河南省开封市兰考县某中学2024-2025学年高三期末考试数学试题（含解析）

河南省开封市兰考县第三中学2024-2025学年高三期末考试数学试题

请考生注意：

1.请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0.5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答

案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。

2.答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州(现四川省安岳县)人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦

九韶算法，至今仍是比较先进的算法.如图的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入x的

值为2,则输出的v值为()

开始

.

/输入X/

V

v=10,k=9

A.9x210-2B.9x210+2C.9x2n+2D.9x2n-2

2.已知定义在R上的函数满足〃x)=/(—x),且在(0,+s)上是增函数，不等式〃必+2)</(—1)对于

恒成立，则。的取值范围是

A.--,-1B.-1,--C.--,0D.[0,1]

3.函数/(x)=Asin(ox+TTi)(o>0)的图象与x轴交点的横坐标构成一个公差为TT三的等差数列，要得到函数

g(x)=Acosox的图象，只需将/(x)的图象()

A.向左平移二个单位B.向右平移三个单位

124

ITSjT

C.向左平移乌个单位D.向右平移卫个单位

44

4.已知集合。={1,2,3,4,5,6},A={2,4},3={3,4},则(松)[1(*)=()

A.[3,5,6}B.{1,5,6}C.[2,3,4}D.{1,2,3,5,6}

5.点P为棱长是2的正方体A3CD-A4Gq的内切球。球面上的动点，点〃为用6的中点，若满足

则动点P的轨迹的长度为（）

A.亘8辰

55

6.已知向量4=(3sinx,-2),5=(l,cosx),当时，cosl2%+y)

66

C.——D.—

1313

7.已知点尸在椭圆r：二+二=l（a>Z»0）±,点P在第一象限，点尸关于原点。的对称点为A,点P关于x轴的对

a2b2

--3-"

称点为0,设尸。=：PQ,直线A。与椭圆r的另一个交点为8,若则椭圆7■的离心率e=（）

4

A.-B.—C.—D.走

2223

8.甲、乙、丙三人参加某公司的面试，最终只有一人能够被该公司录用，得到面试结果以后甲说：丙被录用了；乙说:

甲被录用了；丙说：我没被录用.若这三人中仅有一人说法错误，则下列结论正确的是（）

A.丙被录用了B.乙被录用了C.甲被录用了D.无法确定谁被录用了

9.已知/为抛物线炉=4〉的准线，抛物线上的点〃至!J/的距离为d,点尸的坐标为（4,1）,贝！j|MP|+d的最小值是

（）

A.V17B.4C.2D.1+/

10.若函数/（乃=内3+3必+6在％=1处取得极值2,贝！Ja—b=（）

A.-3B.3C.-2D.2

11.为了进一步提升驾驶人交通安全文明意识，驾考新规要求驾校学员必须到街道路口执勤站岗，协助交警劝导交通.

现有甲、乙等5名驾校学员按要求分配到三个不同的路口站岗，每个路口至少一人，且甲、乙在同一路口的分配方案

共有（）

A.12种B.24种C.36种D.48种

12.已知双曲线C：J—方=l（a>02〉0）的实轴长为2,离心率为2,耳、与分别为双曲线C的左、右焦点，点

P在双曲线c上运动，若△耳尸鸟为锐角三角形，则|p耳|+pE|的取值范围是（）

A.（277,8）B.（275,7）C.（2石,8）D.（207）

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.若正三棱柱ABC-A.B.Q的所有棱长均为2,点尸为侧棱A4上任意一点，则四棱锥尸-BCC4的体积为

22

14.如图，6、工分别是双曲线二-与=1的左、右焦点，过心的直线与双曲线C的两条渐近线分别交于4、3两

ab

点，若事=丽，邓•哥=0,则双曲线C的离心率是.

15.已知函数/（x）=In」二1为奇函数，则。=.

