数学单元测试：第一讲坐标系

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精第一讲测评（时间：90分钟满分:100分）一、选择题（本大题共10小题,每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．与极坐标eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（－2，\f（π,6）))不表示同一点的极坐标是()A．eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（2，\f(7π,6)））B．eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（2，－\f（7π,6）)）C．eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（－2，－\f(11π，6)）)D．eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(－2,\f(13π,6)））2．将曲线F（x，y)＝0上的点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标缩短到原来的eq\f（1,3），得到的曲线方程为()A．Feq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f（x,2），3y))＝0B．Feq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（2x,\f（y,3）))＝0C．Feq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（3x，\f（y,2)）)＝0D．Feq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f（x,3)，2y）)＝03．将点（2,3)变成点(3,2)的伸缩变换是(）A．eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（x′＝\f(2,3)x，y′＝\f（3，2）y))B．eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(x′＝\f（3，2)x，y′＝\f（2，3）y)）C．eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x′＝y，y′＝x））D．eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（x′＝x＋1，y′＝y－1)）4．在极坐标系中，点eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(2，\f（π，3)))到圆ρ＝2cosθ的圆心的距离为（）A．2B．eq\r(4＋\f(π2，9））C．eq\r(1＋\f（π2,9))D．eq\r(3)5．在极坐标系中，圆ρ＝－2sinθ的圆心的极坐标是（）A．eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（1，\f（π，2）））B．eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（1，－\f(π,2)）)C．（1，0)D．(1,π）6．在极坐标系中有如下三个结论：①点P在曲线C上，则点P的极坐标满足曲线C的极坐标方程；②tanθ＝1（ρ≥0）与θ＝eq\f（π，4）(ρ≥0）表示同一条曲线；③ρ＝3与ρ＝－3表示同一条曲线．其中正确的是(）A．①③B．①C．②③D．③7．若曲线的极坐标方程为ρ＝4sinθ，则它的直角坐标方程为()A．x2＋(y＋2）2＝4B．x2＋（y－2）2＝4C．（x－2）2＋y2＝4D．（x＋2）2＋y2＝48．在极坐标系中，圆ρ＝2cosθ的垂直于极轴的两条切线方程分别为()A．θ＝0(ρ∈R）和ρcosθ＝2B．θ＝eq\f(π，2）(ρ∈R)和ρcosθ＝2C．θ＝eq\f(π，2）（ρ∈R)和ρcosθ＝1D．θ＝0(ρ∈R）和ρcosθ＝19．直角坐标为（3－eq\r（3)，3＋eq\r(3))的点的极坐标可能是()A．eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(2\r（6),－\f(5π,12）))B．eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（2\r(6)，\f（5π，12））)C．eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（－2\r(6)，\f(7π,12））)D．eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(2\r（6），\f（7π，12)）)10．已知点M的球坐标为eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(1，\f(π,3），\f(π,6）)），则它的直角坐标为()A．eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(1，\f(π,3),\f(π，6)）)B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f(3,4),\f（\r(3)，4），\f(1，2))）C．eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f（3,4）,\f(3，4),\f(1，2)））D．eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f（\r（3）,4），\f（3，4),\f(\r（3），2)))二、填空题(本大题共5小题,每小题5分，共25分．把答案填在题中的横线上）11．直线2ρcosθ＝1与圆ρ＝2cosθ相交的弦长为__________．12．(2014·陕西高考,文15C）在极坐标系中，点eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（2，\f（π，6）))到直线ρsineq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(θ－\f(π，6)））＝1的距离是______．13．在极坐标系中，曲线C1：ρ（eq\r（2)cosθ＋sinθ)＝1与曲线C2：ρ＝a(a＞0)的一个交点在极轴上,则a＝________。14．已知曲线C1，C2的极坐标方程分别为ρcosθ＝3，ρ＝4cosθeq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(ρ≥0，0≤θ＜\f(π，2)))，则曲线C1与C2交点的极坐标为________．15．在极坐标系中，由三条直线θ＝0,θ＝eq\f(π,3),ρcosθ＋ρsinθ＝1围成图形的面积是________．三、解答题(本大题共2小题，共25分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16．(10分）在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（x′＝2x，,y′＝2y）)后，曲线C变为曲线(x′－5)2＋(y′＋6)2＝1,求曲线C的方程，并判断其形状．17．（15分)在平面直角坐标系xOy中，以O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C的极坐标方程为ρcoseq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（θ－\f(π,3))）＝1，M，N分别为曲线C与x轴、y轴的交点．(1）写出曲线C的直角坐标方程，并求M，N的极坐标；(2)设MN的中点为P，求直线OP的极坐标方程．

