2025年高考数学一轮复习：函数的性质：单调性、奇偶性、周期性、对称性、最值（十六大题型）（讲义）（原卷版）

第02讲函数的性质：单调性、奇偶性、周期性、对称性、最值

目录

01考情透视•目标导航...........................................................................2

02知识导图•思维引航...........................................................................3

03考点突破•题型探究...........................................................................4

知识点1：函数的单调性.........................................................................4

知识点2：函数的最值...........................................................................5

知识点3：函数的奇偶性.........................................................................5

知识点4：函数的周期性.........................................................................5

知识点5：函数的对称性.........................................................................6

解题方法总结...................................................................................6

题型一：单调性的定义及判断....................................................................9

题型二：复合函数单调性的判断.................................................................10

题型三：分段函数的单调性.....................................................................11

题型四：利用函数单调性求函数最值.............................................................12

题型五：利用函数单调性求参数的范围...........................................................12

题型六：利用函数的单调性比较函数值大小.......................................................13

题型七：函数的奇偶性的判断与证明.............................................................14

题型八：已知函数的奇偶性求参数...............................................................15

题型九：已知函数的奇偶性求表达式、求值.......................................................16

题型十：奇函数的中值模型.....................................................................16

题型十一：利用单调性与奇偶性求解函数不等式...................................................17

题型十二：函数对称性的应用...................................................................18

题型十三：函数周期性的应用...................................................................19

题型十四：对称性与周期性的综合应用...........................................................20

题型十五：类周期与倍增函数...................................................................21

题型十六：抽象函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性..........................................22

04真题练习•命题洞见..........................................................................23

05课本典例•高考素材..........................................................................24

06易错分析•答题模板..........................................................................25

易错点：判断函数的奇偶性忽视定义域...........................................................25

答题模板：判断函数的奇偶性...................................................................25

考情透视.目标导航

考点要求考题统计考情分析

2023年I卷第4、11题，10分从近几年高考命题来看，本节是高

(1)函数的单调性2023年甲卷第13题，5分考的一个重点，函数的单调性、奇偶

(2)函数的奇偶性2022年H卷第8题，5分性、对称性、周期性是高考的必考内

(3)函数的对称性2022年I卷第12题，5分容，重点关注周期性、对称性、奇偶性

(4)函数的周期性2021年D卷第8题，5分结合在一起，与函数图像、函数零点和

2021年甲卷第12题，5分不等式相结合进行考查.

复习目标:

(1)借助函数图像，会用符号语言表达函数的单调性、最大值、最小值，理解它们的作用和实际意义.

(2)结合具体函数，了解奇偶性的概念和几何意义.

(3)结合三角函数，了解周期性的概念和几何意义.

(4)会依据函数的性质进行简单的应用.

一般地，设函数/(.、)的定义域为％区间DG.4：

如果对于。内的任意两个自变量的植

当吃K时,都仃/g</(.vj,则/(.v)Th区间Z)上是增函数.

Y］调函数的定义

般地,设函数/(.V)的定义域为H区间。G：

如果对于。内的任意两个自变量的值

当时，都有/(.vjv/CvJ,则/(x)在区间。上是减函数.

单调性

如果函数尸/(*侨区间/上单调递增或单调递减，

单调区间的定义

则函数r=/(x)在这•区间具有单调性，区间/叫做r=/(x)的单调区间

复合函数的单调性遵从“同增异减”，即在对应的取值区间上，外层函数是增(减)函

数,内层函数是熠(减)函数,豆合函数是增函数；外层函数是熠(减)函数,内层函

数是减(增)函数,复合函数是减函数.

