2024届辽宁省辽阳市辽阳县高三年级下册数学模拟考试试题（一模）含解析

2024届辽宁省辽阳市辽阳县高三下学期数学模拟考试试题

(一模)

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷的指定位置上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动,

用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试

卷上无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1.已知集合/=何x+1W0},8=何log[(X+2)<2},C=何尤?+2x-3<0},则瓜n(SnC)=

()

A.—3<x<-B.{乂-2<x4-1}

C.|x|-l<x<l}D.{x|-l<x<2}

2.已知1+i为关于x的方程/+ax+6=0(a,beR)的一个根，z-a+b\,则z«z+l)=()

A.-2—6iB.—2+6iC.6+2iD.-6+2i

3.大多数居民在住宅区都会注意噪音问题.记。为实际声压，通常我们用声压级工(P)(单位:

分贝)来定义声音的强弱，声压级〃P)与声压。存在近似函数关系：〃〃)=alg3，其中。为

Po

常数,且常数Po(p0>0)为听觉下限阈值.若在某栋居民楼内，测得甲穿硬底鞋走路的声压Pi为

穿软底鞋走路的声压小的100倍，且穿硬底鞋走路的声压级为£(r)=60分贝，恰为穿软底鞋

走路的声压级上(。2)的3倍.若住宅区夜间声压级超过50分贝即扰民，该住宅区夜间不扰民情

况下的声压为“，则()

A.a=20,p'<10A/10/22B.a=20,p'<

C.a=10,p'<10A/10/22D.a=10,p'

4.已知向量工3,1满足B|=W=l,g|=石，且G+3+己=0，则cos(»V,B-1>=()

3百3^/3

RIT

5.某校高三年级有8名同学计划高考后前往武当山、黄山、庐山三个景点旅游.已知8名同学中

有4名男生，4名女生.每个景点至少有2名同学前往，每名同学仅选一处景点游玩，其中男

生甲与女生A不去同一处景点游玩，女生3与女生C去同一处景点游玩，则这8名同学游玩行

程的方法数为()

A.564B.484C.386D.640

711

6.已知数列｛%｝满足点(",巴)在直线了上，｛%｝的前〃项和为S”，贝！的最小值

为()

A.-47B.-48C.-49D.-50

2

7.在锐角中，角4民。的对边分别为。也。，且的面积s=6c(l-cos/),贝幺的

取值范围为()

~4]「416、「432、「3216、

A。[寸+^B•。句C.D.

8.已知定义域为R的函数/(x),g(x)满足：g(0)#0,f(x)g(y)-f(y)g(x)^f(x-y),

且g(x)g(y)-/(x)/5)=g(x-y),则下列说法不正确的是()

A.g(O)=lB./(X)是奇函数

C.若/(l)+g(l)=l,则/(2024Ag(2024)=7D.g(x)是奇函数

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.在“3C中，内角4RC所对的边分别为0,4c,则下列结论正确的是()

A.若acosA=ccosC,则^ABC是等腰三角形

B.若〃=2,6=3,c=6，则。的面积为6

C.若4=1,q=百，则/5。周长的最大值为人口

D.若角4,5满足cos4+4<sin5+11-8],则/+

10.已知抛物线C：/=2"(2>0)的焦点为尸，点在抛物线。上，贝(J()

MF33

A.若M,N,尸三点共线，且#=“则直线"N的倾斜角的余弦值为土处

B.若M,N,厂三点共线，且直线MN的倾斜角为45。，贝!］AOMN的面积为

2

C.若点44,4)在抛物线C上，且M,N异于点A,AMLAN,则点到直线y=-4的距

离之积为定值

D.若点42,2)在抛物线C上，且M,N异于点A,kAM+kAN=O,其中七.>1,贝！］

2/c

|sinZFW-sinZJRW|<-^-

11.已知函数函数g(x)」e罔，且左<0,定义运算设函数

/z(x)=/(x)0g(x),则下列命题正确的是()

A.的最小值为!