参考答案1．答案：B2．解析：设(x,y）经过伸缩变换变为(x′,y′)，∴eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（x′＝2x,,y′＝\f（1,3）y，））则eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(x＝\f（1，2）x′，，y＝3y′，）)代入F（x,y)＝0得Feq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f(1,2)x′，3y′))＝0。答案：A3．解析:设此变换为eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(x′＝λx（λ＞0)，，y′＝μy(μ＞0），)）则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（λ＝\f（x′，x）＝\f（3，2），,μ＝\f（y′，y）＝\f（2,3）,)）所以所求的伸缩变换为eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（x′＝\f(3，2)x，，y′＝\f（2,3)y.））答案:B4．解析：圆ρ＝2cosθ在直角坐标系中的方程为（x－1)2＋y2＝1，点eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（2，\f(π,3)))的直角坐标为（1，eq\r（3））．所以圆心（1,0）与点（1，eq\r(3))之间的距离为d＝eq\r((1－1）2＋（\r（3)－0)2)＝eq\r（3).答案：D5．解析：由题意得，圆的直角坐标方程为x2＋(y＋1)2＝1，圆心的直角坐标为（0，－1）,即圆心的极坐标为eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(1，－\f(π,2）））.答案：B6．解析：在直角坐标系内，曲线上每一点的坐标一定适合它的方程，但在极坐标系内,曲线上一点的所有极坐标不一定都适合方程,故①是错误的；tanθ＝1不仅表示θ＝eq\f（π,4)这条射线，还表示θ＝eq\f(5π，4)这条射线，故②亦不对；ρ＝3与ρ＝－3差别仅在于方向不同，但都表示一个半径为3的圆,故③正确．答案：D7．解析：由直角坐标和极坐标的互化公式x＝ρcosθ，y＝ρsinθ,即ρ2＝x2＋y2,tanθ＝eq\f（y,x）(x≠0）可得x2＋y2＝4y,整理得x2＋(y－2）2＝4。答案：B8．解析:由题意可知,圆ρ＝2cosθ可化为直角坐标方程为(x－1）2＋y2＝1.所以圆的垂直于x轴的两条切线方程分别为x＝0和x＝2，再将两条切线方程化为极坐标方程分别为θ＝eq\f(π,2）(ρ∈R）和ρcosθ＝2，故选B。答案：B9．解析：因为ρ＝eq\r(（3－\r(3））2＋（3＋\r（3）)2)＝2eq\r(6）（ρ＞0)，点（3－eq\r(3），3＋eq\r（3)）在第一象限，tanθ＝eq\f(3＋\r(3),3－\r(3)）＝eq\f（1＋\f(\r（3),3)，1－\f(\r(3)，3）)＝taneq\f（5π,12),所以点（3－eq\r(3），3＋eq\r（3)）的极坐标为eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(2\r(6)，\f（5π，12））).答案：B10．解析：设点M的直角坐标为（x,y，z)，∵点M的球坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（1，\f(π，3），\f(π，6））)，∴x＝sineq\f(π,3）coseq\f（π,6）＝eq\f(3,4),y＝sineq\f（π，3)sineq\f(π,6）＝eq\f(\r(3),4），z＝coseq\f（π,3)＝eq\f(1，2）.∴点M的直角坐标为eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f(3，4)，\f(\r（3),4），\f(1,2))).答案:B11．解析：直线2ρcosθ＝1即为2x＝1,圆ρ＝2cosθ即为（x－1)2＋y2＝1.将x＝eq\f(1,2)代入（x－1）2＋y2＝1，得y＝±eq\f(\r（3),2)。所以所求的弦长为eq\r（3）。答案:eq\r(3)12．解析：点eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（2，\f（π，6）））的直角坐标为eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(2cos\f（π，6），2sin\f(π，6）))，即(eq\r（3),1)，又ρsineq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（θ－\f（π,6)))＝1可化为eq\f(\r(3)，2)ρsinθ－eq\f（1，2）ρcosθ＝1,所以该直线的直角坐标方程为x－eq\r(3)y＋2＝0.由点到直线的距离公式，可得所求距离为d＝eq\f（｜\r(3）－\r（3)×1＋2｜,\r（12＋（－\r（3)）2))＝1.答案：113．解析：把曲线C1：ρ(eq\r（2)cosθ＋sinθ）＝1化成直角坐标方程，得eq\r(2)x＋y＝1；把曲线C2:ρ＝a（a＞0）化成直角坐标方程，得x2＋y2＝a2。∵C1与C2的一个交点在极轴上,∴eq\r(2)x＋y＝1与x轴的交点eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f(\r（2),2），0）)在C2上，即eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f（\r（2)，2）））2＋0＝a2.又a＞0，∴a＝eq\f(\r(2）,2）。答案：eq\f(\r（2)，2)14．解析:∵eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(ρcosθ＝3,,ρ＝4cosθ，)）eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1(①，②))∴4cos2θ＝3.∴2(1＋cos2θ)＝3。∴cos2θ＝eq\f(1，2）。∵0≤2θ＜π,∴θ＝eq\f(π,6).代入①得ρ＝2eq\r(3)。∴C1与C2交点的极坐标为eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（2\r(3)，\f（π,6))）。答案：eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（2\r(3），\f(π,6)）)15．解析:因为三条直线θ＝0，θ＝eq\f(π,3），ρcosθ＋ρsinθ＝1在直角坐标系下对应的直线方程分别为y＝0，y＝eq\r(3)x，x＋y＝1.三条直线围成的图形如图阴影部分所示．则点A（1,0)，Beq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f（\r（3）－1，2）,\f（3－\r（3），2)）)，所以S△AOB＝eq\f(1，2）×eq\f（3－\r(3）,2）×1＝eq\f(3－\r（3)，4）。答案:eq\f（3－\r(3）,4）16．解：将eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（x′＝2x，,y′＝2y）)代入（x′－5）2＋(y′＋6）2＝1,得（2x－5)2＋（2y＋6）2＝1,即eq\b\lc\(\rc