BM=CN，AM，BN交于点Q．(1)判断△ABM与△BCN是否全等，并说明理由．(2)判断∠BQM是否会等于60°，并说明理由．(3)若将题中的点M，N分别移动到BC，CA的延长线上，且BM=CN，是否能得到∠BQM=60°？请说明理由．25．（2023·江苏·八年级假期作业）在学习全等三角形的知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成的，在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形．兴趣小组成员经过研讨给出定义：如果两个等腰三角形的顶角相等，且顶角的顶点互相重合，则称此图形为“手拉手全等模型”．因为顶点相连的四条边，可以形象地看作两双手，所以通常称为“手拉手模型”．(1)如图，△ABC与△ADE都是等腰三角形，AB=AC，AD=AE，且∠BAC=∠DAE，则有___________≌___________．(2)如图，已知△ABC，以AB、AC为边分别向外作等边△ABD和等边△ACE并连接BE，CD，则∠BOD=(3)如图，在两个等腰直角三角形△ABC和△ADE中，AB=AC，AE=AD，∠BAC=∠DAE=90∘，连接BD，CE，交于点

专题04等边三角形考点类型知识串讲（一）等边三角形（特殊的等腰三角形）（1）等边三角形性质①等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60º②在直角三角形中，如果一个锐角等于30º，那么它所对的直角边等于斜边的一半（2）等边三角形判定①三个角都相等的三角形是等边三角形。②有一个角是60º的等腰三角形是等边三角形。（二）解题方法（1）三角形三个内角的平分线交于一点，并且这一点到三边的距离等。（2）三角形三个边的中垂线交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。（3）常用辅助线：=1\*GB3①三线合一；=2\*GB3②过中点做平行线[来源:（4）含30°角的直角三角形性质（三）等腰三角形与等边三角形的区别与联系考点训练考点1：等边三角形的性质——求角度典例1：（2023春·四川成都·八年级统考期末）如图，将等边三角形ABC纸片折叠，使得点A的对应点D落在BC边上，其中折痕分别交边AB,AC于点E，F，连接DE,DF．若DF⊥BC，则∠AEF

A．15° B．30° C．45° D．60°【答案】C【分析】根据等边三角形折叠的性质及垂直的定义得出∠FDB=90°,∠FDE=60°，结合图形及三角形外角的性质得出∠【详解】解：∵DF⊥BC，将等边三角形ABC纸片折叠，使得点A的对应点D落在BC边上，∴∠FDB=90°,∴∠EDB=30°∵等边三角形ABC，∴∠B=60°∴∠AED=90°∵将等边三角形ABC纸片折叠，使得点A的对应点D落在BC边上，∴∠AEF=故选：C．【点睛】题目主要考查等边三角形的性质、三角形外角的定义及折叠的性质，结合图形找准各角之间的关系是解题关键．【变式1】（2023·北京海淀·人大附中校考三模）用一块等边三角形的硬纸片（如图1）做一个底面为等边三角形且高相等的无盖的盒子（边缝忽略不计，如图2），在△ABC的每个顶点处各剪掉一个四边形，其中四边形AMDN中，∠MDN的度数为（

）

A．100° B．110° C．120° D．130°【答案】C【分析】由题意可知∠A=60°，∠AMD=∠AND=90°，对角又互补，则∠MDN的度数为120°．【详解】解：∵△ABC为等边三角形，∴∠A=60°，因为要做一个底面为等边三角形且高相等的无盖的盒子，所以∠AMD=∠AND=90°，又∵四边形ANDM角的度数之和为360°，∴∠MDN=360°−60°−90°−90°=120°．故选：C．【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，解决本题的关键是熟练掌握等边三角形的性质．【变式2】（2023·甘肃武威·统考中考真题）如图，BD是等边△ABC的边AC上的高，以点D为圆心，DB长为半径作弧交BC的延长线于点E，则∠DEC=（

）

A．20° B．25° C．30° D．35°【答案】C【分析】由等边三角形的性质求解∠DBC=12∠ABC=30°【详解】解：∵BD是等边△ABC的边AC上的高，∴∠DBC=1∵DB=DE，∴∠DBE=∠DEB=30°，故选C【点睛】本题考查的是等边三角形的性质，等腰三角形的性质，熟记等边三角形与等腰三角形的性质是解本题的关键．【变式3】（2023·河南周口·河南省淮阳中学校考三模）如图，l∥m，等边三角形ABC的顶点B在直线m上，∠1=25°，则∠2的度数为（

）

A．65° B．45° C．40° D．35°【答案】D【分析】延长AC交直线m于点D，根据三角形外角的定义可以求出∠3的度数，再根据两直线平行，内错角相等即可得到∠2的度数．【详解】解：如图，延长AC交直线m于点D，

，∵三角形ABC是等边三角形，∴∠3=60°−∠1=60°−25°=35°，∵l∥m，∴∠2=∠3=35°，故选：D．【点睛】本题主要考查了平行线的性质、等边三角形的性质、三角形外角的定义，熟练掌握平行线的性质、等边三角形的性质、三角形外角的定义，是解题的关键．考点2：等边三角形的性质——求线段典例2：（2023春·广东清远·八年级校联考期中）如图，点E在等边△ABC的边BC上，BE=6，射线CD⊥BC，垂足为点C，点P是射线CD上一动点，点F是线段AB上一动点，当EP+FP的值最小时，BF=7，则AB的长为（