B.若在［0,ln2］上单调递增,则左的取值范围为(-8,-21n2］

'_lfIn2+—V

C.若〃(x)=优有4个不同的解，则加的取值范围为1簿2121

D.若"(x)=加有3个不同的解耳，X?,马,贝！］匹+工2+鼻=0

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.三星堆古遗址作为“长江文明之源“，被誉为人类最伟大的考古发现之一.3号坑发现的神

树纹玉琮，为今人研究古蜀社会中神树的意义提供了重要依据.玉琮是古人用于祭祀的礼器,

有学者认为其外方内圆的构造，契合了古代“天圆地方”观念，是天地合一的体现，如图，假定

某玉琮形状对称，由一个空心圆柱及正方体构成，且圆柱的外侧面内切于正方体的侧面，圆

柱的高为12cm,圆柱底面外圆周和正方体的各个顶点均在球。上，则球。的表面积为

22

13.已知双曲线C邑-a=l(a>0,b>0)的左、右焦点分别为耳鸟,过耳的直线与双曲线的左、

ab

右两支分别相交于两点，直线环与双曲线的另一交点为P,若△NPG为等腰三角形，

旦ANFF2的面积是耳的面积的3倍，则双曲线C的离心率为.

14.已知正四面体4BCD棱长为2,点与与月分别是AABD,A/CD内切圆上的动

点，现有下列四个命题：

①对于任意点月，都存在点4，使月月•而=0;

②存在耳,£,使直线平面/8C；

③当|正|+|物|+|函|最小时，三棱锥力-片£片的体积为器

④当期|+"用+阵"最大时，顶点A到平面耳塞的距离的最大值为手.

其中正确的有.(填选正确的序号即可)

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.如图所示的空间几何体是以工。为轴的1圆柱与以N8CD为轴截面的半圆柱拼接而成，其

中/。为半圆柱的母线，点G为弧CD的中点.

(1)求证：平面8DF_L平面3CG；

(2)当/8=4,平面8。尸与平面/BG夹角的余弦值为孚时，求点E到直线BG的距离.

16.在一场乒乓球赛中，甲、乙、丙、丁四人角逐冠军.比赛采用“双败淘汰制”，具体赛制为:

首先，四人通过抽签两两对阵，胜者进入“胜区”，败者进入“败区”；接下来，“胜区”的两人对

阵，胜者进入最后决赛；“败区”的两人对阵，败者直接淘汰出局获第四名，紧接着，“败区”

的胜者和“胜区”的败者对阵，胜者晋级最后的决赛，败者获第三名；最后，剩下的两人进行最

后的冠军决赛，胜者获得冠军，败者获第二名.甲对阵乙、丙、丁获胜的概率均为

且不同对阵的结果相互独立.

(1)若p=0.6,经抽签，第一轮由甲对阵乙，丙对阵丁；

①求甲获得第四名的概率；

②求甲在“双败淘汰制”下参与对阵的比赛场数的数学期望；

(2)除“双败淘汰制”外，也经常采用“单败淘汰制”：抽签决定两两对阵，胜者晋级，败者淘汰,

直至决出最后的冠军.哪种赛制对甲夺冠有利？请说明理由.

17.已知函数/(x)=xlnx-x-a,g(x)=x2+\nx-ax.

(1)讨论g(x)的单调性;

(2)若/(x)有两个零点，求实数。的取值范围；

⑶若/(x)+2x<g(x)对任意的x21恒成立，求实数。的取值范围.

18.椭圆C：[+，=l(a>b>0)的离心率为g,圆。：/+/=02的周长为2〃3r.

⑴求C的方程；

(2)如图，耳是C的左焦点，过耳的直线交圆。于点M,N,线段的垂直平分线交C于点

P,Q,交肱V于点力.

(i)证明：四边形MPN。的面积为定值.

S,

(ii)记△尸NN,的面积分别为S1,邑，求U的取值范围.

19.数列｛4｝满足。用则称数列｛%｝为下凸数列.

(1)证明：任意一个正项等比数列均为下凸数列；

⑵设c“=4,+e”，其中｛4｝，｛ej分别是公比为名,%的两个正项等比数列，且小3④，证明:

｛4｝是下凸数列且不是等比数列；

(3)若正项下凸数列的前“项和为"，且求证.q+m114℃可

n

1.c

【分析】先分别求集合48,C,进而利用集合的交集与补集运算即可求解.