(l)V.vez),都有/(2二监

最大值

(2)3.v0ep,使得尸M

最值

(l)V.vep,都有了(、)NM；

最小值

(2)3x0ep,使得/(.城二心

图像关于T轴对称

对于函数/(K)的定义域内任意一个K,都有/(・K)=/(X))

奇偶性

图像关于原点对称

对于函数/(2的定义域内任意一个K,都有/(7)=■/(.x))

/方苒数丁=/C),如果存在一个非零常数r,

函数的性质使得当x取定义域内的任何值时,都有/&+乃=/(2,

那么就称函数箕=/(.”为周期函数

/(•v)=/(.v+«)=>r=|a|)

/(-v)=-/(A+fl)=>T=2|a|

周期性

F------^T=2\a\

f(x+a)

、5=2|0|

f(x+a)

常用周期结论

人'+加抽”=吗

2=搐"=4同

/(•"。)=1-焉=7=3|。|

JV'/

/(M=/(x+4)+/(wa)nT=6|a|)

<若函数7=/(工+。)为偶函数,则函数j=/(x)关于x=a对称)

《若函数尸/。+。)为奇函数,则函数J=/(K)关于点00)对称\)

<若/(M=，Qa-x),则函数/代)关于对称)

(若/(2/(2。・2=2瓦则函数/(M关于点(。力)对称、)

老占突硒・力理悭宙

1r知识国*'

知识点1:函数的单调性

（1）单调函数的定义

一般地，设函数/（尤）的定义域为A,区间

如果对于。内的任意两个自变量的值占，*2当占＜々时，都有/（%）＜/（无2），那么就说了⑺在区间

D上是增函数.

如果对于。内的任意两个自变量的值不，x2,当不＜/时，都有人占卜〃々），那么就说了（%）在区

间D上是减函数.

①属于定义域A内某个区间上；

②任意两个自变量％,%且为＜工2；

③都有/（%］）＜f（x2）或/（Xj）＞〃尤2）；

④图象特征：在单调区间上增函数的图象从左向右是上升的，减函数的图象从左向右是下降的.

（2）单调性与单调区间

①单调区间的定义：如果函数/（X）在区间。上是增函数或减函数，那么就说函数〃尤）在区间。上具

有单调性，。称为函数/（尤）的单调区间.

②函数的单调性是函数在某个区间上的性质.

（3）复合函数的单调性

复合函数的单调性遵从“同增异减”，即在对应的取值区间上，外层函数是增（减）函数，内层函数是

增（减）函数，复合函数是增函数；外层函数是增（减）函数，内层函数是减（增）函数，复合函数是减

函数.

【诊断自测】（2024•高三•上海杨浦•期中）已知函数y=/（x）,xeR.若/⑴＜〃2）成立，则下列论

断中正确的是（）

A.函数/（x）在（YO,+CO）上一定是增函数；

B.函数/（x）在（-＜»,+＜»）上一定不是增函数；

C.函数/(x)在(-w,y)上可能是减函数；

D.函数/(x)在(YO,+CO)上不可能是减函数.

知识点2：函数的最值

一般地，设函数y=〃x)的定义域为。，如果存在实数M满足

①VxeD,都有②骂e。，使得"%)=M,则M是函数y=/(x)的最大值;

①VxeD,都有②王0e。，使得"Xo)=M,则M是函数y=〃x)的最小值.

【诊断自测】(2024•高三•北京•开学考试)函数y=—1-1+无(xZ3)的最小值为____.

X-1

知识点3：函数的奇偶性

函数奇偶性的定义及图象特点

奇偶性定义图象特点

如果对于函数/(%)的定义域内任意一个X,都有

偶函数关于y轴对称

/(-%)=/(X),那么函数/(X)就叫做偶函数

如果对于函数/(X)的定义域内任意一个X,都有

奇函数关于原点对称

/(-%)=-/(%),那么函数/(尤)就叫做奇函数

【诊断自测】(2024•高三•河北唐山•期末)函数”X)为奇函数，g(x)为偶函数，在公共定义域内，下

列结论一定正确的是()

A.〃x)+g(x)为奇函数B.〃x)+g(x)为偶函数

C./(x)g(x)为奇函数D.7(x)g(x)为偶函数

知识点4：函数的周期性

(1)周期函数：

对于函数y=/(x),如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的任何值时，都有

〃x+T)=/(x),那么就称函数y=/(x)为周期函数，称T为这个函数的周期.