）

A．7 B．8 C．9 D．10【答案】D【分析】作E点关于CD的对称点E'，连接PE,E'P,PF，当E',P,F三点共线，E'F⊥AB时，此时EP+FP的值最小，由题意可得∠FE'B=30°，则B【详解】解：作E点关于CD的对称点E'，过E'作E'F⊥AB交于点F，交CD于点

∴PE=PE∴EP+FP=PE当E',P,F三点共线，此时EP+FP的值最小，∵△ABC是正三角形，∴∠B=60°，∵E'∴∠FE∴BE∵BF=7，BE=6，∴E'∵CE=CE∴14=2CE+BE=2CE+6，∴CE=4，∴BC=10=AB，故选：D．【点睛】本题考查轴对称求最短距离，熟练掌握轴对称求最短距离的方法，等边三角形的性质，直角三角形的性质是解题的关键．【变式1】（2023春·全国·八年级阶段练习）如图，等边△ABC的边长为4，AD是△ABC的边BC上的高，过点D作DE⊥AC于点E，则AE的长是（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】根据等边三角形的性质以及含30度角的直角三角形的性质得出CE=12CD=【详解】解：∵等边△ABC的边长为4，AD是△ABC的边BC上的高，∴BC=AC=4,∠C=60°,BD=CD=1∵DE⊥AC，∴∠CDE=30°，∴CE=∴AE=AC−CE=4−1=3，故选：C．【点睛】本题考查了等边三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，掌握含30度角的直角三角形的性质是解题的关键．【变式2】（2023秋·山东威海·七年级统考期末）如图，△ABC和△BDE都是等边三角形，点A，D，E在同一条直线上，BE=2，CE=4，则A．6 B．5 C．8 D．7【答案】A【分析】根据“SAS”，得出△ABD≌△CBE，再根据全等三角形的性质，得出AD=CE，再根据等量代换，即可得出结论．【详解】证明：∵△ABC和△BDE都是等边三角形，∴∠ABC=∠DBE=60°，∴∠ABC=∠ABD+∠DBC，∠DBE=∠DBC+∠CBE，∴∠ABD=∠CBE，在△ABD和△CBE中，AB=BC∠ABD=∠CBE∴△ABD≌△CBESAS∴AD=CE，∴AE=DE+AD=BE+CE=2+4=6．故选：A．【点睛】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质，解本题的关键在熟练掌握相关的性质定理．【变式3】（2023春·辽宁沈阳·八年级统考阶段练习）如图，△ABC是等边三角形，D是线段BC上一点（不与点B，C重合），连接AD，点E，F分别在线段AB,AC的延长线上，且DE=DF=AD，点D从B运动到C的过程中，△CDF周长的变化规律是（

）A．不变 B．一直变小 C．先变大后变小 D．先变小后变大【答案】D【分析】先根据等边三角形的性质可得∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°，从而可得∠EBD=∠DCF=120°，再根据等腰三角形的性质、角的和差可得∠BAD=∠E=∠CDF，然后根据三角形全等的判定定理与性质可得BE=CD，从而可得△CFD周长为CD+CF+DF=CD+BD+AD=BC+AD，最后根据点到直线的距离即可得出答案．【详解】∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°，∴∠EBD=∠DCF=120°，∵DF=AD，∴∠CAD=∠F，又∵∠BAD+∠CAD=∠BAC=60°∴∠BAD=∠CDF，∵DE=AD，∴∠BAD=∠E，∴∠E=∠CDF，在△BDE和△CFD中，∠EBD=∠DCF∴△BDE≅△CFDAAS∴BE=CD，则△CFD周长为CD+CF+DF=CD+BD+AD=BC+AD，∵在点D从B运动到C的过程中，BC长不变，AD长先变小后变大，其中当点D运动到BC的中点位置时，AD最小，∴在点D从B运动到C的过程中，△CFD周长的变化规律是先变小后变大，故选：D．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、等边三角形的性质、三角形全等的判定定理与性质等知识点，正确找出两个全等三角形是解题关键．考点3：等边三角形的性质与判定综合典例3：（2023秋·八年级课时练习）如图，已知等边三角形ABC的边长为3，过AB边上一点P作PE⊥AC于点E，Q为BC延长线上一点，取PA=CQ，连接PQ，交AC于点M，则EM的长为（

）

A．12 B．32 C．1【答案】B【分析】过P作PF∥BC交AC于F，得出等边三角形APF，推出AP=PF=QC，根据等腰三角形性质求出EF=AE，证△PFM≌△QCM，推出【详解】解：过P作PF∥BC交AC于∵PF∥BC，∴∠PFM=∠QCM，∠APF=∠B=60°，∠AFP=∠ACB=60°，∠A=60°，∴△APF是等边三角形，∴AP=PF=AF，∵PE⊥AC，∴AE=EF，∵AP=PF，∴PF=CQ，在△PFM和△QCM中，∠PFM=∠QCM∠PMF=∠QMC∴△PFM≌△QCM∴FM=CM，∵AE=EF，∴EF+FM=AE+CM，∴AE+CM=ME=1∵AC=3，∴ME=3故选：B．

【点睛】本题考查全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，平行线的性质等知识点的应用；添加恰当辅助线构造全等三角形是解决问题的关键．【变式1】（2022秋·安徽黄山·八年级统考期末）如图，已知等边△ABC和等边△BPE，点P在BC的延长线上，EC的延长线交AP于点M，连接BM，有下列结论：①AP=CE；