1-ax

16.已知两点4—1,0）,3（1,0）,若直线x—y+a=o上存在点尸（x,y）满足而=0,则实数。满足的取值范围

是.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（12分）贫困人口全面脱贫是全面建成小康社会的标志性指标.党的十九届四中全会提出“坚决打赢脱贫攻坚战，建

立解决相对贫困的长效机制”对当前和下一个阶段的扶贫工作进行了前瞻性的部署，即2020年要通过精准扶贫全面消

除绝对贫困，实现全面建成小康社会的奋斗目标.为了响应党的号召，某市对口某贫困乡镇开展扶贫工作.对某种农产品

加工生产销售进行指导，经调查知，在一个销售季度内，每售出一吨该产品获利5万元，未售出的商品，每吨亏损2

万元.经统计A，B两市场以往100个销售周期该产品的市场需求量的频数分布如下表：

A市场：

需求量

90100110

（吨）

频数205030

5市场:

需求量

90100110

（吨）

频数106030

把市场需求量的频率视为需求量的概率，设该厂在下个销售周期内生产“吨该产品，在4、3两市场同时销售，以X

（单位：吨）表示下一个销售周期两市场的需求量，Y（单位：万元）表示下一个销售周期两市场的销售总利润.

（1）求X>200的概率;

（2）以销售利润的期望为决策依据，确定下个销售周期内生产量〃=190吨还是九=200吨?并说明理由.

L-I「11

10-0

18.（12分）试求曲线〉=5就》在矩阵MN变换下的函数解析式，其中M=,N=2.

-°2」［oi

19.（12分）已知函数/（x）=e'—xlnx+ax,/'（x）为/（x）的导数，函数/（x）在x=玉）处取得最小值.

（1）求证：111%+/=0；

（2）若"/时,恒成立，求&的取值范围.

20.（12分）已知椭圆C：三+营=1（。〉万〉0）的离心率为蛰，右焦点为抛物线V=4x的焦点歹.

（1）求椭圆C的标准方程；

4

（2）。为坐标原点，过。作两条射线，分别交椭圆于M、N两点，若QV斜率之积为-彳，求证：^MON

的面积为定值.

21.（12分）已知椭圆T：0+2=1（。〉6〉0）的离心率为5,直线/：x+y—#=0与以原点为圆心，以椭圆C

的短半轴长为半径的圆相切.A为左顶点，过点G（1,O）的直线交椭圆丁于3,C两点，直线A5,AC分别交直线％=4

于Af,N两点.

(1)求椭圆T的方程；

(2)以线段MN为直径的圆是否过定点？若是，写出所有定点的坐标；若不是，请说明理由.

22.(10分)如图，在四棱锥尸—A6CD中，四边形ABC。为正方形，平面ABC。，点〃是棱PC的中点,

AB=2,PD=t(t>0).

(1)若r=2,证明：平面平面「5C；

4

(2)若三棱锥C-的体积为求二面角3—DM—C的余弦值.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.C

【解析】

由题意，模拟程序的运行，依次写出每次循环得到的左，v的值，当k=-1时，不满足条件左..0,跳出循环，输出v的

值.

【详解】

解:初始值v=10,x=2,程序运行过程如下表所示：

k=9,

v=10x2+9,左=8,

v=10x22+9x2+8，左=7,

v=10x23+9x2~+8x2+7,k=6,

v=10x24+9x23+8x22+7x2+6，k=5,

v=10x25+9x24+8x23+7x22+6x2+5,k=4,

v=10x26+9x25+8x24+7x23+6x22+5x2+4,k=3,

v=10x27+9x26+8x25+7x24+6x23+5x22+4x2+3,k=2,

v=10x28+9x27+8x26+7x25+6x24+5x23+4x22+3x2+2,k=T,

v=10x29+9x28+8x27+7x26+6x25+5x24+4x23+3x22+2x2+1,k=0,

v=10x210+9x29+8x28+7x27+6x2s+5x25+4x24+3x23+2x22+1x2+0,k=-l,

跳出循环，输出v的值为

^43v=10x210+9x29+8x28+7x27+6x26+5x25+4x24+3x23+2x22+1x2+0®

2V=10X2"+9X210+8X29+7X28+6X27+5X26+4X25+3X24+2X23+1X22+0®

①一②得

-V=-10X211+1X210+1X29+1X28+1X27+1X26+1X25+1X24+1X23+1X22+1X2

2（1-210）

-v=-10x2n+—^-----

1-2

v=9x2"+2.

故选：C.

本题主要考查了循环结构的程序框图的应用，正确依次写出每次循环得到左，V的值是解题的关键，属于基础题.

2.A

【解析】

根据奇偶性定义和性质可判断出函数为偶函数且在(-8,0)上是减函数，由此可将不等式化为-1W办+2W1；利用分

离变量法可得-巳3<«<-1-,求得-三3的最大值和-一1的最小值即可得到结果.

