2024八年级数学上册阶段拔尖专训第3招等腰三角形“三线合一”六种常见题型习题课件新版浙教版

浙教版八年级上第3招等腰三角形“三线合一”六种常见题型01分类训练目

录CONTENTS教你一招

等腰三角形中的“顶角平分线、底边上的高、底边上的

中线”，只要知道其中“一线”，就可以说明这条线同时也

是其他“两线”.运用等腰三角形“三线合一”的性质证明

角相等、线段相等或垂直，可减少证全等的次数，简化解题

过程.

利用“三线合一”求角的度数

A.50°B.72°C.62°D.82°C123456789102.

[2024·金华永康市月考]如图，在△

ABC

中，

AB

＝

AC

，

AD

⊥

BC

，∠

BAD

＝26°，且

AD

＝

AE

，求∠

AED

的

度数.12345678910

123456789103.

[新视角过程探究题]【数学知识】等腰三角形的“三线合

一”性质非常重要，如图①，在△

ABC

中，

AB

＝

AC

，

AD

是中线，若∠

C

＝58°，则∠

BAD

的度数

为

⁠；32°

12345678910【数学应用】如图②，在△

ABC

和∠

AEF

中，

AB

＝

AC

，

AE

＝

AF

，

AD

，

AG

分别为△

ABC

和△

AEF

的中线，若∠

BAF

＝110°，∠

CAE

＝24°，求∠

DAG

的度数；12345678910

∴∠

DAG

＝∠

DAC

＋∠

EAG

＋∠

CAE

＝43°＋24°＝67°.12345678910【拓展】如图③，在△

ABC

和△

ABE

中，

AB

＝

AC

，

AB

＝

AE

，

AD

，

AF

分别为△

ABC

和△

ABE

的中线，

AD

与

BE

交于点

O

，若∠

AOF

＝69°，则∠

CAE

的度数

为

⁠.42°

12345678910【点拨】∵

AB

＝

AC

，

AB

＝

AE

，

AD

，

AF

分别为△

ABC

和△

ABE

的中线，∴∠

BAD

＝∠

CAD

，∠

BAF

＝∠

EAF

，∠

ABE

＝∠

E

，

∠

ABC

＝∠

C

，∠

BDA

＝∠

BFA

＝90°.∵∠

BOD

＝∠

AOF

＝69°，∴∠

OBD

＝90°－69°＝21°.又∵∠

BAE

＝180°－2∠

ABE

，∠

BAC

＝180°－2∠

ABC

，∴∠

CAE

＝∠

BAE

－∠

BAC

＝180°－2∠

ABE

－(180°－

2∠

ABC

)＝2(∠

ABC

－∠

ABE

)＝2∠

OBD

＝2×21°＝42°.12345678910

利用“三线合一”求线段长

BA.

2B.3C.

4

D.5123456789105.

如图，在△

ABC

中，

BD

，

CE

分别是边

AC

，

AB

上的高，点

M

是

BC

的中点，且

MN

⊥

DE

，垂足为

点

N

，连结

ME

，

MD

，若

BC

＝20

cm，

ED

＝12

cm，求

MN

的长.12345678910

12345678910

利用“三线合一”证线段相等6.

如图，在△

ABC

中，点

D

，

E

，

F

分别在

BC

，

AB

，

AC

上，

BD

＝

CF

，

BE

＝

CD

，

AB

＝

AC

，

DG

⊥

EF

于点

G

.

求证：

EG

＝

FG

.

12345678910

12345678910

利用等腰三角形“三线合一”判断三角形的形状7.

[2024·台州期末]如图，在△

ABC

中，

AB

＝

AC

＞

BC

，

作高线

CE

，角平分线

BF

，中线

AD

，三者两两相于点

G

，

H

，

I

.

则下列三角形一定是等腰三角形的是(

D

)A.

△

ACE

B.

△

ABF

C.

△

CFG

D.