②∠PME=60°；

③MB平分∠AME；

④AM+MC=BM，其中正确的结论是（

）A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④【答案】D【分析】证明△APB≌△CEB得到AP=CE，即可判断①；由△APB≌△CEB，得到∠APB=∠CEB，再由∠MCP=∠BCE，推出∠PME=∠PBE=60°，即可判断②；过点B作BN⊥AM于N，BF⊥ME于F，证明△BNP≌△BFE得到BN=BF，得到BM平分∠AME，即可判定③；在BM上截取BK=CM，连接AK，先证明∠ACM=∠ABK，即可证明△ACM≌△ABK得到AK=AM，推出△AMK为等边三角形，则AM=MK，AM+MC=BM，即可判断④．【详解】证明：①∵等边△ABC和等边△BPE，∴AB=BC，∠ABC=∠PBE=60°，BP=BE，在△APB和△CEB中，AB=CB∴△APB≌△CEBSAS∴AP=CE，故①符合题意；②∵△APB≌△CEB，∴∠APB=∠BEC，∵∠MCP=∠BCE，则∠PME=∠PBE=60°，故②符合题意；③过点B作BN⊥AM于N，BF⊥ME于F，∵△APB≌△CEB，∴∠BPN=∠FEB，在△BNP和△BFE中，∠BNP=∴△BNP≌△BFEAAS∴BN=BF，∴BM平分∠AME，故③符合题意；④在BM上截取BK=CM，连接AK，由②知∠PME=60°，∴∠AMC=120°，由③知：BM平分∠AME，∴∠BMC=∠AMK=60°，∴∠AMK=∠ACB=60°，又∵∠AHM=∠BHC，∴∠CAM=∠CBH，∵∠CAM+∠ACM=∠EMP=60°，∴∠CBH+∠ACM=60°，∴∠ABK+∠PBM=60°=∠PBM+∠ACM，∴∠ACM=∠ABK，在△ABK和△ACM中AB=AC∴△ACM≌△ABKSAS∴AM=AK，∴△AMK为等边三角形，则AM=MK，故AM+MC=MK+BK=BM，故④符合题意；故选D．【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质以及等边三角形的性质与判定，角平分线的判定等知识，解题关键是作出合适的辅助线，熟练掌握全等三角形的性质与判定方法．【变式2】（2023春·重庆九龙坡·八年级重庆实验外国语学校校考开学考试）如图，点D、点E分别是等边△ABC的边AB、AC上的点，且AD=CE，连接CD、BE交于点O，在OB上截取OF，使得A．BE=CD B．∠BOC=120° C．∠BDF=∠ACD D．DO=OC【答案】D【分析】先证明△ADC≅△CEB，再逐个推理即可．【详解】∵等边△ABC∴∠A=∠ABC=∠ACB=60°，AC=BC=AB∵AD=CE∴△ADC≅△CEB∴BE=CD，∠CBE=∠ACD故A选项正确；∵∠ACD+∠BCD=∠ACB=60°∴∠CBE+∠BCD=60°∴∠BOC=180°−故B选项正确；∵∠BOC=120°，∴∠BOD=60°,∵OF=OD∴△DOF是等边三角形∴∠DFO=60°=∠BDF+∠ABE∴∠BDF=∠CBE=60°−∠ABE∵∠CBE=∠ACD∴∠BDF=∠ACD故C选项正确；DO=OC没有条件能证明，故D选项错误；故选：D．【点睛】本题考查等边三角形的性质与判定、全等三角形的性质与判定，熟记等边三角形的性质是解题的关键．【变式3】（2023秋·四川宜宾·八年级统考期末）如图，在直线AC的同一侧作两个等边三角形△ABD和△BCE，连接AE与CD，AE与CD交于点H，AE与BD交于点G，BE与CD交于点F，连接GF、BH．过B点作CD、AE的垂线段BM、BN，垂足分别为M、N．①AE=DC②∠AHD=60°③△EGB≌△CFB④∠AHB=∠CHB⑤GF∥AC⑥BM=BN．以上6个结论中，正确的个数有（A．6 B．5 C．4 D．3【答案】A【分析】①根据SAS证明△ABE≌△DBC，得出AE=DC，即可判断①正确；②根据△ABE≌△DBC，得出∠CAB=∠BAE，根据∠DGH=∠AGB，得出∠AHD=∠ABD=60°，即可判断②正确；③根据△ABE≌△DBC，得出∠GEB=∠FCB，证明∠GBE=∠FBC，根据ASA证明△GBE≌△FBC，即可判③正确；⑥根据△GBE≌△FBC，得出S△GBE=S△FBC，④根据角平分线的判定即可判定④正确；⑤根据角平分线的判定即可判定⑤正确．【详解】解：①∵△ABD和△BCE都是等边三角形，∴AB=BD，BE=BC，∠ABD=∠CBE=60°，∴∠ABD+∠DBE=∠DBE+∠CBE，即∠ABE=∠CBD，∴△ABE≌△DBC，∴AE=DC，故①正确；②∵△ABE≌△DBC，∴∠CAB=∠BAE，∵∠DGH=∠AGB，∴∠AHD=∠ABD=60°，故②正确；③∵△ABE≌△DBC，∴∠GEB=∠FCB，∵∠ABD=∠CBE=60°,∴∠DBE=180°−60°−60°=60°，∴∠GBE=∠FBC，∵BE=BC，∴△GBE≌△FBC，故③正确；⑥∵△GBE≌△FBC，∴S△GBE=S∵BN⊥GE，BM⊥CF，∴12∴BN=BM，故⑥正确；④∵BN⊥GE，BM⊥CF，BN=BM，∴BH平分∠GHF，∴∠AHB=∠CHB，故④正确；⑤∵△GBE≌△FBC，∴BG=BF，∵∠GBF=60°，∴△GBF为等边三角形，∴∠GFB=60°，∴∠GFB=∠FBC，∴GF∥综上分析可知，正确的有6个，故A正确．故选：A．【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行线的判定，角平分线的判定，三角形面积的计算，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法，证明△ABE≌△DBC，△GBE≌△FBC．考点4：含30°角的直角三角形典例4：（2023·河南濮阳·统考三模）如图，在平面直角坐标系中，点B在x轴上，现将等边△AOB向右平移适当长度得到对应△CDE，且AB，CD交于点P，若OD=2BP=4，则点C的坐标为（

