对角互补模型-2022年中考数学复习（解析版）

专题19对角互补模型

考向相似形对角互补模型

府题呈观

【母题来源】2021年中考北京朝阳卷

【母题题文】如图，在Rt^ABC中，AC=BC,/ACB=90°,点0在线段AB上(点0不与点

A,B重合)，且0B=k0A,点M是AC延长线上的一点，作射线0M,将射线0M绕点0逆时针

旋转90°,交射线CB于点N.

(1)如图1,当k=l时，判断线段0M与0N的数量关系，并说明理由；

(2)如图2,当k>l时，判断线段0M与0N的数量关系(用含k的式子表示)，并证明；

(3)点P在射线BC上，若NB0N=15°,PN=kAM(k^l),且穿<当工，请直接写出箓的

值(用含‘"

k的式子表示).

图1图2备用图

【答案】(1)0M=0N,

图1

作OD_LAM于D,OEJ_CB于E,

NAD0=ZMD0=ZCE0=N0EN=90°

.\ZD0E=90°,

VAC=BC,ZACB=90°,

・・・NA=NABC=45°,

在Rt^AOD中，

OD=OA.sinNA=0A.sin45°=—0A,

_2

同理：0E=yOB,

V0A=0B,

/.OD=OE,

VZD0E=90°,

.'.ZD0M+ZM0E=90°,

VZM0N=90°，

ZE0N+ZM0E=90°,

.•.ZDOM=ZEON,

在RtZXDOM和RtZXEON中,

'/MDO=/NEO

-OD=OE，

、NDOM=NEON

.'.△DOM^AEON(ASA),

/.OM=ON.

(2)如图2,

图2

作OD_LAM于D,OE_LBC于E,

由(1)知：0D=—OA,OE=—OB,

22

.OD_OA_1

**OE-OB-k'

由(1)知：

ZD0M=ZE0N,ZMD0=ZNE0=90°,

AADOM^AEON,

,OM_OD_1

**ON~OE~k'

・・・ON=k・OM.

(3)如图3,

设AC=BC=a,

AAB=V2a,VOB=k-OA,

.\0B=V2«—a,0A=扬」-a,

k+1k+1

.-.0E=—0B=—a,

2k+1

VZN=ZABC-ZB0N=45°-15°=30°

OE

.\EN==V30E=V3e—

tanZN

•"E=OD=争A=E，

/.NC=CE+EN=—a+V3-—a,

由(2)知:—=—=i,ADOM^AEON,

ONOBk

..AM_1

.•.ZM=ZN,

•PN-k'

.OM_AM

：.APON^AAOM,

**ON-PN'

・・・NP=NA=45°,ZAM0=ZN=30°,

.\PE=OE=—a,

.\PN=PE+EN=—a+V3»—a,

k+1k+1

设AD=OD=x,

DM=V3x,

由AD+DM=AC+CM得，

(V3+1)x=AC+CM,

.-.X=—(AC+CM)<—(AC+—XC)=-AC,

2222

.\k>l

...竺_备拚=1+敢

PN-k^+—ia+V3-rk^+—iak+Wk'

,NC

••1+V3fc•

PCk-l_______

【试题解析】(1)作OD_LAM,OE±BC,证明△DOMgZ\EON；

(2)作OD_LAM,OE±BC,证明△DOMs/\EON；

(3)解Rt^EON和斜△AOM.

【命题意图】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；图形的相似；解直角三角形及其应用;

运算能力；推理能力.

【命题方向】一般设置为解答题，设置为压轴题.

【得分要点】如图，ZAOB=ZDCE=90°,ZCOB=a,贝UCE=CD-tana

方法：如图，过点C分别作CMLOA,CNXOB,垂足分别为M、N

NECECN

易证AMCDs/iNCE,/.------=——=-------=tana,即CE=CD-tana

MDCDCM

1.(2021•浙江稠州二模)特例感知

(1)如图1,已知在Rt^ABC中，ZBAC=90°,AB=AC,取BC边上中点D,连接AD,点E

为AB边上一点，连接DE,作DFLDE交AC于点F,求证BE=AF；

探索发现

(2)如图2,已知在Rt^ABC中，ZBAC=90°,AB=AC=3,取BC边上中点D,连接AD,

点E为BA延长线上一点，AE=b连接DE,作DFLDE交AC延长线于点F,求AF的长；

类比迁移

(3)如图3,己知在AABC中，ZBAC=120°,AB=AC=4,取BC边上中点D,连接AD,点

E为射线BA上一点(不与点A、点B重合)，连接DE,将射线DE绕点D顺时针旋转30°交

射线CA于点F,当AE=4AF时，求AF的长.