XXXx

【详解】

•."(x)=/(—x).・./(九)为定义在R上的偶函数，图象关于y轴对称

又/(%)在(0,+8)上是增函数.-./(%)在(―,0)上是减函数

1.,/(ta+2).,.麻+2区1,即-

•••—1W依+2W1对于％e[L2卜恒成立——在[1,2]上恒成立

3「3一

---<a<—l,即〃的取值范围为：—不一1

2L2

本题正确选项：A

本题考查利用函数的奇偶性和单调性求解函数不等式的问题，涉及到恒成立问题的求解；解题关键是能够利用函数单

调性将函数值的大小关系转化为自变量的大小关系，从而利用分离变量法来处理恒成立问题.

3.A

【解析】

依题意有了(X)的周期为T=总=7,。=3,/(%)=Asin[3x+zJ.而

g(x)=AsinI3%+-^4，C兀兀)4力兀7兀17[

=Asin---1--=Asin3XH---H---故应左移—.

I4412412

4.B

【解析】

按补集、交集定义，即可求解.

【详解】

gA={l,3,5,6},={1,2,5,6),

所以CfA)n(，)={1，5,6}.

故选：B.

本题考查集合间的运算，属于基础题.

5.C

【解析】

设与6的中点为X,利用正方形和正方体的性质，结合线面垂直的判定定理可以证明出平面。CH，这样可以

确定动点尸的轨迹，最后求出动点尸的轨迹的长度.

【详解】

设用8的中点为〃，连接CH,DH,因此有而。CLVB,而DC,CHu平面CD8,DC^\CH=C,

因此有府，平面。CH，所以动点尸的轨迹平面。CH与正方体ABC。-aUGA的内切球。的交线.正方体

ABCD-的棱长为2,所以内切球。的半径为R=l,建立如下图所示的以D为坐标原点的空间直角坐标系:

因此有0(1,1,1),。(0,2,0),H(2,2,l),设平面。CH的法向量为正=(x,y,z),所以有

m±DCm-DC=02y=0_

_-二c^>m=(l,0,-2),因此。到平面。CH的距禺为:

m±DHm-DH=0[2x+2y+z=0

\mOD\.R_______9/?A仁

〃='一"==,所以截面圆的半径为：r=,R2V2=包,因此动点P的轨迹的长度为2〃r=生)力.

m555

故选：C

本题考查了线面垂直的判定定理的应用，考查了立体几何中轨迹问题，考查了球截面的性质，考查了空间想象能力和

数学运算能力.

6.A

【解析】

(\2tanx

根据向量的坐标运算，求出tanx,cos2x+-k——-~即可求解.

I2Jtanx+1

【详解】

_-2

■_-a±b<=3sin%-2cos%=0,tan%=—

.c2sinxcosx

cos2xH———sin2x--------------—

I2Jsinx+cosx

2tan%_12

tan2x+113

故选:A.

本题考查向量的坐标运算、诱导公式、二倍角公式、同角间的三角函数关系，属于中档题.

7.C

【解析】

设P&,%）,则4（—七,—%）,。（毛乂）,。,,一段］,设8（9,%），根据丛，依化简得到3〃=

,得到

答案.

【详解】

设P6,yJ,则4（一毛,一乂），0（%,—%）,PD=^PQ,则。,,一^|,设8（々,%），

江+日=1

则］;两式相减得到:

%=二=—,鼬=心，即『宏，

%a%+y24玉%1+x2玉玉+%2

PA±PB,故kpA-kpB=-l,即—42=—1,故3a2=4。2,iie=—.

a22

故选：C.

本题考查了椭圆的离心率，意在考查学生的计算能力和转化能力.

8.C

【解析】

假设若甲被录用了，若乙被录用了，若丙被录用了，再逐一判断即可.

【详解】

解：若甲被录用了，则甲的说法错误，乙，丙的说法正确，满足题意,

若乙被录用了，则甲、乙的说法错误，丙的说法正确，不符合题意，

若丙被录用了，则乙、丙的说法错误，甲的说法正确，不符合题意，

综上可得甲被录用了，

故选：c.

本题考查了逻辑推理能力，属基础题.

9.B

【解析】

设抛物线焦点为尸，由题意利用抛物线的定义可得，当尸,M,尸共线时，取得最小值，由此求得答案.