）

A．6,0 B．132,0 C．7,33【答案】C【分析】过点C作CF⊥x轴于点F，由题意易得OB=DE=6，然后可得DF=3,CF=33【详解】解：过点C作CF⊥x轴于点F，如图所示：

由平移可知OB=DE,OA∥CD,AB∥CE，∵△AOB是等边三角形，∴OA=OB=CD=DE,∠AOB=∠ABO=60°，∴∠CDE=∠ABO=60°，∴△PDB是等边三角形，∴PB=DB，∵OD=2BP=4，∴PB=DB=2，∴OB=DE=6，∵CF⊥x轴，∴DF=12DE=3∴OF=7，∴C7,3故选C．【点睛】本题主要考查等边三角形的性质及判定、坐标与图形及含30度直角三角形的性质，熟练掌握等边三角形的性质及判定、坐标与图形及含30度直角三角形的性质是解题的关键．【变式1】（2023秋·广西崇左·八年级统考期末）如图，等边三角形ABC中，D、E分别为AB、BC边上的两个动点，且总使AD=BE，AE与CD交于点F，AG⊥CD于点G，则FG:AF等于（

）A．1 B．2 C．13 D．【答案】D【分析】根据等边三角形性质得出AC=AB，∠BAC=∠B=60°，证△ABE≌△CAD，推出∠BAE=∠ACD，求出∠AFD=∠BAC=60°，求出∠FAG=30°，即可求出答案．【详解】证明：∵△ABC是等边三角形，∴AC=AB，∠BAC=∠B=60°，在△ABE和△CAD中AB=AC∠B=∠DAC∴△ABE≌△CAD，∴∠BAE=∠ACD，∴∠AFD=∠CAE+∠ACD=∠CAE+∠BAE=∠BAC=60°，∵AG⊥CD，∴∠AGF=90°，∴∠FAG=30°，∴AF=2FG，即FG:AF=1故选：D．【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定等边三角形性质，含30度角的直角三角形性质的应用，证明全等三角形是关键．【变式2】（2023春·福建宁德·八年级统考期中）如图，∠AOB=60°，点P在边OA上，点M、N在边OB上（点M在点N的左侧），OP=8，MN=2，若PM=PN，则OM的长为（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】A【分析】过P作PD⊥OB，交OB于点D，在Rt△OPD中，利用含30度直角三角形的性质求出OD的长，再由PM=PN，利用三线合一得到D为MN中点，根据MN求出MD【详解】解：过P作PD⊥OB，交OB于点D，在Rt△OPD中，∠OPD=90°−60°=30°，OP=8∴OD=1∵PM=PN，∴MD=ND=1∴OM=OD−MD=4−1=3．故选：A．【点睛】此题考查了含30度直角三角形的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握直角三角形的性质是解本题的关键．【变式3】（2023春·山东青岛·八年级即墨市第二十八中学校考期中）已知如图AC=BC=12，∠B=15°，AD⊥BC于D．则AD的长是（

