中考数学专项复习：相似三角形的常见模型

2022年中考数学相似三角形的常见模型

上@学习目标）

1.了解相似三角形的性质定理与判定定理；

2.能利用相似三角形的性质定理和判定定理解决简单问题.

件重难点分析

1.相似三角形的判定；

2.能构成相似三角形的常见模型.

《模型分析》

相似三角形是初中几何中的重要的内容，常常与其它知识点结合以综合题的形式呈现,

其变化很多，是中考的常考题型。如果大家平时注重解题方法，熟练掌握基本解题模型，再

遇到相似三角形的问题就信心更足了.本专题重点讲解相似三角形的六大基本模型.

在添加辅助线时，所添加的辅助线往往能够构造出一组或多组相似三角形，或得到成比

例的线段或出等角，等边，从而为证明三角形相似或进行相关的计算找到等量关系.

o要点集结）

相似基本模型专题探究之一线三等角

【知识点睛】

一.常见基本类型:

同侧型（通常以等腰三角形或者等边三角形为背景）

二.模型性质应用:

常用结论：

1易得△左S△右；

2.如图②，当DE=D尸时，ABDE2ACFD；

3.中点型“一线三等角”中，可得三个三角形两两相似

如右图，若N1=N2=N3,且=则一般地：当动点E运动到底边的

中点时，CF有最大值

模型构造:

1.图中已存在“一线三等角”，则直接应用模型结论解题.

2.图中存在“一线两等角”，补上“一等角”，构造模型解题.

3.图中某直线上只存在1个角，补上“两等角”，构造模型解题.

如果直线上只有1个角，要补成“一线三等角”时，该角通常是特殊角（30。、45。、

60°>

特征：构造特殊角的等角时，一般是在“定线”上做含特殊角的直角三角形。

“一线三等角”得到的相似，通常用外边的两等角的两边对应成比例求解长度.

相似常见模型之平行相似

【知识点睛】

A字图及其变型“斜A型”

当DE〃BC时

△ADE^AABC当/ADE=/ACB时

性质：△ADE^AACB

GADAEDE

①-----二------性质：

ABACBCADAE_DE

②金AE

DB~EC

☆:斜A型在圆中的应用:

如图可得：△PABSAPCD

☆:“A字图”最值应用

A字图中作动态矩形求最大面积时，通常当MN为△ABC中位线,

矩形面积达到最大值！

8字图及其变型“蝴蝶型”

B\当AB〃CD时些i4时

rAAOB^ADOC'"变型B△AJB^ACJD

［性质：性质：

ABOAOBABJAJB

CDOD0CDTD~7C~1D

☆:“蝴蝶型”常见应用

1.常出现在“圆”中，直接由相交弦得到，求角度相关此时注意“同弧所对圆周角相等”的应用

2.出现在“手拉手模型”中，用于证明“两直线垂直”或者“两直线成一固定已知角度”

☆:A字图与8字图相似模型均是由“平行”直接得到的，有“〃”，多想此两种模型

常见“〃”的引入方式：

1.直接给出平行的已知条件

2.平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形等几何图形中自带的平行

3.由很多中点构造的“中位线”的平行

4.根据线段成比例的条件或结论自己构造平行辅助线

阂胰郎青

一、相似的有关概念

1.相似形

具有相同形状的图形叫做相似形.相似形仅是形状相同，大小不一定相同.相似图

形之间的互相变换称为相似变换.

2.相似图形的特性

两个相似图形的对应边成比例，对应角相等.

3.相似比

两个相似图形的对应角相等，对应边成比例.

二、相似三角形的概念

1.相似三角形的定义

对应角相等，对应边成比例的三角形叫做相似三角形.

如图,AABC与AA'B'C'相似，记作AABC^AA'B'C,符号s读作“相似于”.

2.相似比

相似三角形对应边的比叫做相似比.全等三角形的相似比是1.“全等三角形”一定是“相

似形”，“相似形”不一定是“全等形”.

三、相似三角形的性质

1.相似三角形的对应角相等

如图，AABC与△A'5'C'相似，则有NA=NA',=NC=NC'.