【详解】

解：抛物线焦点b(0,1),准线y=—l,

过M作肱V，/交/于点N,连接R0

由抛物线定义plW|=|MF|=d,

:.\MP\+d=|W|+|MF|>|PF|=747=4,

当且仅当尸,M,b三点共线时，取“=”号，

••.|叫+"的最小值为4.

故选:B.

本题主要考查抛物线的定义、标准方程，以及简单性质的应用，体现了数形结合的数学思想，属于中档题.

10.A

【解析】

r(i)=o

对函数/(尤)求导，可得，即可求出a,b，进而可求出答案.

J(D=2

【详解】

7，(l)=3a+6=0

因为/(x)=ax3+3x2+6,所以=3ax2+6%,则<解得a=-2力=1,则a—/?=一3.

f(V)=a+3+b=2,

故选:A.

本题考查了函数的导数与极值，考查了学生的运算求解能力,属于基础题.

11.C

【解析】

先将甲、乙两人看作一个整体，当作一个元素，再将这四个元素分成3个部分，每一个部分至少一个，再将这3部分

分配到3个不同的路口，根据分步计数原理可得选项.

【详解】

把甲、乙两名交警看作一个整体，5个人变成了4个元素，再把这4个元素分成3部分，每部分至少有1个人，共有C：

种方法，再把这3部分分到3个不同的路口，有种方法，由分步计数原理，共有C＞团=36种方案。

故选：C.

本题主要考查排列与组合，常常运用捆绑法，插空法，先分组后分配等一些基本思想和方法解决问题，属于中档题.

12.A

【解析】

2

由已知先确定出双曲线方程为/一4=1,再分别找到△耳尸耳为直角三角形的两种情况，最后再结合

|所|—|正司=2即可解决.

【详解】

由已知可得2a=2,-=2,所以a=l,c=21==/=石，从而双曲线方程为

2

d-g=l,不妨设点尸在双曲线C右支上运动，则归耳|-归闾=2,当忸团闾时，

此时|尸团2+］尸匐2=丑=（归耳卜归闾）2+2忸制尸段,所以归制尸闾=6,

（|7蜀+|尸阊）2=怛4+「用2+2仍引产阊=28,所以归制+2月|=2万；

当附心轴时，附『=户用2+6所以圈+归局q=8,又△耳因为锐角三

角形，所以|PR+|P闾426,8）.

故选：A.

本题考查双曲线的性质及其应用，本题的关键是找到△耳「鸟为锐角三角形的临界情况，即△耳P月为直角三角形，

是一道中档题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.

3

【解析】

依题意得5四瓯9=2X2=4，再求点p到平面的距离为点A到直线BC的距离hp，用公式

所以Vp_BB1Gc=§SQBB]GCX'P即可得出答案.

【详解】

解：正三棱柱A3C-A3iG的所有棱长均为2,

则Sn科「「=2x2=4

点P到平面的距离为点A到直线BC的距离

所以Vp-BBqC=§5皿09义与=丁4*百=:.

故答案为：延

3

本题考查椎体的体积公式,考查运算能力，是基础题.

14.2

【解析】

--—.b

根据三角形中位线证得4。〃34，结合片3.月3=0判断出A0垂直平分B居，由此求得一的值，结合02=4+〃求

一a

得£的值.

a

【详解】

•・・可=丽，・・・A为中点，AO//BF{,,:耶可=0,・,・A0垂直平分瓦"

**•^AOF=/AOB=/BOR=60°,即一=tan60°=8,b=y/3a，c1-3a2+a2=4a2，即e=—=2.

2aa

故答案为：2

本小题主要考查双曲线离心率的求法，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.

15.-1

【解析】

利用奇函数的定义得出〃r)=-/(%)，结合对数的运算性质可求得实数a的值.

【详解】

由于函数/(x)=In工为奇函数，则/(—x)=—/(x)，即InX［二一3工l=lnl-，

1-ax1+ax\-axx-1

一Y—11—(IX

.•.丁J二」^,整理得1—d=i—片/，解得Q=±1.

\+axx-1

当a=l时，真数=2二=—1,不合乎题意；

1-X

当a=—1时，/(x)=ln^,解不等式父〉0,解得x<—1或此时函数y=/(力的定义域为

(«,-l)U(l,+8),定义域关于原点对称，合乎题意.

综上所述，a--l.

故答案为：-1.