(2)最小正周期：

如果在周期函数/(无)的所有周期中存在一个最小的正数，那么称这个最小整数叫做了(X)的最小正周

期.

【诊断自测】若偶函数〃无)对任意xeR都有〃x+3)=-1，且当xe[-3,-2]时，〃尤)=4x,则

/(x)

知识点5：函数的对称性

(1)若函数y=/(x+a)为偶函数，则函数y=f(x)关于x=。对称.

(2)若函数y=/(x+a)为奇函数，则函数y=/(x)关于点(a,0)对称.

(3)若f(x)=f(2a-x),则函数f(x)关于x=a对称.

(4)若/(x)+/(2a-尤)=26，则函数/(无)关于点(a，6)对称•

【诊断自测】若函数y=g(无)的图象与y=lnx的图象关于直线x=2对称，则g(x)=.

解题方法总结

1、单调性技巧

(1)证明函数单调性的步骤

①取值：设%，%是/(尤)定义域内一个区间上的任意两个量，且为＜龙2；

②变形：作差变形(变形方法：因式分解、配方、有理化等)或作商变形；

③定号：判断差的正负或商与1的大小关系；

④得出结论.

(2)函数单调性的判断方法

①定义法：根据增函数、减函数的定义，按照“取值一变形一判断符号一下结论”进行判断.

②图象法：就是画出函数的图象，根据图象的上升或下降趋势，判断函数的单调性.

③直接法：就是对我们所熟悉的函数，如一次函数、二次函数、反比例函数等，直接写出它们的单调

区间.

(3)记住几条常用的结论：

①若/(》)是增函数，则-/(X)为减函数；若/(X)是减函数，则-为增函数；

②若/(x)和g(x)均为增(或减)函数，则在/(%)和g(元)的公共定义域上/(x)+g(x)为增(或减)函数；

1

③若y（x）＞o且，（x）为增函数，则函数J府为增函数,为减函数;

f（.x）

④若了（尤）＞0且，（x）为减函数，则函数历5为减函数，」一为增函数.

/（X）

2、奇偶性技巧

（1）函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称.

（2）奇偶函数的图象特征.

函数/（X）是偶函数o函数/（X）的图象关于y轴对称；

函数/（X）是奇函数O函数/（X）的图象关于原点中心对称.

⑶若奇函数y=/（x）在x=0处有意义，则有/（0）=0；

偶函数y=/（x）必满足/（X）=/（|x|）.

（4）偶函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相反；奇函数在其定义域内关于原点对称的

两个区间上单调性相同.

（5）若函数/（尤）的定义域关于原点对称，则函数能表示成一个偶函数与一个奇函数的和的形式.记

g（x）=+/（-x）］，，7（x）=:"（x）-/（-%）］，则/（X）=g（x）+h（x）.

（6）运算函数的奇偶性规律：运算函数是指两个（或多个）函数式通过加、减、乘、除四则运算所得的

函数，如/（X）+g（x）,/（无）一g（尤）,，（尤）Xg（尤）,/（尤）+g（尤）.

对于运算函数有如下结论：奇土奇=奇；偶±偶=偶；奇±偶=非奇非偶；

奇*（十）奇=偶；奇乂（十）偶=奇；偶x（十）偶=偶.

（7）复合函数y=f［g（x）］的奇偶性原来：内偶则偶，两奇为奇.

（8）常见奇偶性函数模型

奇函数：①函数f（x）=m（a+1）（x丰0）或函数/（%）=m（a.

a-1a+1

②函数”r）=±3-「）.