）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】C【分析】根据等腰三角形性质求出∠BAC=∠B=15°，根据三角形外角性质得出∠ACD=∠B+∠BAC=30°，最后根据含30°角的直角三角形的性质求出结果即可．【详解】解：∵AC=BC=12，∠B=15°，∴∠BAC=∠B=15°，∴∠ACD=∠B+∠BAC=30°，∵AD⊥BC，∴∠ADC=90°，∴AD=1故选：C．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形外角的性质，含30°角的直角三角形的性质，解题的关键是求出∠ACD=30°，熟记30°角所对的直角边等于斜边的一半．考点5：等边三角形的动点问题典例5：（2022秋·广西南宁·八年级广西大学附属中学校考期末）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，BC=6，D为AB的中点，P为BC上一动点，连接AP，DP，则AP+DP【答案】6【分析】作A关于BC的对称点A'，连接A'B，得出∠A=60°，则PA=A'P，且△AA'B为等边三角形，AP+DP=A'P+PD，其最小值为【详解】解：作A关于BC的对称点A'，连接A'B，∵∠C=90°，∴∠∵PA=A'P∴△AA'B∴AP+DP=A'P+PD为A∴AP+DP的最小值为A'到AB的距离=BC=6故答案为：6．【点睛】本题考查的是最短线路问题及等边三角形的性质，构造轴对称图形是解答此题的关键．【变式1】（2022秋·湖北十堰·八年级统考期中）如图，∠AOB=60°，C是BO延长线上一点，OC=12cm，动点P从点C出发沿CB以2cm/s的速度移动，动点Q从点O出发沿OA以1cm/s的速度移动，如果点P、Q同时出发，用ts表示移动的时间，当【答案】4或12/12或4【分析】根据等腰三角形的定义分两种情况：①当点P在线段OC上时，且OP=OQ，②当点P在CO的延长线上时，且OQ=PO，分别列式计算即可．【详解】解：由题意可分以下情况讨论：①当点P在线段OC上时，则有OP=OC−CP=OQ，∵OC=12cm，CP=2t∴OP=12−2t∵OQ=tcm∴12−2t=t，解得：t=4；②当点P在CO的延长线上时，∵∠AOB=60°，△POQ是等腰三角形∴△POQ是等边三角形则OQ=OP时，∵此时OP=2t−12，∴2t−12=t，解得：t=12，综上所述：当t为4ss或12s时，故答案为：4或12．【点睛】本题主要考查等腰三角形的定义，等边三角形的判定，以及一元一次方程的应用，解决问题的关键是把几何问题转化为方程求解，注意分类讨论思想．【变式2】（2023秋·山东德州·八年级统考期末）已知点A在x轴的负半轴上，以OA为边在第二象限作等边△AOB，点M、N分别为OA、OB边上的动点，以MN为边在x轴上方作等边△MNE，连结OE，当∠EMO=45°时，则∠MEO的度数为______．【答案】75°/75度【分析】过M作MF∥AB，可证△OMF为等边三角形，∠FMO=60°，MF=MO，由△MNE是等边三角形，可得∠NME=∠MFO=60°，MN=ME，可证∠FMN=∠OME【详解】过M作MF∥∴∠MFO=∠BAO，∵△ABO是等边三角形，∴∠BAO=∠BOA=60°=∠MFO，∴△OMF为等边三角形，∴∠FMO=60°，∵△MNE是等边三角形，∴∠NME=∠FMO=60°，∴∠FMN+∠NMO=∠NMO+∠OME=60°，∴∠FMN=∠OME，在△MFN和△MOE中，MF=MO∠FMN=∠OME∴△MFN≌△MOE，∴∠MFN=∠MOE=60°，∵∠EMO=45°，∴∠MEO=180°−∠OME−∠MOE=180°−45°−60°=75°．【点睛】本题考查图形与坐标，等边三角形的判定与性质，三角形全等判定与性质掌握图形与坐标，作辅助线构造全等三角形是解题关键．【变式3】（2023秋·河南安阳·八年级校考期末）如图，∠AOB=30°，点M，N分别是射线OA，OB上的动点，点P为∠AOB内一点，且OP=5，则【答案】5【分析】设点P关于OA的对称点为C，关于OB的对称点为D，根据当点M、N在CD上时，△PMN的周长最小，再结合等边三角形的判定和性质即可解答．【详解】解：分别作点P关于OA、OB的对称点C、D，连接CD，分别交OA、OB于点M、N，连接OP、OC、OD、PM、PN．∵点P关于OA的对称点为C，∴CM=PM，∵点P关于OB的对称点为D，∴DN=PN，∴OC=OD=OP=5，∠COD=∠COA+∠POA+∠POB+∠DOB=2(∠POA+∠POB)=2∠AOB=60°，∴△COD是等边三角形，∴CD=OC=OD=5．∴△PMN的周长的最小值=PM+MN+PN=CM+MN+DN≥CD=5．故答案为：5．【点睛】本题考查了轴对称—最短路线问题，等边三角形的判定和性质．将三角形的周长利用轴对称转化为线段的长，构造等边三角形是解题的关键．同步过关一、单选题1．（2023秋·黑龙江牡丹江·八年级统考期末）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=15°，DE垂直平分AB，交BC于点E，BE=10cm，则边AC的长为（

）A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm【答案】C【分析】连接AE，根据线段垂直平分线的性质，可得AE=BE，继而可求得∠BAE=∠B=15°，然后又三角形外角的性质，求得∠AEC的度数，继而根据含30°的直角三角形的性质求得AC的长．【详解】解：连接AE，∵DE垂直平分AB，∴AE=BE=10cm，∴∠BAE=∠B=15°，∴∠AEC=∠BAE+∠B=30°，∵∠C=90°，AE=BE=10cm，∴AC=12故选：C．【点睛】本题考查线段垂直平分线的性质、含30°角的直角三角形的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．2．（2023·江苏·八年级假期作业）如图，在等边△ABC中，AB＝4cm，BD平分∠ABC，点E在BC的延长线上，且∠E=30∘，则CE的长是（A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm【答案】B【分析】根据等边三角形的性质得AC=AB=4，由等边三角形三线合一得到CD，由∠ACB=60°，∠E=30°，求出∠CDE，得出CD=CE，即可求解．【详解】∵△ABC是等边三角形，∴AC=AB=BC=4cm，∠ACB=60°，∵BD平分∠ABC，∴AD=CD(三线合一)∴DC=12∵∠E=30°∴∠CDE=∠ACB-∠E=60°-30°=30°∴∠CDE=∠E所以CD=CE=2cm故选：B．【点睛】本题考查的是等边三角形的性质、等腰三角形的判定，直角三角形的性质，直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半．3．（2023秋·八年级单元测试）如图，直线l//m//n，等边三角形ABC的顶点B、C分别在直线n和m上，边BC与直线n所夹的锐角β为25°，则∠α的度数为（