图2图3

图1

「△ABC中，ZBAC=90°,AB=AC,AD是高，

.*.BD=CD=AD=」BC,ZB=ZC=45°,ZBAD=ZCAD=iZBAC=45°,

22

VDF±DE,

.,.ZEDF=ZADB=90°,

・・・NBDE=NADF=900-ZADE,

在ABDE和AADF中，

(ZBDE=ZADF

=AD，

⑵=^LCAD=45°

AABDE^AADF(ASA),

，BE=AF；

(2)解：如图2中,

图2

由(1)知，BD=CD=AD,NB=NC=NBAD=NCAD=45

・・・NEDF=NADB=90°,

.\ZBDE=ZADF=90o+ZADE,

在4BDE和AADF中，

(ZBDE=ZADF

\BD=AD，

S=^CAD=45°

AABDE^AADF(ASA),

，BE=AF,

VAB=3,AE=1,

・・・BE=AB+AE=4,

・・・AF=4；

(3)解：如图3中,

图3

VAB=AC,BD=CD,

.\AD±BC,ZBAD=ZCAD=-ZBAC=60°,

2

BD=CD=AB•sin60°=2百，

VAE=4AF,

・••可以假设AF=m,则AE=4m,BE=4-4m,CF=4-m,

VZEDC=ZEDF+ZFDC=ZB+ZBED,NEDF=NB=30°,

，NFDC=NBED,VZB=ZC,

.,.△EBD^ADCF,：.—=

CDCF

与等=片，整理得，m2-5m+l=0,

解得或手（舍弃），

经检验，m=手是分式方程的解.

当点F在CA的延长线上时，CF=4+m,

由△EBDS/^DCF,可得些=吧，

CDCF

,4-4m_2>/3

**2^/34+m，

解得，m=三磬或三科（舍弃），

经检验，m=a炉是分式方程的解.

当点E在射线BA上时，BE=4+4m,

VAEBD^ADCF,

.BE_BD.4+4m_273

,•CO—CF，**273-4-m

解得，m=手或手（舍弃），

经检验，m=\亘是分式方程的解.

综上所述，满足条件的AF的值为手或不磬或手.

2.（2021•安徽模拟）（1）如图，RtZkABC中，ZA=90°,AB=AC,D为BC中点，E、F分

别为AB、AC上的动点，且NEDF=90°.

求证：DE=DF；

（2）如图2,RtZkABC中，ZBAC=90°,AC=4,AB=3,AD±BC,ZEDF=90°.

①求证：DF・DA=DB・DE；

②求EF的最小值.

图1图2

(1)证明：如图1,连接AD,

VAB=AC,ZBAC=90°,BD=CD,

.\AD±BC,AD=BD=DC,ZB=ZDAE=45°,

VZADB=ZEDF=90°,

ZADB-ZADF=ZEDF-ZADF,即ZADE=ZBDF,

在ARDF和AADE中，

'/B=ZDAE

■BD=AD'

、/BDF=ZADE

.".△BDF^AADE(ASA),

・・・DE=DF；

(2)①证明：VADXBC,

AZADB=90°,

・•・ZADB=ZEDF,

・•・ZADB-ZADF=ZEDF-ZADF,即NBDF=ZADE,

VZBAD+ZDAE=90°,NBAD+NB=90°,

・•・NB=NDAE,

・•・ABDF^AADE,

BDDF

••一，

ADDE

二・DF・DA=DB・DE；

②解：如图2,连接EF,

在RtZkABC中，ZBAC=90°,AC=4,AB=3,

则BC=y/AB2+AC2=5,

.AnAB-AC12

••AD=-B^=T!

