2025届广东省汕头市潮南区数学高三上期末监测模拟试题含解析

2025届广东省汕头市潮南区数学高三上期末监测模拟试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．陀螺是中国民间最早的娱乐工具，也称陀罗.如图，网格纸上小正方形的边长为，粗线画出的是某个陀螺的三视图，则该陀螺的表面积为（）A． B．C． D．2．已知l，m是两条不同的直线，m⊥平面α，则“”是“l⊥m”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件3．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为A． B． C．2 D．4．已知直线过圆的圆心，则的最小值为（）A．1 B．2 C．3 D．45．集合，，则（）A． B． C． D．6．函数（或）的图象大致是（）A． B． C． D．7．已知双曲线的左、右焦点分别为、，抛物线与双曲线有相同的焦点.设为抛物线与双曲线的一个交点，且，则双曲线的离心率为（）A．或 B．或 C．或 D．或8．设集合，，若集合中有且仅有2个元素，则实数的取值范围为A． B．C． D．9．函数的部分图象如图所示，已知，函数的图象可由图象向右平移个单位长度而得到，则函数的解析式为（）A． B．C． D．10．已知抛物线：，直线与分别相交于点，与的准线相交于点，若，则（）A．3 B． C． D．11．已知双曲线（，）的左、右焦点分别为，以（为坐标原点）为直径的圆交双曲线于两点，若直线与圆相切，则该双曲线的离心率为（）A． B． C． D．12．设点是椭圆上的一点，是椭圆的两个焦点，若，则（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知抛物线，点为抛物线上一动点，过点作圆的切线，切点分别为，则线段长度的取值范围为__________.14．已知向量，且向量与的夹角为_______.15．已知是偶函数，则的最小值为___________.16．已知定义在上的函数的图象关于点对称,,若函数图象与函数图象的交点为,则_____．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）设数列的前列项和为，已知.（1）求数列的通项公式；（2）求证：.18．（12分）追求人类与生存环境的和谐发展是中国特色社会主义生态文明的价值取向.为了改善空气质量，某城市环保局随机抽取了一年内100天的空气质量指数（AQI）的检测数据，结果统计如表：AQI空气质量优良轻度污染中度污染重度污染重度污染天数61418272510（1）从空气质量指数属于[0，50]，（50，100]的天数中任取3天，求这3天中空气质量至少有2天为优的概率；（2）已知某企业每天因空气质量造成的经济损失y（单位：元）与空气质量指数x的关系式为，假设该企业所在地7月与8月每天空气质量为优、良、轻度污染、中度污染、重度污染、严重污染的概率分别为.9月每天的空气质量对应的概率以表中100天的空气质量的频率代替.（i）记该企业9月每天因空气质量造成的经济损失为X元，求X的分布列；（ii）试问该企业7月、8月、9月这三个月因空气质量造成的经济损失总额的数学期望是否会超过2.88万元？说明你的理由.19．（12分）已知函数，（Ⅰ）当时，证明；（Ⅱ）已知点，点，设函数，当时，试判断的零点个数．20．（12分）为了打好脱贫攻坚战，某贫困县农科院针对玉米种植情况进行调研，力争有效地改良玉米品种，为农民提供技术支援，现对已选出的一组玉米的茎高进行统计，获得茎叶图如图（单位：厘米），设茎高大于或等于180厘米的玉米为高茎玉米，否则为矮茎玉米．（1）求出易倒伏玉米茎高的中位数；（2）根据茎叶图的数据，完成下面的列联表：抗倒伏易倒伏矮茎高茎（3）根据（2）中的列联表，是否可以在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为抗倒伏与玉米矮茎有关？附：，0.0500.0100.0013.8416.63510.82821．（12分）已知曲线的参数方程为（为参数）.以直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）求的普通方程和的直角坐标方程；（2）若过点的直线与交于，两点，与交于，两点，求的取值范围.22．（10分）设函数其中(Ⅰ)若曲线在点处切线的倾斜角为，求的值;(Ⅱ)已知导函数在区间上存在零点，证明:当时，.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】