③函数f（x）=loga2土生=loga（1+卫-）或函数f（x）=log。2二”=loga（1一--）

x—mx—mx+mx+m

22

④函数/（x）=logfl（V^+1+X）或函数/（x）=loga（Vx+1-x）.

注意:关于①式，可以写成函数f（尤）=7"+3-（xwO）或函数了（元）=初-3-（aeR）.

a'-1ax+1

偶函数：①函数/（尤）=±（罐+「）.

,7K

②函数/（%）=loga（a+l）-^.

③函数/（|尤|）类型的一切函数.

④常数函数

3、周期性技巧

函数式满足关系(尤eR)周期

f(x+T)=f(x)T

/(x+T)=-/(x)2T

/(x+T)=工"(尤+T)=-1

2T

f(x+T)=f(x-T)2T

/(x+T)=-/(x-D4T

ff(a+x)=f(a-x)

2(6-〃)

\f(b+x)=f(b-x)

f/(a+x)=/(a-x)

2a

[/(尤)为偶函数

f(a+x)=~f(a-尤)

2s-〃)

{于(b+x)=-f(b-尤)

于(a+x)=-f(a-尤)

2a

/(x)为奇函数

f(.a+尤)=f(a-x)

4s-a)

f(b+尤)=-于(b-x)

ff(a+x)=f(a-x)

4。

[/(尤)为奇函数

于(a+x)=-于(a-x)

4a

1/(尤)为偶函数

4、函数的的对称性与周期性的关系

(1)若函数y=/(x)有两条对称轴x=a,x=b(a<b),则函数/(无)是周期函数，且T=2(6-a)；

(2)若函数y=f(无)的图象有两个对称中心(a,c),(6,c)(a<Z?),则函数y=/(x)是周期函数，且

7=2(6—a)；

(3)若函数y=/(x)有一条对称轴x=a和一个对称中心(仇0)(。<。)，则函数y=f(x)是周期函数，

且T=43-a).

5、对称性技巧

(1)若函数y=/(尤)关于直线x=a对称，则/(a+x)=f(a-x).

(2)若函数y=/(x)关于点(a,b)对称，JU!)f(a+x)+f(a-x)=2b.

(3)函数y=/(a+x)与y=/(a-x)关于y轴对称，函数y=/(a+x)与y=-/(a-x)关于原点对称.

题型洞察

题型一：单调性的定义及判断

【典例1-1】(2024•陕西榆林•一模)已知函数/(X)在[0,+力)上单调递增，贝U对实数“。>6”

是的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【典例1-2](2024•安徽蚌埠•模拟预测)下列函数中，满足“对任意的%e(0,+a)),使得

〃%)：/(%)<0,,成立的是()

A.f(x)=-x2-2x+l

B.f(x)=x--

X

C.f(x)=x+l

D./(x)=log2(2x)+1

【方法技巧】

函数单调性的判断方法

①定义法：根据增函数、减函数的定义，按照“取值一变形一判断符号一下结论”进行判断.

②图象法：就是画出函数的图象，根据图象的上升或下降趋势，判断函数的单调性.

③直接法：就是对我们所熟悉的函数，如一次函数、二次函数、反比例函数等，直接写出它们的单调

区间.

【变式1-1】三叉戟是希腊神话中海神波塞冬的武器，而函数〃尤)="f+，的图象恰如其形，因而得名三

叉戟函数，因为牛顿最早研究了这个函数的图象，所以也称它为牛顿三叉戟.已知函数〃尤)=ax?+2的图

X

象经过点(2,8),且"-2)=0.

⑴求函数“X)的解析式；

(2)用定义法证明：”X)在(-双。)上单调递减.