【详解】/={x|尤+1VO}={耳龙VT}；

由8={x|log2（x+2）<2},得］10员（丫+2）<10氏4,解得-2<X<2,

所以8={x|_2<x<2}；

C=|x|x2+2x-3<0}={'-3<；

={尤|尤>-1},BeC={x1-2<x<11

于是（％/）c（5cC）={x|-l<x<1}.

故选：C.

2.C

【分析】把1+i代入/+ax+6=o中，根据复数相等，求得。与6的值，代入z中，进而求得

Z0+1）.

【详解】把1+i代入％2+ax+b=0中，

（1+i）2+47（l+i）+Z?=0,有〃+6+（2+〃》=0,

a+b=0

则，所以z——2+2i,

2+a=0

z-（z+l）=（-2+2i）-（-2-2i+l）=6+2i.

故选.C

3.A

【分析】由£（口）-£（P）=40结合对数运算可求得。的值，由于工（口）=60,“0）=20可得

出“川-”02）430、Z（A）-L（y）>10,结合对数函数的单调性可出结论.

【详解】由题意/（化）-）=alg®_=algl0°=为=60-20=4。,得a=20,

Pl

则”p）=201g二,因此“""ZOlgg4O,

PoPo

LL

（P'）-（P2）=201g—<50-20=30,则y<10V10p2,

L（A）-L（y）=201g^>60-50=10,则

故选：A.

4.A

【分析】根据数量积的运算律求出*6、a-c.b-c，即可求出伍冶•,-/）、何-可、WT，

再根据夹角公式计算可得.

【详解】由题意得>H，则①+斤="2有12+2小3+12=（百>,解得小不=g,

一3

又由3+3=-日，则（G+oy=7有r+2（?E+=F,解得）.[=—a，

-3

同理可得6.己=—-，

2

|a-c|=>Ja2-2a-c+c2=V7,

\b-c^ylb2-2b-c+c2=V7,

所l、I/--t-\^-c\（b-c）y13

'/\a-c[\b-c\V7xV714

故选：A

5.A

【分析】先将不平均分组问题分成两大类，然后由排列组合知识结合加法、乘法计数原理即

可得解.

【详解】8人分三组可分为2人，2人，4人和2人，3人，3人，共两种情况.

第一种情况分成2人，2人，4人:女生用C去同一处景点，当反C成2人组时，

其他6人分成2人，4人两组且男生甲与女生A不同组，有C：A；=8种方法；

C1c1c2

当反C在4人组时，有丁1+亡&=36种方法.

第二种情况分成2人，3人，3人：当3,C成2人组时，有C；=6种方法；

当瓦C在3人组时,有C；C；+C；C闺=44种方法.

故这8名同学游玩行程的方法数为（8+36+6+44）XA；=564.

故选：A.

6.C

【分析】由题意可得数列｛%｝是等差数列，根据等差数列的求和公式求出S“，从而可得

⑼,设利用导数研究其单调性，结合即可求解.

711

【详解】因为数列｛%｝满足点(",%)在直线>上，

211

所以4,=

因为见一%=臣]b](7)V]/〃河’

7117

所以数列｛%｝是首项为«1=j-y=-3,公差为g的等差数列，

所以S“二(-3)〃+C―^x—=△-------

nv7233

EIn2(H-10)

贝U电二二----L.

n3

设/(x)=f(17°)(x>0),则r(x)=$(3x_20),

当xe/gj时，/，(x)<0；当xe[g,+<»|时，/%)〉0,

所以/(x)在，上单调递减，在1g,上单调递增.

又〃eN*，/(6)=62x「)=-48,/(7)J个'=-49,

所以/(«L„=T9,即贬的最小值为-49.

故选:C.