画出几何体的直观图，利用三视图的数据求解几何体的表面积即可，【详解】由题意可知几何体的直观图如图：上部是底面半径为1，高为3的圆柱，下部是底面半径为2，高为2的圆锥,几何体的表面积为：，故选：C【点睛】本题考查三视图求解几何体的表面积，判断几何体的形状是解题的关键.2、A【解析】

根据充分条件和必要条件的定义，结合线面垂直的性质进行判断即可.【详解】当m⊥平面α时，若l∥α”则“l⊥m”成立，即充分性成立，若l⊥m，则l∥α或l⊂α，即必要性不成立，则“l∥α”是“l⊥m”充分不必要条件，故选：A.【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合线面垂直的性质和定义是解决本题的关键.难度不大，属于基础题3、A【解析】由给定的三视图可知，该几何体表示一个底面为一个直角三角形，且两直角边分别为和，所以底面面积为高为的三棱锥，所以三棱锥的体积为，故选A．4、D【解析】

圆心坐标为，代入直线方程，再由乘1法和基本不等式，展开计算即可得到所求最小值．【详解】圆的圆心为，由题意可得，即，，，则，当且仅当且即时取等号，故选：．【点睛】本题考查最值的求法，注意运用乘1法和基本不等式，注意满足的条件：一正二定三等，同时考查直线与圆的关系，考查运算能力，属于基础题．5、A【解析】

计算，再计算交集得到答案.【详解】，，故.故选：.【点睛】本题考查了交集运算，属于简单题.6、A【解析】

确定函数的奇偶性，排除两个选项，再求时的函数值，再排除一个，得正确选项．【详解】分析知，函数（或）为偶函数，所以图象关于轴对称，排除B，C，当时，，排除D，故选：A．【点睛】本题考查由函数解析式选择函数图象，解题时可通过研究函数的性质，如奇偶性、单调性、对称性等，研究特殊的函数的值、函数值的正负，以及函数值的变化趋势，排除错误选项，得正确结论．7、D【解析】

设，，根据和抛物线性质得出，再根据双曲线性质得出，，最后根据余弦定理列方程得出、间的关系，从而可得出离心率．【详解】过分别向轴和抛物线的准线作垂线，垂足分别为、，不妨设，，则，为双曲线上的点，则，即，得，，又，在中，由余弦定理可得，整理得，即，，解得或.故选：D.【点睛】本题考查了双曲线离心率的求解，涉及双曲线和抛物线的简单性质，考查运算求解能力，属于中档题．8、B【解析】

由题意知且，结合数轴即可求得的取值范围.【详解】由题意知，，则，故，又，则，所以，所以本题答案为B.【点睛】本题主要考查了集合的关系及运算，以及借助数轴解决有关问题，其中确定中的元素是解题的关键，属于基础题.9、A【解析】

由图根据三角函数图像的对称性可得，利用周期公式可得，再根据图像过，即可求出，再利用三角函数的平移变换即可求解.【详解】由图像可知，即，所以，解得，又，所以，由，所以或，又，所以，，所以，，即，因为函数的图象由图象向右平移个单位长度而得到，所以.故选：A【点睛】本题考查了由图像求三角函数的解析式、三角函数图像的平移伸缩变换，需掌握三角形函数的平移伸缩变换原则，属于基础题.10、C【解析】

根据抛物线的定义以及三角形的中位线，斜率的定义表示即可求得答案.【详解】显然直线过抛物线的焦点如图，过A,M作准线的垂直，垂足分别为C，D，过M作AC的垂线，垂足为E根据抛物线的定义可知MD=MF，AC=AF，又AM=MN，所以M为AN的中点，所以MD为三角形NAC的中位线，故MD=CE=EA=AC设MF=t，则MD=t，AF=AC=2t，所以AM=3t，在直角三角形AEM中，ME=所以故选：C【点睛】本题考查求抛物线的焦点弦的斜率，常见于利用抛物线的定义构建关系，属于中档题.11、D【解析】