2.相似三角形的对应边成比例

则有‘^=上邑=’^=左（人为相似比）.

如图，AABC与八4'5'（7相似,

A'B'B'CA!C

3.相似三角形的对应边上的中线，高线和对应角的平分线成比例，都等于相似比.

如图1,AABC与△A'3'C'相似，40是A4BC中3c边上的中线，AM'是△A'3'C'

中3'C边上的中线，则有'=生=生=左=当_（左为相似比）.

A'B'B'C'A'CAM'

如图2,AABC与△A'B'C'相似，AH是A4BC中3c边上的高线，A'H'是△AB'C'中

B'C'边上的高线，则有丝=生=至=左=也（人为相似比）.

AB'B'CA'CAH'

如图3,AABC与△A'B'C'相似，AD是A4BC中NS4c的角平分线，A。'是△A'B'C

中NB'A'C'的角平分线，则有丝=更1=/£=左=灼］（左为相似比）.

A'B'B'CA'CAD'

图3

4.相似三角形周长的比等于相似比.

ARAC

如图4,AABC与△A'3'C'相似，则有——=-^-=—^-=k（左为相似比）.应用比

ABrB'C'AC

例的等比性质有其=军ACAB+BC+AC

A!BrB'C'AVAB+EC+AC'-

A

图4

5.相似三角形面积的比等于相似比的平方.

如图5,AABC与△AEC相似，AH是"5。中6c边上的高线，A"'是△A?C中

B'C边上的高线，则有丝=空=<£=左=也-（左为相似比）.进而可得

ABrBrCACAHf

>△48。___2__________A"_k2

SAXBC1.BC.AHB'C'AH

2

四、相似三角形的判定

1.平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与

原三角形相似.

2.如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相

似.可简单说成：两角对应相等，两个三角形相似.

3.如果一个三角形的两边和另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这

两个三角形相似.

4.如果一个三角形的三条边与另一个三角形的你对应成比例，那么这两个三角形相

似.可简单地说成：三边对应成比例，两个三角形相似.

5.如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边

对应成比例，那么这两个直角三角形相似.

6.直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形相似（常用但要证明）

7.如果一个等腰三角形和另一个等腰三角形的顶角相等或一对底角相等，那么这两个

等腰三角形相似；如果它们的腰和底对应成比例，那么这两个等腰三角形也相似.

五、相似证明中的比例式或等积式、比例中项式、倒数式、复合式

证明比例式或等积式的主要方法有“三点定形法”.

1.横向定型法

欲证些=见，横向观察，比例式中的分子的两条线段是AB和3C,三个字母

BEBF

A,B,C恰为△ABC的顶点；分母的两条线段是班T和跳"三个字母8,E,P恰为

ABEF的三个顶点.因此只需证AABCS/XEBF.

2.纵向定型法

欲证理="，纵向观察，比例式左边的比AB和3C中的三个字母A,2,C恰为

BCEF

AABC的顶点；右边的比两条线段是DE1和EF中的三个字母£>,E,尸恰为△DEF的

三个顶点.因此只需证.

3.中间比法

由于运用三点定形法时常会碰到三点共线或四点中没有相同点的情况，此时可考虑运用

等线，等比或等积进行变换后，再考虑运用三点定形法寻找相似三角形.这种方法就是

等量代换法.在证明比例式时，常用到中间比.

比例中项式的证明，通常涉及到与公共边有关的相似问题。这类问题的典型模型是射影

定理模型，模型的特征和结论要熟练掌握和透彻理解.

倒数式的证明，往往需要先进行变形，将等式的一边化为1,另一边化为几个比值和的

形式，然后对比值进行等量代换，进而证明之.

复合式的证明比较复杂.通常需要进行等线代换（对线段进行等量代换），等比代换，

等积代换，将复合式转化为基本的比例式或等积式，然后进行证明.

六、相似证明中常见辅助线的作法

在相似的证明中，常见的辅助线的作法是做平行线构造成比例线段或相似三角形，同时

再结合等量代换得到要证明的结论.常见的等量代换包括等线代换、等比代换、等积代

换等.