7.B

[,3

cosA=—

【分析】先由三角形面积公式求出?，然后引入参数将所求表示为f的函数，

.,4c

smZ=一

15

43

再根据正弦定理边化角、诱导公式、两角和差得/=—-+I，注意到在锐角力5C中，有

5tanC5

7rJT

0<--A<C<-,从而可以求出tanCJ的范围，由此即可得解

22

【详解】由三角形面积公式S=；6csin/结合S=bc(l-cos/),可知;sin/=1-cos/,即

sin/=2(1-cos/),

又由平方关系sin2^+cos2A=1所以4(1一cos+cos2A-\,即5cos?Z-8cos4+3=0，

,3

cosA=-

5cosA=1

解得(舍去),

sin/=0

si•n4,=一4

5

入Ttno7??-1/二匚I、Iab+c—2Z)ccosAbc。4bc6

由余弦定理有a=b+c-2bccosA^所以一=---------------=-+一—2cos/=-+--------，

bebecbcb5

令t上,所以d=2+9一9=/+1一9,故只需求出t的范围即可，

cbecb5t5

由正弦定理边化角得

tbsin5sin[兀(N+C)]sin(4+C)

csinCsinCsinC

sinAcosC+cosAsinCsin//43

=--------；----------=------FCOSA=----------F—,

sinCtanC5tanC5

注意到在锐角中'有/+c>3’简单说明如下:

若/+cw],则8=兀-(/+C)2兀-]=即B不是锐角，但这与“8C是锐角三角形矛盾,

7T

所以在锐角。中，A+C>—,

2

所以在锐角中，有0<=7r—7r

22

因为正切函数V=tanx在上单调递增,

z、sin3

cosA_5_3

所以tanC>tan[二一4)=——g-----《

(2cos]-4]sin/-4一7

5

343435

—</=-------------1__<----------1-=—

从而55tanC5353，

Jx—

4

而函数在(|,1)单调递减,在单调递增,

416

所以《=/⑴4/(/)<max

15

综上所述：式的取值范围为-

be[515；

故选：B.

关键点睛：本题考查了正余弦定理综合应用，以及诱导公式、两角和差的正弦公式等来化简

表达式，关键就是将所求化繁为简，化未知为已知，并且注意锐角三角形的特殊性，即注意

冗71

到在锐角"3C中，有。<5-/<c<5,结合以上关键点即可顺利求解.

8.D

【分析】B选项，根据〃x)g(y)-/(y)g(x)=/(x-y)得至IJ/(y-x)=-/(x-y),故为

奇函数；A选项，由B可知"0)=0,赋值得到[g(0)了-[〃0)y=g(0),故g(O)=l；D选

项，由g(x)g(y)-/(x)/(y)=g(x-y)得至ljg(y-x)=g(x-y),D正确；C选项，化简得到

/(x-y)-g(x-y)=[/(y)+g(y)][/(x)-g(x)],结合/⑴+g⑴=1,求出

/(x-l)-g(x-l)=/(x)-g(x),得至打(2024)-g(2024)=7.

【详解】B选项，由/(x)g(y)-/(y)g(x)=〃x-yKH/(y)g(x)-/(x)g(y)=/(y-x),

所以/(y-x)=-/(x-y),故〃x)是奇函数，故B正确；

A选项，由〃x)是奇函数得/(0)=0,令x=y=0,

由8(无)83-〃》)/3=8(》-用可得加(0)于-[/(0)了=8(0),

又g(0)*0,得g⑼=1,故A正确；

D选项,由g(x)g(y)-/(x)/(y)=g(x-y)得g(y)g(x)-/(y)/(x)=g(y-x),所以

g(y-x)=g(x-y),故g(无)是偶函数，所以D错误；

C选项,由题意得了(x-y)-g(x-y)=/(x)g(y)-/(y)g(x)-g(x)g(y)+/(x)〃y)

=[〃y)+g(y)][〃x)-g(x)],

令y=l得/(xT)-g(xT)="(l)+g(l)]"(x)—g(x)],

当/(l)+g(l)=l时，/(x-l)-g(x-l)=/(x)-g(x),

故/⑵-g⑵=/'⑴-g⑴，/⑶-g⑶=/'⑵-g⑵,依次求出，

7(2024)-g(2024)=[/(0)-城。]=-1,所以C正确.

故选：D

赋值法处理抽象函数，是解决抽象函数问题的关键，需要赋值法求出一些关键函数值，并结

合函数单调性和奇偶性定义进行求解.