△

GHI

12345678910【点拨】∵

CE

是高线，∴∠

AEC

＝90°.若△

ACE

为等腰三角形，则

EA

＝

EC

，即∠

EAC

＝∠

ECA

＝45°，而题设中∠

BAC

并不一定是45°，故选项A不符合题意；∵

AB

＝

AC

＞

BC

，∴若△

ABF

为等腰三角形，则

FA

＝

FB

，12345678910即∠

FAB

＝∠1，如图.∵

BF

是△

ABC

的角平分线，∴∠1＝∠2，∠

ABC

＝∠

ACB

＝2∠1，∴5∠1＝180°，∴∠1＝36°＝∠

BAC

，而题设中∠

BAC

并不一定是36°，故选项B不符合题意；12345678910同理选项C不符合题意；∵

AB

＝

AC

，

AD

是△

ABC

的中线，∴

AD

⊥

BC

.

∵

BF

是∠

ABC

的平分线，

CE

是高线，∴∠

IGH

＝∠

EGB

＝90°－∠1，∠

GIH

＝90°－∠2，∴∠

IGH

＝∠

GIH

，∴

HI

＝

HG

，∴△

GHI

一定为等腰三角形，故选项D符合题意.D【答案】123456789108.

在△

ABC

中，已知∠

BAC

＝90°，

AB

＝

AC

，

D

为

BC

边的中点.(1)如图①，

E

，

F

分别是

AB

，

AC

上的点，且

BE

＝

AF

，试判断△

DEF

的形状，并说明理由；12345678910【解】△

DEF

为等腰直角三角形.理由如下：连结

AD

.

∵∠

BAC

＝90°，

AB

＝

AC

，∴∠

ABC

＝∠

ACB

＝45°.∵

D

为

BC

边的中点，∴

AD

⊥

BC

，∠

BAD

＝∠

DAC

＝45°，

BD

＝

AD

＝

DC

.

12345678910

12345678910(2)如图②，若

E

，

F

分别为

AB

，

CA

延长线上的点，且

仍有

BE

＝

AF

，请判断△

DEF

是否仍具有(1)中的形

状，并说明理由.12345678910

12345678910又由(1)知∠

ADB

＝90°.∴∠

BDF

＋∠

FDA

＝∠

BDF

＋∠

EDB

＝∠

EDF

＝90°.∴△

DEF

是等腰直角三角形.12345678910

利用“三线合一”证线段的倍分关系(构造三线法)9.

如图，在等腰直角三角形

ABC

中，已知

AB

＝

AC

，∠

BAC

＝90°，

BF

平分∠

ABC

交

AC

于点

F

，

CD

⊥

BD

交

BF

的延长线于点

D

.

求证：

BF

＝2

CD

.

12345678910【证明】如图，延长

BA

，

CD

交于点

E

.

∵

BF

平分∠

ABC

，

CD

⊥

BD

，∴∠

EBD

＝∠

CBD

，∠

BDE

＝∠

BDC

＝90°.又∵

BD

＝

BD

，∴△

BDC

≌△

BDE

，∴

BC

＝

BE

.

又∵

BD

⊥

CE

，∴

CE

＝2

CD

.

∵∠

BAC

＝90°，∠

BDC

＝90°，∠

AFB

＝∠

DFC

，∴∠

ABF

＝∠

ACE

.

又∵

AB

＝

AC

，∠

BAF

＝∠

CAE

＝90°，∴△

ABF

≌△

ACE

(

ASA

)，∴

BF

＝

CE

，∴

BF

＝2

CD

.

1234567891010.

如图，在△

ABC

中，

AD

⊥

BC

于点

D

，且∠

ABC

＝2∠

C

.

求证：

CD

＝

AB

＋

BD

.

利用“三线合一”证线段的和差关系(构造三线法)12345678910【证明】如图，以点

A

为圆心，

AB

长为半径画弧，交

CD

于点

E

，连结

AE

，则

AE

＝

AB

，∴∠

AEB

＝∠

ABC

.

∵