如图：平分N班C交于。，求证:—=—.

DCAC

证法一：过C作CE〃AD,交54的延长线于E.

：.Z1=ZE,Z2=Z3.

VZ1=Z2,AZ3=ZE./.AC=AE.

.BDBABA

AD//CE,.

.DCBE~AC

点评：做平行线构造成比例线段，利用了“A”型图的基本模型.

E

证法二；过3作AC的平行线，交的延长线于E.

AZ1=Z2=ZE,AAB=BE.

.BDBEAB

BE//AC,.

'~DC~ACAC

点评：做平行线构造成比例线段，利用了“X”型图的基本模型.

七、相似证明中的面积法

面积法主要是将面积的比，和线段的比进行相互转化来解决问题.

常用的面积法基本模型如下：

<-BCAH”

我口图：c=2-----=_

CD

SAACDCDAH

2

G—•BC,AH4q4c

如图：S^ABC_2___A。

S/\BCD八「

△BCD_1•BC•DGDGOD

2

S/\ABD_S/\ABDS_ABAD_AB•AD

如图：AAED

S4ACES/\AEDSAACE~~\E^C~AEAC

八、相似证明中的基本模型

g郴喇）

“A”字型

ADAEDE

1.图①A字型DE//BC,结论:

AC~BC

AEADDE

2.图②反A字型NADE二NB,结论:

AC-AB-BC

DFBG

3.图③双A字型DE〃BC,结论:

EF-GC

4.图④内含正方形A字形,结论七=黄（“为正方形边长）

图①图②图③图④

例1.如图，在中，D,£分别是和/C上的点，旦DE〃BC,胆=旦，DE

BD2

=6,则6c的长为（）

【分析】根据相似三角形的性质可得些=坦，再根据旭=心_,庞=6,即可得出二

BCABBD2BC

③，进而得到及7长.

5

【解答】黑：•：DE//BC,

:.^ADEsAABC,

.DE=AD

"BC而'

AD=3；庞=6,

BD2

•.•6_3,

BC5

：.BC=10,

故选：c.

根据平行线和公共角对应角相等，导出三角形相似.

例2.如图，D、E是AABC的边AC、AB上的点，且A。AC=AE.AB,

求证：ZADE=ZB.

【答案】VADAC=AEAB

.ADAB

**AE-AC

'：ZDAE=ZBAC

ADAE^ABAC

：.ZADE=ZB

【解析】由边乘积导出对应边成比例.

机4埠）

反A字型需要注意对应边和对应角的识别.

rI--V---]1例3.如图，在AABC中，点D,E,Q分别在AB,AC,BC上，且DE/7BC,AQ交DE

【答案】证明：在4ABQ和4ADP中，

：DP〃BQ,

.'.△ADP^AABQ,

.DPAP

"''BQ~布

l.一,PEAP

同理在AACQ和AAPE中，一=—，

DPPE

'BQQC

【解析】可证明△ADPS/XABQ,AACQ^AADP,从而得出二=工

以上两个题目为双A字模型，注意相同比例的等量代换.

I--------1例4.如图，在△被7中，28=47=10,8C=12,矩形龙FG的顶点位于的边上,

设EF=x,S四边形座

(1)填空：自变量x的取值范围是0<x<12

(2)求出y与x的函数表达式；

(3)请描述y随x的变化而变化的情况.

【分析】(1)根据题意即可得到结论；

(2)利用勾股定理和等腰三角形的三线合一求得飘AN,再利用得出比

例线段，利用x表示出可进一步利用矩形的面积求的函数解析式；列表取值，描点画

出图象；

(3)根据以上三种表示方式回答问题即可.

【解答】解：(1)0<^<12；

故答案为：0<x<12；

(2)如图，过点/作加U以于点儿交加于点瓶

*8—10,BC=\2,ANLBC,

,•BN=CN=6,AN=JAB2-BN2=&，

"：DG//BC,

:.NADG=/ABC,NAGQ/ACB,

:AADCSXABC,

AM_EF即8-MN二x

AN^BC，8=12,

:.MN=8-2x.