连接，可得，在中，由余弦定理得，结合双曲线的定义，即得解.【详解】连接，则，，所以，在中，，，故在中，由余弦定理可得.根据双曲线的定义，得，所以双曲线的离心率故选：D【点睛】本题考查了双曲线的性质及双曲线的离心率，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.12、B【解析】∵∵∴∵，∴∴故选B点睛：本题主要考查利用椭圆的简单性质及椭圆的定义.求解与椭圆性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】

连接，易得，可得四边形的面积为，从而可得，进而求出的取值范围，可求得的范围.【详解】如图，连接，易得，所以四边形的面积为，且四边形的面积为三角形面积的两倍，所以，所以，当最小时，最小，设点，则，所以当时，，则，当点的横坐标时，，此时，因为随着的增大而增大，所以的取值范围为.故答案为：.【点睛】本题考查直线与圆的位置关系的应用，考查抛物线上的动点到定点的距离的求法，考查学生的计算求解能力，属于中档题.14、1【解析】

根据向量数量积的定义求解即可．【详解】解：∵向量，且向量与的夹角为，∴||；所以：•（）2cos2﹣2＝1，故答案为：1．【点睛】本题主要考查平面向量的数量积的定义，属于基础题．15、2【解析】

由偶函数性质可得，解得，再结合基本不等式即可求解【详解】令得，所以，当且仅当时取等号.故答案为：2【点睛】考查函数的奇偶性、基本不等式，属于基础题16、4038.【解析】

由函数图象的对称性得：函数图象与函数图象的交点关于点对称，则，,即，得解．【详解】由知：得函数的图象关于点对称又函数的图象关于点对称则函数图象与函数图象的交点关于点对称则故，即本题正确结果：【点睛】本题考查利用函数图象的对称性来求值的问题，关键是能够根据函数解析式判断出函数的对称中心，属中档题．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）证明见解析【解析】

（1）由已知可得，构造等比数列即可求出通项公式；（2）当时，由，可求，时，由，可证，验证时，不等式也成立，即可得证.【详解】（1）由可得，，即，所以，解得，（2）当时，，,当时，，综上，由可得递增，，时；所以，综上：故.【点睛】本题主要考查了递推数列求通项公式，利用放缩法证明不等式，涉及等比数列的求和公式，属于难题.18、（1）；（2）（i）详见解析；（ii）会超过；详见解析【解析】

（1）利用组合进行计算以及概率表示，可得结果.（2）（i）写出X所有可能取值，并计算相对应的概率，列出表格可得结果.（ii）由（i）的条件结合7月与8月空气质量所对应的概率，可得7月与8月经济损失的期望和，最后7月、8月、9月经济损失总额的数学期望与2.88万元比较，可得结果.【详解】（1）设ξ为选取的3天中空气质量为优的天数，则P（ξ＝2），P（ξ＝3），则这3天中空气质量至少有2天为优的概率为；（2）（i），，，X的分布列如下：X02201480P（ii）由（i）可得：E（X）＝02201480302（元），故该企业9月的经济损失的数学期望为30E（X），即30E（X）＝9060元，设7月、8月每天因空气质量造成的经济损失为Y元，可得：，，，E（Y）＝02201480320（元），所以该企业7月、8月这两个月因空气质量造成经济损失总额的数学期望为320×（31+31）＝19840（元），由19840+9060＝28900＞28800，即7月、8月、9月这三个月因空气质量造成经济损失总额的数学期望会超过2.88万元.【点睛】本题考查概率中的分布列以及数学期望，属基础题。19、（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）1.【解析】

（Ⅰ）令，；则．易得，．即可证明；（Ⅱ），分①，②，③当时，讨论的零点个数即可．【详解】解：（Ⅰ）令，；则．令，，易得在递减，在递增，∴，∴在恒成立．∵在递减，在递增．∴．∵；（Ⅱ）∵点，点，∴，．①当时，可知，∴∴，，∴．∴在单调递增，，．∴在上有一个零点，②当时，，，∴，∴在恒成立，∴在无零点．③当时，，．∴在单调递减，，．∴在存在一个零点．综上，的零点个数为1．．【点睛】本题考查了利用导数解决函数零点问题，考查了分类讨论思想，属于压轴题．20、（1）190（2）见解析（3）可