【变式1-2](2024•高三•上海•期中)由方程xk|+MN=l确定函数y=/(x),则y=/(x)在(TO)

上是()

A.增函数B.减函数C.奇函数D.偶函数

题型二：复合函数单调性的判断

【典例2-1】函数=的单调递增区间是()

A.(-oo,l)B.(-oo,-2)C.(4,+oo)D.(l,+<x))

【典例2-2](2024•高三•浙江绍兴•期末)函数y=ln(尤2一2*的单调递减区间是()

A.B.C.(-oo,0)D.(2,+co)

【方法技巧】

讨论复合函数y=/[g(x)]的单调性时要注意：既要把握复合过程，又要掌握基本函数的单调性.一般

需要先求定义域，再把复杂的函数正确地分解为两个简单的初等函数的复合，然后分别判断它们的单调性,

再用复合法则，复合法则如下：

1、若"=g(x),y=/(")在所讨论的区间上都是增函数或都是减函数，则？=/国。)]为增函数；

2、若〃=g(x),y=/(")在所讨论的区间上一个是增函数，另一个是减函数，则y=/[g(x)]为减函

数.列表如下：

〃=g(x)y=/(")y=/[g(M

增增增

增减减

减增减

减减增

复合函数单调性可简记为“同增异减”，即内外函数的单性相同时递增；单性相异时递减.

【变式2-1](2024•高三•甘肃•开学考试)函数/(x)=2jcos，-3x)的单调递减区间是()

7i2E7i2kn兀2kn5兀2kn

A.-------1--------,------1--------(左wZ)B.一+,一+(keZ)

43123123123

7i2kn7i2kn7i2kn7i2kli/,

C.--------1--------,------1---(--j--t-eZ)D.—+——,-+——(ksZ)

123123L12343Jv7

1

【变式2-2】函数〃x)=的单调递减区间是()

\lx~—8x+15

A.(v,3)B.(3,4]C.(5,+oo)D.(4,+oo)

题型三：分段函数的单调性

【典例3-1】（2。24.陕西商洛.一模）已知函数小）$一）-]是定义在R上的增函数，则。的

取值范围是（）

A.[1,3)B.[1,2]C.[2,3)D.(0,3)

/、[（a-2）x+4a-6,x<1f（x,）-f（x）八

【典例3-2】已知函数〃x）=工二,满足对于任意的毛，电（3/马）都有9成

+2,%>1%i—兀2

立，则实数a的取值范围是（）

【方法技巧】

函数/（x）=[C"z,在R上为增函数，贝人

[t（x'）,x>m

①s（x）在（-OO,河上单调递增；②f（无）在O,+00）上单调递增；③S（〃2）Wf（M）.

函数=在R上为减函数，贝h

0x）,x〉m

①s（x）在（-00,河上单调递减；②X尤）在（见+8）上单调递减；③

,、fax+1—a,0<x<lf（x,}

【变式3-1】已知函数〃x）=/…，若％，9e（O,2），百工马,都有八八">0成立,

2,1<xW2x?一再

则。的取值范围为（）

A.（0,2]B.（fl]C.（0,1]D.（0,+巧

（2a-3）x+2,xV1

【变式3-2】已知函数〃x）=°,是R上的减函数，则a的取值范围是（）

—,X>1

33

A.0<a<一B.1Wa<一

22

_3।3

C.0<aW—D.1<a<—

22

题型四：利用函数单调性求函数最值

【典例4・1】(2024•全国•模拟预测)设％£。卷,则函数y=Jsin%+Jcosx的最大值为__.

【典例4-2］若函数=f—2x+|x-矶〃＞0)在［0,2］上的最小值为1,则正实数〃的值为.

【方法技巧】

利用函数单调性求函数最值时应先判断函数的单调性，再求最值.常用到下面的结论：

1、如果函数y=/(无)在区间(°,回上是增函数，在区间屹，c)上是减函数，贝!I函数y=/(x)(xea,c)

在X=3处有最大值一伯).

2、如果函数y=/(x)在区间①，6］上是减函数，在区间屹，c)上是增函数，贝1|函数y=/(x)(xea,c)

在处有最小值/(».