3

：.y=EF^MN=x(8-&)=-l^+8x=-2(x-6)2+24；

333

(3)当0<x<6时，y随x的增大而增大；

当x=6时，y的值达到最大值24,

当6Vx<12时，y随x的增大而减小.

练习1.如图，在一块三角形区域48C中，ZC=60°,49是的高，灰：=10米，49=8

米.现要在这个三角形区域内建造■个矩形水池EFHG,如图的方案是点G,〃在BC边上,

点£在/8边上，点尸在/C边上.

(1)设EG=x,当x取何值时，水池分粉的面积为15米z?

(2)该水池的面积能不能为25米,？

(3)实际施工时，发现在宽上距C点3米处有一棵大树，问：这棵大树是否位于最大

矩形水池的边上？在或不在，请说明理由.

【分析】(1)根据矩形的对边平行可得"”6G然后求出△/瓦'和△/欧相似，再利用相

似三角形对应高的比等于相似比列式表示出EF,再根据矩形的面积公式列式计算即可得

解；

(2)根据面积等于25列出方程，利用根的判别式判断即可；

(3)根据二次函数的最值问题求出面积最大时的x的值，再利用/C的正切值求出CH

的长度，然后与3米比较即可判断.

【解答】解：(1);四边形药肱是矩形，

：.EF//BC,

:.丛AEFs丛ABC,

.AK=EF

"ADBC，

即殳£=空，

810

解得斯=)式w

4

2

...水池跖％的面积=x・3比二x,J=-52+402,

44

2

当面积为15米2时，&..+4。匕=15,

4

整理得，¥-8矛+12=0,

解得羽=2,至=6,

答：x=2米或6米时，水池用阳的面积为15米*

(2)假设水池的面积能为25米2,

2

则-5x+4Ox=25,

4

整理得，/-8x+20=0,

-4ac=(-8)2-4X1X20=64-80=-16<0,

二方程没有实数解，

故水池的面积不能为25米M

2

(3):水池切正•的面积=-5三+40x_=-」(XL8X)=-至(x-4)?+20,

444

当x=4时，水池的面积最大，

.O=x+tan60。=4

3

...大树能位于最大矩形水池的边GH上.

本题难度稍微大一点，综合性比较强，涉及到二次函数的内容，学生需要计算功底比较扎实.

“8”字型

AOBOAB

1.图①“8”字型AB〃CD,结论:

OD~CO~~CD

图②“反8”字型NA=NC,结论：*=鬻=若、四点共圆

2.

AEDF

3.图③“双8”字型AB〃CD,结论:

BE~CF

4.图④“A、8”字型AB〃CD〃EF,结论:---1---=--

ABCDEF

5.图⑤，结论：EF=EG、^^AED•S^BEC=&ABE•S^CDE

图①图④

--------1例L如图，口/为口中，£是。的延长线上一点,BE与AD交手点F.证明：AABF

S△侬.

【分析】根据平行四边形对角相等可得对边平行可得45〃。，根据两直线平

行，内错角相等得到//即=/£,然后利用两角对应相等，两三角形相似即可证明.

【解答】证明：•••四边形/皿是平行四边形，

：.ZA=ZC,AB//CD,

'：AB//CD,

:./ABF=/E,

在△/跖和△侬中，/A=/C,ZABF=ZE,

丛ABFs丛CEB.

练习1.如图，AA8C中,AD,应'是两条中线，则心女：S4ABe=()

c

A.1：2B.2：3C.1：3D.1：4

【分析】在△/8C中，AD>应是两条中线，可得庞是△/比T的中位线，即可证得△功C

^/\ABC,然后由相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求得答案.

【解答】解：中，AD,龙是两条中线，

，施是△/回的中位线，

：.DE//AB,DE^—AB,

2

:.AEDCs丛ABC,

•(~<(~>_/DE、2_1

•・VEDC：J^ABC—I---)----•

AB4

故选：D.

■v」牵)

此题考查了相似三角形的判定与性质以及平行四边形的性质.此题难度不大，注意掌握数形

结合思想的应用.

0例2.如图，在口力及苏中，/4比'的平分线"分别与力。、交于点&F.