9.BCD

【分析】对A：由正弦定理及倍角公式判断；对B：用余弦定理及面积公式求解；对C：用余

弦定理及基本不等式求解；对D：构造/(x)=cosx+x,无eR利用其单调性判断.

dhc

【详解】对A：丁QCOS/=ccosC,由正弦定理---=-=----=2R,

sinAsinBsinC

sinAcosA=sinCcosC,BP2sinAcosA=2sinCcosC,

sin2A=sin2C,/.2/=2。或2Z+2C=兀，

即z=c或z+c=T，

.•.△45。是等腰三角形或直角三角形，故A错误；

22+32—(6)_2

对=2,6=3,c=正,cosC=a———

2ab—2x2x3―f

,/sin2C+cos2C=1,0<C<兀,，sinC二?

/.S=—absinC=—x2x3x—=V-5，所以B正确；

4ABe223

12222

对C：A==V3,.\a=b+c-2bccosA,:.3=b+c-bef

3=(b+o)?-3bc,3bc=(b+c)2-3,

2

又bc&

b+c

(b+0)?—3V3I(Z)+C)2<12,,

又C<b+c,V3<b+c<2A/3

•••周长的最大值为(〃+6+C)max=6+26=3>/J,故C正确;

对D：令/(x)=cosx+x,xeR,贝！J/'(x)=-sinx+1>0,

所以/(x)在R上为增函数,

cosA+A<sinB+1BI即cos/+/<cos]5

兀

所以/(4)</|B\,所以/<5-3,即N+8<W，故D正确.

故选：BCD

10.BCD

【分析】分别设定抛物线C和直线的方程，设〃(国,必)，N(z，%),联立求得关于点M,N

坐标的韦达定理形式，进而转化各个选项即可；选项A,将需=：转化为：=-1,求解即

可；选项B,邑。的=；x^x|%-必I，求解即可；选项C,求得点M,N的坐标，进而求得点M,N

到直线＞=-4的距离，求解即可；选项D,设点尸到直线儿W的距离为d,可得

\sinZFMN-sin/WW|=1匕，求解即可.

【详解】对A,设抛物线C：y2=2px,设直线九W：x=W+右70）,

y2=2Px

设”（国,"），N（x2,y2）,联立《p,

x=ty~

2

则/-2p)-p2=0,yl+y2=2pt,yly2=-p,

MF3M313o

由于=7=彳,可得：=-[，代入上式得：-y2=2pt,--y2=-p,

解得：「=!，且直线MN的斜率为1,

48t

sin（y

设直线JW的倾斜角为。，则tan2a=48,且siYa+cos2a=l,tana=-----

cosa

则cos2a=」，解得cos6Z=±』，故A错误；

497

对B,设抛物线C：y2=2px,且直线MN的倾斜角为45。，

设直线血W：X=J+1,

y2=2px

设河（国,必），N（x2,y2）,联立《n,

x=y+—

I2

贝I]y2-2py-p2=0.必+%=2p,=-p2,

S=XX

.OMN1f^2~yt1=gp）。-4（~p2）=“2,故B正确；

对C,由于点/（4,4）在抛物线c上，此时抛物线c：y2=4x,

设〃（国,%），N（%,%）,

设直线NM：x-4=t(y-4)(<^0),

则必-4力+16(-1)=0,解得必=4(舍去，此时重合)或必=4/4,

则点M到直线y=-4的距离为|弘+4|=|4?|,

同理可得，因为则N到直线'=-4的距离为

4

故所求距离之积为期一=16,故C正确；

t

对D,由于点4(2,2)在抛物线。上，此时抛物线C/=2x,

设直线/环y-7.=k(x-l)

与抛物线方程联立可得打2一2y+4-4左=0,

4-4k2F，用-左替换可得力=-马号,

贝=贝Uy.=一

kkk

k_加-YN_加―YN2_1

[rl||一XX—22'

则M-N应_九yM+yN2,

22

(2(1+.2+24]

则N1je，一-ir\

2(1-行]11

4±小?—2k12

故直线JW：y卜=2xk[即WT

12-2产

则点尸到直线MN的距离,2k25F-4Z,,、，

^\sinZFMN-sinZFNM\=

"K

]―如―一

即sinZFAGV-sinZFNM\=d——

11IzX1

XM+-2XN+2XMXN+](XM+xj7

^7.2AI

sinZFMN-sinAFNM\='~--32k3

2yl5k25公一24r+16'

165T

得|sinAFMN-sinZFNM\=?