3、若函数y=/(x)在［a,句上是严格单调函数，则函数y=/(元)在［用句上一定有最大、最小值.

4、若函数、=/0)在区间口，团上是单调递增，则y=/(x)的最大值是/(b),最小值是y(a).

5、若函数y=/(x)在区间［a,6］上是单调递减，则y=/(x)的最大值是y(a),最小值是/(b).

【变式4-1］(2024•上海嘉定•一模)函数—3x+5在无上的最大值和最小值的乘积为

x-1|_2_

【变式4-2］若函数y=/-〃zx+2］在［0,1］的最大值为2,则〃?的取值范围是.

题型五：利用函数单调性求参数的范围

【典例5-1］(2024•全国•模拟预测)若函数/(x)=41x-a|+3在区间［1,+8)上不单调，则a的取值范围

是()

A.[l,+oo)B.(l,+oo)

C.(fl)D.(YO,1]

【典例5-2】(2024•广东佛山•二模)已知0＜。＜1且awg,若函数=Zlog/Tog?产在(0,+8)上单

调递减，则实数a的取值范围为()

A.(；,g)B.(0,；)C.(：,g)」(g,l)D.(O,；)U(g,D

【方法技巧】

若已知函数的单调性，求参数a的取值范围问题，可利用函数单调性，先列出关于参数a的不等式，

利用下面的结论求解.

1>若a>/（x）在［加，n］上怛成立<=>a>f（x）在［加，川上的最大值.

2、若av/（x）在［加，川上恒成立oav/（x）在［机，上的最小值.

【变式5-1］若〃X）=-$3+；X2+2X+I是区间（〃Li,m+4）上的单调函数，则实数冽的取值范围是（）

A.m<-5B.m>3

C,或机23D.-5<m<3

【变式5-2］（2024•全国•模拟预测）函数〃尤）=log〃（尤值-4-1）在［L2］上单调递增，则实数a的取值范

围是（）

A.（2,+8）B.（0,l）kJ（2,+a?）C.［4,+oo）D.（0,l）u［4,+a?）

【变式5-3］（2024•全国•模拟预测）已知函数〃x）=log”（尤3—加+“一2勾（"0且"1）在区间（1,口）

上单调递减，则。的取值范围是（）

A.（0,|B.C.（1,2］D.⑵+⑹

lo

【变式5-4］若函数A*）=Si（f2+-5）在区间（3m-2即+2）内单调递增，则实数m的取值范围为

2

（）

题型六：利用函数的单调性比较函数值大小

【典例6-1](2024•宁夏银川•一模)若"x)=ln(x2+l)-=,设°=/(—3)力二〃1112),0=/(2°3),则«,

IW

b,c的大小关系为（）

A.c>a>bB.b>c>aC.a>b>cD.a>c>b

【典例6-2］（2024•宁夏石嘴山-三模）若定义在R上的偶函数/'（尤）在［0,+8）上单调递增，则

/•。4［，/］:，/卜-）的大小关系为（）

【方法技巧】

1、比较函数值大小，应将自变量转化到同一个单调区间内，然后利用函数单调性解决.