(1)求证：AB=AF；

【分析】(1)由在加灰力中，AD//BC,利用平行线的性质，可求得/2=/3,又由哥'是

回的平分线，易证得N1=N3,利用等角对等边的知识，即可证得26=46；

(2)易证得△/如△侬，利用相似三角形的对应边成比例，即可求得胆的值.

【解答】解：（1）如图，在F6切中，AD//BC.

.•.Z2=Z3,

:跖是//%的平分线，

.•.Z1=Z2,

/.Z1=Z3,

：.AB=AF-,

(2)'：ZAEF=Z.CEB,Z2=Z3,

:.丛AEFs丛CEB,

•：AF=AB=3,

.AE=AF=3_

,,ECBCT

AAE=3

练习1.如图，在正方形切中，CE1DF于。点,假设正方形的边长1,CF=x.

（1）试求四边形〃的面积；

（2）当户是优的中点时，求四边形/戊应的面积的值.

【分析】（1）先得△颂必则SACBE=SADC产工,再由△侬求得以的，

2

贝US四边形血）（如=1-S&CBE_SaDCE-Slxcop-

（2）当户是正的中点时，x=工，代入（1）中所求的表达式求得四边形/必近的面积的

2

值.

【解答】解：（1）易知△侬必△，阴

得BE=CF=X,Ed=^,SACBE=SADCF4X.

又ACOFsXCBE,

所以SACBE：S/\COF=：FE=(1+x)：X,

23

得SACOF年S"E=袤M

x?_2-2X+2X2-X，

所以SADOE=1-22ACBE+AC0F~-x+

2(l+x2)~2(l+x2)

(2)当尸是回的中点时，x9

x2

2-2Xy+2X受WL

此时SADOE=12

2(1+(y))

以上两个题目是A字型和8字型的综合题目，需要将两种模型的特点结合使用，题目分析思

路相对比较复杂.

由例3.如图，点£在矩形/及/的边/。上，鱼4EBC=NECB.

(1)求证：AE—ED-,

(2)连接初交)于点尸，求△比F和△〃跖的面积之比.

【分析】(1)根据也证明Rt△/庞必RtZkDB即可.

(2)利用相似三角形的性质即可解决问题.

【解答】(1)证明：•..四边形/宛9是矩形，

：.AB=CD,NA=NCDE=90°,

'：2EBC=/ECB,

:.EB=EC,

(应),

:.AE=ED.

(2)解：YBC=AD,AE=ED,

：.BC=2DE,

'：DE//BC,

:.丛DEFs^BCF,

S

ADEF_(DE)2=1_

^ABCFBC4

练习1.如图，在四边形/灰/中，Z5=90°,对角线47平分/掰〃Ad=AB-AD.

(1)求证：ACVCD-,

(2)若点£是4?的中点，连接第//£C=134°,求/题的度数.

【分析】（1）只要证明△掰Cs4,。。看到切=90°解决问题；

（2）首先证明NAN以力=67°,再利用相似三角形的性质推出/片67°即可

解决问题；

【解答】（1）证明：

.AC=AD

,,ABAC，

：AC平分/物2,

：.ABAC=ZCAD,

:.XBACsMCAD,

：.ZB=Z.ACD=^°,

C.ACLCD.

(2)：N/C9=90°,AE=ED,

:.EC=EA=ED,

：.AD=ZECD,

.：/AEC=少/ECA\34°,

：.AECD=AD=^V,

■:XABCs^ACD,

：.ZACB=ZD=67°,

：.4BCD=67°+90°=157°.

练习2.如图，直角梯形ABCD中，AB〃CD,AB±BC,对角线ACLBD,垂足为E,AD=BD,过

点E作EF〃AB交AD于F,求证：(1)AF=BE；(2)AF2=AE«EC.

【答案】证明：(1)：EF〃AB,

,,.△DFE^ADAB.

.DFDE

"DA~DB

又：DA=DB,.\DF=DE.

.•.DA-DF=DB-DE,即AF=BE.

(2)VABXBC,

.'.△ABC为直角三角形.