）A．25° B．45° C．35° D．30°【答案】C【分析】根据l//m//n，可以得到∠β=∠1=25∘，【详解】解：如图所示：根据l∴∠β=∠1=25∘又∵△ABC是等边三角形∴∠ACB=∴∠2=∴∠α=故选：C．【点睛】本题主要考查了平行线的性质，即两直线平行内错角相等以及两直线平行同位角相等；明确平行线的性质是解题的关键．4．（2022秋·青海西宁·八年级统考期末）如图，∠AOB＝60°，以点O为圆心，以适当长为半径作弧交OA于点C，交OB于点D；分别以C，D为圆心，以大于12CD的长为半径作弧，两弧在∠AOB内部相交于点P；画射线OP，在射线OP上截取线段OM＝6，则点M到OB的距离为（A．6 B．5 C．4 D．3【答案】D【分析】过点M作ME⊥OB于点E，根据作法可得∠BOP=∠AOP=12∠AOB，从而得到∠BOP=30°，进而得到【详解】解：如图，过点M作ME⊥OB于点E，根据题意得：∠BOP=∠AOP=12∵∠AOB＝60°，∴∠BOP=30°，∴ME=1∵OM＝6，∴ME=3，即点M到OB的距离为3．故选：D【点睛】本题主要考查了尺规作图——作已知角的平分线，直角三角形的性质，熟练掌握作已知角的平分线的作法，直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键．5．（2023秋·黑龙江哈尔滨·八年级哈尔滨市第十七中学校校考阶段练习）下列说法中：①与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上；②等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合；③如果三角形一条边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形；④有一个角是60°的三角形是等边三角形．正确的说法有（）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个【答案】C【分析】根据线段垂直平分线性质逆定理，等腰三角形的性质，直角三角形的判定，等边三角形的判定，逐项判断即可求解．【详解】解：①与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，故原说法正确；②等腰三角形的底边高、中线、顶角的角平分线互相重合，故原说法错误；③如果三角形一条边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形，已知：如图，在△ABC中，AD为BC边的中线，且AD=1求证：△ABC为直角三角形，证明：∵AD为BC边的中线，∴BD=CD，∵AD=1∴AD=BD=CD，∴∠B=∠1，∠C=∠2，∵∠B+∠C+∠BAC=180°，∠1+∠2=∠BAC，∴∠BAC=90°，∴△ABC为直角三角形，故原说法正确；④有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，故原说法错误；所以正确的说法有：①③，共2个．故选：C【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线性质逆定理，等腰三角形的性质，直角三角形的判定，等边三角形的判定，熟练掌握相关知识点是解题的关键．6．（2022春·湖南岳阳·八年级统考期末）在Rt△ABC中，∠C=30∘，斜边AC的长为5cm，则AB的长为（A．2.5cm B．2cm C．3cm D．4cm【答案】A【分析】根据30°角的直角三角形的性质解答即可．【详解】解：在Rt△ABC中，∵∠C=30°，∠B=90°，斜边AC的长5cm，∴AB=12AC故选：A．【点睛】本题考查了30°角的直角三角形的性质，属于基础题型，熟练掌握30°角对的直角边等于斜边的一半是解题关键．7．（2023·浙江·九年级自主招生）如图，C是线段BD上一点，分别以BC、CD为边长在BD同侧作等边三角形BCA和等边三角形CDE，连接BE,AD，分别交AC于M，交CE于N．若AC=3,CM=2，则CN=（