【变式6-1]（2024•高三•河北沧州•期中）已知函数〃x）=4

,记

e+e

-忆），〜用,c=m则（）

A.c>b>aB.c>a>b

C.a>c>bD.b>a>c

【变式6-2】函数/（x）=d+2x-cosx,a=/（lg3）*==/23,则〃也c的大小关系为（）

A.a>b>cB.b>c>a

C.b>a>cD.c>a>b

【变式6-3]（2024•四川•模拟预测）若定义在R上的偶函数〃x）在[0,+s）上单调递增，则

[1!1|],/[：/卜-2）的大小关系为，）

A.小|）>吗）>"）B,小|）>/（巧〉吗）

C.（>枷|）>«）D.小卜加）>枷|）

题型七：函数的奇偶性的判断与证明

【典例7-1】设函数〃x）,g（x）的定义域为R,且“X）是奇函数，g（x）是偶函数，则下列结论中正确的

是（）

A.7（x）g（x）是偶函数B.是奇函数

C.是奇函数D.，（x）g（x）|是奇函数

【典例7-2]（2024•全国•模拟预测）已知函数/（无）=41og4（岸荷-x）-3的图象经过点则函

数y=/（x）的奇偶性为（）

A.奇函数B.偶函数C.非奇非偶函数D.既是奇函数又是偶函数

【方法技巧】

函数单调性与奇偶性结合时，注意函数单调性和奇偶性的定义，以及奇偶函数图像的对称性.

【变式7-1]（多选题）（2024•重庆•模拟预测）函数=：g（x）=ln（jl+9x，一3q,那么

A./(x)+g(x)是偶函数B.，(x>g(x)是奇函数

g(x)

日在是奇函数

C.7E可函数D.g(/(x))

■f(x)

【变式7-2】利用图象判断下列函数的奇偶性:

-Y+2%+1,%>0

⑴f(x)=

x2+2x-l,x<0

x2+x,x<0,

(2)/(x)=

x2—x,x>0

⑶y=(1)H；

(4)y=|log2(x+l)|；

(5)^=X2-2|X|-1.

题型八：已知函数的奇偶性求参数

____IQX_]X>0

【典例8-1】已知函数〃x)=log2(4rHx)是奇函数，则.=,若g(x)={,'「则g(g(T))=—.

【典例8-2】已知函数=的图象关于原点对称，g(x)=lg(l(r+l)+加是偶函数，则0+8=—.

【方法技巧】

利用函数的奇偶性的定义转化为了(-x)=±，(x),建立方程，使问题得到解决，但是在解决选择题、

填空题时还显得比较麻烦，为了使解题更快，可采用特殊值法求解.

【变式8-1](2024•高三•湖北武汉•期末)函数为奇函数,则实数上的取值

为.

【变式8-2】已知函数〃x)=log3(9"+，w)-x的图象关于丁轴对称，贝！]加=—.

2

【变式8-3】已知函数/。)=寸匚定义域为R,g(x)=x(/Q)+a),若g(x)为偶函数，则实数。的值

2+1

为

题型九：已知函数的奇偶性求表达式、求值

【典例9-1】已知函数〃x),g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且“尤)+g(x)=x?-尤+1,则

g(3)的值是

【典例9-2】(2024•广东湛江•二模)已知奇函数〃x)=|(、门贝心(工=____.

g(x)+l,x>0,

【方法技巧】

抓住奇偶性讨论函数在各个分区间上的解析式，或充分利用奇偶性得出关于/(%)的方程，从而可得

/(X)的解析式.

【变式9-1]若定义在R上的偶函数“X)和奇函数g("满足/(x)+g(x)=e，，则g(x)的解析式为

g(x)=.

【变式9-2】已知函数/⑺对一切实数x都满足/(力+〃-力=0,且当x<0时，/(X)=2X2-X+1,则

/('=一•

题型十：奇函数的中值模型

【典例10-1】函数/(尤)=1*+lg(GTi+x)在区间[-八词内的最大值为最小值为N,其中帆>0,

则M+N=.

【典例10-2】对于函数/(%)=0^+及N+。(其中),选取a,b,c的一组值计算/(2),/(-2),

所得出的正确结果一定不可能是()

A.4和6B.3和1C.2和4D.1和2

【方法技巧】

已知/(x)=奇函数+M,xe[—a,a],则

⑴/(-%)+/(x)=2M

⑵小)1mx+/(x)1nto=2M

【变式10・1】(2024•广西•一模)/(力是定义在R上的函数，++；为奇函数，则

/(2023)+/(-2022)=()

A.-1D.1

【变式10-2】设函数/(xhor'+bsi