又：AC_LBD,

/.△BCE^AABE.

•EB

——，即EB2=AE«EC.

,ECEB

又：AF=EB,AAF2=AE«EC.

【解析】（1）根据平行构造相似三角形，利用相似三角形的性质解答；（2）因为ABLBC,

所以4ABC为直角三角形，又因为ACLBD,所以可知△BCEs^ABE,利用相似三角形的性质

即可解答.

以上题目为在梯形当中三角形相似问题的典型考查.

I一线三等角型

结论：出现两个相似三角形

图④

I----1例1.如图，在RtA4回中，/BAC=9Q°,AB=AC=2,点，在8。所在的直线上运动,

作/加/=45°（4D,£按逆时针方向）.若点〃在线段比'上运动，DE交AC于E.

①求证：△/劭s△旌'；

②当龙是等腰三角形时，求46的长.

【分析】①由/儿如/曲。=135°,/ADB+/CDE=135°,得出NBAD=NCDE,推出△

ABD^^DCE-,

②分三种情况讨论，（1）当时，/ADE=4AED=45°时，得到/物£=90°,点久

£分别与6、。重合；（2）当庞时，由①知△ASM/X,侬（3）当/少=应'时，有/

EAA/ADE=45°=/C,得到/力比三/2旗二❷。。，于是得到应'=/£=[2。=1.

2

【解答】①证明：：/为C=90°,AB=AC,

；./6=/。=45°,

:./BA>NADB=135°,

：//庞=45°,

:"ADm/EDC=\33°,

:"BAD=/EDC,

:.△ABM△DCE；

②分三种情况：

(1)当/，=/£时，/ADE=/AED=45°时，

.../%£=90°,点以£分别与反。重合，

：.AE=AC=2；

(2)当应时，由①知△/劭6/\"为，

"：AD=DE,XAB哙&DCE,

:.AB=Cg2,

:.BACE=2V2-2,

C.AE^AC-CE=4-2V2；

(3)当/£=庞时，有/演6//庞=45°=/G

:.NADC=NAED=9Q°,

:.AE=DE=LAC=\.

2

练习1.一般来说，依据数学研究对象本质属性的相同点和差异点，将数学对象分为不同种

类的数学思想叫做“分类”的思想；将事物进行分类，然后对划分的每一类分别进行研

究和求解的方法叫做“分类讨论”法，请你依据分类的思想和分类讨论的方法解决下列

问题：

在RtZk/及:中，/物。=90°,26=47=2,点，在6c所在的直线上运动，作//庞=45°

(/、D、£按逆时针方向)，

(1)如图1,若点，在线段回上运动，DE交AC于E

①求证：△ABD^MDCE；

②当△/庞是等腰三角形时，求/£的长；

(2)如图2,若点〃在欧的延长线上运动，龙的反向延长线与/C延长线相交于点E',

是否存在点〃使得△力龙'是等腰三角形？若存在，求出切与/少的长；若不存在，

请简要说明理由.

出△/劭s△比F.

②(i)当时，/ADE=/AED=43°时，得到/物6=90°,点、D、£分别与6、C

重合；

(ii)当49=庞时，由①知△/劭s/\〃您

(iii)当/£=〃£时，有/协2=//庞=45°=/G

故N4?C=N/旗=90°.三种情况讨论.

(2)存在，可证D,得到切=/C=2,进而得出/£'的长.

【解答】解：(1)①由/9C=90°,AB=AC,推出/6=/C=45°.

由/物6//如=135°,/ADB+/EDC=\35°得到/物片N硕C.

推出△/应s

②分三种情况：

(i)当/〃=/£时，2ADE=/AED=蜴。时，得到/物£=90°,点小£分别与反C

重合，所以/£=4-2.

(ii)当49=庞时，由①知△/Ms△腔

又,：AADE,知△/及匕

所以力6=。?=2,故初=〃=2«-2,

所以AE^AC-CE=4-2«.

(iii)当/£=〃£时，有/功9=/4;应=45°=ZC,

故/血心=//旗=90°.

所以/£=庞=247=1.

2

故/£的长为1；

(2)存在(只有一种情况).