由勾股定理得：DC=V"2—心=学,

VZB=ZB,NADB=NCAB,

・•・AADB^ACAB,

BDAB

••一，

ADAC

,BDDF

由①可矢口，――=

ADDE

DFAB

••一，

DEAC

・・・NEDF=NCAB=90°,

・•・AEDF^ACAB,

EFDEEFDE

••一，即一=—

BCAC54

.口口5DE

・・EF=丁，

当DE最小时,EF取最小值,

止匕时，口£=喏=华=要，

当DEXAC时,DE最小,

5x—12

,EF的最小值为:千

5

3.(2021•四川成都模拟)如图，矩形ABCD中，AB=4,BC=6,E为线段AD上一动点，连

接CE,过点B作BFLCE,交射线CD于点F,垂足为P.

(1)求证：ACED^ABCF；

(2)当F为CD的中点时，求tanNBAP的值；

(3)若4ABP为等腰三角形时，直接写出DE的长.

・・・ND=NBCF=90°,

VBFXCE,

.,.ZBPC=90°,

/.NDCE=900-ZBCP=ZCBF,

AACED^ABCF.

(2)如图1,过点P作GHLCD于点G,交AB于点H,

•・・CD=AB=4,

1

.\CF=件=2,

VBC=6,

.,.BF2=22+62=40,

BF=V40=2V10；

BPBC

*.*—=—=cosZCBF,

BCBF

.•.BF«BP=BC2,

/.2VT0BP=62,

解得BP=争，

ZHBC=ZBCG=ZCGH=90°,

・•・四边形BCGH是矩形，

・・・NPHA=NPHB=90°，GH〃BC,

•・ZBPH=ZFBC,

PHBC

—=cosNFBC,

BPBF

，BF・PH=BP・BC,

A2VT0PH=^^X6,

解得PH=%

BHCF

:一=—=sinZFBC,

BPBF

，BF・BH=BP・CF,

A2VT0BH=^^X2,

Q

解得BH=总，

••.AH=4Y=弓，

27

.._PH_~s_27

••tanN/RBAADP——yy—yy.

T

(3)当PA=PB时，如图2,作PHLAB于点H,则AH=BH,

VZBHP=ZBAC=90°,AD〃BC,

，PH〃AD〃BC,

EPAH

---=1,

CPBH

.EP=CP,

•BF±CE,

・BE=BC=6,

.AE=V62-42=2V5,

.DE=6-2V5；

当PA=AB时，如图3,作AM_LBP于点M,则BM=PM=±BP,

BPBC

=—=cosZCBF,

BCBF

.nn_BC2_62_36

••力r一丽■一丽一丽,

・・・BM=

\・AB〃CD,

・•・ZABM=ZF,

BMCF

=—=cosNF,

ABBF

18

•.•互_一竺，

4BF

・•・整理得CF=*

ZDCE=90°-ZBCP=ZCBF,

DECF

/.—=—=tanNCBF,

CDBC

CDCF_4x|

・・・DE=BC=~6~"

当BP=AB=4时，如图4,则PC=762—42=2底

VZDEC=ZPCB,NEDC=NCPB=90°,CD=AB=BP,

AACDE^ABPC(AAS),

.*.DE=PC=2V5.

综上所述，DE的长为6-2b或3或2遍.

4.(2021•山东济宁三模)我们定义：有一组邻角相等的凸四边形叫做“等邻角四边形”

(1)概念理解：

请你根据上述定义举一个等邻角四边形的例子：矩形或正方形；

(2)问题探究；

如图1,在等邻角四边形ABCD中，ZDAB=ZABC,AD,BC的中垂线恰好交于AB边上一点P,

连结AC,BD,试探究AC与BD的数量关系，并说明理由；

(3)应用拓展；

如图2,在RtZXABC与RtZ^ABD中，NC=ND=90°,BC=BD=3,AB=5,将RtZ^ABD绕着

点A顺时针旋转角a(0°<Za<ZBAC)得到Rt^AB'D'(如图3),当凸四边形AD'

BC为等邻角四边形时，求出它的面积.

解：(1)矩形或正方形是一个等邻角四边形.故答案为：矩形，正方形;

(2)结论：AC=BD,

理由：连接PD,PC,如图1所示：

；PE是AD的垂直平分线，PF是BC的垂直平分线,

/.PA=PD,PC=PB,

.\ZPAD=ZPDA,ZPBC=ZPCB,

.\ZDPB=2ZPAD,ZAPC=2ZP