本题考查利用函数的奇偶性求参数，考查了函数奇偶性的定义和对数运算性质的应用，考查计算能力，属于中等题.

16.s/2,

【解析】

问题转化为求直线/与圆V+y2=i有公共点时，a的取值范围，利用数形结合思想能求出结果.

【详解】

解：••・直线/：尤-y+a=。，点4—1,0),8(1,0),

直线/上存在点尸满足Q.丽=0,

二尸的轨迹方程是V+y2=1.

,如图，直线/与圆必+/=1有公共点，

解得—

实数°的取值范围为［-夜,拒］.

故答案为：［-行，后］.

本题主要考查直线方程、圆、点到直线的距离公式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化

思想、函数与方程思想，属于中档题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（1）0.42；（2）72=200吨，理由见解析

【解析】

（1）设“A市场需求量为90,100,110吨”分别记为事件4，为，&，“3市场需求量为90,100,110吨”分别记为

事件与，由题可得（），（），（），⑻（）（骂），代入

B”B3,PAP4PAp,PB?,P

（）与+为），计算可得答案；

Px>200=P（A2B3+44

（2）X可取180,190,200,210,220,求出〃=190吨和〃=200吨时的期望，比较大小即可.

【详解】

（1）设“A市场需求量为90,100,110吨”分别记为事件人,4,A3,“3市场需求量为90,100,110吨”分别记为

事件与，B2,B3,则

P（A）=0.2,P（A）=0.5,P（A）=0.3,

p（4）=0.1,尸（纥）=0.6,P（B3）=0.3,

P（X>200）=P（4回+A^B,+&居）

=尸（4）尸（四）+尸（4）尸（男）+尸（4）尸（四）

=0.5xO.3+0.3x0.6+0.3x0.3=0.42；

（2）X可取180,190,200,210,220,

P（X=180）=尸（A4）=0.2x01=0.02

尸（X=190）=尸（44+4与）=0.5X0.1+02x0.6=0.17

当〃=190时，E（r）=（180x5-10x2）x0.02+190x5x（1-0.02）=948.6

当〃=200时，£(7)=(180x5-20x2)x0.02+(190x5-10x2)x0.17+200x5x(1-0.02-0.17)

=985.3.

•.•948.6<985.3,

.•.〃=200时，平均利润大，所以下个销售周期内生产量”=200吨.

本题考查离散型随机变量的期望,是中档题.

18.y=2siri2x.

【解析】

1

计算MN=,计算得到函数表达式.

0

【详解】

1001

"：M=,N=2：.MN

020

01

1

xx-X

在矩阵MN变换下,—>2

2y

曲线y=sinx在矩阵MN变换下的函数解析式为y=2sin2x.

本题考查了矩阵变换，意在考查学生的计算能力.

19.（1）见解析；（2）[1—e,+8）.

【解析】

（1）对/（X）求导，令g（x）=e'—lnx+a—1,求导研究单调性，分析可得存在g<。<1使得g'"。）=。，即

e，0--^Q,即得证；

%

（2）分一+xo+（2-l..O,一+玉）两种情况讨论，当一十%o+a_L.0时，转化

/Wmin=/（^o）=—+V+^0«利用均值不等式即得证；当,+%。一1<°,f\x）有两个不同的零点演,

九0冗0

分析可得了（元）的最小值为了（尤2），分a»l—e,a<l—e讨论即得解.

【详解】

(1)由题意/'(%)="-ln%+〃一1,

令g(%)=靖一1口%+〃一1，贝!Jg'Cx)=e"，知g'(x)为(。,+8)的增函数,

%

因为g'(D=e—l>0,g］；)=G—2<0,

所以，存在使得/(务)：。，即点一；二。.

所以，当xe(O/o)时g'(x)<g'(/o)=O,g(以为减函数,

当X€(/(),+30)时g'(x)>g'Go)=0,g(x)为增函数，

故当x=fo时，g(x)取得最小值，也就是/‘(X)取得最小值.

m1cx1

故Xo=/o,于是有e°——=0,即*=一,

所以有ln%o+%o=0,证毕.

11

(2)由(I)知，尸(%)=e*-ln%+o-l的最小值为一+玉)+。-1,

工0

1(\\

①当一+x0+6Z-1..0,即a.l——+x0时，/(%)为［%,+00)的增函数,

%)

所以/OOmin=/(%)="。一/111/+/。=工+/2+/。,

xo

12

•(•I•^()I

1一一十%+x0-l,

%7%

11

由(1)中一</<1,得---FXQ—1>1,即/(%)>1.