由N/W=45°推出/。分/49C=45°.

由N4庞=45°推出/加3/应'力=45°.

从而推出/4?C=/庞'A.证得D.

所以蚂=_绰_,

CDDE'

又,：AgDE，,

：.CD=AC=2.

D,

.AD_AC

-AE，AD'

：.Ad=AOAE',

过点A做A/LLBC于点、H,

则/〃=«,DH=2+&,

贝ij4=〃+应，

(V2)2+(2+V2)2=2AE',

：.AE'=4+272.

I____I例2.如图，在△ABC和ACDE中，NB=/D=90°,C为线段BD上一点，且AC_LCE.AB=3,

DE=2,BC=6.求CD的长.

E

3b---------------------

【答案】解：・・•在AABC中，ZB=90°,

ZA+ZACB=90°.

VACXCE,AZACB+ZECD=90°.

ZA=ZECD.

V4AABCflACDEZA=ZECD,ZB=ZD=90°,

ABBC

：.AABC^ACDE,—=—.

CDDE

VAB=3,DE=2,BC=6,ACD=1.

【解析】根据直角三角形的性质，可得NA+NACB,ZACB+ZECD,再根据余角的性质，可得

4DBC

NA=NECD根据相似三角形的判定与性质，可得丁=下，根据比例的性质，即可得出答

CDDE

案.

练习1.如图，在Rt△/回中，NC=90°,46=50,47=30,D,E,尸分别是47,AB,BC

的中点.点?从点，出发沿折线龙-斯-凡-缪以每秒7个单位长的速度匀速运动；点

。从点8出发沿历1方向以每秒4个单位长的速度匀速运动，过点0作射线反交折

线BC-CA于点、G.点户，0同时出发，当点户绕行一周回到点2时停止运动，点0也随之

停止.设点R0运动的时间是t秒(t>0).

<1)D,/两点间的距离是25；

(2)射线/能否把四边形的分成面积相等的两部分？若能，求出t的值；若不能，

说明理由；

(3)当点尸运动到折线以-叱上，且点尸又恰好落在射线加上时，求t的值；

(4)连接加，当阳〃46时，请直接写出力的值.

【分析】(1)由中位线定理即可求出所的长；

(2)连接阳过点尸作施46于点〃由四边形即为矩形，4把矩形CB即分为面

积相等的两部分，根据△阚^△刎，对应边的比相等，就可以求得力的值；

（3）①当点P在EF上（2@W^W5时根据△户*根据相似三角形的对应边的比

7

相等，可以求出右的值；

②当点尸在叱上（5WtW7@）时，阳=所必'就可以得到；

7

（4）当加〃46时四边形/W是矩形，由此可以直接写出t.

【解答】解：（1）RtZU8C中，ZC=90°,羽=50,

■:D,6是47,6c的中点，

所为△/及7的中位线，

:.DF=LB=25

2

故答案为:25.

（2）能.

如图1,连接抄过点尸作也四于点〃

■:D,户是/G8c的中点，

：.DE//BC,EF//AC,四边形Gft如为矩形，

直过所的中点。时，即过矩形两'的中点，直把矩形CW分为面积相等的两部分

此时"=12.5.由跳'=20,丛HBFs丛CBA,得郎=16.

故-QH+HB_12.5+161

4―4一一百.

（3）①当点户在砂上（2反/力W5）时，

7

如图2,QB=4t,DE+EP^lt,

由△PQEs^BCA,得）YU=25毋..

5030

/.t=4—；

41

②当点尸在叱上（5WtW73O时，

7

如图3,己知啰=4%，从而如=―吗_=萼=5得

cosZBA

5

由件=7-35,班'=20,得5t=7-35+20.

解得t=7—；

2

(4)如图4,t=12；如图5,t=7理.