）A．2 B．2.5 C．3 D．3.5【答案】A【分析】证明△BCE≌△ACD得出∠CEM=∠CDN，然后证明△CME≌△CND得出CN=CM，即可求解．【详解】解：∵等边三角形BCA和等边三角形CDE∴∠ACB=∠ECD=60°，∠ACE=180°−60°−60°=60°，BC=AC,EC=DC，∴∠BCE=∠ACD=120°，∴△BCE≌△ACDSAS,∴∠CEM=∠CDN，∵∠MCE=∠NCD=60°，EC=DC，∴△CME≌△CNDASA，∴CN=CM=故选：A．【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质，掌握等边三角形的性质以及全等三角形的性质与判定是解题的关键．8．（2023春·全国·八年级专题练习）如图，在△ABC中，AB=4，BC=6，∠B=60°，将△ABC沿BC所在直线向右平移得到△A'B'CA．2 B．4 C．5 D．6【答案】B【分析】根据平移的性质可得A'B'=4，B'C=6−2=4，再根据【详解】解：由平移的性质可得A'B'∵BC=6，BB∴B'∴A∴△A∴A故选：B【点睛】本题主要考查了平移的性质和等边三角形的判定，平移前后对应边相等，对应角相等,“有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形”，熟练掌握以上知识是解题的关键.9．（2023秋·河南漯河·八年级漯河市实验中学校考期中）如图，在等边△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D，过点D作DE⊥BC于点E，且CE=2，则AB的长为（）A．8 B．4 C．6 D．7.5【答案】A【详解】解：∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC=∠C=60°，AB=BC=AC，∵DE⊥BC，∴∠CDE=30°，∵EC=2，∴CD=2EC=4，∵BD平分∠ABC交AC于点D，∴AD=CD=4，∴BC=AC=AD+CD=8．故选A．10．（2022秋·广东珠海·八年级珠海市紫荆中学校考期中）如图，点C是线段AB上一点，△ACM、△BCN是等边三角形．AN与CM交于点B，BM与CN交于点F，AN与BM交于点D．下列结论：①AN=BM；②EF∥AB；③CE=BF；④CD⊥EF；⑤DC平分∠A．①③④ B．①②③⑤ C．①③⑤ D．①②③④⑤【答案】B【分析】由“SAS”可证△ACN≌△MCB，可得AN＝BM，∠CMB＝∠CAN，故①正确；由“ASA”可证△ACE≌△MCF，可得CE＝CF，故③正确；可证△CEF是等边三角形，可得∠CEF＝∠CFE＝60°＝∠ACM，可证EF∥AB，故②正确；由全等三角形的性质可得∠AEC＝∠MFC，可得∠CED+∠MFC＝180°，则可证DE不一定等于DF，即CD不一定垂直平分EF，故④错误；由全等三角形的性质可得SΔACN=SΔMCB，由面积公式可证CG＝CH，由“HL”可证Rt△CDG≌Rt△【详解】解：①∵△ACM、△BCN是等边三角形，∴AC＝CM，CN＝CB，∠ACM＝∠BCN＝60°，∴∠ACN＝∠MCB，∴△ACN≌△MCB（SAS），∴AN＝BM，∠CMB＝∠CAN，故①正确，③∵∠ACM＝∠BCN＝60°，∴∠MCN＝60°＝∠ACM，又∵AC＝CM，∠CMB＝∠CAN，∴△ACE≌△MCF（ASA），∴CE＝CF，故③正确，②∵∠ECF＝60°，∴△CEF是等边三角形，∴∠CEF＝∠CFE＝60°，∴∠FEC＝∠ACM＝60°，∴EF∥AB，故②正确；④∵△ACE≌△MCF，∴∠AEC＝∠MFC，∵∠AEC+∠CED＝180°，∴∠CED+∠MFC＝180°，∴∠CED不一定等于∠CFM，∴∠DEF不一定等于∠DFE，∴DE不一定等于DF，又∵CE＝CF，∴CD不一定垂直平分EF，故④错误；⑤如图，过点C作CG⊥AN于G，CH⊥MB于H，∵△ACN≌△MCB，∴SΔ∴12AN×CG＝12BM×∴CH＝CG，又∵CD＝CD，∴Rt△CDG≌Rt△CDH（HL），∴∠CDG＝∠CDH，∴CD平分∠ADB，故⑤正确；故选：B．【点睛】本题是三角形综合题，考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．二、填空题11．（2022春·黑龙江绥化·七年级绥化市第八中学校校考期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，∠A＝60°，AD＝2，则BD＝______．【答案】6【分析】根据∠A＝60°，可得∠ACD=30°，从而得到AC=2AD=4，再由∠ACB＝90°，可得∠B=30°，从而得到AB=2AC=8，即可求解．【详解】解：∵CD⊥AB，∴∠ADC=∠BDC=90°，∵∠A＝60°，AD＝2，∴∠ACD=30°，∴AC=2AD=4，∵∠ACB＝90°，∴∠B=30°，∴AB=2AC=8，∴BD=AB-AD=6．故答案为：6【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质，熟练掌握直角三角形中，30度角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键．12．（2022秋·福建厦门·八年级统考期中）在ΔABC中，AB=AC=10cm，∠A=60°，则【答案】10cm【分析】根据已知AB=AC，∠A=60°，直接判定ΔABC为等边三角形，得AB=AC=BC【详解】解：∵AB=AC=10cm，∠A=60°∴Δ∴BC=AB=AC=10cm故答案为：10cm【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质，熟练掌握有一个内角为60°的等腰三角形是等边三角形是解答此题的关键．13．（2022秋·广西南宁·八年级广西大学附属中学校考期末）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，BC=6，D为AB的中点，P为BC上一动点，连接AP，DP，则AP+DP【答案】6【分析】作A关于BC的对称点A'，连接A'B，得出∠A=60°，则PA=A'P，且△AA'B为等边三角形，AP+DP=A'P+PD，其最小值为【详解】解：作A关于BC的对称点A'，连接A'B，∵∠C=90°，∴∠∵PA=A'P∴△AA'B∴AP+DP=A'P+PD为A∴AP+DP的最小值为A'到AB的距离=BC=6故答案为：6．【点睛】本题考查的是最短线路问题及等边三角形的性质，构造轴对称图形是解答此题的关键．14．（2022春·江苏苏州·八年级校考期末）如图，RtΔABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，BC=2cm，D为BC的中点，若动点E以1cm/s的速度从A点出发，沿着A→B→A的方向运动，设E点的运动时间为t秒（0≤t≤6），连接DE，当ΔBDE【答案】2或3.5或4.5或6【分析】先求出AB的长，再分①∠BDE＝90°时，DE是△ABC的中位线，然后求出AE的长度，再分点E在AB上和在BA上两种情况列出方程求解即可；②∠BED＝90°时，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理求出BE，然后分点E在AB上和在BA上两种情况列出方程求解即可．【详解】解：∵∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，BC＝2cm,∴∠A=30°，AB＝2BC＝4（cm），①∠BDE＝90°时，∵∠B=60°，∴∠DEB=30°，∴EB=2DB=BC=2∴AE＝AB−BE=2（cm），点E在AB上时，t＝2÷1＝2（秒），点E在BA上时，点E运动的路程为4×2−2＝6（cm），∴t＝6÷1＝6（秒）；②∠BED＝90°时，BE＝12点E在AB上时，t＝（4−0.5）÷1＝3.5（秒），点E在BA上时，点E运动的路程为4＋0.5＝4.5（cm），t＝4.5÷1＝4.5（秒），∵0≤t≤6综上所述，t的值为2或3.5或4.5或6，故答案为：2或3.5或4.5或6．【点睛】本题考查了含30度角的直角三角形的性质，解题的关键是分情况讨论．15．（2023秋·河南鹤壁·八年级鹤壁市外国语中学校考阶段练习）下列命题中，是真命题的是______（只填序号）．①全等三角形的对应边相等，对应角相等；②有两边和一角相等的两个三角形全等；③有一个角等于60度的等腰三角形是等边三角形；④3是9的平方根．【答案】①③④【分析】根据全等三角形的性质和判定方法，等腰三角形的性质，平方根的定义判断即可．【详解】解：①是全等的性质，描述正确，是真命题；②有两边和夹角才能判定两个三角形全等，描述错误假命题；③顶角为60°时，两底角各是60°是等边三角形；底角为60°时，也是等边三角形，描述正确，是真命题；④32=9，3是9的平方根，是真命题．故答案为：①③④【点睛】本题考查真假命题的判断，能从条件推出结果才是真命题；掌握全等三角形的判定方法是判断②的关键．16．（2022秋·辽宁鞍山·八年级统考期中）如图，△ABC为等边三角形，点M，N分别在BC、AC上，且BM=CN，AM与BN交于Q点，则∠AQN的度数为___________．【答案】60°/60度【分析】利用SAS证明△ABM≅△BCN，得到∠MAB=∠NBC，结合∠AQN=∠MAB+∠ABN，利用等量代换得到【详解】因为△ABC为等边三角形，所以AB=所以AB=所以△ABM≅△BCN，所以∠MAB=∠NBC，因为∠AQN=所以∠AQN=故答案为：60°．【点睛】本题考查了等边三角形的性质，三角形全等的判定和性质，三角形外角性质，熟练掌握等边三角形的性质，三角形全等的判定和性质是解题的关键．三、解答题17．（2023秋·广东广州·八年级广州市第八十九中学校考期中）如图，△ABC中，∠C=90°，∠ABC=60°，BD平分∠ABC，若BD=6，求AC的长．