21冗0,

(1

故a.l-\-XQ满足题意.

1f1A

②当一+%+〃一1<0,即〃<1------bxo时，/(X)有两个不同的零点七，X2,

%lx0)

且演<%2，即/'(入2)=*一In%+Q—l=°nQ=ln%2—2电+1，

若1£(%,%)时/'(%)</'(%2)=。，了(幻为减函数，(*)

若X£(%2,+00)时/'O)>/'(%2)=°，/(X)为增函数，

所以f(x)的最小值为了(九2)・

注意到f(l)=e+a=l时，a=l-e,且此时/'(l)=e+a-l=。，

,,

(i)当a»l—e时，/(l)=e+a-1..0=/(x2),

所以0<与，1，BP1-%2>0,

=12=+x

又/(/)_%ln%2+ax2-x2Inx2+(lnx2-e+1)/2

-1)+1,

而涉一l>0,所以(1—%乂e^—+即"z)>i.

1一/1、(1

由于在一<豌)<1下，恒有---bx0<e,所以1一e<lF.

2IJI%,

,,

(ii)当a<l—e时，/(l)=e+a-l<0=/(x2),

所以%>1>x0,

所以由(*)知xe。,%)时，/(x)为减函数，

所以/(%)</(l)=e+a<l,不满足时，恒成立，故舍去.

(1J

故1-e”a<l1-x0满足条件.

I57

综上所述：。的取值范围是口-e,+s).

本题考查了函数与导数综合，考查了利用导数研究函数的最值和不等式的恒成立问题，考查了学生综合分析，转化划

归，分类讨论，数学运算能力，属于较难题.

22

20.(1)—+^=1；(2)见解析

54

【解析】

(1)由条件可得c=l,再根据离心率可求得。力，则可得椭圆方程；

(2)当与x轴垂直时，设直线的方程为：x=t^-s/5<t<s/5,t^0),与椭圆联立求得的坐标，通过

OM、ON斜率之积为-，列方程可得t的值，进而可得△MON的面积；当与x轴不垂直时，设

N(x2,y2),MN的方程为、=辰+机，与椭圆方程联立，利用韦达定理和。0、ON斜率之积为-二可得

2加2=5尸+4,再利用弦长公式求出MN，以及。到MN的距离，通过三角形的面积公式求解.

【详解】

(1)抛物线丁=4x的焦点为厂(1,0),

C=1,

A/5c75

•/e-——，.•.一=——，

5a5

b=2,

22

...椭圆方程为土+匕=1;

54

(2)(i)当肱V与x轴垂直时，设直线跖V的方程为：x=(-岔

45-t2_4

5-t2--5

,5

解得：/=一,

2

(ii)当与x轴不垂直时，设N(x2,y2),MN的方程为＞=履+〃?

y—kx+m

由<工2,2n（4+5左2）%2+1。^7nx+5冽2-20二。，

丁彳一

由A>0n5k2+4>①

10km5m2-20

西+々=—%1,%2=775^

4

•^OM'^-ON

5

.•.5乂%+4%逮2=0

*2

即（5人之+4）$+5.+x2）+5m=0

2

z2\5m-20j10km

（5C7左+4A）----------F5mk,+5m2=0

4।D/C4+5-

整理得：2m2=5k2+4

代入①得：加w0

2

\MN\=yjl+kJ（玉+々）2—4%1%2

m

。到MN的距离d=\\

Jl+下

S^MON=51MN|d

_275|m|V5A:2+4-m2

―4+5产

26|77i|12府-m2

一W

=V5

综上：SAMON=逐为定恒・

本题考查椭圆方程的求解，考查直线和椭圆的位置关系，考查韦达定理的应用，考查了学生的计算能力，是中档题.

22

21.（1）?+:=1；⑵是，定点坐标为（7,0）或（1,0）

【解析】

（1）根据相切得到8=百，根据离心率得到a=2,得到椭圆方程.

（2）设直线的方程为x=/y+l,点3、C的坐标分别为（玉,％）,（9，%），联立方程得到％+%=-石/，

9点N的坐标为（4,叵、

计算点M的坐标为,圆的方程可化为

%为=一川IZ+2J

(x-4)(x-4)+