343

(注：判断小〃可分为以下几种情形：当0＜tW22时，点户下行，点G上行，可知

7

其中存在所〃居的时刻，

如图4；此后，点G继续上行到点尸时，力=4,而点户却在下行到点£再沿0上行，发

现点户在鳍上运动时不存在阳〃26；5WtW7@当时，点户，G均在尸。上，也不存在阳

7

//AB-,由于点户比点G先到达点。并继续沿。下行，所以在70＜大＜8中存在PG//AB

7

的时刻，如图5当8WCW10时，点只G均在切上，不存在尸G〃相)

图S

图，

以上两个题目为同一个题目的变形考察，学生注意熟练掌握.本模型是一线三等角的特殊模

型一一垂直型.

e母子型

图①内角分线型，结论：噜=黑；图②外角分线型，结论:ABBD

1.

ACDCAC~CD

2.图③斜射影定理型，结论：AB2=BDBC,

3.图④射影定理型，结论：（1）AC2=ADAB,

(2)CD2=ADBD,

(3)BC°=BD-BA

图①图②

ABAC

------1例1.阅读理解:如图，在AABC中,AD平分NBAC,求证：一二一

BDCD

小明在证明此题时，想通过证明三角形相似来解决，但发现图中无相似三角形，于是过点B

48AC

作BE〃AC交AD的延长线于点E,构造△ACDs^EBD,则一=一

BDCD

48AC

于是小明得出结论：在AABC中，AD平分NBAC,则一=一.

BDCD

请完成小明的证明过程.

D

BC

【答案】解：过点B作BE//AC交AD延长线于点E,

：BE〃AC,

/.ZDBE=ZC,ZE=ZCAD,

BD_BE

.'.△BDE^ACDA,

DC-AC)

又：AD是角平分线，ZE=ZDAC=ZBAD,

AB_AC

.\BE=AB,

BD—CD

【解析】先过点B作BE〃AC交AD延长线于点E,由于BE〃AC,利用平行线分线段成比例定

理的推论、平行线的性质，可得△BDEs^CDA,ZE=ZDAC,再利用相似三角形的性质可有

器=黄，而利用AD时角平分线又知/E=/DAC=NBAD,于是BE=AB,等量代换即可证.

练习1.如图，〃是△/回的边8c上一点，已知4?=4,AD=2,/DAC=/B,若的面

【分析】首先证明△4。△见4,由相似三角形的性质可得：△力3的面积：△48C的面

积为1：4,因为△4比1的面积为勿，进而求出△/切的面积.

【解答】解：物C=N6,

:.△ACMXBCA,

*6=4,AD^2,

切的面积：的面积为1：4,

:△/6C的面积为〃，

...△〃/的面积为工处

4

故答案为：-m.

4

题小结)

注意画辅助线构造相似三角形，一般在利用角平分线构造相似时，常会优先考虑利用平行来

构造.

例2.如图，点C,2在线段上，Zk/O是等边三角形，且//必=120。，求证：

(1)/\ACP^^PDB,

(2)CD=AC'BD.

【分析】(1)根据等边三角形的性质得到/也?=/如。=/。少=60°,于是推出//次

=/PDB=\2G,等量代换得到/例根据相似三角形的性质得到结论；

(2)由相似三角形的性质得到国•二值,根据等边三角形的性质得到户。=如=①，等量

PDBD

代换得到£0,即可得到结论.

CDBD

【解答】证明：(1)是等边三角形，

APCD=ZPDC=ZCPD=60°,

:./ACP=NPDB=\2Q°,

VZAPB=120°,

：.ZAPC+ZBPD^60°,

'：ZCAP^ZAPC=60°

：.ZBPD^ACAP,

:.△ACP^APDB；

(2)由(1)得LACPSAPDB,

•.A•-C二-P-C-,

PDBD

是等边三角形，

:.PC=PD=CD,

.ACCD

••--=-----，

CDBD

：.a}=AOBD.

练习1.如图，在四边形/氏/中，/6=90°,对角线/C平分/为〃Ad=AB'AD.

(1)求证：ACX.CD-,

(2)若点£是4?的中点，连接区N/P134。，求/颇的度数.

【分析】(1)只要证明△掰Cs4。。看到/8=/力切=90°解决问题；

(2)首先证明NQ/反力=67°,再利用相似三角形的性质推出N//=/A67°即可

解决问题；

【解答】U)证明：［6=力也必

.AC=AD