数学同步人教A版选修1-1课件：第一章常用逻辑用语1.2(1.2.1)

§1.2充分条件与必要条件1.2.1充分条件与必要条件学习目标

1.理解充分条件、必要条件的意义.2.会求(判定)某些简单命题的条件关系.3.通过对充分条件、必要条件的概念的理解和运用，培养分析、判断和归纳的逻辑思维能力.知识点充分条件与必要条件

一般地，“若p，则q”为真命题，是指由p通过推理可以得出q.这时，我们就说，由p可推出q，记作p⇒q，并且说p是q的_________，q是p的_________. (1)p是q的充分条件与q是p的必要条件表述的是同一个逻辑关系，只是说法不同.p是q的充分条件只反映了p⇒q，与q能否推出p没有任何关系.充分条件必要条件(2)注意以下等价的表述形式：①p⇒q；②p是q的充分条件；③q的充分条件是p；④q是p的必要条件；⑤p的必要条件是q.(3)“若p，则q”为假命题时，记作“p

q”，则p不是q的充分条件，q不是p的必要条件.【预习评价】思考(1)数学中的判定定理给出了结论成立的什么条件？ (2)性质定理给出了结论成立的什么条件？

答案(1)充分条件(2)必要条件题型一充分条件、必要条件【例1】给出下列四组命题： (1)p：两个三角形相似，q：两个三角形全等； (2)p：一个四边形是矩形，q：四边形的对角线相等； (3)p：A⊆B，q：A∩B＝A； (4)p：a>b，q：ac>bc.

试分别指出p是q的什么条件.解(1)∵两个三角形相似⇒/两个三角形全等，但两个三角形全等⇒两个三角形相似，∴p是q的必要不充分条件.(2)∵矩形的对角线相等，∴p⇒q，而对角线相等的四边形不一定是矩形，∴q⇒/p.∴p是q的充分不必要条件.(3)∵p⇒q，且q⇒p，∴p既是q的充分条件，又是q的必要条件.(4)∵p⇒/q，且q⇒/p，∴p是q的既不充分也不必要条件.规律方法本例分别体现了定义法、集合法、等价法.一般地，定义法主要用于较简单的命题判断，集合法一般需对命题进行化简，等价法主要用于否定性命题.要判断p是不是q的充分条件，就要看p能否推出q，要判断p是不是q的必要条件，就要看q能否推出p.【训练1】指出下列哪些命题中p是q的充分条件？ (1)在△ABC中，p：∠A>∠B，q：BC>AC. (2)对于实数x，y，p：x＋y≠8，q：x≠2或y≠6. (3)在△ABC中，p：sinA>sinB，q：tanA>tanB. (4)已知x，y∈R，p：x＝1，q：(x－1)·(x－2)＝0.解(1)在△ABC中，由大角对大边知，∠A>∠B⇒BC>AC，所以p是q的充分条件.(2)对于实数x，y，因为x＝2且y＝6⇒x＋y＝8，所以由x＋y≠8⇒x≠2或x≠6，故p是q的充分条件.(3)在△ABC中，取∠A＝120°，∠B＝30°，则sinA>sinB，但tanA<tanB，故p⇒/q，故p不是q的充分条件.(4)由x＝1⇒(x－1)(x－2)＝0，故p是q的充分条件.故(1)(2)(4)命题中p是q的充分条件.题型二充分条件、必要条件与集合的关系【例2】

是否存在实数p，使4x＋p<0是x2－x－2>0的充分条件？如果存在，求出p的取值范围；否则，说明理由.规律方法(1)设集合A＝{x|x满足p}，B＝{x|x满足q}，则p⇒q可得A⊆B；q⇒p可得B⊆A；若p是q的充分不必要条件，则AB.(2)利用充分条件、必要条件求参数的取值范围的关键就是找出集合间的包含关系，要注意范围的临界值.【训练2】已知M＝{x|(x－a)2<1}，N＝{x|x2－5x－24<0}，若M是N的充分条件，求a的取值范围.

解由(x－a)2<1得x2－2ax＋(a－1)(a＋1)<0， ∴a－1<x<a＋1.

又由x2－5x－24<0得－3<x<8. ∵M是N的充分条件，∴M⊆N，课堂达标1.“－2<x<1”是“x>1或x<－1”的(

) A.充分条件但不是必要条件 B.必要条件但不是充分条件 C.既不是充分条件，也不是必要条件 D.既是充分条件，也是必要条件解析∵－2<x<1

x>1或x<－1，且x>1或x<－1

－2<x<1，∴“－2<x<1”是“x>1或x<－1”的既不充分也不必要条件.答案C2.“a>b”是“a>|b|”的(

) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.既是充分条件，也是必要条件 D.既不充分也不必要条件

解析由a>|b|⇒a>b，而a>b推不出a>|b|.

答案B3.若a∈R，则“a＝1”是“|a|＝1”的(

) A.充分条件 B.必要条件 C.既不是充分条件也不是必要条件 D.无法判断

解析当a＝1时，|a|＝1成立，

但|a|＝1时，a＝±1，所以a＝1不一定成立. ∴“a＝1”是“|a|＝1”的充分条件.

答案A4.“a≤0”是“函数f(x)＝|(ax－1)x|在区间(0，＋∞)内单调递增”的(

) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.既充分也必要条件 D.既不充分也不必要条件答案C5.若“x<m”是“(x－1)(x－2)>0”的充分不必要条件，求m的取值范围.

解由(x－1)(x－2)>0可得x>2或x<1，

由已知条件，知{x|x<m}

{x|x>2或x<1}. ∴m≤1.课堂小结1.充分条件、必要条件的判断方法： (1)定义法：直接利用定义进行判断. (2)等价法：利用逆否命题的等价性判断，即要证p⇒q，只需证它的逆否命题綈q⇒綈p即可；同理要证q⇒p，只需证

綈p⇒綈q即可