2

25入24+空也

125k—I+16

kk

4

令t=5k——>1,

k

16161

故|sinAFMN-sinZFTWj=

V5F+16一石/+16,

161161_2/5

\sinZFMN-sinZ/W/j<

85

当且仅当，=4时等号成立，故D正确;

故选：BCD.

方法点睛：若点A在抛物线。上，且异于点A,kAM+kAN=O,则直线九W的斜率为定

值，且该定值为A处切线斜率的相反数.

11.AC

1

【分析】对A,对上分类讨论，并作出分段函数的图象求出最小值即可；对B,令「西*=工/-5

2

求出与,根据其单调性得到不等式，解出即可；对C和D结合图象转化为直线y=m与函数图

象交点个数，并结合函数对称性即可判断.

1V、k

e+k,x>-k,/、I

【详解】对A,/(x)=eM…,g(x)=5.22

1-x+gk

122

^ex+k>-1ex-t2,解得左“2空1n2.

23

当-平"<0时，作出函数/(X)和g(x)的图象，如图1所示.

k

此时，/?(x)=g(x),显然当x=1•时，g(x)min=g

当发〈一等时，作出函数〃(x)的图象，如图2所示.

/(AinnA，g(x)mm=g04'所以"G)的最小值为g，

综上〃(x)的最小值为/A正确.

图2

对B,令b产=上苣，解得了产小砚-9，厂--屋料+红

2八2/c-C

若g)在［0,In2］上单调递增，则%=$11201112,解得《21n2.

因为当一号£4左＜0时，人⑺在［0,+司上单调递增，

所以左的取值范围为(-s,-21n2］u-手,0),B错误.

对CD,若力(、)=加有3个不同的解A，巧，工3,则结合图象可得

弘

=

再+%+%32x—+(一"—XQ)=——Hn2+-^―或%]+%2+x3=2、5—左=0,D错误.

2

—In2d----

若/z(x)=7%有4个不同的解，则加el,eA2,C正确.

\)

故选：AC.

关键点点睛：本题B选项的关键是结合图象找到临界位置，从而得到不等式，CD选项应结合

函数图象，转化为直线与函数图象交点个数问题.

12.216ncm2

【分析】过圆柱的旋转轴和正方体的一条侧棱作截面，利用勾股定理列方程求解即可.

【详解】过圆柱的旋转轴和正方体的一条侧棱作截面，得截面图如图所示：

不妨设正方体的棱长为2a,球。的半径为七则圆柱的底面直径为2a,

因为正方体的体对角线即为球。直径，故（2R）2=3x（2a『，得々=3/,

易知，截面中两个矩形的对角线都是球的直径，正方体的面对角线为20a，

所以，由勾股定理得：122+（2可2=（2.）2+（2及42,解得/=18，

球的表面积为S=47tT?2=471x3x18=216；!,

故2167tcm2

13.2或血

【分析】由双曲线的定义和等腰三角形的定义，结合三角形的余弦定理和离心率公式，计算

可得所求值.

【详解】设1环1=加，\PF2\=n,

由双曲线的定义可得1孙1=2。+加，|尸片|=2a+〃，

由△g乙的面积是△尸可耳的面积的3倍，可得〃?=3〃，

又△NP4为等腰三角形，可得|桥|=|哂或|母;或|摘|=|尸闻，

若打胤=|尸£|,则只能N,尸关于x轴对称，此时与加=3〃矛盾，不符题意;

当|NP|=|NF1|,m+n=2a+mf可得〃=2〃，m=6a,\NF1\=8a,|PFX|=4a,

(8a>+(8a)2—(4a)7

在△2VP片中,cosZF}NP=

2x8ax8a1

在AN“中,期”叫=吟整产］，

化为。2=402,即6=£=2;

a

2

当|NP|=|PFX|,即加+〃=2a+〃，可得加=2Q,n=—a\NFt\=4a,1幽1=5，

在ANP片中,3

4

在△西月中,C°S5『叱黑”小

关键点点睛：本题关键需要考虑全面，分三种情况讨论，结合双曲线的定义及余弦定理求出。、

c的关系.

14.①②④

【分析】使用空间向量设出各点的坐标，再对逐个选项分别求解.

【详解】

设ABCDQABCQABDQACD的重心分别是T,G1,G2，G3.