【答案】9【分析】根据角平分线的定义求得∠2=∠3=30°，可得Rt△BCD的直角边CD是斜边BD长度的一半；然后由三角形的外角定理知∠4=∠1+∠2，可得∠1=∠2=30°，根据等角对等边可知AD=BD，根据BD=6【详解】解：∵△ABC中，∠C=90°，∠ABC=60°，BD平分∠ABC，∴∠2=∠3=30°，∠1=90°−∠ABC=90°−60°=30°，在Rt△BCD中，BD=6∴CD=12BD=∵∠1=∠4−∠2=60°−30°=30°=∠2，∴DA=DB=6，∴AC=AD+CD=6+3=9，∴AC的长为9．

【点睛】本题考查角平分线的定义，含30°角的直角三角形的性质，等腰三角形的判定与性质，三角形外角的性质．解题的关键是掌握：在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．18．（2023秋·广东广州·八年级校考期末）如图：在等边三角形ABC中，点D,E分别是AB,BC延长线上的点，且BD=CE．求证：∠BCD=∠CAE．【答案】见解析【分析】由等边三角形的性质，利用SAS可证ΔDBC≌ΔECA，由全等的性质可得结论.【详解】证明：∵等边三角形ABC∴AB=BC=AC，∠ABC=∠ACB,∴∠DBC=∠ACE在ΔABC和ΔABD中，BC=AC∴ΔDBC≌ΔECA∴∠BCD=【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的性质及判定，熟练掌握等边三角形的性质是解题的关键.19．（2022秋·八年级单元测试）如图，△ABC中，∠A=90°，∠B=60°，BC的垂直平分线交BC于点D，交AC于点E．求证：（1）AE=DE；（2）若AE=6，求CE的长．【答案】（1）证明见解析；（2）12．【分析】（1）由垂直平分线可得EB=EC，则得∠EBC=∠C=30°=∠ABE，由角平分线性质可得AE=DE；（2）根据直角三角形中，30°所对直角边为斜边的一半．即可得到答案．【详解】（1）证明：连接BE，∵∠A=90°，∠B=60°，∴∠C=30°．∵DE垂直平分BC，∴EB=EC，∴∠EBC=∠C=30°=∠ABE，∴AE=DE；（2）在△CDE中，∵∠CDE=90°，∠C=30°，∴DE=12CE∴CE=2DE=2AE=12【点睛】本题主要考查了垂直平分线的性质，直角三角形性质；直角三角形中30°所对边为斜边的一半是本题解题关键.20．（2023春·山东青岛·八年级统考期中）如图，△ABC中，AB＝AC，AD⊥AC交BC于点D，且∠CDA=60°，BD＝2，求BC的长．【答案】6【分析】根据三角形的内角和得到∠C=30°，根据等腰三角形的性质得到∠B=∠C=30°，求出AD=BD=2，根据直角三角形的性质即可得到结论．【详解】∵AD⊥AC交BC于点D，且∠CDA=60°，∴∠C=30°，∵AB=AC，∴∠B=∠C=30°，∴∠BAD=∠ADC-∠B=30°，∴∠B=∠BAD，∴AD=BD=2，∴CD=2AD=4，∴BC=BD+CD=6．【点睛】考查了含30度角的直角三角形的性质、等腰三角形的判定与性质．解题关键是利用了在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．21．（2022秋·江西宜春·八年级校考期中）图①中所示的遮阳伞，伞柄垂直于地面，其示意图如图②．当伞收紧时，点P与点A重合；当伞慢慢撑开时，动点P由A向B移动；当点P到达点B时，伞张得最开．已知伞在撑开的过程中，总有PM=PN，CM=CN．(1)求证：PC垂直平分MN；(2)若CN=PN=60cm，当∠CPN=60°时，求AP【答案】(1)见解析(2)60【分析】（1）首先根据题意证明△CMP≌△CNPSSS（2）首先根据题意得到当伞收紧时，AC=CN+PN=120cm，然后证明出△CPN是等边三角形，求出PC=PN=60【详解】（1）在△CMP和△CNP中CM=CN∴△CMP≌△CNP∴∠MP