以T为原点，①，无，科为x/，z轴正方向，建立空间直角坐标系.

/

则/0,0,

1732⑹「

且7(0,0,0),。-

399J2

三个内切圆的半径均为心，且可设:

3

A

V3—►1」1,0|+sm4」，C犷6

G£=——cosu•H―sin〃G/=cos%

626216189)

——►V3—►1——►f1守2c

G2P2=——cosv•BD+—sinv•GA=cosvsinv

622匕6。6'18'9,

——►百一►1——►/，26

G.R-——coswCD+—sinw-G.A=coswp,o,osinw0,

3362399

(1拒1.6i.262)

所以有4---------cos"+—sinw,--------cosu-

36----------692

7

.22.

cosv——sinv,---------cosv-------sinv,------F-----sinv

6921899

4147

2石2石.)

——cosw,-------+——sinw,——----smw

39999

7

对于①，当巴确定后，取鸟为鸟关于平面的对称点，则6月垂直于平面/a,所以巴月垂

直于①正确;

对于②‘当"啖时’有

[Z_22y/3y/6_八2-\/32-\/6_(nr\

故他=5,—厂，一8-，4B=0,-,—--,

直接计算可知会•刀=而•瑟=0,所以此时耳巴满足条件，②正确;

7T

对于③，此时耳鸟位于最上方，即"=V=W=,.

这时山川=|^|=|^|=，忸C|=g,点A到平面PtP2P3的距离为好.

276

所以此时叱_单)泊—,③错误;

~9~162

对于④，此时〃=-v=w,根据对称性有R6卜出©=故

。(山村+山闾+|拶＜=|他『

V31V3

------cosw+—sinw——cos〃------sinw

(326)(326

8.4.13

=—sin2u—sinuH—

999

此时与上出的纵坐标都是好，故点A到平面片匕鸟的距离为歧一逅=逅，④正确.

6362

故①②④

关键点点睛：本题的关键在于对空间向量的计算与求解.

15.(1)证明见解析

4A/21

【分析】(1)过G作G〃〃3C交弧上一点，连结由

7T

ZFBH=ZABF+ZABH=—可得FBLBH,进而由线面垂直的判定定理证明BF1平面BCG,

2

从而由面面垂直的判定定理即可得证；

(2)根据题意，建立空间直角坐标系，设*利用向量法求平面8。尸与平面N3G夹角

的余弦值，而列方程求出。的值，从而向量法可求点E到直线8G的距离.

【详解】(1)过G作GH//3C交弧上一点，连结GH,AH,BH,如图所示：

*---------

则H为弧48的中点，则G/77/8C且G〃=8C,

所以四边形〃3CG为平行四边形，所以HB//CG.

TT

由题意可知，AFLAB,RtA/8尸为等腰直角三角形，则乙48尸=：；

4

因为G为弧的中点，所以=

TT

则为等腰直角三角形，则4

4

7T

所以NFBH=N4BF+NABH=万,则五

因为〃5//GC,则必_LCG,又BC1BF,

又因为8C、CGu面5CG,BCcCG=C

所以AT_L平面BCG,因为BFu面AD尸，

所以平面3。尸，平面BCG.

(2)由题意知，4尸,43,4。两两垂直，所以A为坐标原点，

以/尸,48,40分别为x轴，了轴，z轴的空间直角坐标系，如图所示:

则/（0,0,0）,F（4,0,0）,5（0,4,0）,0（0,0,a）,G（-2,2,«）,

50=（0,-4,a）,旃=（4,一4,0）,方=（0,4,0）,AG^（-2,2,a）,BG^（-2,-2,a）,

设平面BDF的一个法向量为点=(%%,zj,

7•BD=0-4y1+4=0

则令必=1,

4再—4凹=0

nx-BF=0

设平面4BG的一个法向量为万2=(9,%/2),

n•AB=04%=0

则2即

-2X+2y+az=0

n2-AG=0222

设平面BDF与平面ABG的夹角为。

cos6=COSHj,n2解得。=4(负舍),

所以G（-2,2,4）,5（0,4,0）,£（4,0,4）,

贝U数=（-2,-2,4）,BE=（4,-4,4）

-------►2

_2BEBG4标

d=BE.......-

\KI3

所以点石到直线5G的距离为坦.

3